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1、清北学堂第37届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题 14试卷解答一、解：设悬挂点间距为 D,绳子的总长为 L，盘心向下的高度为 Z；将两线延长交于 M 点，直线MO与竖直方位的夹角为，切点半径与MO的夹角为；圆盘半径为 r，角速度;左端线的长度l1，倾角1，角速度1，左端线同理有l2,2,2。则由几何关系有：?1+?2+2?=?,1?1?+?+?+?+?2?+?=?,1?1?+?+?=?2?=?,1还显然有：?1=?+?，?2=?,1经分析，圆盘作为一个刚体，其瞬心为 M 点，(3)故有：?t?=?1?1=?2?2,(1)?1=?1,?2=?2,(1)注意到系统为单自由度微震动现在拟使用能量法求解
2、。先求解动能，在任意位置圆盘均绕瞬心 M 转动，故：?=12?2=1212?2+?2?2,(2)在求解势能时，注意到上述由几何关系得到的 3 个等式中有 4 个几何参数：,l1,l2故只有一个独立，我们不妨采用为主变量，且注意到为小角度，并且考虑到势能需要精确到 Z 关于的二阶小量，故拟解出,l1,l2精确到的二阶采用待定系数法：设：?2=?+?+?2?1=?+?+?2?=?+?+?2,(共 2)共有九个未知数，理论上代入那 3 个式子，且每个式子中的 02 各阶项相等得到共九个方程，故可解，但对称性可先化简：当变为 时等价于系统镜面对称，故有：?2?=?1?,(1)即有?=?,?=?,?=?
3、,(2)且?=?+2?,(1)又由于?1?1=?2?2，?1=?1,?2=?2，?1=?+?，?2=?,(1)带入有：?+1?1=?1?2且由于在的零级近似下?1=?2，故有：?=0,(1)因此，重新设出待定系数：?2=?+?2,(1)?1=?+?+?2,(1)?=?+?2,(1)可见，上式只含有三个未知数?,?,?在代入之前，我们还需对一些涉及到的函数做展开：?+?=?+?12?2,(1)?+?=?12?2,(1)故有：?+?=?+?2+?=?+?+?12?2,(2)同理有：?=?+?12?2,(1)?+?=?+12?2,(1)?=?+?+12?2,(1)将以上各式带入后可以解得：?=?+?
4、2?,(2)?=?=?+?2?,(2)?=2?=?,(2)以上均代入?=?1?+?+?，得：?=?0?2?2,(2)即：?=?=?0+12?2,(2)故等效 K 为：?=?,(2)由于?=1212?2+?2?2，?t?=?1?1,(2)取到零级近似有：?=?,(2)代入Ek有：?=12?2?2?12+?2?2故等效 M 为：?=?2?2?12+?2?,(2)故周期为：?=2?=2?2?2?12+?2?=2?2+?2?2?,(3)评分标准：若按照其他方法得出的结论，合理则给分二.解：(1)对导体球壳而言，内部电场为 0，外部电场等价于点电荷产生的场：?=?4?0?2?,(1)内部和外部的磁场分别
5、假设如下：?=?,(1)?=t?32?+?,(2)注意到磁场的边界条件：?1?=?2?1?2?=?0?,(2)带入后即为：?=2t?3?+2t?3=?=?0?t,(2)解得：t=?0?2?12?,?=?0?6?=2t?3,(2)(2)由场能密度可以得到：?=12?=?28?2,(1)?1=?22?0?=2?2?33?0,(1)在外部的磁场能量需要积分：?2=12?0t2?6(4?2?+?2?)?2=t22?002?+?4?0?4?2?+?2?,(1)积分得到：?2=?2?33?0,(3)故有：?=?1+?2=?2?3?0=?0?2?236?,(1)总能量为：?=?+?=?28?2+?0?2?2
6、36?,2(3)由题目给的公式，得到角动量密度为：?=?0?,(2)积分有：?=?dV?=Qa402d?+?2?0?3?=?0?2?18?,(3)(4)由题给数据，联立能量与角动量：?=?28?2+?0?2?236?=?2?=?0?2?18?=2解得：?=3.13 1021?t?,(5)?=2.95 1011?,(5)可见，这样解得的电子半径太大了，且表面的线速度(1010)超过了光速。因此这个模型是相当不可靠的。(5)评分标准：注意本题末尾对计算结果的讨论不可忽略。三、解：(1)可以想象，由于两个物体都不是绝对黑体，因此每一次发出的能流要经历无穷多次反射与吸收，最终的净能量流动时无穷求和。先
7、单独考虑金属板 A 的热辐射情况。设 A 首次辐射的能流、第 i 次反射的能流、B板第 i 次反射的能流、B 板第 i 次吸收的能流为：?0=?1t?4,?=1?1?,?=1?2?1,?=?2?1,(5)因此，从 A 流向 B 的净能流为：?=?0+?1+?2+?1+?2+?3+?,(3)=?1+?2+?3+?=?2?0+?2?1+?2?2+?=?2?0+?2(1?1)(1?2)?0+?2(1?1)2(1?2)2?0+?=?2?0(1+(1?1)(1?2)+(1?1)2(1?2)2+?)=?1?2t?41?(1?1)(1?2),(5)同理得到：?=?1?2t?41?(1?1?1?2)?=?=?
