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1、2021-2022学年云南省昆明市普通高校对口单招高等数学二自考真题（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题(30题)fI c o s/s i n./)dx1.设F(x)是 f(x)的一个原函数.【】A.F(cosx)+C B.F(sinx)+C C.-F(cosx)+C D.-F(sinx)+C2.设事件A,B相互独立，A,B发生的概率分别为0.6,0.9,则 A,B 都不发生的概率为()。A.0.54B.0.04C.0.1 D.0.4J(sin：+l)dx=()。-c o s-+x+CA.4xsin+1+CC.47t _xsin +x+CD.44.函数y=L ln（工+2）的定义域是X
2、A,工KO 且 zK-2C.x 2R x 0D.x 2 且15 曲线y=a-(x-b yA.A.上凹，没有拐点B.下凹,没有拐点C.有拐点(a,b)D.有拐点(b,a)设乙=/，贝I J照dxayA.2x(l+x2y)e,C.2xy(l+x2)e?6.B.2x(1+”?把山D.xy(l+x2)et2),7.设z =(3/+/产 则 室 等 于 A.xy (3 x2+/产7B.(3JT2+y)严 ln(3 xz+/)C.y (3 x2 H-y )z,(3 x2+y)ln(3 x2+y2)+6/D.y(3 x2+y)-C(3 x2+y)ln(3 x2+/)+6 x28.设/1(x)=Mx +D(x
3、 +2),则广(x)=()A.6 B.2 C.1 D.O函 数 力 弋 二:黑 加 连 续 区 间 是()A.B.C.9.D-0,1）U（1,3 1,3 0,1）0,3 己知丁=学，(1)=10.“（）OA.O B.l C.cosl-2sinl D.cosl+2sinlei +c osi 为人工）的一个原函数，则，（工）等 于（）A.ez-s ix xB./s ix 2C.e：十 co s 工11.D.cz-co s x12设/（X）的一个原函数为xln%，则/（X）的导函数是（）A（lnrt-2）Inr（1 +In x）B.x2（1 -In x）C.x（2+lnx）D.x13.fl =3,+
4、1.设.则取y-，+l.必已知li m/(x)=/,则点沏是函数/(x)的14.一A.A.间断点B.连 续 点 C.可 导 点 D.连续性不确定的点15.下列命题正确的是()oA.函数f(x)的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点B.若 xO为函数f(x)的驻点，则 xO必为f(x)的极值点C.若函数f(x)在点xO处有极值，且 r(xO)存在，贝 IJ 必有F(xO)=OD.若函数f(x)在点XO处连续，则 f，(xO)一定存在已知/(x)的一个原函数为P e*,则 Jf(2x)dx=2A.4x2e2*+C B.2?办0 C.d e C D.e2x+C16.417.：4发生必然导致小件8
5、发生则事件A 和8的关系一定是(B.A2B塞件D.互不相容事件18.已知当工-0时,，4 +or，-2与 si n2j 是等价无穷小，则设 w =（2事），则 生=a.r dy-20.设函数“/()，且/二阶可导 则髭=(A.4?n(u)B.4xf?”(u)C.4yn(u)D.4xy?”(u)21.设函数人）在区间 a,瓦）上连续，则下面结论不正确的是4人工）必 是“工）的一个原函数B.j：f 山 是f（工）的一个原函数，（a V x V A）C.f a）d t是一汽工）的一个原函数，（a V h V 6）D./（x）在 a,句上是可积的下列等式成立的是.sinx:,A.巴 丁.ta n xh
6、 m r-B.si n”,_.li m-7-1C.，-J-si nxnli m 22.D-下列我中的数列为某随机变的分布列的是23.25o13Ac151rEBaJ s in j +4 2 )设函数/G r)=a z=0 ()A.0B.1 /4C.124.D.2lim(1 +J)*=A.1B.eC.2e25.D.e226.若函数则矗设z=.则广27.由A.A.O B.-l C.-l D.l28.已 知 版 少 总则 八；）=A.A.41B.-lC.2D.-4函数 z=工z y+y+9丁 一6y卜 20 有A.极大值八4,】):63B.报大值/(0,0)=20C.极大值f(-4,1)=-129.1
