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1、清北学堂第37届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题 14180分钟 280分【题一】(40)同一水平面上两点间有一条不可深长的轻质绳，绳上有一个匀质圆盘，始终与绳子无滑滚动，平衡时的几何参数有?,?如图。当圆盘在最低点附近做微小周期运动时，请严格求周期?。重力加速度为 g。A 为悬挂点到切点的绳长。【题二】(40)我们期望建立一个简单的模型来估计电子的半径，同时尝试用经典的自转来模拟电子自旋。并最终通过数据对比，发现这种模型的不合理性。现有一个半径为 R 的导体球，总电量为 Q，以角速度?绕通过其直径的轴转动。(1)求球内外的电场和磁感应强度，已知在球内产生的磁场是均匀的，球外为偶极子产生的磁场。
2、(10)(2)求电场和磁场的总能量。(10)(3)电磁场的角动量密度定义为?=?0?(?)。求导体球旋转产生的电磁角动量。(5)(4)电子的电量为 e，根据爱因斯坦质能关系，假设电子的质量是由电磁场能量赋予，即为?=?2。假设电子的自旋角动量也全部来自于电磁场的角动量，即?=2。请求出电子的半径 R 和自旋角速度?。请分析这种模型的结论合适吗？(本题最后一问需要用到的常数?,?0,?,?,?0可在计算器常数表中查询)。(15)【题三】(30)热辐射的板子物体表面单位面积单位时间内向外辐射的能量为Jemit=eT4Js1m2.其中为斯特潘常数，e 为吸收系数，通常 e TB。A、B 的发射率分别
3、为e1,e2。(1)求 A、B 之间的净能流 J。(15)(2)如果在其之间平行放入另一块 C 板，其发射率为 e，求其平衡的温度。这个温度是否与放的位置有关？(6)(3)接(2)，如果 e=e1=e2，求净辐射通量。(3)(4)为了降低 A、B 之间的净辐射通量，我们可以要么插入一块厚度为 d 的板子，要么插入 n 块厚度为 d/n 的板子，问哪一种方式更好。(6)【题四】(30)电容器电量的转移欲将电容器的电量转移到另一个电容器上，因此，获得了一个如图所示的金属板，几何参数与初始条件如图所示。在 t=0 时刻，左边电容带有电荷Q0,右边不带电荷，各处均没有电流。不计电磁辐射。尝试建立一个简
4、单的模型以计算：(1)电荷Q0完全由左边转移到右边的最小时间。(20)(2)单位时间流入圆柱空腔中的电磁能量的最大值。(10)【题五】(40)聚乙烯分子作为等效偏振片高中化学知识告诉我们，聚乙烯?2?2?是无支链的直型碳链，每个碳原子之间由碳碳双键和碳碳单键交替连接而成。我们注意到苯环的凯库勒结构式也是单双交替的碳碳键。然而实际上苯环并没有单双键之分，六个键完全相同，形成的是环域大?键，部分电子可以在上面“自由”移动。因此，作一个不严谨的理解，我们把这种情况类比到聚乙烯分子上。在本题中我们始终假定聚乙烯分子是“伸直”的。进而我们说，一个伸直的聚乙烯分子可以等价于一个偏振片。(1)在题干假设的基
5、础上，请进一步说明为什么可以等价于一个偏振片，并由此得到该聚乙烯偏振片的透振方向与分子的伸长方向的关系。(4)(2)现在假设有很多聚乙烯分子，他们处在温度为 T 的热平衡状态。现在我们空间中加上匀强电场?=?，分子会由原来杂乱无章的各个方向等概率的取向逐渐变为取向有概率分布。请尝试由玻尔兹曼分布得到聚乙烯分子处在(?,?)处的概率?2?=?,?。已知聚乙烯分子在电场下得到的电偶极矩为 p。(8)(3)一束线偏振光(其坡印廷矢量与分子链的取向垂直、偏振方向与外电场相同)入射一个上述体系中的聚乙烯分子，为了计算方便，作出合理的近似，求光强的平均透射率?1。如果偏振方向为与外电场垂直，求此时的?2。