8、1?2t?4?41?1?11?2,(2)(2)若在中间插入 C 板，同理可得能量通量为：?=?1?t(?4?4)1?(1?1?1?),?=?2t(?4?4)1?(1?1?2),(1)当 C 稳定时，其温度不变，所以JAC=JCB,即为：?1?t(?4?4)1?(1?1)(1?)=?2t(?4?4)1?(1?)(1?2),(1)由上式可以解得：?=?+?2?2?1?4+?+?1?1?2?4?1+?2+2?1?21?14,(4)可见 C 板的平衡温度与插入金属板的位置无关。(3)若 e=e1=e2，得到：?4?4=?4?4?4=?4+?42得到净通量为：?=?2t(?4?4)2(1?1?2)和原来
9、没有 C 时比较：?=?2t(?4?4)1?(1?)2?=12,(3)(4)平衡时各个板接收与发射的总能量相等，即为：?1=?1?2=?2?3=?=?,(3)?2t(?4?14)1?(1?)2=?2t(?14?24)1?(1?)2=?2t(?24?34)1?(1?)2=?=?2t(?4?4)1?(1?)2?1+?1?2+?2?3+?+?=(?+1)?1?2t(?4?4)1?(1?)2=(?+1)?1?1?=1?+1,(3)可见，当然是 J 更好。评分标准：本题较简单，各个小问的得分如上文所标注。四、四、解解：(1)如图为所示的等效电路，其中 C=0b2d，若圆柱形金属板上的电流密度为 j，沿着
10、圆柱表面的切向方向，圆柱中的磁场沿轴向值为0j 故磁通量为B=0ja2=i0a2b，故整个圆柱的电感为 L=0a2b。故上下半个圆柱面的电感为L2.假设电容带电量为q1,q2,则：?1?2?2?2?=0，(2)?1?=?=?2?，(1)由此可得 Ld2idt2+2ci=0，i(0)=0，Ldi(0)dt=Q0c，q1(0)=Q0q2(0)=0。可以解得：?=?0?,(2)?2=2?=2?2?t2?,(2)故积分可得：?2?=?0?21?=?021?,(2)?1(?)=?02(1+?)故转移的最小时间为：?=?2?=t?2?,(2)(2)感生电场可由 2rE=dBdt=0r2Q0bLCcost求
11、得：?=?0?02?,(2)?=?0?=?0?=?0?0?,(2)故得到：?=1?0?=?(?0?0)24(?)2(?2?)?=?(?2?0?02?t2?2)2?2?,(3)流入空腔中的能量的最大值为：?2?t?=(?2?0?0)22?2t2?3,(3)评分标准：第一小问计算式子的得分共 11 分，第二小问共 10 分。整体建立模型正确直接的得到 9 分。五、五、解：解：(1)类比苯分子，聚乙烯长链上也具有“自由的”电子。入射电磁波的电矢量的平行于长链的分量使得电子在链上振动，消耗了这部分能量。而垂直于长链方向的电矢量则不会对电子做功，故能不消耗掉。(2)因此，聚乙烯等价偏振片的透振方向与长链
12、垂直。(2)(2)在外电场下，偶极子的能量为：?=?=?,(1)当没有电场时，偶极子的方向在 4?立体角内均匀分布。当存在电场时，由玻尔兹曼分布，分子处在(?,?)处的概率?2?=?,?，其中?为面积元：?=?故得到：?2?=?,(2)由于概率的归一化：?2?=1,1即得到：?=0,?=0?=?,?=2?=1?1=4?(?)/2=4?sinh?,(2)故而得到：?,?=?4?1,(2)(3)由马吕斯定律：?=?0?2?,(1)我们先计算?2。此时的偏振方向与聚乙烯分子透振方向分布的对称轴重合?2=1?2?2?2?2?+?2?2?2?=0,?=0?=?,?=2?2?,?,(2)此处近似的将聚乙烯
