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1、专题 02 公 式法 解决 等差 数列 问题 若干个数 按一定 顺 序排成一 列，称为 数列。数列中 的每 一个数称 为一项，其中第一项称为首 项，最后一项称为 末项，数列中项的 总数称为项数。如 果一个数列 从第 2 项 起，每一 项与前 一 项的差是 同一个 数，这个数 列叫做 等 差数列，这 个差叫 做 公差。解答等差 数列问 题，主要运 用下面 三 个公式：（1）通顶公式：第n 项=首项（n-1）公 差（2）项数公式：项数=（末 项-首项）一公差+1（3）求和公 式：和=（首 项末 项）项数-21 欢欢 看一 本书，每 天都比 前 一天 多看 4 页，第一天 看了 12 页，他 一共
2、看了 天，这本 书一 共有 页。2 三 个连 续偶 数的 和是 138，这三 个偶 数分 别是、。3小 猴第 一天 摘了 18 个 桃，以 后每 天都 比前 一天 多摘 6 个，它第 5 天摘 了 个桃 子。4首 项是 5，末 项是 93，公 差是 4 的等 差数 列的 和是 5 明明 读一 本课 外书，第一 天 读了 12 页，以后 每天比 前 一天 多读 6 页，他共 读了几 天？6 建材 仓库 有一 批水 泥管，一层 一层 堆成 梯形，最上 面 一层有 5 根水 泥管，一 共堆 6 层。这批 水泥 管有 多少根？7“春 晖影 视城”贵宾 厅 一共 有 8 排座 位 第一 排有 12 个座
3、 位，后 面每 排都 比前面 一排 多 2 个座 位 这个贵宾厅 一共 有多 少个 座位？8 爷 爷奶 奶们 在人 民广 场 跳广场 舞，第一 排有 6 人，后 面 每排 比前 一排多 2 人，跳 广场 舞的 一共 有多 少人？有的放矢能力巩固 提升（尖子生培优）公式法解决等差数列问题-2023四年级数学思维拓展含答案9 学校 礼堂 共有 30 排，已知第 一排 是 15 个座 位，以 后 每排 比前 一排多 2 个座 位，求一 共有 多少 个 座位？10 一桶水 5 分钟 可以 倒完 已知 第一 分钟 倒出 3.5 升，以后 每分 钟都 比前 一分钟 多倒 出 0.3 升 这桶 水有多少升？
4、11 妈妈 的消 费卡 上积 了 35 次 分，最低 一次 积 41 分，最 高一 次积 了 179 分，且这些 积分 成等 差数 列，你知道最中 间一 次积 分是 多少 吗？12 刘芳 家所 在的 城市，电 话 号码 已升 到八 位 她家 的 电话 号码 很有 趣，千万 位 上的 数字是 8，任 意相邻 的三 个 数字 的和是 18 你 能 说出刘 芳家 的电 话号 码吗？这个 数约 等于 多少 万？13 小军 开始 学认 字，从第 1 天 开始 每天 认字 的个 数都是 前一 天的 2 倍，第 5 天已 经认 识了 32 个 字了，小军认 识 8 个 字的 时候 是第 几天？14 每 年的
5、 母亲 节，思思 都会给 妈妈 折纸 鹤，祝福 妈妈健 康快 乐。从第 二年 开始。每年 都会 比前 一年 多折 5只，那 么思 思第 一年 折了 多少只？15 某剧 院第 一排有 20 个座 位，后 一排 都比 前一 排多 2 个 座位，最 后 一排有 72 个座 位，这个 剧院 共有多少个 座位？16 小华 看一 本书，第 一天 看了 3 页，以后 每一 天 比前一 天多 看的 页数 相同，刚好 看完，问 这本 书共 多少页？每 天比 前一 天多 看多 少页？17 一个 等差 数列 共有 10 项每 一项 都比 它的 前一 项小 7，并 且末 项为 125，那 么 首项 是多 少？18小
