《（尖子生培优）奇偶性问题-2024四年级数学思维拓展含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（尖子生培优）奇偶性问题-2024四年级数学思维拓展含答案.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、奇偶性问题奇偶性问题一、奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类。能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。通常偶数可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。二、奇数与偶数的运算性质 性质 1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数 性质 2：偶数奇数=奇数 性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数。性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数。性质 5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数 性质 6：结果的奇偶性只与式子中奇数的个数有关 三、两个实用的推论 推论 1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性
2、，奇数改变运算结果的奇偶性。推论 2：对于任意 2 个整数 a、b 有 ab 与 ab 同奇或同偶。1一本书由 17 个故事组成，各个故事的篇幅分别是 1，2，3，17 页这 17 个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第 1 页开始，以后每一个故事都从新一页码开始如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？2甲袋中放着 1997 个白球和 1000 个黑球，乙袋中放着 2000 个黑球小强每次从甲袋中随意摸出两个球放在外面如果摸出的两个球颜色相同，小强就从乙袋里取出一个黑球放到甲袋；如果摸出的两个球颜色不同，小强就将白球放回甲袋小强就这样从甲袋中
3、摸了 2995 次后甲袋中还剩几个球？它们各是什么颜色？3在 8 个房间中，有 7 个房间开着灯，1 个房间关着灯。如果每次拨动 4 个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？4在 10 个容器中分别装了 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 毫升的水，每次操作中由水多的甲容器向盛水少的乙容器注水，注水量恰好等于乙容器原有的水量问：能否在若干次操作后，使 5 个容器都装有 3毫升的水，其余容器分别装有 6，7，8，9，10 毫升的水？如果能，请说明操作顺序；如果不能，请说明理由5一个图书馆分东西两个阅览室。东阅览室里每张桌子上有 2 盏灯。西阅览室里每张桌子上有 3 盏灯。现在
4、知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数。问：哪个阅览室的桌子数是奇数？6某市举办小学生数学竞赛试卷上共有 30 道试题，评分标准是：基础分 15 分，答对一题加 5 分，未有的放矢能力巩固提升（尖子生培优）奇偶性问题-2024四年级数学思维拓展含答案 答一题加 1 分，等错一题倒扣 1 分，如果有 2001 个学生参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？7在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到 88，66，99问：原来写的三个整数能否是 1，3，5？8四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、
5、12、13已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？9四个人一道去郊游，他们年龄的和是 97 岁，最小的一人只有 10 岁，他与年龄最大的人的岁数和比另外两人岁数的和大 7 岁。问：年龄最大的人是多少岁？另外两人的岁数的奇偶性相同吗？10现有 1，1，2，2，3，3，10，10 共 20 个数请问能否将这些数排成一行并且满足：两个 1 之间有一个数，两个 2 之间有两个数，两个 3 之间有三个数，两个 10 之间有十个数？试证明你的结论 11某文化宫共有 1997 个座位，上、下午各有一场演出，甲乙两校各有 1997 名同学去看演出（或是上午场，或是下午场），请说
