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1、清北学堂清北学堂第第3737届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题 1313试题解答试题解答一解答：(1)自然光分解为两个正交的偏振方向，如图所示。两个方向光强均为?，无相位关联，各自干涉后非相干叠加。垂直于纸面方向：?th?t?(3)平行于纸面方向，统一向某一光的偏振方向投影，有?th?t?t?t?t?，?t?t?t?t?(6)此外，投影的正交分量产生背景光强为?t?t?t?(8)故总光强?th?th?th?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?衬比度为?t?t?(10)(2)将偏振光按第一块晶体的光轴、垂直光轴方向分解为 e 光、o 光，有?，过第一块晶
2、体后，e 光相位?，o 光相位?用复数表示为?，(2)?，(5)然后这两个分量分别向第二个晶体的光轴、垂直光轴方向投影，并叠加上相位差，结果为?t?t?t?(8)?t?t?t?（11）最后将以上两个分量向检偏器方向投影即得到振幅?t?t?t?t?t?t?爸?（13）取模方即得光强比?t?t?t?t?t?t?tt?t?爸?t?t?tt?t?t?t?t?t?爸?(15)(3)自然光干涉可以看作是其两个正交偏振分量分别干涉形成的条纹然后非相干叠加的结果。(6)若条纹消失，则说明当一个偏振方向干涉相长时，另一个方向恰好相位差?以致于干涉相消，从而总光场恒为均匀亮场。(8)故晶体最小厚度?(第一个等于号
3、右边第一项分母的 2 是因为经过两遍晶体)(10)光轴 1光轴 2二解答：（1）设有电流 I 从 E 流向 F，F 接地，如图。设此时 E 处的电压为U?，B 处的电压为U?，C 处的电压为?U?，则能推出图中所示的电压分布。将此图向左转动 90 度再与原图叠加得：（取 B 点电势为 0）则?将上面两张图转动一定角度叠加得：如图，可以看出 H 点的电压U?。本题仅设 0，15两档。（2）当 V?V?时入射的粒子不做考虑。考虑一个被加速了 n 次的粒子：E?mc?mc?n?当粒子在磁场中运动时：qvB?mv?Ra光轴 1光轴 2T?（到此处 5 分）答案如下图，其中T?，出射粒子为 50%。（图
4、 10 分，粒子数 5 分）三解答：（1）m?m?e?e?F?e?t?t?积分得：v?c?t（2）F?t?t积分得：?t?r?（3）F?t?t?v?v?c?c令 v?v?v?t?积分得：?t?r?四解答：（1）B 的运动轨迹是以 O 为圆心的一个圆，据此可以判断摩擦力f方向垂直 OB：设定支持力如图，考虑 Oxy 平面内的投影，对 A 点沿 z 方向力矩平衡?t?由几何关系tan?sin?sin?cos?t?临界状态下?fNt?联立上几式，解得最大倾角?tt?t?t?(4)（2）现在的问题是如何选定摩擦力的方向，使我们得到一个最大的倾角。注意到重力没有 z 方向的力矩，平衡的条件是摩擦力和支持
5、力沿 z 方向力矩和为 0。则摩擦力不应有 z 方向的无用分量，故 f 沿 y 方向。(5)从而力矩平衡式改写为?(6)结合（2）（3）式，得最大倾角?tt?t?when?t?(7)若 tan?，则可以在t?,?内任取。(8)（3）如图所示，设细杆为直线 a，接触点附近固定物体的切线为 b，需要研究的是 a 所对应物体的平衡条件。将 a，b 的交点记为 K，并作包含 a，b 两条直线的平面。过 K 点作一平行于重力方向的直线 c，在 c上取一点 L。作包含 a，c 的平面。（a）由于支持力垂直 a，b，则支持力 N 垂直。于是可以作从 L 出发，垂直并且止于的矢量，用它来代表支持力 N。（b）
6、由于摩擦力方向和支持力垂直，则摩擦力 f 的方向必定在平面内。于是可以作从 N 的末端出发，在平面内的矢量，用它来代表摩擦力 f。（c）为保证力矩平衡，支持力与摩擦力的合力应该和 a 与重力作用线所确定的平面平行，否则就会产生重力方向力矩。（d）由于支持力 N 的始点在 c 上（在平面内），从而条件（c）就等价于摩擦力的末端在平面内。（e）由于（b）中已经说明，摩擦力是一个在平面内的矢量，结合（d）的结论可知，摩擦力 f 的末端在与的交线a 上。换言之，摩擦力 f 是一个从 N 的末端出发，指向 a 上任意一点的一个矢量。（f）显然，点到直线以垂线为最短。故而取得最小摩擦力的情况即为摩擦力在平
7、面内，且垂直 a 的情况。（g）对于定点细杆，运动趋势必定垂直杆 a，且不能有支持力方向分量，即在 a，b 所构成的平面内。这一运动趋势和（f）中给出的摩擦力完全一致，从而命题得证。评分标准：第（1）小问（7 分）：（1）式 4 分，（2）（3）（4）式各 1分。第（2）小问（10 分）：（5）的判断和（6）式各 3 分，（7）式和（8）式讨论各 2 分。第（3）小问（18 分）：（a）（b）（g）各 2 分，（c）（d）（e）（f）各 3 分。其他合理证明也给分。五解答：（1）冰水之间：?t?（1）水外界之间：?t?t?（2）(5)联立，对(2)求导并用(1)，(2)式代入，消去?，有?t?
