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1、2022-2023学年云南省昆明市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（40题）1.设区域 =（*.，）/+wM.将 手，:-：,在设坐标系下区为二次积分为（）.工 I r tir R.J d&Jirsdr C.1.ddj rdr!）.J lt/i rf(x0-2h)-J(x0)lim-2.设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且卜则 f(xO)等于().A.-l B.-1/2 C.1/2D.1lim(!-2x)*=3.2 ()oA.eB.e2C.e3D.e64.则 等于（）.5.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x,则 k 等于()。A
2、.2B.1 C.-l D.-26.设函数 f(x)在 0,b 连续，在(a,b)可 导,f(x)0.若 f(a).f(b)j7(x,山dr的积分区域。可以表示为12.。O W xW lAO W xW lx W y W 1B.O W x W yc J o w y W iO W xW lO W v W x已知全集0=023,4,5,6事件代=。,2,3 .则事件A的概率p（等于（）_6_ 15A.21 B.21 C.2 D.1C.x3+Clim15.()oA.e-2B.e2Z3C.e2/3D.e2设 j=cos3x,贝ij y=A.sin3x3C.3sin3x-sin 3x3-3sin3x17.微
3、分方程y+y=O 的通 解 为（A.A.y=eB.尸尸).C.尸Ce*D j=Ce-,1 O设函 数 产J +l,则孚=鼻18.A.3B.x2C.2x1D.2函数/)=19.X-10,x1.A.A.0B.1 C.2 D.不存在20.设函数f(x)在(0,1)内可导，f(x)0,则f(x)在(0,1)内A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调21.以下结论正确的是().A.南缴科3)的导鼓 ;至不是/(二)的极值点B.若的,为函数/(%)的 非 点,则.心 为 的 极 值 点C,若通数/(二)在点,处存极值田/(，)存在,喇必有/(。)=。D.-22.过点(1,0,0),(0
4、,1,O),(0,0,1)的平面方程为()A.A.x+y+z=lB.2x+y+z-IC.x+2y+z=lD.x+y+2z=l23.下列命题中正确的有（）设级数/收敛，发散，则级数（”.+0可能收敛A.A.7 ”I设级数 4收敛，“发做，则级数（“.+小）必定发散B*设 级 数 收 敛，且“？”=%，4+1,.“），则级数v.必定收敛设 级 数+匕）收敛，则有+吟=2“”+2为二重积分J J f（x,y）dxdy=j/（x,y）dx的积分区域。可以表示为。这 xW l0 W y W1O W x W yO W y W lO W x W lx近 y W 1O W x W lO W y W x|7(，
5、)市25.设f(x)为连续函数，则八)等于().A.A.f(t)B.f(t)-f(a)C.f(x)D.f(x)-f(a)26.5.下列广义积分收敛的是)C.VTdx27.设 函 数)住官I：连续，八 八0)f =0.则 必 定 存 在 一 点a 6)使得A.f(V 0B./($)0 时,2x+x2 是 x 的A.A.等价无穷小B.较低阶无穷小C.较高阶无穷小D.同阶但不等价的无穷小/（X）=（X237.设函数 A.2 B.l/2 C.l D.-2“#0=彳 在 x=0处连续，则等于()。38.设函数f(x)在区间(0,1)内可导，F(x)0,则在(0,1)内f(x)().A.单调增加B.单调减
6、少C.为常量D.既非单调，也非常量7 x-1 y+2 zzi：r=r=T3 9.设有直线 1-八11与 12平行时，入等于（）.A.l B.O C.-1/2 D.-1工等于（QU）、-一+Csin x A.sin x-；-1-h人CB.sm x_ y+1 _ z+54-当直线C.-cot x+CD.cotx+C二、填空题(50题)41.42.设f(x)在x=0处可导，且lim坨 二 止 区=1,则/(0)=_.x-K)x若/(，)dr=2e”-2,则x)=_.43.Jo*+ooe-x dj?=_,44.046.设当JTK O时，八了)十 上,F(.r)住点n =0处连续.*#。B九F(=/G)