6、朋友 们玩 跳绳 游戏，游戏 规则 是：第一 个人 跳 3 下，第二 个人跳 5 下，第 八个 人应 该跳 多少 下？19 解放 路实 验学 校报 告厅 共有 20 排 座位。其 中第一 排有 15 个 座位，后 面一排 都 比前 一排多 1 个座 位，这个报 告厅 一共 有多 少个 座位？20 某森 林公 园计 划将 园林 中的 150 棵松 树栽 在它附 近 的一 条公 路旁 第 一棵 栽 在离 园林 300 米 的地方，以后每 隔 50 米 栽一棵 公 园有一 辆汽 车，每次 能运 送 9 棵 松树，用 这辆 汽车将 这 150 棵 松树 从园 林运到目的地，然 后返 回园 林，最少要
7、行驶 多少 米?21 观察 数列 的规 律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，39。观察上 面数 列的 规律，请综合拔高 拓展问：（1）数 列中 有多 少个 1？（2）数 列中 所有 数的 总和 是多少？22 把 248 表 示成 8 个连续 偶 数的 和，其中 最大 的那 个 偶数 是多 少？23 安康 市体 育场 南看 台有 30 排座 位，每后面 一排 都比前 一排 多 2 个座 位，最 后 一排有 132 个座 位，体育场南 看台 共有 多少 个座 位？24 明 明用 棋子 摆了 一个 五层圈，每 两层 棋子 的个 数相 差 5 个，最 内层 用了 18 个 棋子
8、，一 共用 了多 少个棋子？25 在 一次 考试 中，第一 组同学 的分 数恰 好构 成了 公差 为 3 的 等差 数列，总分 为 609，冬冬 发现 自己的 分数算少 了，找老 师更 正后，加 了 21 分，这时他 们的 成绩还 是一 个等 差数 列 请问：冬冬 正确 的分 数是 多少？26 小王 和小 高同 时开 始工 作，小 王第 一个 月得到 1000 元工 资，以后 每月 多得 60 元；小高 第一个 月得 到500 元 工资，以 后每 月多得 45 元。两人 工作一 年后，所得 的工 资总 数相 差多 少元？27 文 丽学 英语 单词,第一 天学会 了 3 个，以后 每天都 比 前
9、一 天多 学会 1 个，最 后 一天 学会了 21 个 文丽在这些 天中 共学 会了 多少 个英语 单词？28 甲乙 两 人都 住在 同一 胡同的 同一 侧，这一 侧的 门牌号 码是 连续 的奇 数 甲住 21 号，乙住 193号甲、乙 两人 的住 处相 隔着多 少个 门？1【考 点】等 差数 列 版权所有【答案】5，100。【分析】最后 一天 比第 一天 一 共多 看了（28 12）页，（28 12）里有 多少个 4，算 出多 少天，再加上 第一天即 可算 出；最后 把每 天看的 页数 相加 计算 即可。【解答】解：28 12 16（页）164 4（天）5+1 5（天）12+（12+2）+（
10、12+4+4）+（12+2+4+4）+28 参考答案 12+16+20+24+28 100（页）答：他一 共看了 5 天，这本 书 一共有 100 页。故答案 为：5，100。【点评】本题 的关 键是 先求 出 一共 读了 多少 天。2【考 点】等差 数列；奇 数与偶 数的 初步 认识 版权所有【答案】44、46、48【分析】根 据偶数 的含 义 可知，相邻 的偶数 相 差 2，已 知 三个 连续 偶数 的和是 138，首先 求出 这三 个连 续偶数的 平均 数（即中 间的 偶数），然 后用 平均 数分 别 减 2、加 2 即可 求出 另外 两个偶 数，据此 解答。【解答】解：1383 46
11、462 44 46+8 48 所以这 三个 偶数 分别 是 44、46。故答案 为：44、46。【点评】此 题考 查的 目的 是理解 偶数 的意 义，明确：相邻 的偶 数相 差 2。3【考 点】等 差数 列 版权所有【答案】42。【分析】由题 意可 知，小猴 每 天摘 桃子 数构 成一 个公 差为 6 的等 差数 列，由 此根据 高斯 求和 的求 等差 数列的末 项公 式完成 即可。【解答】解：18+（51）2 18+24 42（个）答：它 第 5 天 摘了 42 个桃子。故答案 为：42。【点评】求等 差数 列的 末项 首项+（项 数1）公 差。4【考 点】等 差数 列 版权所有【答案】见试
