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1、2020 年暑期刷题班培训专用清北学堂第 37 届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题 10一、一、铁球弹人问题铁球弹人问题如图，一重为 M，半径为 R 球从高度 H 处自由落体落至一长为 2L 的跷跷板的端点（球心与端点在同一竖直线上），跷跷板另一端站有一质量为 m 的人（可视为质点）。而后球与跷跷板粘连（即发生完全非弹性碰撞），并继续下落，最终将人击飞出去。设跷跷板质量为，板中心点光滑铰接在高为 h 的铁柱上（铰接垫为 O），板厚可忽略。试求（1）碰撞后瞬间人的速度大小与方向为何（2）人落地时水平位移为何（认为各条件能够使人飞越整板落至地面）二二、间歇式阻尼器间歇式阻尼器粘滞阻尼器是一种速度相关
2、型阻尼器，流体通过阻尼孔或间隙时产生粘滞阻尼力达到耗散能量的目的。因此粘滞阻尼器被广泛应用于高层建筑、桥梁、建筑结构抗震改造、工业管道设备抗震、军工等领域。其中一种为间歇式阻尼器，主要组成部分有:缸筒、活塞、活塞杆以及阻尼间隙。给定活塞正弦位移信号，推动活塞杆进行运动，粘滞阻尼器受压一腔的液体通过间隙流入另外一侧的活塞腔中，介质在流动的过程中产生阻尼力，从而达到耗散能量的目的。下图为间隙式粘滞阻尼器示意图。我们来考察阻尼间隙中阻尼介质的速度分布，其流速可分为压差运动引起的流速与剪切运动引起的流速的叠加。已知：一边的间隙长度为 l，流体的动力黏度为，单边间隙高度为，间隙两端的压差为p，活塞运动速
3、度为 U。假设活塞运动方向为 x 轴正方向，垂直于其为 z 轴，则间隙中流体的运动可近似为仅有 x 方向上运动，运动方程可近似为?。试求间隙中流体速度随 z 轴分布。2020 年暑期刷题班培训专用三、三、小行星空爆小行星空爆在进入大气层的过程中,小天体在气动力、气动热的作用下，能量不断减少,产生烧蚀、破碎现象,作用剧烈时将在空中发生爆炸,该现象称为空爆现象。空爆是小天体撞击地球大气层的重要物理现象。对于其的研究，科学家们发展了几种不同类型的模型，其中一种就是煎饼模型。该模型将小天体假设为一个均质的连续体,并将小天体破碎、在空中发生爆炸的过程假设为一个连续的变形过程。该模型认为小天体在进入大气过
4、程中,当其触发特定的飞行条件时,开始发生“破碎”,破碎表现为小天体受到挤压发生变形。此类模型有明确的空爆高度的概念，当小天体截面半径增大到一定程度时，认为小天体发生空爆。下面我们来进行一定计算。假设小天体质量为m，进入大气层速度为V，进入大气时为一球体，半径为R。大气密度均匀为，小天体所受空气阻力与速度平方、截面积、大气密度成正比，比例系数为Cd。重力加速度为g，忽略其随高度变化。当小天体进入大气后受到驻点压力大于小天体强度S后，小天体即开始破碎。驻点压力即为小天体尖端因和空气完全非弹性碰撞导致的压力试求：（1）小天体所受驻点压力的表达式。（2）为使小天体发生破碎，初速度V应满足的条件。（3）
5、满足（2）中条件且当?时，试求小行星从进入大气层到空爆所需要的时间四、四、等势面等势面对于一个孤立的或处于静电场中的导体，当它处于静电平衡时其满足：1 导体附近电场垂直于导体表面 2 导体表面附近电场大小?。试根据上述信息，证明（1）一根长为 d 的带线密度为?的线段，其等势面为旋转椭球面（2）设有一带电量为 Q，表面为绕长轴循转的旋转椭球面（半长轴，半短轴，半焦距为 a，b，c）的导体，求静电平衡时其表面的电荷分布（用这一点到长轴的距离 h 表示）2020 年暑期刷题班培训专用五、五、勃雷登循环勃雷登循环勃雷登循环是一种燃气轮机装置所采用的循环，通常其过程如下：空气首先进入叶轮式压气机，先经