13、分子拍扁在一个平面内。这样的近似严格来说是不令人满意的，在接下来的计算中能够看到这样近似结果的矛盾之处。(2)?2=4?1?=0,?=0?=?,?=2?2?对积分号内的内容进行化简：?2=4?1 2?3?=0?=?2?,(2)由积分公式：?2?=?2 2?2?+?故而得到：?=0?=?2?=?2?=?2 2?+2?=4+2?2?+4?(?)?2=?t?2 2(?t?)?t?2?2=1 2(?t?)?t?2,(2)对于?1同理?1?2?2?=?(1?2?)?2?=?1?2?1=2(?t?)?t?2,(2)我们考察强电场的情形：?1,?t?1,?1 0,?2 1,(3)由于电场很强的时候几乎所有分
14、子都与电场平行，此时的所有透振方向几乎都与?2同向、与?1正交，故而?1 0,?2 1 是符合定性分析的。(3)当电场很弱或者温度很高的时候：?1,?t?33,?123,?213,(3)然而当没有外场的时候分子的方向应该均匀分布，因此定性来说应该?1=?2.与定量计算的结果矛盾。(3)因此可见，我们取的近似在弱场时符合得很差。(1)(4)对于连续经过偏振片，我们近似的忽略每次出射方向的分布对下一次入射的影响，用平均出射方向代替。由于平均方向与分子链的分布的对称轴一致，因此我们认为入射方向始终不改变。本小问很简单，本来可以一部得到答案，但我们还是采用积分的语言。在 dx 内的分子数为：?t=?经
15、过?t 次投射之后的光强为?=?2?t也即：?1+?=?2?t由于?1+?，故而：?=?2?t?=?2?=?0?2?得到最终的透射率为：?=?2?,(2)(5)由能量关系：?=?0?1?=?=?0?1?=?0?1 1 2?t?t?2?,(2)评分标准：本题的近似不算严谨，但仍然能够通过近似得到有意义的结论。合理近似，这也是以后研究物理问题时的重要思想和研究方法。因此，本题把许多分值设置在了让考生定性分析、解释模型、分析近似模型的合理与不合理之处，希望借此让同学们得到在做题和考试之外的物理能力的锻炼。六、六、解：由几何关系，抛物线方程为?2=4t?+t,(1)电势为位置的函数，即：?=?,?但也
16、唯一由抛物线的几何参数 a 单值决定，即：?=?t而满足：?2?=0,即?2?2+?2?2=0由微积分的法则有：?=?t?t?,(1)?2?2=?t?t?=?2?t2?t?2+?t?2t?2,(3)故代入后2=0 即为：?2?t2?t?2+?t?2+?t?2t?2+?2t?2=0,(1)由于 a=a x,y 可由y2=4a x+a 求得，再由隐函数的求导法则可得：?t?=?t?+2t,?t?=0.5?+2t,(3)?2t?2=2t?+t?+2t3,?2t?2=?22?+2t3,(5)代入后化简有：2t?2?t2+?t=0,(2)上述微分方程的通解为：?t=?t+?,(2)由 a=0,=V0以及
17、 a=a1,=V1这两组数据可得 A 和 B：?=?1?0t1,?=?0,(2)下面求面电荷分布：?=?=?t?t?代入相关式子后得：Ey=A2 x,(2)由高斯定理得：t?=2?0?=?0?1t1?0,(3)评分标准：本小题的计算共值 25 分，思路正确直接得 5 分。七七.解：解：(1)由几何关系可得：?,?=?2?(?)2?(?)22?=(?)22?,(2)(2)每个小球的受力为圆筒施加的作用力、阻尼力、弹簧的恢复力，分别为 f(x,t)，by?(x,t)ky(x,t)由牛顿第二定律得到：?(?,?)=?(?,?)?(?,?)?(?,?)?,?=?,?+?,?+?,?,(2)将几何关系对
