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1、清北学堂第37届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题 13180分280分一、一、3535 分分（1）设两束满足相干条件的单色自然光发生干涉，其夹角为，定义衬比度=ImaxIminImax+Imin，求的表达式。（10 分）（2）自然界中，有一类晶体，当光在其中传播时，会被分解为偏振方向互相垂直的两束光。通常，这两束光的传播播方向和传播速度不同，但晶体中存在某一特殊方向，光线沿此方向传播时与通常介质中无异，我们称这个方向为晶体的光轴，称其与入射光方向确定的平面为主平面。两束光中，一束光的偏振方向垂直于主平面，称为o光；另一束振动方向在主平面内，与光线方向垂直（光是横波），称为e光，如图所示（虚线为光
2、轴）。由于o光e光速度不同，我们分别引入相应的折射率no、ne。ne一般随入射光方向变化而变化，但此处我们定义其为入射光垂直光轴时的折射率。此后出现的情况光轴均平行于晶体表面且光线垂直入射（故折射光也垂直于晶体表面传播，即与入射光同向）。垂直光轴时的折射率。此后出现的情况光轴均平行于晶体表面且光线垂直入射。考虑波长为 650nm 的线偏振光连续入射两块晶体，第一块晶体厚 5mm，第二块晶体厚 6mm。入射光偏振方向与第一块晶体的光轴夹角为 30 度，no1=1.432,ne1=1.453，第二块晶体的光轴方向与原入射光偏振方向夹角 60 度（与第一块晶体光轴夹角 30 度），no2=1.521
3、,ne2=1.508，最后在第二块晶体之后放置一个方向与原偏振方向垂直的检偏器，求透射光强与入射光强之比。(15 分)（3）结合(1)、(2)小问，考虑一个迈克尔逊干涉仪，用波长为的自然光进行实验可以得到干涉条纹。此时，在其一臂间放置一块晶体，其折射率分别为no,ne，求使得干涉条纹消失的晶体最小厚度。(10 分)二、二、3535 分分（1）现有一块均质的正方体导体。（15 分）已知将 B 点接地时，给 E 点加上一定电压使其有电流 I 从 E 流向 B，此时 H 点的电压为 U。现将 C 点接地，仍给 E 点加上一定电压使其有电流 I 从 E 流向 C，求此时 H 点的电压 U1。（2）如图
4、，回旋加速器中心 A 点从 t=0 时刻开始均匀出现静质量为 m，带电量为+q 的静止带点粒子。加速器存在两电极 1,2。1 电极电势为 V，2 电极接地。A 位于电极 1 附近。V（t）仅可取 V0或V0。不考虑进入加速器瞬时未被加速的粒子。设回旋加速器半径为 d，d 不太小。全空间存在垂直纸面向下的均匀磁场 B。取qV0=2mc2。求稳定时（t 较大时），使出射粒子数最大的 V（t），及此时的出射粒子百分比。忽略粒子穿过电极的时间。考虑相对论效应。（20 分）三、三、3535 分分已知电子质量为me。考虑正负电子从很远处由静止开始依靠库仑力相碰的过程。为在经典框架（非量子）下处理之，我们作
5、出以下假设：（a）电子在速度增大时静质量逐渐减小，动质量保持不变。（b）电子的电荷量与静质量成正比。（c）忽略电子和光子的半径。那么：（1）求电子的速度与两电子间距离的关系。（不考虑场能及场建立的时间）（10 分）（2）将光子视为电子 vc 的极限，求一个光子与一个始终静止的电子相碰时二者距离的最小值（两粒子初始相距很远）（15 分）（3）将 3b 中的电子改为初态静止，再求二者距离最小值。（10 分）四、四、3535 分分如图所示，以 O 为原点建立三维右手直角坐标系(x,y,z)，其中重力沿-z 方向，x=0 与 z=0 为两个粗糙平面。现有一根长为 l 的刚性杆 AB，其 B 端与 x=
6、0 平面相接触，静摩擦因数为，另一端 A 固定在 x 轴上一点，使得OAB=。记 OB 与+z 轴夹角为，为了送分，试求解以下两问：（1）（7 分）如果认为静摩擦力的方向和运动趋势相反，试求解的最大值。（2）（10 分）如果认为静摩擦力的方向可以任取，试求解系统有可能保持平衡的状态下，的最大值。如果计算正确，应当发现（1）（2）的结果并不相同。但在某些特定的条件下，这两种情况的结果将会相同：（3）（18 分）当一个定点细杆（正如此题所涉及的情况一样）和另一个固定的物体表面是以线线的形式接触（此题是点面接触）时，试证明保持平衡所需的最小摩擦力的方向必定与运动趋势相反。五、冰的熔解热五、冰的熔解热