6、明文化宫里一定有这样的座位，上、下午在这座位上坐的是两个不同学校的学生 12学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是 100”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？13元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？14你能不能将整数从 0 到 8 分别填入 33 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数？15有 m（m2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m1）只杯子
7、经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？16试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999。如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由。17 你能不能将自然数 1 到 9 分别填入 33 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数。18（吴中区）50 枚棋子围成圆圈，编上号码 1、2、3、4、50，每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的枚棋子的号码是 42 号，那么该从几号棋子开始取呢？19圆桌旁坐着 2k 个人，其中有 k 个物理学家和 k 个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话。今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多。又当问及
8、：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家。”那么请你证明：k 为偶数。20有 10 张，卡片分别标有从 2 开始的 10 个连续偶数。如果将它们分成 5 组，每组两张，计算同组中两个偶数和分别得到34，22，16，30，8，那么每组中的两张卡片上标的数各是多少？21有一个 77 的棋盘，每一个小方格中有一只小甲虫，假定在同一时刻，所有的小甲虫都爬到相邻的格子中（横向或纵向的格，不能斜爬），问此时能否出现空格？22有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于 4，最小数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数。求这四个数。23在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的
9、行数和列数加起来，填在这个方格中，例如538a=+=。问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多？24将某个 17 位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数 25 一条线段上分布着 n 个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为 n1 段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白。那么白点的数目是奇数还是偶数？26数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，的排列规律是前两个数是1，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前2009个数中共有几个偶数？27丁丁也不
10、甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前 2016 个数中共有多少个偶数？28北京市出租车的起步价是 33 公里以内 10 元，33 公里后按每公里 2 元计费，当里程超过 15 公里后，超出部分按每公里 3 元计费。小悦、冬冬两人都从游乐园分别坐出租车回家，小悦比冬冬多花了 23 元，请问：小悦家距离游乐园最远是多少公里？（不足 1 公里按 1 公里计，假定两人回家一路上没有红绿灯，也没有堵车）297 只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的 2 只杯子能否经过若干次翻转，使得 7
11、 只杯子全部杯口朝下？30桌子上有 6 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的 5 只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？31对于任意一个自然数 n，当 n 为奇数时，加上 121；当 n 为偶数时，除以 2，这算一次操作现在对 231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现 100？为什么？32小华在一个文具店里买了 5 支铅笔，4 块橡皮，8 个练习本，付给售货员 2 元钱，售货员叔叔找给他 5角 5 分。小华看了看铅笔的价格是每支 8 分，就说：“叔叔，您把帐算错啦！”请问：小华怎么知道这笔帐算错了？综合拔高拓展 33甲、乙两人做游戏，先指定五个自然数甲把这五个数以任