18、时间进行两次偏微分可分别得到：?(?,?)?2(?)(?)2?(?)?,?2?,(2)将上述式子带入到运动方程中有：?,?=?2?+?(?)22?,(2)在坐标x1处，由于 y=0，得到：(?1?)22?=0?1=?+2?,(2)在坐标x2处，由于 f=0，得到：?2?(?2?)?+?(?2?)22?=0由以上各式解得：?2?=?2?+(?2?2?2?)2?2=?+?2?+?2?2?2?2,(2)(3)考虑在一个极短的时间 dt 内，由原先静止移动到x1的质点，其质量为vdt，动量变化为(vdt)y?(x1,t)故所受的力为：?=?=(?(?)?1,?)?即：?=?2?1?,(5)(4)圆桶所
19、受来自接触面的作用力可分为两项：已经在圆筒下方的接触面对圆筒的施力，紧邻圆筒前侧面的平面质点的反作用力。由上两问的结果可知这两个力的合力为x2x1(?f(x,t)dx+v2(x1xcR),此合力必须与圆筒的重力相平衡：?=?2?1(?(?,?)?+?2(?1?),(2)由之前的式子可得到：?1?=2?x2 xc=bvk2hR+(b2k22k)v22Rh(按题目设定近似至 v 的零阶项)由上面的式子并令 z=x xc可得：?2?1?(?,?)=?2?2?(?2?+?2?2?)?3?(2?)3+2?2?+?(=)43?2?+?)3(,进而代入平衡的表达式可以得到Mg=43kh 2Rh+O(v)(按
20、题目设定近似至 v 的零阶项)?43?2?12?(3?2?)23,(3)(5)首先考虑在 dt 时间内，从平面上原先静止移动到x1的质点，这一部分的能量的增加率为dE1dt=12(v)y?(x1,t)，圆筒对其下方平面的做功功率为dE2dt=x2x1y?(x,t)f(x,t)dx，因此圆筒的能量损失率为：?=?1?+?2?=?12?2?1,?2?1?,?,?,(3)令 z=x xc利用之前所求，上式可以近似为?=?2?2?2?+?2?2?+?(3)?=?2?2?(?2?2+?2?3?)?+?(3)?=?2?23?2(2?)3+?3,(3)对上式做近似有：?=?2?+?(3)此能量损失率可视为一
21、个等效的摩擦力力矩=rMgP，其功率为?=vR=rMgvR，故：?2?)3(,(6)圆筒总动能为 E=12Mv2+12Icm2=12Mv2+12MR22=Mv2，故dEdt=Mdv2dt。代换掉dEdt得到：?2?=?2?22=?,(2)022?22?=?0?2(?)=02?(?)?2?=02?,(2)评分标准：各个小题计算式子的得分已经标注。化出等价的式子也给分。思路正确直接得到 5 分。八、八、解：解：假设底层的木块 1 的向左加速度为 a，它上面紧接着的那个木块 2 沿着木块 1 斜面向下的相对加速度为 u，木块 1 的底面的正压力为 N，木块 2 与木块 3 之间的正压力为 n。由简单
22、的受力分析由以下等式：将 1 和 2 看作一个系统，则其不受水平力，故水平动量为 0：2?t=?)3(,?对 1、2 系统列出竖直方向的质点系牛顿定律：?+2?t=?)3(,?对 2 号木块在相对于 1 号木块的沿斜面向下的方向上列牛顿定律：?+?+?t?=?)3(,对于从 3 号木块及其以上的系统，我们看成一个整体。并且我们在这样的一个参考系 S 中观察，这样的参考系是木块 2 的竖直加速度的参考系，即在这个参考系下，木块 2 在竖直方向上不动。在 S 系下研究 3 号及以上，都受到惯性力?，?方向向上。我们可以把这个惯性力归结到重力加速度的变化：?=?。?在引入这个变化后，3 号及以上的体系与桌面系下所有木块的运动自相似。故所有的对应的力正比于重力加速度，即：?t=?=?,(11)故我们得到了关于 t、?、t 的 4 个方程：2?t=?+?+?t?=?+2?t=?t=?a=?sin2?+2?1?2?1?2?,(5)N=?sin2?+2?1?2+2cos2?sin2?,(5)评分标准：本题是在力学中引入自相似来求解无穷问题。若采用求递推式求解的方法也给分