7、,则F(0)-_.fdx=_.47.J x曲线y=4-+l的水平渐近线方程是.48.x+,49.设 z=sin(x2+y2),则 dz=。50.设当工会 0时，f(z)=电 四，F(z)在点工=0处连续，当 工 中0时，F G)=x人工),则F(0)=.51.设 lim =1 贝ij a=_-“fl sin(x-l)52.设sinx为f(x)的 原 函 数，则f(x)=。53.设x=f(x,y)在 点p0(x0,y0)可 微 分，且p0(x0,y0)为z的极大值dzdx A、。54.clim(-)=x-*o x tanx55.J-x+45 6j3cos.t=*.,=1所围成,则fdrdy _,
8、69.70.交换二重积分次序J(?dxJx2xf(x,y)dy=。71点 M.(1.-1.2)到平面2工 一 了+3 z-1=0 的距离d=.(,=0=.、=0.v=l 圉成的，忆 则 小 h 小=一/73.设 f(x,y)=x+(y-l)arc sin x,则 f；(x,1)=.已知 z =a r c si n (x y),d z=74.75.微分方程/=e*的通解是.76.微分方程xdx+ydy=Q的通解是.77.微分方程yn-y-2y=0的通解为.函数y=2x3+3X2-1 2X+1的单调递减区间是78.79.80.微 分 方 程0的通解为_81.2微分方程y+4y=-x的通解是.x82
9、.微分方程+)=。的通解为83.已知二/曲=2 9，贝ij r(x)=.84.f x+285.ig y=cos3x,贝 U y，=。设y X z y+y Z,则 亚 叁M=.86.31or级数t 2 的 收 敛 区 间 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _87.J 3n88.函数)=J-2 l在区间 1,2 J上 的 最 小 值 为.89.过M0(L-1,2)且垂直于平面2x-y+3z-l=0的 直 线 方 程 为.90.J d x,d y =.三、计算题(20题)91.当x *0 时 f(x)与 sin 2x是等价无穷小量，贝！)92.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1,1
10、)处的切线1的方程.93.求曲线=+2在点(i,为处的切线方程.94.证明：当 xl 时.xl+lnx.95.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D 为 lgx2+y2W4,x0,y0,其面密度u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.96.研究级数上(一)2 的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a0.97.求微分方程、+3+20的通解.98.求函数f(x)=x3-3x+l的单调区间和极值.99.计 算f arcsin xdx.100.设抛物线Y=l-x2与 X轴的交点为A、B,在抛物线与x 轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2-1所示).设梯
11、形上底CD长为2 x,面积为S(x).(1)写出S(x)的表达式；(2)求 S(x)的最大值.101.计算总工2102.求 函 数/二一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.求事级数2/的收敛区间(不考虑端点).103.104.求一 阶 线 性 微 分 方 程 y-；y=x满足初始条件M，“=。的 特 解 105.将 f(x)=e-2X展开为x 的寨级数.106.求微分方程y”-4y，+4y=e”x的通解.107.已知某商品市场需求规律为Q=100eQ25p,当 p=10时，若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?1（由计算/占 位 也Ivo.J r109.设z=z（x,y）是由方程x，y
