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1、周期问题周期问题 在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复。我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。要解决这类问题，关键要抓住两点：找出规律，找出周期数。即多少个（次）又出现重复；用总数除以周期数，看余数，余几就是周期里的第几个，没有余数就是最后一个。18 个队员围成一圈做传球游戏，从号开始，按顺时针方向向下一个人传球在传球的同时，按顺序报数当报到 72 时，球在几号队员手上？2如图，七个小矮人住在 A、B、C、D、E、F、G 这 7 座房子中，白雪公主第一天在 A 房子中做客，从第二天开始按照 BCDEF
2、GFEDCBABC的顺序每天在一个小矮人的房子中做客。请问，第 150 天白雪公主在哪个房子中做客？3甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加 1倍；经过 2005 次这样的操作以后，甲有 10 块糖，乙有 8 块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？4甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第 30 次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？5在某个月中刚好有 3 个星期天的日期是偶数(双数)，则这个月的 5 日是星期几？6同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排 12 报数，
3、报 2的同学再 12 报数，这样依次进行下去，最后报 2 的这名同学先玩，如果这列一共有 12 人，最先玩的同学是这一列中的第几个？有的放矢能力巩固提升（尖子生培优）周期问题-2024四年级数学思维拓展（通用版）含答案 7图 13 中第一格内放着一个立方体木块，木块的六个面上分别写着 A、B、C、D、E、F 六个字母，其中A 与 D，B 与 E，C 与 F 相对，且 A 面向上如果木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚到第 21 格进，木块向上的面是哪个字母？8有一个 111 位数，各位数字都是 1，这个数除以 6，余数是几？商的末位数字是几？9一些数字按一定规律排列如下：3，5，1，9，7，3，
4、5，1，9，7，3，5，1，9，7，那么其中第 1至 300 个数加起来是多少？10按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第 100 个三角形是什么颜色的？在这 100 个三角形中有多少个白色的三角形？11有一列数：1，1，2，3，5，8，13，即第一、第二个数都是 1，从第三个数起，每个数都是前面两个数的和，求第 2003 个数除以 3 的余数 128 个格子排成一个正方形，依次编号（如图所示），小玲将棋子放在 3 号格子上，顺时针方向前进 245 个格子后又倒退一个格子，这时棋子应在几号格子上？13甲乙丙丁四个小朋友玩报数游戏，规定，甲报 1 乙报 2 丙报 3 丁报 4 甲报 5 乙报 6
5、丙报 7，问报2012 的那个人是谁？14我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这 12 种动物按顺序轮流代表各年的年号，已知 2004 年是猴年，2104 年是什么年？15课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多 1问“34”是谁报的？“71”是谁报的？16桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共 19 枚硬币问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？17小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列 第 73 颗是什么颜色的？第 10 颗黄珠子是从头起第
6、几颗？第 8 颗红珠子与第 11 颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？18小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3 你知道他写的第 81 个数是多少吗？你能求出这 81 个数相加的和是多少吗？19节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯那么第 73 盏灯是什么颜色的灯？20在一条长 100 米的甬路两侧，从头到尾每隔 2 米栽一棵树，按 2 棵杨树，1 棵柳树的规律栽，杨树，柳树各占植树总棵树的几分之几？21有 A、B、C、D 四条直线（如图），从直线 A 开始，
7、按直线方向从 1 开始依次在 A、B、C、D 上写自然数 1，2，3，（1）106 在哪条直线上？（2）直线 B 上第 56 个数是多少？22某商场楼前安装了一串彩灯，按照 2 黄、3 红、1 绿的顺序排列。第 100 盏彩灯是什么颜色的？这 100盏彩灯里共有多少盏红灯？231999 名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与 9 的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与 6 的和现在让第一个同学报 l，那么最后一个同学报的数是多少?24数列 9，8，6，2从第 2 个数起，每个数都是它前面一个数的两倍的个位数
8、字，请问，第 99 个数是多少？25在一根绳子上依次穿 2 个红珠、2 个白珠、5 个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第 50颗，那么其中白珠有多少颗？26有同样大小的红、白黑珠共 180 个，按 5 个红的、4 个白的、3 个黑的排列着，问：第 158 个珠是什综合拔高拓展 么颜色的？黑珠共有多少个？27长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红色点，同时自右向左每隔 5 厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是 4 厘米的短木棍有多少根？28已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月的 5号是星期几？2943
