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1、牛吃草问题牛吃草问题1、英国科学家牛顿在他的普通算术一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长。后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”。2、“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。“牛吃草”问题是小学应用题中的难点。3、解“牛吃草”问题的主要依据：草的每天生长量不变 每头牛每天的食草量不变 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值新生的草量=每天生长量天数4、同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：设定 1 头牛 1 天
2、吃草量为“1”草的生长速度=(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)原来的草量=对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数吃的天数=原来的草量(牛的头数草的生长速度)牛的头数=原来的草量吃的天数+草的生长速度5、“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。1某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加为了防洪，需开闸泄洪假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30 小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10 小时水位
3、降到安全线现在抗洪指挥部要求在 5.5 小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？2一个蓄水池装有 9 根水管，其中 1 根为进水管，其余 8 根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果有的放矢能力巩固提升（尖子生培优）牛吃草问题-2024四年级数学思维拓展含答案 把 8 根出水管全部打开，需要 3 小时可将池内的水排光；而若仅打开 3 根出水管，则需要 18 小时。问如果想要在 8 小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？3有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供 16 头牛吃 20
4、天，可供 80 只羊吃 12 天如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？4有一个蓄水池，池中已经有一些水，一个进水管不断向池内匀速进水如果打开 10 个相同的出水管放水，3 小时放完；如果打开 5 个相同的出水管放水，8 小时放完如果要求在 2 小时放完，要安排多少个相同的出水管？5北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线。根据抗
5、洪形势，需要用2个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？6有一牧场，已知养牛 27 头，6 天把草吃尽，养牛 23 头，9 天把草吃尽如果养牛 21 头，那么几天能把草吃尽呢？7有三块草地，面积分别为 5 公顷，6 公顷和 8 公顷每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天第三块草地可供 19 头牛吃多少天？8有一口井，用四部抽水机 40 分钟可以抽干，若用同样的抽水机 6 部，24 分钟可以抽干，那么，同样用抽水机 5 部，多少时间可以抽干？9现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘若
6、用 8 台抽水机 10 天可以抽干；用 6 台抽水机20 天能抽干问：若要 5 天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？10第一、二、三号牧场的面积依次为 3 公顷、5 公顷、7 公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快。有两群牛，第一群牛 2 天将一号牧场的草吃完，又用 5 天将二号牧场的草吃完。在这 7 天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有 15 头，那么第二群牛有多少头？11小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行 15 千米，3 小时可以追上；若骑摩托车，每小时行 35 千米，1 小时可以追上；若开汽车，每小时行 45 千米，多少