12、 J=0所确定的隐函数，求言110.设 区 域D为：/十丁 4沙2 0，计算JJ 7 x2+/d x d j.D四、解答题（10题）111.曲 线 丁+2初+3=0上哪点的切线与立轴正向所夹的角为9?4112.设二元函数N =+z y+1,求急113.计算,（1+/）山打.其中口是由y=/：,/一】及工物所闱成的平面区域.114.求微分方程y-L y=-l的通解.X115.计算二重积分/=JJ（，+2）,其 中。是，+y 2 4,x20,yD2 0所围的平面区域.3 2 2dxdy设微分方程（+9 y=0的一条积分曲线过点伍，-1）,且在该点与直线x-y=l+n相切，求此积分曲线的方程.116
13、.117.求曲线y=+2在点（1,3）处的切线方程.118.设 y=ln（l+x2）,求 dy.119.计算.TA120.求 J xlnxdx.五、高等数学（0 题）121.已知f7（H）d/=2x求J /（x）dx.六、解答题（0 题）122.设 z=2xyz+ysnx zcosy,求参考答案1.A本题号查的知识点为将用积分化为畏生标系卜的次枳伤由于在横坐标系下枳分M域可以一小一0 W W 7 T .0 W W”X 比(xs )=J J f fd 二|J rdr.故却应选A.2.B由导数的定义可知-2 必 口1 =l i mJ O=limi-2h/，(%)=-可知 2,故应选B。3.Alim
14、(l-2 xA =iim,1+-2力 产,=e 因此选A.4.D二点的知供点力“合函数求号数的徒式法则.v=sin 21.*=rof(2x),(2.r)*=2c5.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)，=ksin2x,TO(cos2x)=(-sin2x)2,可知 k=-2o6.B 由于f(x)在 a,b 上连续f(z)fb)0,可知f(x)在(a,b)内单调增加，因此f(x)在(a,b)内如果有零点，则至多存在一个.综合上述f(x)在(a,b)内存在唯一零点，故选B.7.C 解析 由原函数概多hu是/(x)的 个原函数时，有/(x)=(k u)=X8.Dy=x-
15、x +l 在-1,3 上满足拉格朗日中值定理,y k-产，ylz=7,y=2 x-l,因此由可得f =l,因此选D.2 ln2 Ini 1 .19.D 由拉格朗日定理J?-/=/),2-1 0 I*=版10.C11.B12.D由所给二次枳分可知区域D可以表示为OWyWl,jW x W l.其图形如右图中阴影部分.又可以表示为OWx Wl,OWy Wx.因此选D.13.CL-dx=14.BJ 315.Blim fl-Y =lim 1 +=e 1.因此选 B.解析 y=cos 3 x,则 j*=sin 3x (3x)=-3 sin3x.因此选 D.16.D17.D本题考查的知识点为一阶微分方程的求
16、解.可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解.解 法 1 将方程认作可分离变量方程.分离变量 业=-dx,y两端分别积分=lny=,或y=Ce-解法2 将方程认作一阶线性微分方程.由通解公式可得片”+C =e-，(jo edx+C)=Cex.解法3 认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解:特征方程为r+l=0,特征根为r=-l,方 程 通 解 为 y=C e,1y=工，4 1 奥=2JT.18.C d.r19.C本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系.由于 lim/(.r)=hn-=lim()-2Plim(*:+)
17、=2.可知 lim/(x)=lim/(x),从而li硕”)N 2,应选C.20.B由于f，(x)0,可 知.f(x)在(0,1)内单调增加。因此选B。2LC22.A23.B若收敛，%发散，则 (“+匕)必定发散.否则证d N|w*l(4+匕)收敛，由 收 敛 级 数 性 质 可 知=(“*+v“)-v”收敛，与己知矛盾,可知A不正确而B正确.如 1发散，(-D发散，但是(I-D=O收敛，可知D不正确.*1 I“、v”可能为任意项级数，因此c不正确24.D 解 析由所给二次积分可知区域D可以表示为OWyWL yW xW l其图形如右图中阴影部分.又可以表示为OWxWl,Oy&x因此选D.25.C