7、).极小佰“一4/)二一130.设/(X)=詈，则 J/(x)dxJ=()OCOS CXA.sinxB.x2+CC.X电+cD.x二、填空题(30题)设2=/，则 圈=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.31.哂32.曲线y=，+/在点(0,1)处的切线斜率k=力 已知当.r-*0时,ln(l-or)与7是等价无穷小,则。=J J34 设/(”)=arctanTFdz(x 0),则/(1)=3 5设=了）是由方程/4/一 疝1匕+65=0所.定的曲解数41力1，。设“)=xe，xx?0。则 Jf，2-37.曲线y=x+ex在点（0,1）处的切线斜率k=38.li m(1 =
8、LO 4设函数/（，）=ie2 x0 在点1=0 处连续，则常数A二I+cos x.xNO40.J；si n2,drli mx-Ox3鼠器八一42.si nrdf极限li m与 一043.设 jf(o:)dx=+C,则 jx f(l x2)cLr=4 4.设函数 f(x)=ex+lnx,贝(J F(3)=o将二次积分力 7（z,y）业改变积分次序为J】J 0当x-0时，若sin 3，x。，则a=47.48.设5近2十八则喧+啮=49.已知f(x-y,xy)=x2+y2-xy,则)1)+.(；)=,ox dy设 z=/(x,-),胃 疼=so.y ax51.若 f(x)=x2ex,则/(x)=.
9、52.J 2(x e+c osx)dx =.设 Z =J”,则 上=53.dxdv-54.设函数 G(x)=J：统 8,则 Gz(x)=.55.设fix)在 a.6 上连续，在(a6)内可导 fi./(a)=/“).则曲线y 二八工)在Q.&)内平行于工轴的切线()A.仅亦一条 B.至少有一条C.有两条 D.不存在56.设 z =彳1y +工 3,则 若+言=.57.设函数 6(H)=，/I T Fdt,则 0 (z)=.58.jx/Cx/Cx dx =59.1(x+1)(*+2)d*-,60.设 f(x)=Vl-2 x ,则,(0)=.三、计 算 题(30题)/I设函数y =N(H)由参数方
10、程=c os/.y =si n/-tcost确定,求乎.Ol.rtz62.求 微 分 方 程2 _v-3、一 ：I的通解.6 3设函数/Q)=(T-。)屋工),其中屋工)在点工=。处连续.求/(a).64.求u s 的全微分.65.设z为 由 方 程f(z +y，y +z)=o所 确 定 的 函 数，求 偏 导 数z,.66.求 函 数z=x2+y2+2y的极值.67.求 4求 定 积 分，-z.(lrL r)2djr.68.人 行69.设函数y=x4sinx,求 dy.求函数y =2 1）+-1 2 x +1 的单蠲区间./U 71 求H 分方程 Z=X +1 是 dr dy80.求函数f(
11、x,y)=x2+y2在条件2x+3y=l下的极值.81.已知函数 f(x)=-x2+2x.求曲线y=f(x)与 x 轴所围成的平面图形面积S；求的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积Vx.82.求函数f(x)=x3-3x-2的单调区间和极值.83.设y=y（x）由方程e，,所确定.求上.84.求函数 f(x,y)=4(x-y)-x2-y2 的极值.设外为可微函数且播足方程：85.求函数/（X）.86.巳知函数工=x（y）由参数方程Jy=arctan/确定.求87.求定积分J ln（l+G）业.x=r ln(1 +f1)88.计算L f必8 9 求函数z=arctan（x ）的全微分.计算定积
12、分/coVjrsinxdjr.90.J。四、综合题（10题）2（j 1）9i.证明，当了 时9 2 证明 r 当 OV l V 时,cosw V 充 5 +L93.求 函 数、=6/一函的电调区间和极值.94.设函数/（外在闭区间 0,1 上连续.在开区间（0,1）内可导且/（0）=/（I）/（7）=1,证明:存在 s w（0,1）f t/（e）-i.95.求 函 数/（，）艇 嘛*在定义内的大值和最小值.c n求函数y =（，-1）（，一2 尸山的单洞区间及极值.96.J i 明 t 当？0 时有：1 I n L+i I C C K I103.设平面图形是由曲线y=2 和x+y=4 围成的.
