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1、2020 年暑期刷题班培训专用清北学堂第 37 届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题 5180 分钟 320 分一（40 分）2019 年，来自剑桥与哥伦比亚大学的研究生团队共同提出了一种可以在未来低成本实现从月球向地球运输物质的“反向太空电梯”，具体结构如下图所示。将一根线密度为?、足够结实的匀质绳索从月球表面向地球方向延伸，自月球开采出的矿物只需沿着这条绳索上升一段距离之后便可以靠地球引力落入地球轨道。将地月质量与半径分别记为?,?,?,?，月球公转周期记为?,地球中心到月球中心的距离记为?，试研究如下问题。（1）如果要求这一绳索不会落回月球表面，试求它的最短长度?。（2）假设修建完成后的“S
2、paceline”长度为?0?0=1.1?，考虑某一时刻在月球表面发生的月震，它造成的横向扰动将会沿着绳索传播，试求这一扰动从月球表面传播到?点所需的时间。计算时取：?=5.97 1024?t,?=7.35 1022?t,?=6.37 103?,?=1.74 103?,?=27.3?,?=3.84 105?,G6.67 1011Nm2/kg22020 年暑期刷题班培训专用二（40 分）设导线（包括测量电阻所用导线）半径为 r，且 r 远小于题中涉及到的其它任何长度。试求解：（1）如下图(a)所示，S 是一个无限大的平板导体，电阻率为，求相距为x 的两点 A，B 间的电阻。（2）如下图(b)所示
3、，我们用导线将平面上另外两点 C、D 连接，|AC|=a，|AD|=b，|BC|=c，|BD|=d，|CD|=e，求此时 A、B 间的电阻。（3）如下图（c）所示，直线 l 垂直于 AB 且交点位于 AB 连线的三等分处，现在你有一根导线，请在 l 上找出两点相距为 x 的两点 C、D，使得在将这两点用导线连接后，AB 间的电阻最小。并求解此时的电阻。DCDClSSSBBBAAA(a)(b)(c)2020 年暑期刷题班培训专用三（40 分）机械真空泵是一种常见的获得真空的工具，一般可以在数秒至数分钟内迅速生成 10-1Pa 量级的低真空。其工作方式如下图所示，转子的最上端与定子接触，而旋片与定
4、子的接触点随旋片的转动变化，假设所有接触点都完全气密。示意图左侧进气口与真空容器相连，右侧排气口与大气相连。Figure 1.机械泵的工作方式图（1）依据示意图描述机械泵的工作原理。（2）考虑理想情况：真空容器的与机械泵都具有完全的气密性，容器壁足够洁净，并未吸附气体，机械泵浸没的机油不会蒸发。在这样的情形下，是什么条件决定了机械泵所能获取的真空的极限？（3）假设排气阀的盖板质量可略，在内外压强差大于 0.1个大气压时打开，忽略气体的弛豫时间。当机械泵处于左图所示的状态时，区域恰好与真空容器隔离，这一区域的体积约为区域的 1000 倍，假设机械泵中旋片、转子、定子都具有良好的绝热性，真空容器内
5、的初始气体为空气，据此估算机械泵可以达到的最高真空度（即真空容器内的最低压强）。（4）设真空容器的体积为?0=100L，机械泵中区域的体积为?3=1cm3，机械泵转速为 3000r/min，试估计真空容器中气压从大气压降至1Pa 所需的时间。计算时取 1?=1.01 105Pa四（40 分）如右图所示，电子束从 1方向入射到晶体中，并在一系列平行的相距为 d 的晶面上发生反射，探测器测量从 2方向进行探测，同时晶体以速度盖板2020 年暑期刷题班培训专用v v2，JOJO 和DIO 都不能飞（即只能在平面上运动）。（1）假如 DIO 的速度始终朝向 Joseph，当 L 和d 满足什么关系时，
6、DIO 可以在被 JOJO 抓住前找到 Joseph?（2）假设 L 和 d 的关系正好为(1)结果中等号成立情形，DIO 是否有更好的逃跑策略可以在被 JOJO 抓住前找到 Joseph？如果有请举一例，如果没有请说明为什么。（3）DIO 能否保持他和 JOJO 连线与他和 Joseph 连线始终垂直？如果能请问当 L 和 d 满足什么条件时（DIO 和 Joseph 之间距离）/（DIO 和 JOJO 之间距离）终不变，如果不能请说明理由。V1V2dL2020 年暑期刷题班培训专用七、（40 分）在等离子体中存在这样一种现象：若将一个带正电物体放入等离子体中，电子会自发地向着带电体靠近，使
7、得带电体附近的等离子体呈现负电性，进而削弱该带电体产生的电场，直至达到平衡。对带负电物体也存在同样的过程。这种等离子体对内部电场的屏蔽效应被称为“德拜屏蔽”。若假设带电物体使电子带有的电势能远小于电子热运动的动能，在平衡之后，一个带电小球在等离子体中产生的势能将有如下形式?=?0exp(?/?)其中?0为小球表面的电势，?为等离子体的德拜长度。我们假设小球的半径远大于等离子体的德拜长度，从而可以建立一维模型，试求解：（1）一团无扰动时电子均匀分布，密度为?0，温度为?，遵循玻尔兹曼分布（即?exp(?/?)，E 为粒子电势能，T 为温度）的等离子体的德拜长度。（2）若同时考虑电子与离子受外界电
8、场作用所导致的分布改变，假设离子所带电荷与电子相等，离子温度与电子温度相等，计算得出的德拜长度与（1）中只考虑电子响应计算得到的结果有多大差别？（3）在实验中测量得到的等离子体内电场分布更加接近（1）中只考虑电子响应的情况，而非（2）中同时考虑电子响应与离子响应的情况，试解释原因。如果我们可以测量一团电子-正电子等离子体的德拜长度（忽略湮灭），实验测量的结果会更接近（1）中的答案还是（2）中的答案？2020 年暑期刷题班培训专用八、(40 分)假设你在于一个光速只有 5cm/s 的世界中做光学实验，你的实验任务是将激光器 A 发出的光利用凹面镜 C 尽可能多的收集到探测器 B 上，其中激光截面
9、的半径远大于探测器的面积而远小于凹面镜的曲率半径 R=5cm，探测器的探测面指向你。在你还没有将凹面镜调整至合适位置时，你通过控制激光器开关的队友的手势了解到 6 秒后他将打开激光器，由于你和他之间的距离为 25cm，这意味着当你收到这条消息后还有 1 秒钟他就要打开激光器了。由于这台激光器的使用和维护都非常昂贵，所以你希望尽可能缩短使用时长，此时你有如下两个选择：1.用手势告诉队友关掉激光器；2.赶紧移动凹面镜尽可能多的收集激光。在此题中，假设：你可以以任意不超过 0.6 倍光速的速度移动凹面镜，探测器需要接收聚焦于其上的光 5s 才能产生足够多的数据，AB=5cm,BC=20cm.请问在此情形下，你会采取哪一种选择？解释你的理由，并给出激光器需要工作的时间和关闭激光器时凹面镜的位置。郑重声明：本试题及答案为清北学堂教研部出品，未经授权，任何人不得翻译，不得在出版物以及互联网网站上转载、贩卖、盈利，违者必究！祝大家 2020 年复赛必胜！CBA