7、分钟能追上？12一个农夫有面积为 2 公顷、4 公顷和 6 公顷的三块牧场。三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。农夫将 8 头牛赶到 2 公顷的牧场，牛 5 天吃完了草；如果农夫将 8 头牛赶到 4 公顷的牧场，牛 15 天可吃完草。问：若农夫将这 8 头牛赶到 6 公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？13牧场上有一片牧草，可以供 27 头牛吃 6 天，供 23 头牛吃 9 天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供 21 头牛吃几天？14由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而在匀速地在减少，已知某块地上的草可供 21 头牛吃 10 天，或可供 30 头牛吃 8 天，照
8、此计算，可供 45 头牛吃多少天。15一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛 27 头，6 天把草吃尽，同样一片牧场，牛23 头，9 天把草吃尽如果有牛 21 头，几天能把草吃尽？16某足球赛检票前几分钟就有观众排队，每分钟来的观众人数一样多，从开始检票到等候入场的队伍消失，若同时开 4 个入场口需 50 分钟，若同时开 6 个入场口需 30 分钟。如果要使队伍 25 分钟消失，需要同时开几个入场口？17广州火车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到检票队伍消失，若同时开 5 个检票口，则需要 30 分钟，若同时开 6 个检票口，则需 20 分钟。如果
9、要使等候检票的队伍 10 分钟消失，需要同时开多少个检票口？18画展 8：30 开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3 个入场口，9 点就不再有人排队；如果开 5 个入场口，8 点 45 分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。19有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30 头牛 12 天能吃完甲草地上的草，20 头牛 4 天能吃完乙草地的草。问几头牛 10 天能同时吃完两块草地上的草？20内蒙古草原的一个牧场有一片青草，这片青草每天都在匀速生长。这片牧草可供 24 头牛吃 12 天，可供 30 头牛吃 8 天，问可供多少头牛吃
10、4 天？21一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量如果草地放牧牛和羊，可以吃 45 天；如果放牧牛和鹅，可吃 60 天：如果放牧羊和鹅，可吃 90 天这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天？22有一片牧场，草每天都在均匀地生长如果在牧场上放养 18 头牛，那么 10 天能把草吃完；如果只放养 24 头牛，那么 7 天就把草吃完了，请问：（1）如果放养 32 头牛，多少天可以把草吃完？（2）要放养多少头牛，才能恰好 14 天把草吃完？23某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派 15 个工人砌砖墙 14 天可以把砖运完，如果
11、派 20 个工人，9 天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了 6 天后，调走 6 名工人，其余工人又工作 4 天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？24一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果 3 人淘水 40 分钟可以淘完；6 人淘水 16 分钟可以把水淘完，那么，5 人淘水几分钟可以把水淘完？25有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供 17 头牛吃 30 天，可供 19 头牛吃 24 天，现在有若干头牛在吃草，6 天后，4 头牛死亡，余下的牛吃了 2 天将草吃完，问原来有牛多少头？264 头牛 28 天可以吃完 10 公顷牧场上全部牧草，7 头牛 63 天可以吃完 3
12、0 公顷牧场上全部牧草，那么60 头牛多少天可以吃完 40 公顷牧场上全部牧草？（每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等）27有一片草场，草每天的生长速度相同。若 14 头牛 30 天可将草吃完，70 只羊 16 天也可将草吃完（4综合拔高拓展 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量）。那么，17 头牛和 20 只羊多少天可将草吃完？28牧场上长满了牧草，可供 27 头牛吃一周，或可供 23 头牛吃 9 周，如果牧草每周匀速生长，问原来的草量可供几头牛吃 1 周？29红旗农场有三块草地，面积分别是 5、15、36 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供
13、12 头牛吃 28 天，第二块草地可供 21 头牛吃 63 天，第三块草地可供 36 头牛吃多少天？30甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和 12 名工人，5 小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和 28 名工人，3 小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有 2 台皮带输送机，如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少名工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）31进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少现在开始在这片牧场上放羊，如果有 38 只羊，把草吃完需要 25 天；