13、x(1)求此平面图形的面积4.(2)求此平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积七.设 z=z(x,y)由方程 e*-xy+cos(/+z2)=0 确定，求 dz.104.105.(本题满分10分)设“，(*,y)由方程e-x/+必G+x)=0确定，求k计算lim106.l-5 x +6107.(本题满分10分)求曲线)；=彳及直线x=0.y=l 围成的平面图形的面积s 及此平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积匕.108.证明双曲线y=l/x 上任一点处的切线与两坐标轴组成的三角形的面积为定值。109.设 有 号 码 为1 5的5个 球 及 标 号 为1 10的10个 盒 子.将 这5个 球
14、 放 入 这10个盒子中，假设每个球放入任意一个盒子的可能相同，求下列事件的概率：(1)A=批 定 的5个盒子各有一球”；(2)B=5个 球 只 能 放 入5个盒子”.4-?lim-r-2-.110.计算。S in 1r六、单选题(0题)111.一次抛掷二枚骰子(每枚骰子的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),则向上的数字之和为6的概率等于()A.1/6B.1/12C.5/18D.5/36参考答案1.Bcosx/(sinj)dx=J/(sin_r)dsirtr的=F(u)4-C-F(sinx)+C.2.B3.D注意到被积函数/C O rsin巴+1是常数.由不定积分的性质，有4J(si
15、n：+l)d/(sin+1)J dx =(sin +l)x +C4.D5.D函数的定义域为：(T,+8),|-y，=-(x-b)32-当x=b时，3r不存在.因为函数/(*)在x=8点处连续，且当时，曲线y下凹：当x匕时，y”0,曲线y上凹.所以x=方是曲线)，的拐点横坐标.火为=公故曲线的拐点为：S，办 解 析 因 为 生=/，2盯OX所以 =(2xye)；=(2x+2xy x2)ei2=2x(l+x2y)e,，-y6.B M y7.D因z=(4 +y?)可看作是z=3/+y,v=zy复合而成，空=安*+当*=di du dx dv div IT”6x+u*ln JI=(3/+/),6z+(
16、3z，+y?)”ln(3/+力 y=y (3/+y)1 rL(3J:+y)ln(3x2+y)+6z2.8.A【解析 1 因为/(x)=/+3x、2 x,所以/，(x)=6.9.A10.C因为(sin x)-x2-sin x-(x2)*xcosx-2sinxx3所 以 川“i=8 s l-2 s in l.ll.D12.B因为/(x)=(xln2x)/=ln2x+2lnx=lnx(2-lnx).所以/(x)=(2+lnx),+Llnx=2(l+lnx).x x x13.114.D因 为 中 的/不 定 等 于 函 数 值/(刈)，所以在xo处的连续性是不确定的，故选D.15.C根据函数在点xo处
17、取极值的必要条件的定理，可知选项C 是正确的。解析 根据原函数的定义可得J/(x)dx=x2e，+C16.B17.A所以 J/(2x)dx=-J/(2x)d(2x)=-(2x)2e2x+C=2x2e2x+C2 2答 应 选 A.提示本题考查的知识点是事件关系的概念.发宪两个事件相互包含的定义,可知选项A 正确.18.419.y(x -2yY A x 2 y)，ln(1-2 y)+y(x 2y)r 2 _y ln(H -2 y+2 W /20.D 此题暂无解析21.A22.B23.C24.B25.D26.2xcosy27.B设 ir=xy.则 z=4 LD u d z d z d u 1 I 1
