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1、2020 年暑期刷题班培训专用清北学堂清北学堂第第 37 届全国中学生物理竞赛复赛模拟届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题试题 6180 分钟分钟 280 分分一、（40 分）李白曾在诗中写道：“长安一片月，万户捣衣声。”诗中的“捣衣”就是指洗衣。古人洗衣是利用皂角等物替代洗衣粉，在浣纱石上捶打衣服，越用力捶打衣服洗的就越干净。发源于欧洲的滚筒洗衣机利用的是同样的原理，滚筒洗衣机由洗衣槽，控制板，电机等结构组成。已知洗衣槽直径?敬 潃潬湯t，重力加速度为?敬?潬?t?，洗衣槽质量为?潃潬潃?，假设洗的衣服总质量为?潬潃?（1）求洗衣机洗衣效果最好时的转速?潃（2）计算此时洗衣机的功率二、（40 分
2、）约瑟夫森结(Josephson Joint)是种具有神奇伏安特性的电学元件。己知通过它的电流?与两端电压?满足如下关：?敬?sin?枰敬?。其中?为约瑟夫森结的某个参量?敬 湯潃?，现有一如下图所示电路，K 在闭合前约瑟夫森结?敬 潃，电容大小为?敬 湯潃?且不带电，电源电动势大小为?敬 湯潃?，?的正方向如图所示，?湯与?均为理想二极管，电路中不计内阻。（1）求?湯第一次截止所经历的时间（2）求?第一次截止时电容器上电荷量较?湯第一次截止时的电荷量的增量（3）假设每次?湯截止的时间与每次导通的时间相等，求电容上电压增至?所用时间。2020 年暑期刷题班培训专用三、（40 分）如图所示，有一
3、个半径为?的空心圆筒放置于水平地面上，内部有一根长度为?的匀质杆，圆筒质量为?，杆的质量为 t。圆筒与地面间足够粗糙，杆与圆筒接触点光滑。（1）将杆于?敬?潃?处由静止释放，求当杆质心到达最低点时杆的角速度?潃（2）承上一问，求当杆质心到达最低点时地面给圆筒的摩擦力大小（3）?敬 潃?是系统的一个平衡位置，通过计算说明其是否稳定，若稳定，求出其小振动周期（4）求使圆筒不打滑的最小摩擦系数?四、（40 分）一物及物屏、一凸透镜、一平行玻璃砖、一凹透镜、一平面镜前后共轴放置，如图所示。各球面曲率半径为?敬 潃潬t，所有光学元件都是由同种玻璃制成的，折射率?敬湯潬，?敬 潃潬?t?湯敬 湯t?敬?t
4、?敬?t。所有光线均满足傍轴条件。求?的所有可能值使像能够成在物屏上。（只考虑一次反射）2020 年暑期刷题班培训专用五、（40 分）有一铅直竖立的密闭绝热圆筒，截面积为?，内装有一质量为 t 的绝热活塞，其厚度和圆筒的长度相比，可忽略不计。起始时，活塞被固定在圆简的中央，将圆筒分隔成两个长度同为?的气室，如图所示。设圆筒的上下两气室各含有温度为?潃的?摩尔氦气。在下列的问题中，可以假定活塞与圆简壁之间的摩擦力很小，且?远大于活塞所移动的距离。重力加速度为?（1）现释放活塞，使其能自由上下运动，试导出活塞的位置?和时间 枰 的函数关系式。（2）活塞与圆筒壁之间的摩擦力虽然很小，但经过一段长时间
5、后，终会使活塞静止下来。假设圆筒壁和活塞的热容可以忽略不计，且由于活塞的运动，使上下气室的温度最后趋于一致。试求活塞最后静止时的位置和此时筒内气体的温度？（3）承（2）问，在活塞静止后从其上方?处?使使?静有一质量为 t漓?t漓 使 t静的小钢球从静止自由落下，与活塞作完全弹性碰撞。试问经过第一次碰撞后，小钢球回跳的最高点与起始位置的差值是多少?若第二次碰撞后，小钢球回跳的最高点与起始位置相同，则?值应为何？2020 年暑期刷题班培训专用六、（80 分）电推进系统是一种新型的工质推进系统。在漫威电影工作室旗下的超级英雄钢铁侠所使用的推进系统十分的炫酷，其使用的便是等离子体推进器。等离子体推进器