9、位同学，他们身上带的钱从 8 分到 5 角，钱数都各不相同每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只有两种，3 分一张和 5 分一张，每个人都尽量多买 5 分一张的画片问他们所买的 3 分画片的总数是多少张？30流水线上给小木球涂色的次序是：先 5 个红、再 4 个黄、再 3 个绿、在 2 个黑、再 1 个白，然后又依次是 5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白如此继续涂下去，到第 2003 个小球该涂什么颜色？31小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶方方第一次取奶是星期一，那么，他第 100 次取奶是星期几？18 号【详解】将 8 名队员看作
10、一组，每组报 8 个数，72 个数可以分成几组：7289=组，没有余数，球正好在一组的最后一位队员手中，因此球应该在 8 号队员手上 2F【分析】通过题目可以看出一个周期有多少个数组成，然后 150 天，判断里面有多少个周期，再看余几，就能知道第 150 天住在哪个房间。【详解】从 A 到 G 再到 B 是一个周期，周期为 12，1501212（组）6（个）。答：第 150 天白雪公主在 F 房做客。【点睛】本题主要考查隐藏的周期问题，先找周期。3甲 5 乙 13【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为 18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可 解：参
11、考答案 周期为 6，20056=3341，说明 2005 次操作和一次操作的作用效果是相同的，那么有两种情况：甲 14 乙 4 或甲 5 乙 13，结合题中条件甲比乙少，可知甲 5 乙 13 点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题 45 次【详解】甲第 30 次义诊是在总次数的第 429+1=117（次），1177=165，从周三往前数 5 天，由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前 7 次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二.丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第 6 次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以他已经去过 5 次.5星期三【详解】一个星期有 7 天，
12、7 是奇数(单数)，所以任意两个相继星期天的日数奇偶性不同于是在每个月从l 日到 28 日这 28 天中，有2874=个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数，从而题中第 3 个日期为偶数的星期天必为 30 日由此可以推知，这个月的第 1 个星期天是304 72=日，那么，5 日为星期三 23456789101112131415161718192021222324252627282930日一二三四五六 所以这个月的 5 日是星期三 6第 8 个【详解】第一次 12 报数，报 2 的是第 2，4，6，8，10，12 这几个同学，这些同学再 12 报数，报 2的是第 4，8，12 这三名同学，最后
13、这三名同学再 12 报数，就只剩下第 8 个同学是报 2，所以最先玩的这个同学是这列中的第 8 个 7A【详解】当木块沿着同一个方向滚动时，每滚动四格，会回到原来的状态所以当木块向左滚动四格后，即在第五格的时候，状态与第一格一样同理，当木块从第五格滚第九格时，最终状态也未改变从而第1 格、第 5 格、第 9 格、第 13 格、第 17 格、第 21 格的状态是一样的因此，当木块滚到第 21 格时，木块向上的面是字母 A 8余数是 3，商的末位数字是 8【分析】我们可以用列表的方法寻求周期 被除数中“1”的个数 1 2 3 4 5 6 7 除以 6 后余数的末位数字 1 5 3 1 5 3 1
14、除以 6 后商的末位数字 0 1 8 5 1 8 5 【详解】通过表格我们可以发现，余数出现的周期为 3（1，5，3）；第 1 个“1”上相对应的商为“0”，从第 二个“1”开始，商的末位数字的周期为 3（1，8，5）因为111 337=，所以这个数除以 6 后余数是 3；因为()111 1336=2，所以这个数除以 6 后商的末位数字是 8 91500【分析】这一列数是按照 3，5，1，9，7 这样重复循环排列的，周期是 5，按照周期问题求解，先确定周期数，再用每个周期的数之和乘周期数，加上多出来的数即可。【详解】300560=()35 1 9760+25 60=1500=答：第 1 至 3
15、00 个数加起来是 1500。【点睛】本题考查的是周期问题，求解周期问题，最关键的是确定周期是多少。10黑色 51 个【详解】从图中可以看出，按照 6 个为一个周期，因为100616=4，所以第 100 个三角形应该是这一个周期当中的第四个，应该是黑色的每个周期里有 3 个白色的，一共有 16 个周期就有 48 个白色三角形，余下的 4 个三角形中还有 3 个白色的，所以一共有16 3351+=个 112【详解】找规律,每个数除以 3 的余数分别是 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2,可以看出循环节长度是 8,第 2003 个就是第 3 个,余数是 2 127 号【详解】2458=30
16、（圈）5（格）从 3 起顺时针前进 5 格到 8 号格，又倒退 1 格，就是 7 号格 13丁【详解】略 14鼠年【详解】（2104-2004）12=84 所以 2104 年是鼠年。答：2104 年是鼠年。15“34”是乙报的，“71”是丙报的【详解】根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了 34 次因为是 4 个人在报数，所以报 4 次就要重复一遍，也就是说是以 4 为一个周期重复的34 里面有 8 个周期还余 2 次，所以“34”应是重复 8 遍以后第二个人报的，即乙报的71 417=3，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的 16一角 五角 【详解】1963=1 14 6=22 所以,第