18、 y因 为窿=流i=/=而 丫=北,所以dzdx|(i-/(0+0)=lim/(x)=lim(1 +cos x)=2,v ff(0)=(1 +cos x)|.0=2,所以k=2.40.limx-50“in2 d（料Xs in ix 1 sin x.2lim 5 =-(h m )i o 3x2 3 i o x1341.sinxe+142.143.-j(l-x2)2+C45.-(3/2)46.dr j/(jr.y)dy47.6【解析】因为 理 学 工 理(竽)工 击=lim1 =1 (当a=6 时)XTO X。-6所以当a=6时，有sir?，X.XTO).48.2由 生 =2 7，生=_区_，所
19、以 工 匹+四 =2x2 2y2=2a_r xz+y1 dy x2+y2 dx y dy x2+y1 JC2+y2 49.2x+12x+l 解 析：因为 f(x-y,xy)=J?+y-xy=(x-y)2+xy所以A)”.).则也+吟5=2 1dx oy+L 更 f v=1 更f v=150 dx y a y)dx y yf(x)=W+x2e*51.(2+4x+x2)ex(2+4x+x2)ex 解 析:/(x)=(2+2x)e+(2x+x)e=(2+4x+x)c52.22注意到xe x是奇函数n n所以 (xe-r 4-cosx)dr=2 jcosxdx-2253.【答案1应填2xe”.将 函
20、数z写 成z=ex2.ey,则很容易求得结果.54.2工、一 2上 一 55.B56.H+、+3J?工+、+31257.3X2 x/H-x6 Z x，1+工,3/2%，1+工$58.;/(炉)+。59.应填 ln|x+l|-ln|x+2|+C.本题考查的知识点是有理分式的积分法.简单有理函数的积分，经常将其写成一个整式与一个分式之和，或写成两个分式之和(如本题)，再进行积分.(-5-dx=(-1-!)dx=In I x+1 I -In I x+2 I+C.J(x+1)(+2)Jlx+I x+2l60.f，=f=,vl-2 x(-l)1 2 x (1)(V1 2 x/_ 1f(x)=/r(J l
21、-2 x)(1-2x)2所以/*(0)=-l此因61.由于因此dxdis i*学=dz62.=did/-d.-rd/yn/s.d/=dxSIcost-cost+/sinr t5int.-sinrCOS T cosr+/sin/=tsint.dvd7-dr-d/-亚A rsinr曲分方程对应的齐次方程为y-2y 3y 0,其特征方程为一-2.-3=0.特征根为r,=3,rt=一】，故对应的齐次方程的通解为y n G e +a e -（C1,C,为任意常数）.由于自由项八幻=（3 i+D e”,A=0 不是特征根故可设特制为y =A+Rr 将 y 代入原方程得-2B 3A-3 Hr=3x+1 有-
22、3 B=3.-2 B-3 A 1.故 A=J ,B=1 .从而 y，s J所以原方程的通解为y=C,e1*4-C,e 4-1 -x（C,C,为任意常数）.J曲分方程对应的齐次方程为y-2y 3y=0.其特征方程为r*-2 r-3 =0.特征根为r,=3,r,=-1 .故对应的齐次方程的通解为y=Ge”+Q e F G.G 为任意常数）.由于自由项/（J）=（3 x+l）e9*.A=0 不是特征根.故可设特解为y*=A+Rr.将 y,代人原方程.得28 3A 3 Hr=3x+1 有-3 H=3.-2 B-3 A =1.故 A=g ,B=1 ,从而 y，所以原方程的通解为y=G e+G e +为任
23、意常数）.*（1）在.r=a 处 连 续.于 是 lim g（H）=g（a）.利用函数的导数定义.知lim&）-=Jim 红二Ggf=linvr（x）=g（a）存在.63.故 八）在 才=a 处 可 导 且 f（a）g（）.*（才）在 z =a 处 连 续 于 是 lim g（z）=ga）.利用函数的导数定义.知1 加这三3=l i m 二。3（4-jyscc,(ayz)ck.因为“，=yzsec1(xyz)9uf=jrzsec:4-jscd(jyz)dz.65.由隐函数求导公式知I由IS函数求导公式知门,“(r+y +：)ft(1+yy+m).66.由更=2x30.dx虫=2y+2 令 0.