12、 题解 答内 容【分析】由等 差数 列首 项为 5，末 项 为 93，公 差 为 4，得 93 5+（n 1）4，由此能 求出 这个 数列 有多少项，再根 据公 式计 算即 可解答【解答】解：因为 等差 数列 首 项为 5，末 项为 93，所以 93 5+（n8）4，解得 n 23（5+93）232 98232 1127 答：等差 数列 的和是 1127 故答案 为：1127【点评】本 题考 查等 差数 列的通 项公 式的 应用，是 基础题 解 题时 要认 真审 题，仔 细解 答二应用题（共 15 小题）5【考 点】等 差数 列 版权所有【答案】见试 题解 答内 容【分析】根据“第 一天 读了
13、 12 页，以 后每 天比 前一天 多读 6 页，最后 一天 读了 48 页，”可知 明明 每天 读课 外 书的 页数 是一 个等 差数 列，数列 的首 项是 12，末 项 是 48，公 差 是 6，所以 根 据高 斯求 和公 式可 以求出等差 数列 的项 数，也就 是他读 的天 数，列式 为：（4812）6+1 7（天）【解答】解：（48 12）6+1，362+1，7（天）；答：他 共读 了 2 天【点评】本 题能够看 出明 明每天读课 外书的页 数是 一个等差数 列是解题 的突 破口，知识 点是：高 斯求 和的 项 数公式 n（an a1）公差+1 6【考 点】等 差数 列 版权所有【答案
14、】45 根。【分析】已知 最上 面一 层有 5 根，每 下一 层就多 1 根，一 共堆 6 层。可 以先 用算式 求出 最底 下一 层的 根数是 10 根（也 可以 每层加 1，直 接数 出来 是 10 根）；再 根据 等差 数列 公式：（首数+尾 数）项 数2 和，代 入数 据计 算即 可。【解答】解：6 1+3 10（根）（5+10）65 1562 45（根）答：这 批水 泥管 有 45 根。【点评】此 题主 要考 查了 等差数 列的 求和 公式，要 熟练掌 握。7【考 点】等 差数 列 版权所有【答案】见试 题解 答内 容【分析】由题 意可 知，8 排座 位 总数 是首 项为 12，公
15、差 为 2，项 数 为 8 的 等差 数列，根据“首 项+公差（项数 1）末项”可 求 得末项 是多 少，再根 据“（首项+末项）项数 2 数列和”解 答即 可【解答】解：第 8 排 的座 位数：12+（83）2 12+14 26（个）这个贵 宾厅 一共 设置 的座 位总数 是：（12+26）83 3882 152（个）答：这 个贵 宾厅 一共 有 152 个座 位【点评】本题 考查 了高斯 求和公 式的实 际应 用，相 关的知 识点是：和（首 项+末项）项 数2；首项末项 公 差（项 数1）；末项 首 项+公差（项 数 1）；项数（末项 首项）公差+1 8【考 点】等 差数 列 版权所有【答
16、案】36 人。【分析】第一 排有 6 人，第 二 排 有（6+2）人，第三排 有（6+2+2）人，第 四 排 有（6+2+2+2）人，全 部 相加即可。【解答】解：6+6+5+6+2+2+6+2+7+2 6+8+10+12 36（人）答：跳 广场 舞的 一共 有 36 人。【点评】此 题的 关键 是明 确每一 排的 人数，然 后再 进一步 解答。9【考 点】等 差数 列 版权所有【答案】见试 题解 答内 容【分析】本 题中，欲 求剧 场一共设置 了多少个 座位，需要先求 得最后一 排有 多少个座位 由题意 知，第30 排的 座位 数是：15+（30 1）273，那么 剧场一 共 设置 的座 位