6、固定在转子上的动叶片组成的通道，由于动叶片高速旋转，使空气得到加速，而后进入静止叶片组成的扩压管把动能转化为工质的焓增，使压力上升，这是一级压缩的过程，可以经多级压缩达到所要求的压力上升。被升高压力的空气进入燃烧室，和燃油混合燃烧进入燃气轮机。在燃气轮机中温度和压力都还相当高的燃气-空气混合物，先在静叶片组成的喷管中把热能部分地转换为动能，然后冲入固定在转子上的动叶片组成的通道，形成推力去推动动叶片使转子转动而输出机械功，这是一级推动作功的情况，可以通过多级推动加大输出的机械功。燃气轮机作出的功量除用以带动压气机外，剩余部分（净功量）对外输出。从燃气轮机出来的废气排入大气环境，放热后恢复到大气
7、状态而完成了一个循环。我们对实际的循环加以理想化，即：1）把工质视为是理想气体的空气，比热容为定值，喷入的燃料质量可以忽略不计。2）工质经历的都是可逆过程。工质在压气机和燃气轮机中的过程都忽略其对外界的散热量，而视为可逆的绝热过程。在燃烧室中的燃烧过程，忽略流动引起的压力降低，视为可逆定压加热过程。从燃气轮机排出废气到压气机吸入空气之间认为是定压放热过程。这样就形成了封闭的燃气轮机装置的理想循环-勃雷登（Brayton）循环。下面我们来对其进行考察：假设空气进入压气机时温度为 T1，压力为 p1；出压气机进入燃烧室时为 T2，p2；出燃烧室进入燃气轮机时为 T3，p3，出燃气轮机后为 T4，p
8、4。工质定压比热为 cp，绝热系数为 k。试根据以上信息：（1）求出勃雷登循环的效率（2）求出勃雷登循环的净功。定义增压比=p2/p1，增温比=T3/T1。当固定不表示，证明并求出存在最佳的使净功最大。六、六、径向变折射率透镜径向变折射率透镜2020 年暑期刷题班培训专用变折射率透镜与普通透镜不同，其利用折射率的梯度分布来弯曲光线，实现光线的聚焦、成像。其中径向梯度变折射率透镜即为等折射率面是中心轴对称的圆柱面系，其中圆柱端面垂直于轴者称伍德透镜。下面我们对两种特殊分布的伍德透镜来进行分析。如题建系，OB 为透镜端面，Oz 为主光轴，r0为入射光线入射点到主光轴距离。已知：对于折射率径向分布函
9、数为n(r)的透镜，与光轴共面的入射光线在其中的轨迹方程可表示为：?cos?其中为光线入射后 z=0 处的折射角。试：（1）对折射率分布为?h?h?h，证明光线在透镜中会周期性聚集至光轴上，并求出周期。（2）对于折射率分布为?h?hsech?h，证明光线在透镜中会周期性聚集至光轴上，并且该周期与光线的入射角无关。数 学 补 充：sech?，积 分 公 式：?arcsin?，?sech?hsech?hcos?arcsin?cos?arcsin?cosh?h?cos?七、七、卡什米尔效应卡什米尔效应2020 年暑期刷题班培训专用卡什米尔提出，在真空中充满了“虚”的电磁波，他们所具有的能量会对一对相
10、聚为 d 的金属平板产生作用力。根据量子力学，两板间存储的能量为?，其中?，c 为真空光速，?为普朗克常数，p 为一很大的数且与金属材料有关，?为两板之间可形成驻波的波长。（1）假设电磁波的波动方程具有 sin knx 这种形式，求 kn的可能取值（2）证明真空电磁力与 d 成二次方反比，并求比例系数 a（3）试求板外电磁力为多少？参考值：?th?,；p=2000，c=3108m/s八、八、环绕赤道运动环绕赤道运动A 和 B 两人在位于赤道上的某地购买了两个相同的摆钟，经过校准，两种在地面走时精准且指示时间完全相同。两人从该地携带摆钟一同前往地球正对面的另一地参加博览会。但是二人所坐飞机不同，A 乘坐向东的飞机，B 乘坐向西的飞机。两架飞机均沿赤道匀速飞行，飞行高度 10 km，且在地面上中测得二者均用了 12h 到达。（1）到达时二者的摆钟与地面上的钟指示时间相同么？如果不同，请列举可能的物理因素并估计各因素带了时间差。（2）二者的摆钟时间相同么？如果不同是由上述哪个因素造成的。