18、本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质.位这是一个基本性质：若 f(x)为连续函数，则%必定可导，且(J/(Odz.)=/(工)本题常见的错误是选D,这是由于考生将积分的性质(/(Z)d z)=/(%)与牛顿-莱布尼茨公式I/(x)d.x =F(x)-F(a)混在了一起而引起的错误.26.B27.D28.A本题考查的知识点为导数的定义.I im-=-1 _由于一。x-a,可知F(a)=-1,因此选A.由于因此f(a)不可能是f(x)的极值，可知C,D 都不正确.29.A本题考查的知识点为偏导数的计算。由于dz-1一.d x x2+y2*故知应选A。30.A 解 析)y-y =O的特征方程是-
19、1=0,特 征 根 为 r1=l.rj=-ly-y =jre中自由项/(x)=xc,a=l 是特征单根,应设y=ax+b)e=(ax+bx)e.31.A32.C答案：C解析:f (x)=3x*12=0 n项=2.x)=2S2),(-2,2),(2,+8)33.D34.A定理：闭区间上的连续函数必有界；反之不一定。35.B 把 管=-1，5 又.分母 X TO -/=Ax=O 是驻点;牛；即 f”(O)=1 0,可知f(x)在(0,1)内单调增加，故应选A本题考查的知识点为直线间的关系.x-1 _y+2 _ z：丁 二亍=了，,x _y+l_z+5直 线2 2 4 ，其方向向量2A)”=(2,4
20、,-1).ii#i2.贝1 J_L_2_ L一39.C 解 析:从而 2,可知应选c.40.C 本题考查的知识点为不定积分基本公式.由于(r-dx=-cot x+C.J sin2x可知应选C.4 1/42.2 解析 丁迪-止2 x)=5 二 2 x)7(。)X*X X01.f(-2 x)-/(0)=2 hm-x-o-2x由 始(0)=1,得了(0)=；.=2/(0)解析 由题设两端求导：f(x)=6eu.43.44.1本题考查了无穷积分的知识点。*+8e-J du;=eo+8=1.045.-arctaner+Ccrf er(1 +B)J *(1+B)&-J2(1 +合/1 Al +严产一J p
21、-d/-J j-；7市=-j-ar c t an?+C -ar c t ane j C.46.47.(l/3)ln3x+C48.y=l49.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)50.251.11 解 析：当*T1时，8 in(x-1)T0,故X TI时，o x-1应为无穷小量，从而C.52.0 因为 sinx 为 f(x)的一个原函数，所以 f(x)=(sinx)”=cosx,f(x)=-sinx。53.0本题考查的知识点为二元函数极值的必要条件.由于z=f(x,y)在点P0(x0,y0)可微分，P(x0,y0)为 z 的极值点，由极值的必要条件可知，=、54.055.156.小 3sin
22、l 解析103cosxdx=3sin x=3sinl.57.tan0-cot0+C(land +c ot。)？d。=(t an?6 +2 +c ot?0)d 6 =(s e c2 0+e s c2 8)d。=t and c ot G+C.58.rd0 r2 drJo因积分区域 Q=(r,y),/a y2，即 D 是 圆/+_/&Q?在 第 一 象 限 部 分,故，=/此 产”.59.0本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点.用极坐标计算=.Z y c lr d y =J r5c os2f f s in5 DJ c os2 d c os J r4d r =(-j-c os30 1)，(卷|)=0
23、.rdr=J c os 2 0 s in6 d&J r*dr=注：本 题 也 可 用 对 称 性 求 出.由 于D为#2+/2 4 a关 于z轴 对 称,且/(z,y)=l 2y关 于3为 奇 函 数，则=0.2xarctanx-2xe-z+1 2xarctanx-2xe-z+1 一60.解析：f (x)=2xarctanx+(1+x2 I2-Ixex=2xarctanx-2xex+161.1/2匹=3 z R,卫62.由 z=x3y2,得 =d，*=26 6 .y=ex(5 c os x +c2 s inx)解：特征方程为：户+2 r +2=0,-2 8 =_1.：2=a=-1,=1通解为y