24、3v得驻点因为 4=9 =2.B=0,C=-4dx(O.-I)dxd)1(O,-I)d y所以BYC=-40.从而可知,(O-l)=-1为极小值.67.令=，则1=J 4!=2fdz,故f-.=市=2 f 电JG(】+J M I+产 q i+=2,(O.-t)=2arctanZ+C=2arctan G +C.令/T=，则/=djr=2f市,故.-=f dr=2(-G(l+i)J 1+/2=2arctan/4-C=2arctan/x+C.J 我(InjJcLr.2J(ln-r),d(Z7)=2 G(D”!-J -Irkrdx=8e sj lnjrd(/x)=8e 8严词;於=8c-16e+16
25、yfx J=8e 1668.8(e 2).j L(l a r)fc L r 2 J (l n j r),d(V j f)p,8 e 8 j l a r d C v/x)=8(e 2).69.因为 y,=4x3sinx+x4co sx,所以 dy=(4x3sinx+x4cosx)dx70.y=6/+6 i 1 2 =6(r +z 2)=6(1 +2)(工-1),令 y =0得力=-2.=I.列表讨论如下：Jt(-8,2)-2(-2.1)1(1 +8)y+00+yZZ由表可知单调递增区间是（-8-2 U（1+8 单调递减区间是-21。y =6X:4-6X-1 2 =6（J:+T-2）=6（工 +2
26、）（工一 1）.令 y =0.得为=-2.X?=1.列表讨论如Jt(一2)-2(-2 d)1(1 +8)y+00+yzz由表可知，单调递增区间是（-8,-2 U（1,+刘,单调递减区间是-2,1。71.该题属于y=/的微分方程,可通过连续枳分求得通解.对/=i+i 两边积分.得/十，+工+G.将 初 始 条 件/(0)-1代人.得G1.即y=#+1+I.两 边 再 枳 分 得=*+#+)+6.将/(0)=0 代人.得C,-0,即=*+#+两边再积分得y=拉+#+犷+。，将 y(0)=2 代入.得C-2.故所求特物为，=录+*+犷+2该题属于炉“=/(x)?0的微分方程,可通过连续积分求得通解.
27、对/=n+i 两边积分.得/=3，+工+(；.将初始条件/0)-1代人.得G1.即y1-yx1+x+1.两 边 再 积 分 得/+#+_r+C,.将 y(0)=0 代人.得C,-0.EP=*+#+*两边再积分.得y=/+#+犷+。，将 y(0)=2 代入.得C,-2.故所求特制为y=/+#+272.因为 y=3 x2cosx-x3 sin x,所以 dy=y,dx=x2(3cosx-xsin x)dx.0 r4 1 ,则区 域D可表示为：.sin xdj工73.:j (1 cos2x)clr区 域D可表示为:o x n则用岫4明苧d y =J：竽.心=%也Y1(1 cos2x)dx74.令 一
28、”=，.则当时 有，-8 所以令 一 工=，.则当1-8时.有，-8.所以设 F(1.y.z)=*+y xyz1 则Ft=2z-yz2.Fy=3yl-JTZ1.F.=-2xyz.生=_ f t =红二,在=_ f l =3-75.3x F4 2xyz dy Ft 2xyz设 F(z,yz)=J-：+yl xyz1,则F,=2.r-yz1,F,=3y xz2,F,=2xyz.生=_&=.在=_ J=3yJ-x z1dx F2 2xyz dy Ft 2xyz76.5=(4-x2)dx-J(4-x2)dx=(4 x-y)L-(4X-T)L=,6,匕=宣/dy=IT J4(4-y)dy=ir(4 y-