17、数 是：15+17+19+71+73；简 单 速算可得 解【解答】解：第 20 排的 座 位数：15+（30 1）273（个）；这个剧 场一 共设 置的 座位 总数是：15+17+19+71+73（15+73）306 88302 1320（个）答：共 有 1320 个座 位【点评】等 差数列应 用题 的解题方法 是：先求 得数 列中的最后 一个数的 值即 最后一排的 座位数，然后 再根据公 式计 算等 差数 列的 和 10【考 点】等差 数列 版权所有【答案】见试 题解 答内 容【分析】首先 根据：以 后每分 钟 都比 前一 分钟 多倒出 0.3 升，求出 以后 每分 钟各倒 出 多少 升水；
18、然 后把 它 们相加，求 出这 桶水 有多 少升即 可【解答】解：3.5+（4.5+0.2）+（3.5+5.32）+（2.5+0.4 3）+（3.3+0.34）3.5+4.8+4.4+4.4+5.7 20.5（升）答：这 桶水 有 20.6 升【点评】此 题主要考 查了 加法、乘法 的意义的 应用，要熟练掌 握，解答 此题 的关键是求 出以后每 分钟各倒出多 少升 水 11【考 点】等差 数列 版权所有【答案】最中 间一 次积 分是 110 分。【分析】等 差数 列前 后相邻 两 项的 差值 都相 等，33 次积分 的中 间一 次积 分与 最低分 和最 高分 的差 值都 一样，即 最低 分和
19、最高 分的 平均数。【解答】解：（42+178）2 2202 110（分）答：最 中间 一次 积分 是 110 分。【点评】本 题考 查等 差数 列，知 道等 差数 列前 后相 邻两项 的差 值都 相等 是解 本题的 关键。12【考 点】数字 问题 版权所有【答案】见试 题解 答内 容【分析】根据 相邻 的三 个数 字 之和是 18，可以 求出十 万 上的 数字是 18 8 3 7，那 接下 去万 位上 的数是 18 378，接 下去 算出其 他位 上的 数，再根 据千位 上的 数运 用四 舍五 入取近 似值【解答】解：十万位 数字：18 8 32 万位数 字：1837 6 千位数 字：187
20、8 2 百位数 字：1883 2 十位数 字：1837 2 个位数 字：1878 6 这 个数 83783783，837837838378 万 答：刘芳 家的 电话 号码是 83783783，这 个数 约等于 8378 万【点评】此 题主 要考 查数 位顺序 表和 取近 似值 的方 法 13【考 点】等差 数列 版权所有【答案】第 3 天。【分析】从第 1 天开 始每天 认 字的 个数 都是 前一 天的 2 倍，那 么前 一天 的个数 就 是后 一天 的一 半。已知 第 5 天已 经认 识了 32 个字，逆 推回 去，第 4 天认识 16 个字，第 3 天 认识 8 个 字，问 题得 解。【解
21、答】解：322 16（个）162 6（个）答：小 军认 识 8 个 字的 时候 是第 3 天。【点评】此 题主 要考 查了 等差数 列的 知识 和逆 推的 思想，要熟 练掌 握。14【考 点】等差 数列 版权所有【答案】12 只。【分析】第 二、三、四、五 年分别 比第 一年 多 5、10、15、20 只，共 多 50 只。那 么第一 年折 的只 数是（12050）5。【解答】解：（120 5101520）5 605 12（只）答：思思 第一 年折了 12 只。【点评】此 题主 要考 查了 等差数 列的 性质，要 熟练 掌握。15【考 点】等差 数列 版权所有【答案】见试 题解 答内 容【分析
22、】把每排 座位 数可 以看作 是一 个等 差数 列：末项 是 72，公 差 是 2，首 项 是 20，根 据项 数（末项 首 项）公 差+1，可得项 数 是：（72 20）2+127，然 后根 据高 斯求 和公 式 列式 为：（20+72）272，然 后解 答即 可求 出总座 位 数【解答】解：（72 20）2+1 528+1 26+1 27（20+72）275 92272 1242（个）答：这 个剧 院共 有 1242 个 座位【点评】本 题关 键是 求出 项数，然后 根据 高斯 求和 公式：和（首项+末 项）项数 2 代 入数 据解 答即可 16【考 点】等差 数列 版权所有【答案】见试