12、意顺序填在图 5 第一行，然后乙把这五个数填在第二行，最后将所有同一列的两个数的差（以大减小）相乘约定如果积为偶数，算甲胜；如果积为奇数，算乙胜问乙是否有后发制人的必胜策略？34桌子上有 6 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的 4 只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？35从公元 1 年开始到 2 年，3 年，一直到 2009 年，在这些年份当中，请问有多少奇数年？有多少个偶数年？36一个自然数自乘的结果是一个完全平方数例如 1，4，9，36 都是完全平方数找出下列自然数 11，111，1111，11111，111111中的完全平方数 37在黑板上写上数 1，2，3，4，
13、98,每次擦去任意两个数，换上这两个数的和或差，重复这样的操作连续若干次，直到黑板上仅留下一个数为止，这个数能是 1000 吗？38有一个魔术钱币机，当塞入 1 枚 1 分硬币时，退出 1 枚 1 角和 1 枚 5 分的硬币；当塞入 1 枚 5 分硬币时，退出 4 枚 1 角硬币；当塞入 1 枚 1 角硬币时，退出 3 枚 1 分硬币小红由 1 枚 1 分硬币和 1 枚 5 分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中 1 分的硬币刚好比 1 角的硬币少 10 枚？39有大、小两个盒子，其中大盒内装 1001 枚白棋和 1000 枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋康康每次从
14、大盒内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内问：从大盒内摸了 1999 次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？40八十个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，问最右边的一个数是奇数还是偶数？41在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好。主人很高兴，笑着说：“无论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个。”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？42在黑板上写（2，2，2）三个数
15、，把其中的一个 2 抹掉后，改写成其余两数的和减 1，得（2，2，3），再把两个 2 中的一个 2 抹掉后，写成其余两数的和减 1，得（2，4，3），再把 2 抹掉后写其余两数的和减1，得（6，4，3），继续这一过程，是否能得到（859，263，597）？43不超过 201 的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有多少个？44有 3 堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆。开始时，第一堆有 1989 块石子，第二堆有 989 块石子，第三堆有 89 块石子。问，能否做到：某 2 堆石子全部取光？3 堆中的所有石子都
16、被取走？45在 99 棋盘的每格中都有一只甲虫，根据信号它们同时沿着对角线各自爬到与原来所在格恰有一个公共顶点的邻格中，这样某些格中有若干只甲虫，而另一些格则空着。问空格数最少是多少？46能否将116这 16 个自然数填入4 4的方格表中（每个小方格只填一个数），使得各行之和及各列之和恰好是 8 个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由。47线段 AB 的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色在线段中间插入 n 个分点，每个分点随意标上红色或蓝色，这样分得 n+1 个不重叠的小线段如果把两端点颜色不同的线段叫标准线段，试证标准线段的个数是奇数 48某城市举行小学生数学竞赛
17、，试卷共有 20 道题评分标准是：答对一道给 3 分，没答的题每题给 1分，答错一道扣 1 分问：所有参赛学生的得分总和是奇数还是偶数？为什么？49有一批文章共 15 篇，各篇文章的页数是 1 页、2 页、3 页、14 页和 15 页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？50a、b、c 三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？51在黑板上写 12007 这 2007 个自然数，每次任意擦去两个数，然后写上它们的和或差，一直这样重复操作，经过若干次后黑板上只剩下一个数，请问结果是奇数还是偶数？为什么？5