29、；/)I=8n.77.积分区域D 如图所示，D 的边界/+V =l、/+y?=4用极坐标表示分别为r=1=2,故枳分区域D 在极坐标系下为(r.t f)|04 夕&2 x,l 2,故.(L rd y =|d r2 con2 Or drI)2j cos?0d0j rJdr31曲c os2 OdO号j 2 c os?O d d竽(1 +c os2 0)此=和+加2 同：=竽.cos Odd=（1 +cos20）d515r n,1 .3nl】5-=w（6+K*n 2。）=o Z I o 4被积函数分子分母同乘（1-m ix）得f 皿1 1二 胆 立clr-f 吗Lr-fta n d rJ I-3?工
30、 J c o#x J=_ f如 竽：_ f（n）业J cos 工 J=-I sec,IAX+I d-r78.COSJ-J J=l/cosx-tanx+x+C被积函数分子分母同乘（1 一 s i 2）得f （1 一：但d r=f 吗 d x -ta n cL rJ I-B i n-J c o slx J _ d 2 -f（5 e?x-l）dzJ co,1 J=c o 3 卜cc d，J -4为极小值/函数f(x)的单调增区间为(-8,-1),(1,+8)；单调减区间为(-1,D o 极大值为f(-l)=0,极小值为f(l)=-4.83.解法1等式两边对x 求导，得ey-y-y+xy解得解法2等式
31、两边求微分.得解得d（e，）=d（xy）,cdy=ydx+xdy,端 上.dx 一”4.,dx曳dv.解得:二;即驻点（2.-2）,在点M处行=-2.8=0.C=-2.H2-AC=-4O.4=-2两端再对上求导得(I x)/(jr)=2x/(x)-h(JT)即=(1-3X)/(J),上式是可分离变量的微分方程通解为/(x)=C r eh C为任意常数).V/(x)为可微函数.方程式两端刻才求铮得jl-/)/(/)(arctanr)TT?于是，答=歹-产，=口：一 =Z C z-lX +l).dyl(arctan/)r+?于是.d_r5 7由求导公式.，-ln(1 +，:江 _ I(arctan
32、r)(arctanz)二2 q -)=2(/lxf+i).ln(l+石)d.r=jln(1 +i+，,287.M2 一打:备匕由于J备dr=告令而一 口+告产=彳r+In I 1 +/I 3|-一 -+In2.故 j ln(l+/7)Ar=In2 4-y -In2=y.J jn(】+(Lr=zln(1 +石)J ：-=ln 2 _：J：禹 业由于白？*工=r hd/(令-4、=J：(Ll+7)d/=彳 r+In I 1 +/1 3 1 B+In2.故 j ln(l+Zr)dx=In2+y -In2=y.用换元积分法,令/=tam,则-sec2 tdtf tan/sec/cscz cotzdrJ
33、f88.用换元积分法.令I=tan/.则-.d.r I,-sec2 rd/r?，1 +4 Jf tan z sec/J.cscz cotrdr,3/2-2 7 3 esc/=-5 .az N i-+-三 J f，尸.n。=,i 4-xy89,.&=兰/d r+pdy.设 u=C O D,则 d u=si mrc t r,当工=0时“=I s 当 j r =g时 ”=()mn 原 式=一 d u=y I=4.90.Ji 4 h 4设 u=c osx 则 d u=-si n/d j当工=0 时“=11当 工=号 时 “=()原 式=-jd u=_ ：=.91.将不等式变形为+D lnx 2(x-I
34、).设 F(T)=(x+I )lnx 2(j-1).则 F 1 时,只要证明r(x)Fz(l)=0.即证Fz(x)为单调增加函数即可.由于 F*(j)=-L x x*jr当工 I 时.F*(r)0.所以r t x)为单调增加函数.即 当 工 1 时.F a)F】)0.由于尸(工 0.傅F(x)为单蠲增缔函数.所以当,I时.F(*F(l)-0.即当/1 时.(j r+l”nj -2G-”0.所以当上 1时.kvr 1 r +1将不等式变形为(x+D lnx 2 x-1).设 F(x)=(x 4-1 )ln.r 2(x 1).则 F 1 时,只要证明厂(工)F (l)=0.即证尸(工)为单调增加函