14、如果有 30 只羊，把草吃完需要 30 天如果有 20 只羊，这片牧场可以吃多少天？32120 头牛 28 天吃完 10 公顷牧场上的全部牧草，210 头牛 63 天吃完 30 公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛 126 天可以吃完 72 公顷牧场上的全部牧草？33把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为 5 公顷、15 公顷和 24 公顷如果第一块草地可以供10 头牛吃 30 天，第二块草地可以供 28 头牛吃 45 天，那么第三块草地可以供多少头牛吃 80 天？34由于天气逐渐寒冷，牧场的草不仅不生长反而以固定的速度在减少已知
15、某块草地的草可供 20 头牛吃 5 天，可供 15 头牛吃 6 天，照这样计算，可以供几头牛吃 10 天？35一片草地，可供 5 头牛吃 30 天，也可供 4 头牛吃 40 天，如果 4 头牛吃 30 天，又增加了 2 头牛一起吃，还可以再吃几天？36画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开 3个入场口，9 点 9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口，9 点 5 分就没有人排队求第一个观众到达的时间 37科学家研究表明，10000 平方米的森林在生长季节每周可吸收 6.3 吨二氧化碳。城市森林公园有 60000平方米森林，7 月份这片森林一
16、共可以吸收多少二氧化碳？14 个【详解】设 1 个泄洪闸 1 小时的泄水量为 1 份（1）水库中每小时增加的上游河水量：（130-210）（30-10）=0.5（份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为：130-0.53015（份）（3）在 5.5 小时内共要泄出的水量是：15+0.55.517.75（份）参考答案 （4）至少要开的闸门个数为：17.755.54（个）（采用“进 1”法取值）25 根【分析】根据题意，设出 1 根出水管每小时的排水量为 1 份，先求出进水管每小时的进水量，在求出蓄水池原有水量，由此问题可以解决。【详解】设1根排水管1小时排水为“1”份，进水速度为：（31883）
17、（183）（5424）15 3015 2（份）原有水量为：（82）3 63 18（份）如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开：1882 2.252 4.25（根）根出水管，每根出水管 1 小时排水 1 份，又出水管的根数是整数，故最少要打开 5 根出水管。答：最少要打开 5 根出水管。【点睛】本题属于牛吃草问题，只要求出进水管每小时的进水量是解题的关键。38 天【分析】：这道题又有一个新的变化，不是只有牛了，而是有牛又有羊，表面上看起来很复杂，但是冷静的分析一下，因为题目告诉我们 1 头牛一天的吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，因此我们可以把 4 只羊换成 1 头牛，这样就只剩一种动
18、物了80 只羊可以换成 20 头牛，60 只羊可以换成 15 头牛【详解】设 1 头牛 1 天吃 1 份牧草，那么 16 头牛 20 天一共吃了 1620=320 份草，20 头牛 12 天吃了 240份草，每天长草量为（320-240）（20-12）=10 份草，原有的草量为 320-1020=120 份草，现在有10+15=25 头牛，其中吃原有草的牛有 25-10=15 头，那么可以吃 12015=8 天【点睛】不论是有几种动物，只要他们之间互相有联系，那么都可以把它们转化成一种动物来操作 414 个【详解】排水问题对照“牛吃草问题”，蓄水池原注入的水量相当于“原有的草量”，打开出水管时
19、新注入的水量相当于“新生长的草量”，每小时注入的水量相当于“每天新生长的草量”解：(1)每小时新注入的水量是：（58-103）（10-5）=（40-30）5=105=2（个）(2)排水前原有的水量是：103-23=30-6=24（个）（3）蓄水池 2 小时的总水量是：24+22=28（个）4.2 小时把池内的水排完需要安排同样的出水管数是：282=14（个）答：要想 2 小时内把池内的水排完需要安排同样的 14 个出水管 58 个【分析】设每个泄洪闸每小时泄洪的量为“1”，根据“每小时增加的水量总量差时间差”，求出每小时增加的水量；再根据“原有水量超过安全线的部分（泄洪闸数每小时增加的水量）时
20、间”，求出原有的水量超过安全线的部分；最后用原有水量时间每小时增加的水量，即可求出需要打开的泄洪闸数量。【详解】设每个泄洪闸每小时泄洪的量为“1”，则水库每小时增加的水量为：（130210）（3010）1020 0.5 原有的水量超过安全线的部分有：（10.5）30 0.530 15 如果要用2个小时使水位降至安全线以下，至少需要打开泄洪闸的个数：1520.5 8（个）答：至少需要同时打开泄洪闸的数目为 8 个。【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，准确找到等量关系是解题的关键。612 天【分析】对于比较基本的牛吃草问题，我们可以用“五步法”来解题：1.求出两个总量 2.总量