24、 =iq c os x +c2 s inx i6 7 .本题考查的知识点为极限运算.由于所给极限为“卷”型极限,由极限四则运算法则有68.J；d J/(rcosS,rsin 0)rdrn 1J；d e j(rc o se,rsin 0)rdr解 析：设 J J/(X.y)dxdy=j：dx J；*f(x,y)dy,则。的 I图形为图中阴影部分.在极坐标系下，O 满足；OW OW rW l-2 o x因此 J；dxJ：/(x y)dy=/(rc o sft rsin)rdr.69.1/2本题考查的知识点为计算二重积分.其积分区域如图1一1 阴影区域所示.可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二
25、次积分解之.解法1由二重积分的几何意义可加。&d)表示积分区域D 的面积，而区域0 为等腰直角n三角形，面积为千，因此1 ddy=y.D解法2 化为先对y 积分，后对x 积分的二次积分.作平行于y 轴的直线与区域D相交，沿 Y轴正向看，人口曲线为y=X,作为积分下限；出口曲线为y=L作为积分上限，因此x y l.区域D在 x 轴上的投影最小值为x=0,最大值为x=L因此0 x l.可得知,dxd产 J dxj dy=J y I dx=JD=(*-#)Lsr(1 -x)dx解法3 化为先对X积分，后对y 积分的二次积分.作平行于x 轴的直线与区域D 相交，沿 x 轴正向看，入口曲线为x=0,作为
26、积分下限；出口曲线为x=y,作为积分上限，因此0 xy.区域D 在 y 轴上投影的最小值为y=0,最大值为y=L 因此0yl.可得知Udx70.因为N dxaf(x,y)dy,所以其区域如图所示，所以先对dy f(x9y)djcX的 积 分 为 八71.y J1472.73.(x，y)=i+(y-i)ji 1 2 故 1)=1 /一 z z-(ydx+xdy)/工:(ydx+xdy)74 A/l-xy l-x yy =e，分离变量，得d y =e4d x75.y=xe+Cy=xe+C 解 析：两边积分：y=e+C，此即为通解，分离变量，得ydy=-x d x76.x2+y2=Cx2+y2=C
27、解 析：两边积分，有 y=-f +C，77.y=Cle-x+C2e2x本题考查的知识点为二阶线性常系数微分方程的求解.特征方程为r2-r-2=0,特征根为rl=-l,r2=2,微分方程的通解为y=Clex+C2e78.(-21)(-2,1)y=6x2+6 x -1 2 =6(x2+x-2)=6(x-l)(x +2)当2x=G+Qe，81.c上了一7c_7一 了I该方程是一阶线性方程，其中pQ)=,q(x)=-x,由通解公式，X有：.e-S k a)Jk+cJ-xedr二卜欢如0 二 j-x3d.t=-x4解 析：所 以 母卜*出-*+0哼干82.y=C,+C,e”,其中C,C,为任意常数.本题
28、考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解.二阶线性常系数齐次微分方程求解的一般步骤为：先写出特征方程,求出特征根，再写出方程的通解.微分方程为 y+=0.特征方程为+r=0.特征根。=0,r=-l.因此所给微分方程的通解为y=G+C“*其中C、C为任意常数.对己知等式两端求导，得/(x)=6?83.12xl2x 解 析：所以 f(=12 x.84.5/485.-3sin3x86.1力 一 炉87.(-1,1)0本题考查的知识点为求嘉级数的收敛区间。所给级数为不缺项情形。a,=3n*=3U +r)=1=0.可知收敛半径R=L=I.因此收敛区间为P(T，D o注 纲中指出，收敛区间为(一R,