23、题解 答内 容【分析】由题意 可知，每 天所看 的页 数组 成一 个等 差数列，首项 是 3，末 项 是 79，项 数 是 20，根 据等差数列通 项公 式：（首 数+尾数）项 数2 和 即可 求 得这本 书共 多少 页；再求 得公差 即可【解答】解：（3+79）202 8210 820（页）（794）（20 1）7619 4（页）答：这 本书 共 820 页，每天 比 前一 天多看 3 页【点评】此 题考 查了 等差 数列通 项公 式：（首 数+尾数）项 数2 和的 运用 17【考 点】等差 数列 版权所有【答案】见试 题解 答内 容【分析】解 答该 题，首先 列出等 差数 列公 式，根据
24、已知条 件，求出 未知 项【解答】解：设等 差数 列共 n 项，公差 为 d1，由 题目 条 件可 知，n 10 根据公 式 an a1（n 7）d，可以得 出 125 a1（10 1）3，从而 得出 a1 188，故 首项是 188 【点评】关 于等 差数 列问 题，列 出公 式，根据 题中 已知项 求出 其他 项 18【考 点】等差 数列 版权所有【答案】见试 题解 答内 容【分析】第一 个人 跳 3 下，第 二个 人跳 5 下，第三 个人跳 7 下，形成 一个 首项 为 3，公差为 2 的 等 差数列，求 第八 个人 应该 跳多 少下，根据 等差 数列 的公 式，第 n 项 首
25、项+公差（n1），第 八个 人应 该跳3+2（8 1）17 下，据 此 解答 即可【解答】解：3+2（3 1）3+2 7 3+14 17（下）答：第八 个人 应该跳 17 下 故答案 为：3+2（88）17（下），17【点评】解答 此题 的关 键 是确定 首项 和公 差，然后 根据求 等差 数列 第 n 项的 公式代 入数 字计 算即 可 19【考 点】等差 数列 版权所有【答案】490 个。【分析】报告 厅的 座位 数（第一 排座 位个 数+最 后 一排座 位个 数）排 数2。代 入数 值进 行计 算即 可。【解答】解：（15+201+15）202 49207 490（个）答：这 个报 告厅
26、 一共 有 490 个座 位。【点评】本 题是一道 有关 梯形的面积、整数的 四则 混合运算的 题目，理 解题 意，找出数 量关系，列式 计算即可。20 141100【详解】由 题意 知我 们需 将种树 的地 点按 离园 林的 距离由 远至 近 每 9 个分 成 一组，但是 其中 的最 后一 组只有 6 个地 点(注 意，为什 么是由 远至 近来 分组，而 不是由 近至 远来 分组)汽车依 次将 树运 到各 组，需要走 的路 程最 少是 该组 离园林 最远 的地 点到 园林 距离 的 2 倍 最 远点 离园林 的距 离为 300+(150 1)50 7750，下 一组 最远 点离 园林 的 距
27、离为 7750 950 7300，再 下一 组为 7300 950 6850，恰好构 成一个 公差 为 450 的等 差 数列 又 由于 1509 166，故应 共有 17 组，最后一 项为：7750(17 1)450 550 于是汽 车需 要走 的最 少路 程为：(7750 550)1722 141100 米 21（1）10；（2）220【分析】（1）奇 数项 都是 1，偶 数项 是公 差为 4 的等 差数列，偶 数项 是 3，7，11，15，39，共 有（393）4 1 10 项，所以奇 数 项也有 10 项，有 几项 就是几 个 1；（2）分 别算 出奇 数项 和偶 数项之 和，相加 即