21、的差时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数 3.每天长草量天数=总共长出来的草 4.草的总量总共长出来的草原有的草 5.原有的草吃原有草的牛能吃多少天（或原有的草能吃多少天吃原有草的牛）【详解】解：设 1 头牛 1 天吃 1 份的草，276162 239207（207162）（96）15 15690 1629072 72（2115）12 答：如果养牛 21 头，那么 12 天能把草吃尽 78 天【详解】略 830 分钟【详解】这是典型的牛吃草问题，要先求出变化的量（井每分钟涌出的水量）和不变的量（井里原有的水量）；由于每台抽水机的工作效率是一定的，所以可以用 4 部抽水机和 6 部抽水机的工作
22、总量之差时间差（40-24）即为井每分钟涌出的水量，然后用四部抽水机 40 分钟的工作总量-40 分钟涌出的水量就是井里原有的水量，进而可以求出同样用抽水机 5 部，多少时间可以抽干？解：设每台抽水机每分钟的抽水量为 1 份 井每分钟涌出的水量为：（440-624）（40-24）=1616=1（份）井里原有水量为：440-401=120（份）或 624-241=120（份）；井每分钟涌出的水即 1 份，要用 1 台抽水机去抽，剩下 5-1=4（台）抽水机就要去抽原有的水：120（51）=1204=30（分钟）答：同样用抽水机 5 部，30 分钟可以抽干 912 台【详解】解：设 1 台抽水机
23、1 天的抽水量为 1 单位，则池塘每天的进水速度为：（620-810）（20-10）=4 单位，池塘中原有水量：620-420=40 单位若要 5 天内抽干水，需要抽水机 405+4=12 台 1015 头【分析】15 头牛，2 天吃完 1 号牧场也就是 3 公顷，15 头牛，5 天吃完 2 号牧场也就是 5 公顷；因为要计算草的生长速度，所以，设每头牛吃草速度为每天 X 公顷，每公顷草的生长速度为每天 Y 公顷，可得方程：2（15X）2（3Y）3，5（15X）7（5Y）5【详解】解：15 头牛，2 天吃完 1 号牧场也就是 3 公顷，5 天吃完 2 号牧场也就是 5 公顷；设每头牛吃草 速度
24、为每天 X 公顷，每公顷草的生长速度为每天 Y 公顷 可得方程：215X23Y3，30X6Y3 30X3（6Y3）3 10X2Y1 515X75Y5 75X35Y5 75X5（35Y5）5 15X7Y1 由得：10X1.5（2Y1）1.5 即为：15X3Y1.5 代入得：3Y1.57Y1 3Y1.53Y17Y113Y 0.54Y 4Y40.54 Y0.125 把 Y0.125 代入得：10X20.1251 10X101.2510 X0.125 设第 2 群牛有 n 头，可得方程 70.125n770.1257 70.125n70.125（770.1257）70.125 n15 答：第二群牛有
25、15 头。【点睛】本题属于典型的牛吃草问题，解答时认真分析所给的条件，根据条件列方程解答即可解决。1145 分钟【详解】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合小明在3 12=小时内走了15 335 110 =千米，那么小明的速度为1025=(千米/时)，追及距离为()155330=(千米)汽车去追的话需要：()3304554=(小时)45=(分钟)1245天【分析】题中 3 块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将 3 块牧场的面积统一起来；2 公顷、4 公顷和 6 公顷统一为 12 公顷，然后按照一般的行程问题考虑。【详解】设 1 头牛 1 天吃草量为“1”；将 8 头牛赶到 2 公顷的
26、牧场，牛 5 天吃完了草，相当于 12 公顷的牧场可供 48 头牛吃 5 天；将 8 头牛赶到 4 公顷的牧场，牛 15 天可吃完草，相当于 12 公顷的牧场可供 24 头牛吃 15 天；所以 12 公顷的牧场每天新生长的草量为：()()24 1548 5155 120 10=12=12 公顷牧场原有草量为：()48 125 36 5=180=那么 12 公顷牧场可供 16 头牛吃：()18016 12 1804=45=（天）答：6 公顷的牧场可供 8 头牛吃 45 天。1312 天【详解】根据题意，设每头牛每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可
27、供 21 头牛吃的天数 解：设每头牛每天吃“1”份草 每天新生草量为：（239-276）（9-6）=（207-162）3=453=15（份）原有草量为：276-156=72（份）21 头牛吃的天数：72（21-15）=726=12（天）答：这片牧草可供 21 头牛吃 12 天 146 天【分析】总草量可以分为牧场上原有的草和每天减少的草两部分。牧场上原有的草是不变的，每天减少的 草因为是匀速减少，所以每天这片草地每天减少的草数量是相同的，即每天减少的草量是不变的。由两个用草量的差可知（10-8）天的减少量，即可求出每天减少的草的量。抓住这两个量即可得解。【详解】解：设 1 头牛 1 天吃草 1
28、 份。每天减少的草量：（3082110）（108）=（240210）2=302=15（份）原有草量：210+1510=210+150=360（份）可供 45 头牛吃的天数：360（451+15）=360（45+15）=36060=6（天）答：可供 45 头牛吃 6 天。【点睛】此题属于牛吃草问题，这类题目有一定难度。对于本题而言，关键的是要求出青草每天减少的数量和原有的草量。1512 天【分析】摘录条件：27 头 6 天 原有草+6 天生长草 23 头 9 天 原有草+9 天生长草 21 头？天 原有草+？天生长草 解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化设 1 头牛 1 天吃的草为1，由条