29、R),不包括端点。本题一些考生填1,这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误。88.0.本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题.通常求解的思路为：先求出连续函数/（*）在（*6）内的所有驻点入比较/（阳）J（a）/（）.其中最大（小）值即为/（工）住 明以上的最大（小）假,相应的x即为/（x）在,川上的最大（小）值点.由y =-2 x+l .可得八3/-2.令y =0得的胜点为x =7得.所给辕点皆不在区间（1.2）内,且当x （1.2）时行）=3*2-2 0.可知.=/-2*+1在1.2；上为碓谢增加函数.最小值点为x=l,最小值为 1）=0.注也 可 以
30、 比 较 直 接 得 出J C中最小者.即为/（x）在 1,2 上的最小值.本题中常见的错误是，得到驻点x,=-g和乙=居之后,不讨论它们是否在区间（1.2）内,而是错误地比较（图Y图/，从中确定/（*）在1 1.2 1上的锻小值.则会得到错误结论.8 9.x-_y+1_z-2=3本题考查的知识点为直线方程的求解.由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n=（2,-L 3）.由直线的点向式方程可知所求直线方程为x-y+1 z-2=T9 0.-L（i L）21 ei-L（i L）9 1.由等价无穷小量的定义可知物 偿=L9 2.尸x-ln工的定义域为（0,+8）,，=1
31、-7。当“1时,y =0;当x l时,y 0,函数）=x-ln x旅调增加.当0%1时,y l时，(X)=l-y 0.可知/单阀增加.由于/(1)=0,可知当 X1 时 J(x)M l)=0,从而 x-l-lnx0.即jr 1 +ln x.95.由二重积分物理意义知m=jpx(x,y)d(r=J(x2+/)dxdy=|dd/rdr 二96.【解析】记”.=(-1广 ,则2d，从 而 知y .=y 为P级数，且n n n当a l时，V e收敛，因此f(-)二绝对收敛.当O vaW l时，V 4发放.注意到此时f(-1)-2为交错级数，771 n rri nlu.l-7 -=lu.t ll.n(a
32、+1)lim 141=lim =0,r *a fl由莱布尼茨定理可知当0aWl97.(解析】特征方程为特征根方程的通解为.时，2(-1尸 乙 收 敛,故 此 时(-1厂二条件收敛.r*+3r+2=0.rt=-2tr2=-l,)=G/“Ge9 8.函数的定义域为(-8 ,+00)J(x)=3x:-3.令/(*)=0,得驻点X.=-1#,=1 .列表得X(-8 .-I)-1(-I.DI(1.+8)/,()0-0A*)z/(-D=3为极大值为极小值z函数/(X)的单调增区间为(-8 +函数/(X)的冷冏减区间为-1.1.-1)=3为 极 大 值 为 极 小 值.注意如果将(-8,-1 写成(-8 .
33、-1),将 I,+8)写成(I,+8),格-1,1 写成(-1,1)也对.99.设=arcsin x,t/=1,则arcsin xdx=xarcsin x-X Ax=xarcsinx+(1 -x2)Td(1 -x2)=xarcsinx -x+C.100.由f 解得X =1,则A、B 两点坐标分别为ly=0A(-l.O)和 8(1.0),48=2.(1)S(x)=y(2+2 x)(l-*2)=(l+x)(l-x2).(2)S(x)=-3/-2 x+l,令 S(x)=0,即(3*-l)(川)=0,得小=9,盯=-l(舍去).S*(x)1,=(-6 x-2)=-4 0,则 s g 卜登为极大值.根据
34、实际问题,S旁为最大值.101.【解析】令，=4,则x=/，(k =2Kh.当x=0 时.=0；当”二1时，二1J=J 2ied,=2(/er|-J edz)=2(e-e ：)=2.102./(“)的定义域为(-8 ,0)U(0.+8)./,(X)=2X+4J-,(*)=2-4.X X令/得”-l.得“苏.列表：函数/（*）的单调减少区间为（-8 .-1）;单调增加区间为（-1.0）（J（0.+8）;极小值为X(-8 ,-l)-1(-1.0)0(。(苏 J 8 )rr一0.y-0y u为极小值Z u没定义Z n拐点（注0）Zu4-1）=3.曲线y=/（x）的凹区间为（-8 ,O）U（5.+8）