6、有多种，其中较为简单的是 Kaufman 离子推力器。离子推力器是利用被电离的气体（通常使用 Cs(铯)、氙(Xe)等气体作为推进剂）将正离子推射出去以获得动力。（1）在 1959 年，美国物理学家 Harold R.Kaufman 制造出了第一台离子喷射发动机，该离子推进器模型如下所示，正离子从 S 处产生，以极为缓慢的速度漂移至电极 A，AB 间有加速电压 U，在其作用下形成正离子束，正离子束电流为?。为使离子束能射出，必须使用电子枪 C 中和正离子.在美国同步卫星上所安装的推进器使用 Cs 作为推进剂，铯离子比荷?t 敬 潬?湯潃?湯，加速电压?敬?潃?，离子电流?敬 潃潬湯?，试求正离
7、子束射出速度以及推进器的推力。（2）往往，为提高离子推进器的效率，电极 A 和 B 常使用镂空的栅板以提高离子束的单向性，但是这同时也带来了缺陷，高速离子与栅格碰撞会腐蚀栅板，这使得推进器的寿命十分有限。于是苏联人发明了稳态等离子体推进器 SPT(Stationary Plasma Thruster)，也称为霍尔效应推进器。在霍尔推进器中，为提高电子利用率与离子/原子占比，阴极发射的电子一部分进入环形放电室，一部分用于中和出射正离子。在放电室中，利用内层线圈与外层的 4个线圈，在放电室中构成了具有梯度的磁场，从而约束住电子，产生霍尔电流，进一步约束与加速从阳极室中产生的等离子体。首先我们考虑高
8、速电子电离气体的过程，由于正离子质量较大，我们假设其静止不动，记电子速度为?，Xe 是一种稀有气体，为简化起见，我们假设其满足玻尔模型，被电离出的电子处于“基态”。电子与 Xe 原子碰撞产生两个电子与 Xe2020 年暑期刷题班培训专用离子。试求出 Xe 原子的电离能?与能电离 Xe 原子的最小电子速度。已知 Xe 原子质量?敬湯?湯潬?，电子质量t敬 潬?湯潃?，湯 敬 湯潬?潃?湯潃?，由于电磁屏蔽，对于最外层电子相当于核电荷为 潃潬?（3）记环形放电室内径为?，外径为?，轴向长度为?，?，等离子体浓度为?潃。假设线圈产生的磁场分布为?湯?敬?潃?，轴向加速电场均匀为?潃。现假设环形放电室
9、中充满等离子体，等离子体电导率为?。正离子质量较大，假设其静止不动。试求稳态下轴向电子运动速率?满足的方程（方程中只能包含运算符和题文中所给参量）。(提示：稳态时?敬潃?敬?枰)（4）霍尔推进器不同于传统的化学火箭，该推进器不需要进行化学反应，所以需要额外的能量供给，太阳能电池板是其中的来源之一，假设该卫星在地球公转轨道上工作，卫星携带的太阳能电池板面积?敬 湯潃t?，该电池板由单晶硅制成，效率为 24%，斯特藩-玻尔兹曼常数?敬 潬?湯潃?t?，太阳表面温度为?潃潃潃?，在地球上太阳张角为?敬 潃潬?，求太阳能电池板提供的功率?湯和温度?。（太阳和电池板皆为黑体）（5）仅依靠太阳能电池板不足
10、以提供长距离航行的能量。航天器可以利用钚元素衰变电池供能。钚 238 发生?衰变变为铀 234，已知钚 238 半衰期为 87.74 年，钚 238 原子质量为?潬潃潃u，铀 234 原子质量为?潬潃?湯u，?粒子质量为?潬潃潃?u，假设钚 238 电池某时刻质量为?潃?，试求此刻及 20 年后的电池功率。（6）推进器能量主要消耗在 Xe 原子的电离与加速，假设气体室中气体全为等离子体，且已出于喷射状态的动态平衡，利用第（4）（5）问的数据求出该推进器的推力，已知 Xe 离子浓度为湯潃湯t?敬?t?敬?t（7）假设三体舰队从距地球 4.21 光年的半人马座开始航行，经过对称的加速与减速过程飞向地球，到达地球时恰好静止。假设三体舰队没有使用曲率驱动的推进器，而是使用了推力为湯潃?的霍尔推进器，且三体舰队每艘星际飞船质量为?潃敬?湯潃?不变，分别求三体舰队在自己的参照系中需要花多长时间到达地球，在地球参照系中花了多长时间。（8）在小说中，三体舰队预计要花 450 年到达地球，求三体人使用的推进器的推力大小郑重声明：本试题及答案为清北学堂教研部出品，未经授权，任何人不得翻译，不得在出版物以及互联网网站上转载、贩卖、盈利，违者必究！祝大家 2020 年复赛必胜！