29、件可知，前后两次青草的问题相差为 239-276=45为什么会多出这 45 呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）3 天生长出来的，所以每天生长的青草为 453=15 现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足 15 头牛吃由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的 15 头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？【详解】第一次吃草量 276=162 第二次吃草量 239=207 每天生长草量 453=15 原有草量（27-15）6=72 或 162-156=72 21 头牛分两组，15 头去吃生长的草，其余 6
30、 头去吃原有的草那么 726=12（天）167 个 【分析】设每个入场口每分钟进 1 份人，根据两种情况求出原有的人数和每分钟来的人数，然后考虑队伍25 分钟消失需要开几个口。【详解】()()4 506 305030 2020=1=（人/分钟）4 50 1 50 20050=150=（人）()15025 125+17525=7=（个）答：需要同时开 7 个入场口。【点睛】本题实质上考查的是牛吃草问题，这里人相当于是草，入场口相当于是牛。179 个【分析】等候检票的旅客人数在变化，旅客相当于草，检票口相当于牛，可以用牛吃草的问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有
31、旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。【详解】解：设一个检票口 1 分钟检票人数为 1 份。每分钟新来的旅客：（530-206）（3020）=（150-120）10=3010=3（份）原有旅客数：530-330=150-90=60（份）要使等候的队伍 10 分钟消失需要的检票口数：（60+103）10=9（个）答：需要同时开 9 个检票口。【点睛】此题重点要理清题中的数量关系，弄清旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。187：30【分析】设每分钟 1 个入口进入的人数为 1 个单位。8：30 到 9：00 共 30 分钟 3 个入口共进入
32、3 3090=。8：30 到 8：45 共 15 分钟 5 个入口共进入5 1575=，15 分钟到来的人数907515=，每分钟 到来15 151=。8：30 以前原有人3 301 3060=。所以应排了60160=（分钟），即第一个来人在 7：30。【详解】3 305 15 9075 15 9：008：3030（分钟）8：458：3015（分钟）301515（分钟）15151 3 301 30 9030 60 60160=（分钟）8：3060 分7：30 答：第一个观众到达的时间是 7：30。【点睛】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每分新来的人的数量，再求出原有观众的数量，
33、进而解答题中所求的问题。1944 头【分析】这道题中两块草地的面积不同，但是没有具体告诉我们面积是多少，只是告诉我们面积的倍数关系。我们可以把两块草地转化为一块草地来计算。【详解】3012360（份）2034240（份）（360240）（124）1208 15（份）3601215 360180 180（份）（1801803）10（15153）（18060）10（155）2401020 2420 44（头）答：44 头牛 10 天能同时吃完两块草地上的草。【点睛】面积有倍数关系和动物的食量有倍数关系本质上是相同的，我们都要把它们转化为单一的面积或动物后再进行计算。2048 头【分析】这类题难在牧
34、场上的草的数量每天都在变化，我们要想办法从变化中找出不变的量，总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。有两个用草量的差可知（12-8）天的生长量，即可求出每天新长出的草的量。再将某一组的草总量减去若干天的生长量，即是原有的牧草量。抓住这两个量，解决问题就容易多了。【详解】解：设 1 头牛一天吃的草为 1 份。24 头牛 12 天吃草的总量：12412288（份）30 头牛 8 天吃草的总量：1308240（份）每天新长出的草的量：（288240）（12
35、8）484 12（份）这片牧场原有的草量：2881212 288-144 144（份）或 240128=240-96 144（份）可供多少头牛吃 4 天？（144124）4（144+48）4 1924 48（头）答：这片牧场可供 48 头牛吃 4 天。【点睛】考查了牛吃草问题，解答这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量。2136 天【分析】这道题我们要借助三元一次方程的思想，最终的目的还是要转化为单一动物【详解】设 1 头牛 1 天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 牛和羊 45 天 45 天牛和羊吃草量原有草量45 天新长草量（1）牛和鹅 60 天 60 天牛和鹅吃草