18、2有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中取出 3 个球，如果发现三个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口袋，如果三个球的颜色各不相同，就往口袋中放一个黄球，已知原来有红球 42 个、黄球 23 个、蓝球 43，那么取到不能再取的时候，口袋里还有蓝球，那么蓝球有多少个？53一只电动老鼠从下图的 A 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。当这只电动老鼠又回到 A 点时，甲说它共转了 81 次弯，乙说它共转了 82 次弯。如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？15 个【详解】先排 9 个奇数页的故事，其中有 5 个从奇数页开始，再排 8 个偶数页
19、的故事，都是从偶数页码开始 2还剩两个球，一白一黑 参考答案 【分析】为了求出剩几个球，各是什么颜色，关键是弄清每摸一次，甲袋中球的数目变化情况（见表 2）表 2 所摸两球的颜色 甲袋球数的变化 白球数 黑球数 总球数 2 白 减少 2 增加 1 减少 1 2 黑 不变 减少 1 减少 1 1 白 1 黑 不变 减少 1 减少 1 可见，每摸一次，不管摸出的两球颜色如何，甲袋中球由总数必减少 1，这就可求出摸若干次后剩多少球；甲袋中原有球数是奇数，每次取出的白球数是偶数（2 或 0），由“奇数-偶数=奇数”知，最后剩的白球数是奇数【详解】根据题意，不管小强每次换出的两球同色还是异色，每摸一次甲
20、袋的总球数都减少 1 个，所以摸了 2995 次后甲袋还剩球 1997+1000-29952（个）每摸一次，甲袋的白球数或者不变，或者减少 2，因为原有白球数 1997 是奇数，所以每次换后甲袋所剩白球数总是奇数，不超过 2 的奇数只能是 1，可见最后所剩的两个球是一白一黑 答：甲袋中还剩两个球，且一白一黑 3不能【分析】据题意可知：共八个房间，有七个房间开着灯，为单数，一个房间关着灯为单数，每次同时拨动四个房间的开关，偶数偶数偶数，无论怎么循环关多少次都不会变为奇数，即不能把全部房间的灯关上。【详解】因为共八个房间，有七个房间开着灯，为单数，一个房间关着灯也为单数。每次同时拨动四个房间的开关
21、，根据数的奇偶性可知：偶数偶数偶数；所以，无论怎么循环关多少次都不会变为奇数，即不能把全部房间的灯关上。答：不能，因为偶数偶数偶数，无论怎么循环关多少次都不会变为奇数，即不能把全部房间的灯关上。【点睛】本题中被 8 整除的数都不可以（除了 1），同时拨动 2 或 4 个开关都不能把全部的关上。4不能答案见详解【详解】解解：用奇偶表示把从装奇数毫升水的容器向装偶数毫升水的容器倒水奇奇，偶奇，偶偶的含义完全类似因为一个自然数不是奇数就是偶数，所以每次操作，只有四种可能的情况：奇偶 奇奇 偶奇，偶偶 对来说，因为奇数-偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，所以奇偶这种操作不会改变这两个容器装水毫升数的奇偶性
22、 对来说，因为偶数-奇数=奇数，奇数+奇数=偶数，所以偶奇这种操作把这两个容器装水毫升数的奇偶性做了对换，但它不改变 10 个容器中装奇数毫升水的容器的个数 对来说，因为偶数-偶数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以偶偶这种操作不会改变这两个容器装水毫升数的奇偶性 对来说，因为奇数-奇数=偶数，奇数+奇数=偶数，所以奇奇这种操作把两个装奇数毫升水的容器变为两个装偶数毫升水的容器 总结以上可知，进行一次操作后，10 个容器中装奇数毫升水的容器的个数，或者没有变化，或者减少两个，从而进行若干次操作后，装奇数毫升水的容器个数小于或等于原来装奇数毫升水的容器个数原来装奇数毫升水的容器有 5 个，不管经过多少
23、 次操作，都不会使装奇数毫升水的容器变为 7 个 5西阅览室【分析】根据奇偶运算定律，奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数，据此解答即可。【详解】根据两个阅览室里总的桌子数和灯数都是奇数，想一想可以确定哪个阅览室桌子数、灯数的奇偶性呢？由于东阅览室里每张桌子上有2盏灯，因此东阅览室的灯的总数一定是偶数。由于两个阅览室里灯的总数是奇数，因此西阅览室的灯的总数一定是奇数。又因为西阅览室里每张桌子上有3盏灯，可知西阅览室的桌子数是奇数。由于两个阅览室里的总的桌子数是奇数，因此东阅览室的桌子数是偶数。所以，只有西阅览室的桌子数是奇数。【点睛】本题考查奇偶运算定律，明确奇偶运算定律是解题的关键。6奇
24、数【分析】本题关键在于说明每位参赛同学所得分数是奇数还是偶数【详解】如果 30 道题都答对了，则可得到的分数为 15+530=165，是个奇数如果答错一题，就要从 165分中减去 5+1=6 分，不论答错几个题，都将从 165 分中减去 6 的倍数，得分仍是个奇数如果有一题未答，就要从 165 分中减去 5 一 1=4 分，因而不论几个题未答，都将从 165 中减去 4 的倍数，得分也是奇数综上所述，对每个参赛同学无论答得如何，他们的成绩都是 165 减去一个偶数，其得分总是奇数 因为有 2001 个人（奇数个）参赛，奇数个奇数相加，和仍为奇数，所以参赛同学的总得分是奇数 7不能【详解】如果原