35、数即可.由于 F*(X)=-L =，-y!x r i当工 1 时.F*(r)0,所 以 r(j)为单调增加函数.即当 1 时.F (_r)/(1)0.由于F 0.薄F(x)为旗蠲埔博函故.所以当 1r 1 时.F Q)F(D -0.即当，1 时.(*+I”nx-2。-1 0.所以当上 1时.12 2(j r-,n.92.设函数/(J)=1 y +1 COSJT.X (W 卜八)=0.而f 1 x +sinx.f (0)=0,/*(x)工-1 +CO KT./*(0),=0./*(x)=1 sinx O.H (0玲).则/*(Z)为增函数.所以对于tW 有,(0)=0成立.所以(G)为增函数,对
36、于工/(j)/(0)=0 成立.所以/(x)为增函数.对于工(0 W).有/(工)/(0)-0成立.即-j4-l-c o s u-0.所以 CO SJ 0工(Ot-y)则(a)为增函数,所以对于工 有，(工)/(0)=o成 立.所 以 为 增函数，对于才(。吃)有f()/=o成立.所以/(x)为增函数对于才w(W)，有/0.所以 C O SJ-z=4(6_r-12x 3x*)=4二 *3&6 T-_ 工(4-)_ 4 jy(6x*-jrV 力(6 1 一，令，=0 得驻点N=4.另有不可导点H=0 及 1=6,函数的单调性列表讨论如下，由上述讨论可知.函数的单调递增区间为(0.4)；单调递减区
37、间为(-8.0)与(4.+8),且函数在I=0 处取得极小值/(0)=0.在1=4 处取得极大值，/(4)=2 XJT-8.0)0(0.4)4(4.6)6(6,+9y一+y、Z、该函数的定义域为(-o.+o o).=-|-(6x*x1)T(12X-3T2)4工一工 7 k r 一 r =彳(4-1)=4-*j (67 1)?一 工(6 令，=0 得驻点x=4另有不可导点*=0 及 1=6,函数的单调性列表讨论如下:由匕述讨论可知,函数的单调递增区间为(。河八单调递减区间为 一8.0)与+8).且函数在1=0 处取得极小值八0)=0.在r=4 处取得极大值，/(4)=2 XJT 一8.0)0(0
38、.4)4(4.6)6C6.4-00)y一+一一y、/94.构造疏敷F(x)-/O.F(1)l 内可号且F(0)=F(J)=0.所以满足罗尔定理的条件.故存在一点W W (Otx.)C(O.l)使F*(e=0.即/-1-0.所以存在 6(0.1使，)-1成立.构造成数FG)-fix)x.财函数E(z)在 0.1上连续且)-y O.F1)=-l 0.由零点定理知在(+”)内存在一点4 使F(x)=0乂因为南数F(JT)在 O.4 上连续.在0.了)内可号且F -0.所以璘足罗尔定理的条件.故存在一点(6(0.x.)U(0.1)使F*(fy=0,即/()-1-0.所以存在s w(0.1)使 r(e-
39、1成立.函 数/(X)=工 厂 的 定 文 域 说 二 8.+8).且 函 数/(X)处处可导I因为f (x l=e jre e(1 x).令/(x)=0.褥驻点 i =1.且 l V I 时/(G 0;当工 1 时./(z)V O.所 以 八】)=e-L 为 函 数/(x)的最大值.C又因为lim/(.r)=|im=*-oo|lim f(j-)=lim xc =lim=lim 4 =。i /s，十 e 4V.e95.于是.函数/()在其定义域内无最小值.函 数/(X)=工厂的定爻域萩一 8+8),且 函 数/(X)处处可导I因为/(x)=e*jce*e*(1 x).令/(x)=0.得驻点 _