36、量原有草量60 天新长草量（2）鹅和羊（相当于 1 牛）90 天 90 天牛（鹅和羊）吃草量原有草量90 天新长草量（3）由（1）2（3）可得：90 天羊吃草量原有草量 羊每天吃草量原有草量90；由（3）分析知道：90 天鹅吃草量90 天新长草量，鹅每天吃草量每天新长草量；将分析的结果带入（2）得：原有草量60，带入（3）得 90 天羊吃草量60 羊每天吃草量23 这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草可以吃：60（123）36（天）22（1）5 天（2）14 头【详解】试题分析：（1）设每头牛每天吃 1 份草18 头牛，则 10 天吃完草，说明 10 天长的草+原来的草
37、共：1810=180 份；24 头牛，7 天吃完，说明 7 天长的草+原来的草共 247=168 份；所以（107=3）天长的草为 180168=12 份，即每天长 4 份，这样原来草为 180410=140 份，那么草地每天长的草够 4 头牛吃一天如果放养 32 头牛，4 头牛吃新长出的草，原来的草 324=28 头牛可以吃 14028=5 天（2）那么草地每天长的草够 4 头牛吃吃原来的 140 份，恰好 14 天吃完，要有的牛数 14014=10（头），再加上每天新长出的草可共 4 头牛吃，所以要放养 10+4 头牛，才能恰好 14 天把草吃完 解：（1）设每头牛每天吃 1 份草，每天长
38、出的草：（1810247）（107）=（180168）3=123=4（份）原来的草：180410=140（份）放养 32 头牛可吃：140（324）=14028=5（天）答：如果放养 32 头牛，5 天可以把草吃完（2）吃原来的 140 份，恰好 14 天吃完，要有的牛：14014=10（头）10+4=14（头）答：要放养 14 头牛，才能恰好 14 天把草吃完 点评：这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口 2321 名【分析】依题意知开工前运进的砖相当于“原有草”开工后每天运进相同的砖相当于“草的生长速度”工人砌砖相当于“牛在吃草”。【详解
39、】所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为“1”，列表分析得 15 人 14 天 1514210：原有砖的数量14 天运来砖的数量 20 人 9 天 209 180：原有砖的数量9 天运来砖的数量 从上面的表中可以看出（149）5 天运来的砖为（210180）30，即 1 天运来的砖为 3056 原有砖的数量为：18069126；假设 6 名工人不走，则能多砌 6424 份砖，则砖的总数为 126246（64）210 因为是 10 天工作完，所以有 2101021 名工人。【点睛】本题其实是“牛吃草”类型，熟练掌握“牛吃草”类型解题方法是解决本题的关键。2420 分钟【详解】设 1 人 1 分钟淘
40、出的水量是“1”，40 1624=分钟的进水量为3 406 1624=，所以每分钟的进水量为24241=，那么原有水量为：()3 14080=5 人淘水需要()805 120=(分钟)把水淘完 2540 头【详解】略 266天【分析】题中是 3 块面积不同的草地，要解决这个问题，可以将 3 块草地的面积统一起来；10、30、40 的最小公倍数是 120，所以统一为 120 公顷，然后再按照一般的牛吃草问题求解。【详解】10 30 40120=，将 3 块草地的面积统一为 120 公顷；设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，原条件可转化为：120 公顷牧场 48 头牛 28 天吃完；120 公顷
41、牧场 28 头牛 63 天吃完；那么 120 公顷牧场每天新生长的草量为：()()28 6348 286328 42035=12=120 公顷牧场原有草量为：()48 1228 36 28=1008=则 40 公顷牧场每天新生长的草量为1234=，40 公顷牧场原有草量为10083336=；在 60 头牛里先分出 4 头牛来吃新生长的草，剩余的 56 头牛来吃原有的草，可以吃：336566=（天）答：60 头牛 6 天可以吃完 40 公顷牧场上全部牧草。【点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，当有多块草地的时候，可以设法将草地面积转化成一样的。2710 天【详解】“4 只羊一天的吃草量相当于 1
42、 头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为 1，那么 14头牛 30 天吃了144301680=单位草量，而 70 只羊 16 天吃了16701120=单位草量，所以草场在每天内增 加了(1680 1120)(30 16)40=草量，原来的草量为112040 16480=草量，所以如果安排 17 头牛和 20只羊，即每天食草 88 草量，经过480(8840)10=天，可将草吃完。284 头【分析】设 1 头牛 1 周吃 1 份草，先根据题目给出的两种情况求出原草量，然后确定原来的草量可供几头牛吃 1 周。【详解】()()23 927 19 1 1808=22.5=（份/周）27 1