25、来写的是 1，3，5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数 812 千克【分析】由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是 4 瓶油（连瓶）重量之和的 3 倍，即 4 瓶油（加瓶）共重（8+9+10+11+12+13）3=21（千克），而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有 2，故有（1）油重之和为 19 千克，瓶重之和为 2 千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为 132=12（千克）（2）油重之和为 2 千克，瓶重之和为 19 千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为 132=（千克），这与油重之和为 2 千克矛盾，不合要求，删去【详解】每个瓶称
26、三次，故四个瓶子总重量为（8+9+10+11+12+13）3=21（千克）21 是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶（1）而 2 是偶质数，故空瓶重量和为 2，油重量和为 19每个空瓶 0.5，故最重两瓶（即重 13 的两瓶）有 130.52=12（千克）（2）油重之和为 2 千克，瓶重之和为 19 千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为 132=（千克），这与油重之和为 2 千克矛盾，不合要求，删去 答：最重的两瓶内有 12 千克油 9（1）42（2）不同【详解】先将四个人的岁数暂时分为两组进行分析，如果将 97 岁减去 7 岁，则两组人的岁数和相等（可以按照和差问题求出大小数），
27、然后再求出年龄最大的人的岁数，再说明另外两人的岁数的奇偶性。另外两人的岁数和是：977245=（）（岁）年龄最大的人的岁数：4571042+=（岁）因为另外两人的年龄和是 45 岁，是一个奇数，那么他们中一个的岁数是奇数，另一个人的岁数是偶数，也就是他们的岁数的奇偶性不同。10不能，证明见详解【分析】对本题，解题的思路比较多，我们采用“染色”法来解答，应用奇偶性来找出矛盾【详解】将这 20 个数所应占有 20 个位置进行黑白相间染色如图所示，白色位置和黑色位置各占 10个 根据题意，两个奇数之间要有奇数个数，两个偶数之间要有偶数个数，则两个奇数所占的位置应该是颜色相同的两个位置，而每个偶数要占
28、 5 个黑色位置和 5 个白色位置剩下的 10 个奇数，要么占 10 个黑色位置，要么占 10 个白色位置于是如果满足题设的要求，则需要 15 个白色位置和 5 个黑色位置或者需要 5个白色位置和 15 个黑色位置，这与黑白位置各占 10 个相矛盾所以没有满足题设的排法 11假设每个座位在上、下午都是由同一学校的学生坐 设某校有 K 个学生听上午场，则下午也只能有 K 个该校学生去听这样该校听报告的学生数应为 2K 个，为偶数，与 1997 矛盾 因此假设错误，也就是，文化宫中一定有某个（或一些）座位上下午坐的是不同学校的学生【详解】略 12偶数【详解】号码总和等于 100 加上小明号码的 2
29、 倍 13偶数【分析】根据偶数偶数偶数，偶数偶数偶数解答即可。【详解】送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。因为是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次。那么贺年卡的总张数应能被 2 整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数所有人送出的贺年卡总数所有送出了偶数张贺年卡的人，送出的贺年卡总数偶数偶数偶数。他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。【点睛】本题考查奇数和偶数的运算性质，解答本题的关键是掌握奇数和偶数的特征。14不能【分析】根据 0 到 8
30、有 5 个偶数，4 个奇数，根据奇数和偶数的运算性质进行解答即可。【详解】不能，因为 0 到 8 有 5 个偶数，4 个奇数，分到 3 行中，偶数个奇数相加的和为偶数，偶数加偶数的和为偶数，不能保证每一行的三个数之和都为奇数。【点睛】本题考查奇数与偶数，解答本题的关键是掌握奇数与偶数的运算性质。15m 为奇数时不能，m 为偶数时，翻转 m 次能使全部朝上【分析】当 m 是奇数时，（ml）是偶数如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变一开始 m 只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m1）即偶数只杯子无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数