17、19 枚硬币是一角的,第 14 枚硬币是五角的 17（1）蓝色 （2）第 47 颗 （3）14 颗【分析】这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有 5 颗 第 10 颗黄珠子前面有完整的 9 组，一共有5 945=(颗)珠子第 10 颗黄珠子是第 l0 组的第 2 颗，所以它是从头数的第 47 颗 第 8 颗红珠子与第 11 颗红珠子之间一共有 14 颗珠子第 8 颗红珠子与第 11 颗红珠子之间有完整的两组(第 9、10 组)，共 l0 颗珠子，第 8 颗红珠子后面还有 4 颗珠子，所以是 14 颗【详解】73 514=(组)3(颗)，第 73 颗是第 15 组的第 3 颗，所以是
18、蓝色的 5 92+452=+47=(颗)5 24+10414=+=(颗)187 279【详解】从排列上可以看出这组数按 7，0，2，5，3 依次重复排列，那么每个周期就有 5 个数81 个数则是 16 个周期还多 1 个，第 1 个数是 7，所以第 81 个数是 7，81 516=1 每个周期各个数之和是：7025317+=再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案17 167279+=，所以，这 81 个数相加的和是 279 19白灯【详解】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：1，5，9，13，这些编号被 4 除所得的余数都是 173
19、4 18 1=+，即 73 被 4 除的余数是 1，因此第 73 盏灯是白灯 20解：1002+1=51（棵）513=17（个周期）柳树：1712=34（棵）杨树：1722=68（棵）34+68=102（棵）34102=13 68102=23 答：柳树占植树总数的13，杨树占植树总数的23【详解】周期性问题 先考虑在公路一侧栽树的情况，两端都要栽，栽树的棵数=间隔数+1；再把 3 棵树看作一个周期，求出一侧植树的总棵数包含几个周期，进而分别求得两种树的棵数，再乘 2 求得两侧栽的棵数，最后分别用柳 树、杨树的棵数除以植树总数即可 21（1）B 直线 （2）222【详解】（1）1064=262，
20、所以 106 在 B 直线上（2）2+（56-1）4=2+554=2+220=222 答：直线 B 上第 56 个数是 222。22红色；50 盏【分析】观察题干，这组彩灯按照的排列特点是 6 个气球一个循环周期，分别按照颜色 2 黄、3 红、1 绿的顺序排列，计算出第几个周期的第几个即可。再计算出 100 盏彩灯共有几个这样的周期，余下几盏红灯，每个周期有 3 盏红灯，相加即可。【详解】因为 100（231）1006 16（组）4（盏）3162 482 50（盏）答：第 100 盏彩灯是红颜色的，这 100 盏彩灯里共有 50 盏红灯。【点睛】根据题意得出这组彩灯的排列周期特点是解决本题的关
21、键。2317【详解】我们先写出几项，有 1，10，6，17，13，9，18，14，10，6，17，不难看出从第 2 个数开始，每 7 个数存在 10，6，17，13，9，18，14 这样的循环 而(19991)72853，所以最后一个同学报的是第 285 组数的第 3 个数，即 17 246【分析】根据题目的含义依次写出后面的数，写几个数的时候，属于有头周期问题，后面的数按照周期排列的。把第一个数拿走变成 98 个数，然后根据周期问题判断这些数里有多少个周期，还余几。【详解】9，8，6，2，4，8，6，2，4周期为 4，有头周期，头是 9，99198（个），98424（组）2（个）。答：第 9
22、9 个数是 6。【点睛】本题主要考查隐藏的周期问题，先找周期。2512 个【详解】()502255+=5 5 2212+=（个）26红色 45 个【详解】5+4+312（个）15812132 1801215 153=45（个）答：第 158 个珠是红色的；黑珠共有 45 个。277根【分析】根据题意，画出涂色示意图如下；由于 100 是 5 的倍数，所以自右向左每隔 5 厘米染一个红点相当于自左向右每隔 5 厘米染一个红点。而每隔 30 厘米可得到 2 个 4 厘米的短木棍。最后（100303）厘米也可以得一个短木棍，故 4 厘米的短木棍共有：2 3 17+=（根）。【详解】画出涂色示意图如下
23、：可知，每（56）厘米里可以锯 2 个 4 厘米的短木棍；100303（个）10（厘米）剩下的 10 厘米还可以锯出 1 个 4 厘米长的短木棍。2317（根）答：长度是 4 厘米的短木棍有 7 根。【点睛】由于 100 是 5 的倍数，所以自右向左每隔 5 厘米染一个红点相当于自左向右每隔 5 厘米染一个红点，这是解题的关键。画涂色示意图发现，这是一个周期为 5 与 6 最小公倍数的周期问题。28星期五【分析】这道题表面看无从下手实际上本题暗藏着一个重要条件：在一个月内，无论是星期几，它的天数只能是 4 或 5，根据这个知识点，就可知道本月星期一，二都是 5 天，星期三，日都是 4 天【详解
24、】用列表法可以得到答案123456789101112131415161718192021222324252627282930日一二三四五六所以这个月的 5 号是星期五 2984 张【分析】钱数与张数的关系列表如下：从表中可以看出 3 分的张数正好循环，周期是 5，由此解决问题【详解】435=83，所以 3 分画片有：（1+3+2+4）8+1+3=84（张）答：他们所买的 3 分画片的总数是 84 张 30黄色【详解】小木球的涂色顺序是：“5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白”，也就是每涂过“5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是5432 115+=，因此只要用 2003 除以 15，2003 15=1338 根据余数是 8 就可以判断：第 2003 个小木球出现在上面所列一个周期中第 8 个，所以第 2003 个小球是涂黄色 31星期四【详解】21 天内，每人取奶 7 次，方方第 8 次取奶又是星期一，即每取 7 次奶为一个周期100714=2，所以方方第 100 次取奶是星期四