6、并分别讨论强外电场和弱外电场时定量计算和定性分析得到的结论是否一致，由此得到你做出的这个近似的适用范围。(22)(4)接着上一问。在一个细长条形的容器中充满上述聚乙烯，并沿垂直于轴线的方向加上电场。一束沿着轴线射来的线偏振光，其偏振方向垂直于电场。我们假设聚乙烯分子都过轴线，即在每一个垂直于轴线的几何面上只有一个分子。已知容器的长度、截面积为?、?，容器中分子的数密度为 n。求光线穿过容器后的光强透射率 k。(2)(5)接着上一问。我们知道，光强是光的能流密度，即单位时间通过单位面积的光能量。在上述透射的过程中，损失的能量被容器中的气体吸收了。求系统温度随时间的增长率。假设器壁绝热，整个截面都
7、受到光强为 I 的光的均匀照射。已知系统的热容为 c。(2)【题六】(30)一块半无限大的半平面金属薄板充上电压V0，其横截面位于 x 的正半轴。已知其等势面在 xoy 平面内的截线为一族共焦点的抛物线，焦点为原点。将每个等势面的抛物线的顶点到原点的距离记为 a，当 a=a1时,=V1。求金属板上面电荷的分布。(30)提示：对于二维无源静电场满足：2=0,即2x2+2y2=0。【题七】(40)圆筒在软平面上的滚动摩擦系数滚动摩擦的成因有许多，本题想要建立一个简单的模型以描述这些因素中最重要的一个：平面不是理想的刚体，会产生形变，故而支持力会产生一个等效的阻力矩=rN。(当然，本题为了简化，假设
8、圆筒是一个理想的刚体)如图有以下几何参数：h 为中心轴下降的距离，xc为圆心坐标，v 为圆心的水平速度，x1,x2为前后恰好相接触的两个点的水平坐标，y x,t 为接触点 P 由于形变而向下移动的距离。现在假设平面上的点为一个个只能沿竖直方向运动的弹簧小球，并且忽略任意相邻小球的相互作用。设小球沿着 x 轴密集均匀分布的线密度为,弹簧沿 x 轴单位长度的劲度系数为 k，每单位长度的质点受到的外力为 f(x,t),阻力为 by?(x,t)。本题始终假设形变速率和形变量很小、不计平面上各质点的重力、圆筒与平面间没有切向力、各个接触的地方的小球与圆筒在y方向共速。重力加速度g、圆筒的参数为长度L、半
9、径R、质量M，R (x1x2)。(1)证明：y(x,t)可以近似为 y x,t=(xxc)22R h。(2)(2)求 f(x,t),并由此求出x1和x2。(用 R、x、xc、v、k、h、b、表示)。(10)(3)上一问求出的是已经在圆筒下方的质点的受力。当圆筒不断向前滚动时，平面上不断地还有一部分质点由静止突然变为与圆筒共速。本小问请求出每单位长度平面经过圆筒瞬间施力，运动到圆筒下并与之共速而所受到的力(用 R、x1、x2、xc、v、表示)。(5)(4)求 h，近似至 v 的零阶项。(10)(5)求圆筒的能量损失率，进而再求出等效的滚动摩擦系数r,近似至 v 的零阶项。(用 M、R、k、b 表示)。(9)(6)设 t=0 时 v=v0，求 v(t)。(4)【题八】(30)如图，由无穷多个楔形的三角木块在竖直平面内堆叠在桌面上，左右有两个挡板把它们挡住，系统处在静止状态。当然示意图中只画了三个，并且木块之间并没有间隙。各个接触面都没有摩擦，楔形块与水平面的倾角为。在?=0 时刻，突然同时撤去左右两块挡板，则木块将会具有加速度。求最底层那个木块向左运动的加速度、以及它对水平桌面的正压力。我们假设各个木块的尖角处都是磨平的，即不考虑尖角处比如卡住等各种奇怪的情况。已知重力加速度?，每个木块的质量都为?。