31、永远是奇数，不可能全部朝上 当 m 是偶数时，（m1）是奇数为了直观，我们先从 m=4 的情形入手观察，在表 1 中用表示杯口朝上，表示杯口朝下，每次翻转 3 只杯子，保持不动的杯子用*号标记翻转情况如表 1 表 1 初始状态 第一次翻转*第二次翻转 *第三次翻转 *第四次翻转 *由表 1 看出，只要翻转 4 次，并且依次保持第 1、2、3、4 只杯子不动，就可达到要求一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次对于 m 只杯子，当 m 是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态要做到这一点，只需要翻转 m 次，并且依次保持第 1，2，m
32、只杯子不动，这样在 m 次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次 【详解】m 只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只当 m 是奇数时，无论翻转多少次，m 只杯子都不可能全部改变初始状态；当 m 是偶数时，翻转 m 次，可以使 m 只杯子全部改变初始状态 答：经过若干次翻转，能使杯口全部朝上 16不能找出【分析】因为两个数的和ab+与两个数的差ab的奇偶性相同，所以abab+（）（）的和是偶数。由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加 1000 还是偶数，所以它们的和不能等于奇数 1999。【详解】由分析可知：这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加 1000 还是偶
33、数，所以它们的和不能等于奇数 1999。【点睛】本题考查奇偶数运算，明确偶数偶数偶数是解题的关键。17不能【分析】根据 1 到 9 中共有 5 个奇数，偶数个奇数相加的和为偶数，据此解答即可。【详解】不能，1 到 9 中共有 5 个奇数，分别分成 3 组后会分布在每一行里面，也就是说要想实现每一行都是偶数，就需要每一行都有偶数个奇数，从而需要三行奇数的和是偶数，但是现在仅有 5 个奇数，所以无法填入。【点睛】本题考查奇数与偶数，解答本题的关键是掌握奇数与偶数的特征。18应该从第 7 个棋子开始取【详解】试题分析：此题剩下的号码是偶数，所以，要从奇数开始拿起，假设先从 1 开始拿起，可以进行讨论
34、找出规律解决问题 解答：解：假设第一枚拿走 1 则：第一圈剩下：2，4，6，8，50，第二圈剩下：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，第三圈剩下：4，12，20，28，36，44，第四圈剩下：4，20，36，第五圈剩下：4，36，最后剩下：36，要想剩下 42 顺推一下即可：1+4236=7 第一个拿走 7 即可 答：应该从第 7 个棋子开始取 点评：此题考查了简单的排列组合的解决问题的方法 19见详解【分析】由题目条件可发现不仅物理学家与化学家总人数相同，其中说真话与说假话的人数也分别相同，如果有 a 个物理学家说谎，同时也会有 a 个化学家说谎。所以总共有
35、2a 个人说谎。而最后发现有 k 个物理学家的身份被说谎的人改变了，每一个人只能影响右邻的人，说明有 k 个说谎的人，那么 k2a，则说明 k是偶数。【详解】设说谎的物理学家有 a 个，根据题意可得：有 a 个物理学家说谎，同时也会有 a 个化学家说谎，说谎的总人数等于物理学家的人数；即：k2a 所以 k 为偶数。【点睛】由于大家都说自己的右邻是化学家，所以每个物理学家的左邻都说了假话，而每个说假话的人的右邻都是物理学家，因此，说假话的人数等于物理学家的人数，即为 k 个，而物理学家和化学家中说假话的人数一样多，所以共有偶数个说假话的人，即 k 为偶数。2016 和 18；8 和 14；4 和
36、 12；10 和 20；2 和 6【分析】从 2 开始的 10 个连续偶数分别是 2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，考虑 34、22、16、30、8 的不同的分拆方法，找出唯一的分拆方式。【详解】10 个连续偶数是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。826 16412 22148 302010 341618 所以每组中的两张卡片上标的数各是 16 和 18；8 和 14；4 和 12；10 和 20；2 和 6。【点睛】在考虑数的分拆时，可以从有唯一拆法的入手，比如 8 只能拆成 2 加 6。21会出现空格【分析】初看题，似乎无从下手，但是我们可以利用“染色