28、可。【详解】（1）奇 数项 有：（39 3）4 1 364 1 9 1 10 答：数 列中 有 10 个 1。（2）奇数 项之 和：101 10 偶数项 之和：（39 3）102 42102 210 10 210 220 答：数 列中 所有 数的 总和 是 220。【点睛】找 到数 列的 规律，即“奇 数项 都是 1，偶 数项 是 公差为 4 的等差 数列”是解答 此题 的关 键。22 38.【详解】试 题分 析：根据 题意，可设 最小 的偶 数 是 2N，因为 是连 续的 8 个偶 数，从 小到 大排 列出 来，后一个 都 比前 一个大 2，再根据 题 意解 答即 可 解：设最 小的 一个
29、偶数为 2N，由题 意可 得：2N+2（N+1）+2（N+2）+2（N+7）=248 82N+0+2+4+14=248 16N+（0+14）82=248 16N+144=248 16N+56=248 16N=192 N=12 那么最 大的 一个 偶数 是：2（N+7）=2（12+7）=219=38 答：其 中最 大的 那个 偶数 是 38 点评：根据 题意 可知，连 续的偶 数每 相邻 的两 个相 差都 是 2，设 出最 小的，一次排 列出 来，再根 据题 意列出方程 进一 步解 答即 可 23 3090 个【分析】每 后面 一排 都比 前一排 多 2 个座 位，即这 30 排 每排 座位 数
30、构 成一 个公 差为 2 的 等差 数列 由此据高斯 求和 公式 计算 即可：首项=末项（项数 1）公差，等 差数 列和=（末 项+首 项）项数2【详解】132（30 1）2=132 292=132 58=74（个）；（132+74）302=3090（个）答：体 育场 南看 台共 有 3090 个座 位 24 一共 用了 140 个棋 子【分析】由 题意 可知，棋 子数从 第一 层开 始按 照 18，23，28 数字 排列，这是 一 个首 项是 18，公 差是5，项 数为 5 的 等差数 列。求棋子 的总 数即 求这 个等 差数列 的和。【详解】18 5（5 1）18 20 38（个）（18
31、38）52 5652 140（个）答：一 共用 了 140 个 棋子。【点睛】本 题主 要考 查了 等差数 列的 应用。根 据题 意，结 合等 差数 列的 公式，对应 找出 各个 量是 解决 本题的关键。25 99 分.【详解】试 题分 析：由冬 冬加 21 分，依 然是等 差数 列，可 知冬 冬的 成绩 从最 低变成 最高，依 此可 求第 一组同学 的总 人数 为 213=7 人，再 根据 等差 数列 求项 公式得 到冬 冬的 正确 成绩 为 6097+34=99 分 解：213=7（人）6097+34=87+12=99（分）答：冬 冬正 确的 分数 是 99 分 点评：考查 了等 差数 列
32、，本题关 键是 得到 第一 组同 学的总 人数 26 6990 元【分 析】先分 别求出 12 个 月相差 的钱 数，再根 据等 差数列 求和 公式 即可 求解。【详解】1000 500 500（元）500（60 45）11 500 1511 500 165 665（元）。（500 665）122 1165122 6990（元）答：所得 的工 资总 数相差 6990 元。【点睛】考 查了 等差 数列 及等差 数列 求和 公式，关 键是得 到 第 12 个月小 王和 小高的 工资 差。27 228【详解】文 丽每 天学 会的 单词个 数是 一个 等差 数列，即 3、4、5、6、21 首项=3，末项=21，公 差1，所 以项 数=（21-3）+1=19 文丽在 这些 天中 共学 会了：（3+21）192=228(个)答：文 丽在 这些 天中 共学 会了 228 个英 语单 词 28 60 个【详解】已 知 a 1 21，a n 193，d 2 由 n（a n a 1）d 1（193 21）2 1 87 因求甲、乙 住处 相隔 多少 个门，所以 得 87 2 85