8、t?t?t?t?爸整理得?t?此乃二阶常系数线性微分方程，解之得?其中 A,B 为常数，?,?t?t?(10)将?代入(2)，解得?t?t?t?由初始条件确定 A,B，得?t?t?t?t?爸?t?t?t?爸?t?于是将 A,B 代入表达式即得温度计读数?随时间的演化。这个表达形式适用于?，其中?为?t?t?t?的解(15)（2）设冰已经熔化成水的质量为?，温度为 T，冰和冰熔水之间：?t?冰熔水和水之间：?t?t?t?水和外界之间：?t?t?(5)可类似于（1）中步骤，顺次消去 m 和 T，得到关于?的微分方程。这里给一个漂亮一点的做法：引入变量?，?，分别将三个方程中的 dt 移到右边两边积
9、分?t?t?t?t?t?直接消去 m 并将?，?代入，有?t?t?t?t?t?再设?，?t?有?t?t?t?t?t?t?记?t?，?，?，?，?t?则有?t?t?t?对此时的第二个方程求导并消掉 X，有?t?t?t?t?t?t?t?t?最后将 Y 的定义代入得到?t?六解：?t?得?t?dS的磁场产生的感应电场?t?t?x,y?t?hh,h?h?h?t?h?h?h?h?h?h?h?h?tt?h?h?h?h?h?h?h?h?tt?h?h?h?h?h?h?h?其中?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?hh?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?
10、h?ln h?h?h?h?tan?h?h?h?h?代入?h可得?hh,h?h?tan?h?th?tan?h?th?h?tan?h?th?tan?hth?h?t?h?t?h?h?t?h?h?t?h?t?h?h?t?h?t?t?hh,?h?t?t?tan?h?t?tan?h?t?tan?h?t?tan?ht?h?t?h?t?h?t?h?t?h?t?h?t?h?ttan?t?ttan?t?t?t?ttan?t?ttan?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?由?解得?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?t?给分：每式 4 分，每式 8 分
11、，式 3 分七解答：（1）伯努利方程?其中?t?t?，?(5)将上下表面的压强拆为两部分，其中?tt?t?爸，?可以看出第二部分提供的正是空气浮力对应的部分，故可以直接算出对应的竖直方向升力?t?t?t?(10)由于第一部分的压强?，?与位置无关，所以作用于上沿圆弧上的?可以等效于作用在下沿，垂直于机翼方向的升力?t?tt?t?爸(15)最后计入机翼重力 mg 和发动机推力 F，根据受力平衡可以算出作用力分量为?h?t?t?tt?t?爸?t?向后t?h?t?t?tt?t?爸?t?t?t?t?向下(20)（2）由于平稳飞行，故机身对机翼合外力作用为?向下(4)，机翼质心位置距 O 点距离可算出为
12、?t?t?t?t?t?t?t?t?t?爸?(8)由于不考虑阻力，机翼上沿的压力均垂直于半径经过 O 点，机翼下沿由于压强均匀分布故总压力也经过 O 点。(12)若以 O 点为力矩中心，则垂直纸面方向力矩为t?t?t?向外，故为了力矩平衡，机身给机翼提供的力矩为t?t?t?t?t?爸?t?t?向内。(15)八解答：（1）如图，在 t 时刻-m，m 相距 r，-m 坐标为 x，m 坐标为 r+x则有?h?t?t?h?h?得 t?，h?故 m，-m 从静止开始以?的加速度向 x 正方向匀加速运动。（2）如图，考虑面元?对应的一对质偶极子，?对场点 P 的矢径为t?，则其对 P 的引力势为d?Gdsr
13、?l?G dsr?而?t?t?t?t?t?cos?t?tcos?故?t?cos?t?（?为?对 P 所张立体角）对球壳来说，取球心为原点，建立球坐标系，当 t?，t?当 t?，t?（3）如图所示，在行星 m 入射过程中，由于球对称性，球壳对 m 的作用沿径向，故 m 角动量守恒，进入球壳前后角向速度不变?而由（2）可知，m 的引力势能突变，故有能量守恒?cos?两式可解得?t?讨论：?，则不存在?，?，即行星在入射点镜像反弹，出射角?,?，则当cos?GLv?，即tt?时，同，?,?。当?,即tt?时，行星可射入球壳内，如图，?，?,?cos?sin?cos?sin?sin?，?（4）m 入射后初速?满足：角动量守恒?能量守恒?可得?此后 m 在 M 的引力场中运动角动量?h?可得?h?能量?h?m v?Gl?GMR?讨论：1.E=0 即?h?则轨迹为抛物线由 r=P?cos可得?tt?讨论：1.1P?R?则 m，M 会相碰，不存在,1.2?则 m，M 不会相碰?,?sin?sin?t?cos?h?2.E0，轨迹为双曲线。讨论同 1.?,?tt?h?t?其中a?R?v?GlG3.E0，轨迹为椭圆。讨论同 1.?,?tt?h?t?其中t?2.3.中，令 a，则得到 1.的结果。