37、”的手段，使问题得到简化我们用的手段同前面所讲的奇偶性很类似【详解】将 77 棋盘用黑白两种颜色相间染色，如图所示，此时，共有黑格 25 个，白格 24 个因此，当每个小格中的甲虫同时爬向邻格时，即黑格中的甲虫爬到白格中，白格中的甲虫爬到黑格中，由于黑格比白格多一格，则原来白格中的甲虫爬到黑格后必定至少有一个黑格是空的所以此时肯定会出现空格 221，2，3，5【分析】首先明确奇数与偶数的定义，根据题目条件逐步推算：因为最小的并且是奇数的两位数是 11，则这四个数的和是 11，从而得知这四个数均不得大于 5，又由最大数与最小数的差等于 4，最小数与最大数的积是一个奇数可以得知最大数为 5，最小数
38、为 1；进而得知另外两数为 2 和 3。【详解】由分析可知：由这四个数的和是最小的两位奇数，最小的两位奇数为 11。其次，由最小数与最大数的乘积是一个奇数，可知最小数与最大数都是奇数。由1 2 3 4 10 11 ，2 3 4 5 14 11 ，可以推导出这四个互不相等的自然数分别是：1，2，3，5。【点睛】此题考查的目的是奇数与偶数的定义及整数乘法的应用。23偶数【分析】根据自然数和的奇偶性可知：奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，奇数偶数奇数，那么，第一行填的数中偶数比奇数多 1 个，第二行填的数中偶数比奇数少 1 个，第三得填的数中偶数比奇数多 1 个，第四行填的数中偶数比奇数少 1 个，可见，
39、前 8 行中奇数和偶数的个数一样多，而第九行中偶数多所以，81 个数字中偶数多。【详解】因为：奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，奇数偶数奇数，所以，第一行填的数中由偶数开始，偶数结束，偶数比奇数多 1 个，第二行填的数中由奇数开始，数数结束，偶数比奇数少 1 个，同样，第三得填的数中偶数比奇数多 1 个，第四行填的数中偶数比奇数少 1 个，即前 8 行中奇数和偶数的个数一样多，而第九行中偶数多一个所以，81 个数字中偶数多 答：81 个数中偶数多。【点睛】三题要在了解自然数和的奇偶性基础上完成，也可加一加找下规律。24证明：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数如加法算式所示：末一列数字的和
40、d+a 为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和 b+c9将已知数的前两位数字a，b 与末两位数字 c，d 去掉，所得的 13 位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾 由此得出，和的数字中必有偶数【详解】略 25偶数【分析】已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以呈两黑两白依次相邻，据此解答即可。【详解】偶数，因为中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以所有的点一定是两个黑点、两个白点依次相邻（除了首尾可能出现一个黑点），所以白点都是成对出现的。所以白点
41、的个数为偶数。【点睛】本题考查奇数与偶数，解答本题的关键是理解排列的规律。26669 个【分析】三个一组三个一组看，可以发现奇数，偶数交替变化的规律。可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇 奇偶这样的变化规律，因为200936692=，所以前2009个数有669个偶数。【详解】200936692=，余数是 2，那么这个数列的第 2008 个数和第 2009 个数是奇数，则偶数有669 个。【点睛】找到题干中的数列规律是解题的关键。27672 个【分析】由奇数奇数偶数，偶数十奇数奇数，从而可以发现斐波那契数列中数列是以“奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数”3 个一周期排列的，所以 20163672（个）
42、周期，每个周期里有 1 个偶数，6721672（个），即有 672 个偶数。【详解】20163672（个）6721672（个）答：前 2016 个数中共有 672 个偶数。【点睛】找到题干中的数列规律是解题的关键。2822 公里【分析】33 公里以内 10 元，而 33 公里后按每公里 2 元计费，所以在 15 公里之内车费都是偶数，小悦比冬冬多花 23 元，23 不是 2 的倍数，也不是 3 的倍数，说明小悦里程超过 15 公里，冬冬不超过 15 公里，然后把 23 进行分解，得到一部分 2 的倍数和一部分 3 的倍数组成，从而解决问题。【详解】解：在 315 公里内花的车费都是偶数，小悦比
43、冬冬多花 23 元，23 不是 2 的倍数，也不是 3 的倍数，说明小悦里程超过 15 公里，冬冬不超过 15 公里，23 是由一部分 2 的倍数和一部分 3 的倍数组成，232103 232733 232435 232137 当小悦里程超过 15 公里越多，里程越远，因此小悦里程最远是 15722（公里）答：小悦家距离游乐园最远是 22 公里。【点睛】本题需要根据每公里车费的情况，得出小悦里程超过 15 公里，冬冬不超过 15 公里，再把 23 进行拆分即可求解。29不能【详解】盲目的试验，可能总也找不到要领如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在一开始杯口朝上的