7、3535 分分冰的熔解热实验误差难以控制，下面考虑一个简化模型来计算量热筒内发生的过程对测量结果的影响。设室温保持T0不变，筒内的水初温T10，比热容c1，初始质量为m10，冰块初温T20，比热容c2，初始质量为m20，实验条件下熔点为T，熔化热为 L。假设所有热传导过程均满足热传导定律，即dQdt=k(Th Tl)，已知筒中水与外界之间、水与冰之间、水与水之间的热传导系数分别为k1,k2,k3。在以下讨论中，为了简化问题，将量热筒内的系统划分为几个子系统，每个子系统内部认为温度均匀。由于温度计处于水中，所以之后要关心的温度计的示数均是水这个均匀子系统的温度。（1）将容器中的水设为一个子系统，
8、冰视为另一个子系统。假设冰的融化只发生在温度为T时，求冰开始融化之前温度计读数随时间的变化关系。(15 分)（2）此时，冰子系统已经达到熔点T，熔化开始发生，不能再继续将冰整体作为一个子系统。考虑如下分划：由于冰是从表面开始熔化，冰熔化出的水包裹住冰的表面并和杯中的水发生热传导作用。因为熔化缓慢进行，故每一时刻由于熔化不断产生的水与已经熔化的水达到平衡的时间可忽略不计，从而可将两者作为一个变质量子系统；内部熔化中的冰温度保持T不变，作为另一个变质量子系统。列出描述温度计读数演化的方程（要求仅含有温度计读数一个变量）。(20 分)六、六、3535 分分tzd 设计了一个粒子反向器，如图所示，中间
9、为长 2a 宽 2b 的长方形（长边平行于 x 轴），内有垂直于纸面向外均匀增加的磁场。粒子的轨道平行于长边的一段长为 4a，距 x 轴 2b，平行于宽边的一段长为 4b，距 y 轴 2a。有一个带负电的粒子，电荷量绝对值为 q，质量为 m，以速度 v 冲进 4a 段左端。（转折处粒子速度大小不变，不考虑相对论效应)为使其在从左端再冲出，求磁场变化率的最小值k1;（10 分）为使其不经过转折就能反向，求磁场变化率的最小值k2。（25 分）七、七、3535 分分近年来，我国在自主制造民用飞机上取得了较大进展，以 C919 为代表的民用飞机已完成试飞。下面考虑简化的飞机机翼模型。如图，认为机翼下沿
10、平直，上沿是一段半径为 R，圆心角为 2的圆弧。机翼下沿与水平方向夹角为。已知空气密度为，重力加速度为 g，机翼的质量为 m，垂直于纸面方向长度为 L。（1）飞机的材质需要承受高强度的应力。考虑一次风洞实验，实验中飞机静止，风以速度 v 沿着平行于机翼下沿方向吹来。假设被机翼前端劈开的风于机翼后端同时汇和，从而机翼上方流速快，产生升力。再假设机翼上下沿气体流速均是均匀的且不考虑阻力。计入发动机给机翼提供的平行于机翼下沿的推力 F，请不做近似求出飞机机身与机翼连接处提供给机翼的力。(20 分)（2）考虑更为一般的模型，机翼下沿气体仍保持均匀速度 v，但当飞机平稳飞行时，机翼上沿气体有速度分布以保
11、持受力平衡。气体密度保持均匀不变且不计阻力。机身对机翼的应力可分解为作用于机翼重心处的合力，平行纸面的扭矩和垂直纸面的扭矩。已知飞机机身重力为 G，发动机推力 F，发动机位于机翼下沿中点处，求机身对机翼垂直于纸面的扭矩。(15 分)xy?R?O八、35 分2019 年，负质量物质已经被雾里学家们研究透了。顾名思义，负质量物质的质量是小于 0 的，此外其性质与正质量物质无异。以下字符数值均大于 0，可能发生的碰撞均为完全非弹性碰撞。（1）将质量为 m 和-m 的质点相距 L 静止释放，定量描述此后两质点的运动。不考虑外界影响和相对论效应。(5 分)（2）如图（1），太空中有一半径为 R 的薄球壳
12、，厚度 l 远小于 R，内外表面分别带有密度为+?和-?的均匀面质量。求空间中引力势的分布。(10 分)（3）如图（2）太空中有一半径为 R 的薄球壳（可穿过），厚度 l 远小于 R，内外表面分别带有密度为+?和-?的均匀面质量。现有一质量为 m 的小行星（可视为质点）以初速度?0入射，求其微分散射截面?（?，?）与入射角?的关系式（?为出射角，如图所示）。其中,=?,d=2?sin?,d=2?sin?。(10 分)（4）如图（3），太空中有一半径?2的薄球壳，厚度 l 远小于?2，内外表面分别带有密度为-?和+?的均匀面质量。球内有一同心的恒星，半径为?1，质量为 M。现有一质量为 m 的小行星（可视为质点）以初速度?0入射（即入射处速度为?0），求其微分散射截面与入射角，出射角的关系。(10 分)