43、22.5 1 2722.5=4.5=（份）4.5 份草可供 4 头牛吃 1 周。答：原来的草量可供 4 头牛吃 1 周。【点睛】本题考查的是牛吃草问题，注意牛的头数是整数，所以要采用去尾法取近似值。29126 天【分析】为解决这个问题，只需要将三块草地的面积统一起来，求 5、15、36 的最小公倍数 180，因为 5公顷草地可供 12 头牛吃 28 天，1805=36，所以 180 公顷草地可供 1236=432 头牛吃 28 天，因为 15 公顷草地可供 21 头牛吃 63 天，18015=12，所以 180 公顷草地可供 2112=252 头牛吃 63 天，因为18036=5，所以 180
44、 公顷草地可供 536=180 头牛吃多少天，因为草地面积相同，所以原题可变为：“一个牧场上的青草都匀速生长，这片青草可供 432 头牛吃 28 天，或可供 252 头牛吃 63 天，那么可供 180 头牛吃多少天？”【详解】解：由分析知，本题可转化为：一个牧场上的青草都匀速生长，这片青草可供 432 头牛吃 28天，或可供 252 头牛吃 63 天，那么可供 180 头牛吃多少天？设 1 头牛一天吃的草为 1 份 每天新长出的草量：（25263-43228）（6328）=（15876-12096）（6328）=378035=108（份）牧场原有草量：25263-10863=15876-680
45、4=9072（份）可供 180 头牛吃的天数：9072（180108）=907272 126（天）答：第三块草地可供 36 头牛吃 126 天。【点睛】解答此题的关键是将三块草地的面积统一起来，将复杂的题变为简单的基本类型的题目进行解答即可。3036 名【分析】设 1 个工人 1 小时搬 1 份面粉。甲仓库中 12 个工人 5 小时搬了12 560=份，乙仓库中 28 个工人 3 小时搬了28 384=份，说明甲仓库的传送机 532 小时多输送了 846024 份面粉，即每小时输送 24212 份，仓库中共有面粉()12125120+=份。丙仓库中 120 份面粉需在 2 小时内搬完，每小时需
46、搬120260=份，因此需要工人60 12 236=名。【详解】12 560=（份）28 384=（份）532（小时）846024（份）24212（份）()12 125+24 5 120（份）120260=（份）60 12 2 6024 36（名）答：同时还要 36 名工人。【点睛】此题利用牛吃草问题的思路解答，解题时要先求出输送机每小时工效，然后解得仓库中共有面粉数，最后回答问题。3140 天【详解】试题分析：设每只羊每天吃 1 份草38 只羊，则 25 天吃完草，说明 25 天减少的草+原来的草共：3825=950 份；30 只羊，30 天吃完，说明 30 天减少的草+原来的草共有 303
47、0=900 份；所以（3025=5）天枯萎的草为 950900=50 份，即每天减少 505=10 份，这样原来草为 900+3010=1200 份，那么草地每天减少的草够 5 只羊吃一天如果放 20 只羊，每天减少 20+10 份，这样可以吃 120030=40 天 解：设每只羊每天吃 1 份草；草的减少速度即每天长的份数为：（38253030）（3025）=（950900）5=505=10（份）原来草的份数为：3030+1030=1200（份）那么草地每天减少的草够 10 羊吃一天如果放 20 只羊，那么每天减少 20+10=30 份 这样可以吃的天数为：120030=40（天）答：如果有
48、 20 只羊，这片牧场可以吃 40 天 点评：这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口 32360 头【详解】设 1 头牛 1 天吃 1 份牧草 120 头牛 28 天吃掉 120283360 份，说明每公顷牧场 28 天提供 336010336 份牧草；210 头牛 63 天吃掉 2106313230 份，说明每公顷牧场 63 天提供 1323030441 份牧草；每公顷牧场 632835 天多提供 441336105 份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为 105353份，原有草量为 336283252 份 如果是 72 公顷的牧场，原有
49、草量为 2527218144 份，每天新长出 372216 份，126 天共计提供牧草 1814412621645360 份，可供 45360126360 头牛吃 126 天 3342 头【详解】试题分析：这是一道比较复杂的牛吃草问题把每头牛每天吃的草看作 1 份，因为第一块草地 5公顷面积原有草量+5 公顷面积 30 天长的草=1030=300 份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积 30 天长的草是 3005=60 份；因为第二块草地 15 公顷面积原有草量+15 公顷面积 45 天长的草=2845=1260 份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积 45 天长的草是 126015=84 份
50、，所以 4530=15 天，每公顷面积长8460=24 份；则每公顷面积每天长 2415=1.6 份所以，每公顷原有草量 60301.6=12 份，第三块地面积是 24 公顷，所以每天要长 1.624=38.4 份，原有草就有 2412=288 份，新生长的每天就要用 38.4 头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃 80 天，因此 28880=3.6 头牛所以，一共需要38.4+3.6=42 头牛来吃 解：设每头牛每天的吃草量为 1，则每公顷 30 天的总草量为：10305=60；每公顷 45 天的总草量为：284515=84；那么每公顷每天的新生长草量为（8460）（45