40、r=1.且/V I 时/(工)0;当工 1 B-t./(x)0.所 以/(I)=e-工为 函 数/(j-)的最大值.C又因为lim/(x)=lim=O|4 1 一，C J4 a e e于是.函数/J)在其定义域内无最小值.96.函数的定义域为(-8.+8).因为丁=(X-IX X-Z)*.令/=。得驻点为1=1，=2.函数的单调性列表讨论如下，X(-0 时函数八)在.l+工 上满足拉格朗日中值定理的条件,于是在(1.1+工)内至少存在一点&使ln(1 +x)-lor.f*(f)1 又JTVSV i+I 于是有v v L结合上式,有T-T ln(1 +x)Inx 1-y +-1-0.6167 0
41、.6=0.0167 0.:.由零点定理知,/(工)在(0.D 内至少有一零点即方程|：=在(。，】)内至少有一实根.又，(/=言 三 0,(0.1).故/(x)在(0)内单调递增.于是函数 V=/(x)与J轴至多有一个交点即方程/(工)=。,也是=上 在()内至多有一个实根.所以方程在区间内只有一个实根。原方程可化为J；告 上 o令/（x）=则/（工）在10,1 上连续,且J0 1十，1 v/0）-p y+y y+y-j-j-|-0-6167 0-6=01 0 1 6 7:,由零点定理知，工）在（oi）内至少有一零点,即方程|,匕 也=七 在（）内至少 有 一 实 根,又=不丫一 0.x （0
42、.】）.故/（工）在（。，】）内单调递增。于是函1 T Xa .v=/（X）与J轴至多有一个交点,即方程/=。也是J =上 在（）内至多有一个实根.所以，方程在区间内只有一个实根。99.令/（x）=4/一1一/7 则 f i x）=4x 1 arctanx*且 /（x）的定义域为（-8.+8）.因为/（0）=-1 0.所以.由零点存在定理,可知函数/（X）在（0.D 内至少存在一个零点.又/（公=4-武7=f o.所以J Q）在（0.1）上是单调递增的,即函数/Q）f t（0.1）内有且仅有一个根.令/（工）r 4工-1 /：，j.则 f ix）=4x 1 arctanx.0./（x）的定义J
43、o I 十 域为（一oo.+oo）.因为/（0）=-1 0.所以由零点存在定理,可知函数/（X）在（01）内至少存在一个零点.又,（力=4 一 洋;7=咨 等 0,所以J Q）在（0.D 上是单调递增的,即函数/Q）在（0.1）内有且仅有一个根.首先求抛物线y =2在 点 处 的 法 线 方 程.由导数的几何意义知.点（5”）处的切线斜率为T所以该点处的法线斜率为士=-1.故法线方程为（1）可先画出抛物线y =2 x与点（1）处的法统所围成的平面图形的*图.y1 2 z,先求方程组，3得交点为x+=731选y为枳分变量,积分区间为-3.1 ,则所求平面图形的面积为5=4-山一/孙100.=（先
44、 家一台|：竽.（2）绕,轴旋转所成旋转体的体积为丫 =也 一 nJ；弓 一 外 出H X，|：+T：勺 一 力；=竽*.苜先求抛物线y =2J在 点 处 的 法 线 方 程.由导致的几何意义知.点（十1）处的切线斜率为y l,“=q所以该点处的法线斜率为A =-1.故法线方程为y-1 =_ 1（1 ：）即x+=y.（1）可先画出抛物线y =2 x与点（十）处的法统所围成的平面图形的草图.yz=2 ，先求方程组5 3得交点为(力M33)-选y为枳分变量,积分区间为-3.1 ,则所求平面图形的面积为S=j/弓 -y）I力d yY T T 川 二 一 印（2）绕x轴艇转所成旋转体的体机为V=xJ：2 i01.e，+e;2