44、杯子有 7 只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为 5 只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数 0也就是说，不可能使 7 只杯子全部杯口朝下 30可能【分析】只有奇数次翻转奇数次 偶数次翻转偶数次才可以实现同时翻转。【详解】杯子要翻过来得翻奇数次，6 个杯子都要翻过来，则总共需要翻动偶数次杯子；按规定每次同时翻动 5 只杯子，因为 5 是奇数，由奇数偶数=偶数可知，要想翻动总次数也是偶数，需要将 5 只杯子翻动偶数次。因此有可能经过有限次翻动，使得
45、全部杯子的开口全都向下。【点睛】此题考查奇偶性的应用。31见详解【分析】这两个操作都无法改变得数仍然是 11 倍数的这一性质，即在运算过程中出现的数一定都是 11 的倍数，即可得出结论。【详解】答：231 是 11 的倍数，操作只有两个，一个是加 121，而 121 也是 11 的倍数，另一个操作是除以 2（一个是 11 倍数的偶数的一半，仍然是 11 的倍数），这两个操作都无法改变得数仍然是 11 倍数的这一性质，即在运算过程中出现的数一定都是 11 的倍数，因为 100 不是 11 的倍数，所以在题目中定义的运算里是不可能出现 100 的。【点睛】本题考查奇偶性问题，考查学生分析解决问题的
46、能力，解题的关键是这两个操作都无法改变得数仍然得 11 倍数的这一性质。32见详解 【解析】付了 2 元，找回 5 角 5 分，售货员收了 145 分，每支 8 分，5 支铅笔是 40 分，那么 4 块橡皮，8个练习本是 105 分，但是 4 块橡皮，8 个练习本的价钱一定是偶数，105 是奇数，不可能的。【详解】2 元200 分，5 角 5 分55 分；20055145=（分）5 840=（分）14540105=（分）不论橡皮和练习本的单价是多少，其总价一定是偶数，不可能等于 105，据此可判断帐算错啦。【点睛】本题用到了奇数和偶数的运算规律进行推导，偶数乘奇数或偶数得到的都是偶数，奇数乘奇
47、数得到奇数。33没有【详解】积是否为偶数，由五个“差”中有没有偶数来决定差的奇偶性取决于相减的两数的奇偶性是否相同，若相减的两数奇偶性相同，则差为偶数；若相减的两数奇偶性不同，则差为奇数 如果五个数全为奇数或全为偶数，显然“差”都为偶数如果五个数中既有奇数又有偶数，那么奇数的个数与偶数的个数不会相等，当奇数少时，第一行的奇数即使全部对应第=行的偶数，也用不完第=行的偶数，第=行剩下的偶数只能与第一行的偶数相对，从而这一列的“差”必为偶数；当奇数多时，情形类似，必出现某一列两个数全为奇数，从而这一列的“差”也必为偶数总之，不管乙怎样填，五个“差”中总有偶数，因而乘积必为偶数，乙没有后发制人的必胜
48、策略 34可能【分析】要把杯子口由向上变成向下，只要每只杯子翻动奇数次，杯口就能向下，六只杯子，需要六个奇 数次。【详解】杯子要翻过来得翻奇数次，6 个杯子都要翻过来，则总共需要翻动（6奇数=）偶数次杯子；按规定每次同时翻动 4 只杯子，因为 4 是偶数，所以翻动有限次后，翻动次数的总和也是偶数。因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下。【点睛】这是个奇偶性的应用题，每只杯子翻动奇数次，杯口的方向就能改变。35奇数年份 1005 个；偶数年份 1004 个【分析】每两个连续自然数都会有一个奇数、一个偶数，用 2009 除以 2，根据是否有余数进行判断。【详解】2009210041=
49、1004 11005+=答：奇数年份 1005 个；偶数年份 1004 个。【点睛】求从 1 开始的连续 n 个自然数有多少个奇数，多少个偶数，用 n 除以 2，根据是否有余数进行判断。3611，111，1111，11111，111111中没有完全平方数【分析】由于偶数的平方(一个数自乘)不可能是奇数，因此 11，111，1111，11111，111111中如果有完全平方数，则一定是奇数的平方【详解】解解：设 a 是奇数，则 a=2k+1，k 是整数，a2=(2k+1)(2k+1)=4(k2+k)+1，即奇数的平方是 4 的倍数加 1而题中的各数都是 4 的倍数加 3 的形式因此 11，111
50、，1111，11111，111111不可能是奇数的平方，更不可能是偶数的平方所以 11，111，1111，11111，111111中没有完全平方数【点睛】任意一个偶数都可以表示成 2k 的形式，任意一个奇数都可以表示成 2k+1 的形式，其中 k 是整数 37不能【详解】解：解：如果擦去两个偶数或一奇一偶，那么操作一次，黑板上奇数个数不变如果擦去两个奇数，那么操作一次，黑板上奇数就减少 2 个所以，每操作一次，黑板上的奇数或不变或减少 2 个，即奇数个数的奇偶性不变 因为 1，2，3，4，98 中共有 49 个奇数，所以，操作若干次后，黑板上仅留下一个数时，这个数只能是奇数，即这个数不可能是