35、：凸区间为（0,苏）；拐点为（.0）.说明由于/（工）在点彳=0 处没有定义.因此/（幻的单调增加区间为（-1.0）。（0.+8）,不能写为（0,+8）!解：lim-=lim 2i x2103.由2 k l1 可 解 得 一-y=-X 故所给级数收敛区间为（-丧.专 卜104.由 一 阶 线 性 微 分 方 程 通 解 公 式 有y=厂3 (b(彳)/小小dx+C)=eJ%(k 卉 dx+C)=(Jx e dx+C)=x(Jx dx+，)=*(*+C).将“=0 代人上式.可得c=-l,因此所求特解为y=/r.105.【解析】由于e=3-8 X +8 ).可得K n-.厂 A (-2 x)A
36、(-D-2 V ()rrfk n!M ！106.解：原 方 程 对 应 的 齐 次 方 程 为yn-4y+4y=0,特征方程及特征根为-4 r+4=0,n.2=2,齐次方程的通解为 y=（C1+C2）e2,.在自由项/（x）=e“*中,a=-2 不是特征根，所以设/=代入原方程 有彳.16故原方程通解为y=（G+G）e”+!e L107.需 求 规 律 为 Q=1 0 0 e p 2 2 5 p*。）2.5.当 P=10时 价 格 上 涨1%需 求 量 减 少2.5%需 求 规 律 为Q=100ep 2 2 5P,小外=-，叽；志 2 5）=o.25p*）2.5.当p=1 0时，价 格 上 涨
37、1%需 求 量 减 少2.5%108.1 +In xdx+fJ x J x J x=In x+Jin xdln x=In x 4-y-(In x)2+C.或J 1*,In=J(|+In x)dln x=|(1 4*In x)d(1 +In%)=1+In x)2+C.109.利用隐函数求偏导数公式，记则F：=2x.Fra=-e.dz 尸：2x茶F二Fno.解利用极坐标，区域D 可以表示为4厂4 2,Zr2+y2dxdy=f do r2dr解 利用极坐标，区域D 可以表示为J Zr2+y2dxdy=|dr=我=Jo o 6111.解将 V +2H,+3=0 对 z 求导，得2 +2（y+z，）=0
38、y 工 +1y欲使切线与x 轴正向所夹的角为子，只要切线的斜率为1,即4x+y亦即 H+2y=0,设切点为（工。，皿），则Ro+2%=0 又切点在曲线上，即y02+2x0y0+3 =0 由 ，得 州=士 1,工（）=干 2即曲线上点（-2,1）,（2,1）的切线与工轴正向所夹的角为子.4为一一=112.因女一为女离之a y2C z9aX4-x y-l-l，所以113.解Or x l区域D可表示为 三s0 /x|,(1+t)drdy|Lrl(1 x*)=C-lnx).115.解0 的图形见右图中阴影部分.在极坐标系下。满足 o w o w/,OWrWL?+/=(rcos)2+(rsin)2=f1
39、,故X II=|J(JC2+y2)dxdy=d J。产 rdrD解。的图形见右图中阴影部分.在极坐标系下。满足 0W90,且x2+y2=(rco$e)2+(rin6)2=/,故X JI=jj(x2+y2)dxdy=dff r2-rdrD再 w4rlo 4 z1 1 f Tz i 1 冗 冗d J=-2 d d0=-=一04 J。4 2 82 7.解 y+9y=。的特征方程为，+9=0,特征值为0=3 i,故通解为:y=G cos3x+C2 sin 3x曲线过点(x，-1)，即比.J-l.I I 线x-y =l+x,化为y=x-x-l.斜率为I,即 一=1,又 y=-3cl sin 3x+3C2
40、cos3x将、y、.=1代入),及y 式,有-1=G C B3 n+C2sin3 x1 =-3C,sin3 n+3c2cos3 n从而得：C,=1.C2.故所求为：=cos3x-sin3x.116.3 3117.【解题指导】本题考查的知识点为求曲线的切线方程.由导数的几何意义知，曲线y=f(2 在点(3 4&)处切线的斜率A =/(&).切线方程为y-/(o)寸(3)(4-&)由于=-2,因此切线方程为或y-3 =-2(x-l),2x+y-5=0.118.解3=3 7&1+凸=等北解dy=-j-dCl+x2)=2”,dx.1 +x2 1 +x2119.解:x+(arctanx)2 1+x2dx
41、 x,r(arctanx)2,=-Tdx+-dx 1+x2 1+x2=I H Q +：)+|(arctanx)2 d(arctanx)2*1+x 1Q1 ,=ln(l+x)+-(arctan x)+c120.解 Jjrlnxdx=Jlnd2 J 2 J 2 x 2 4解 plnxdx=Jlnd/=ln x-J Q d.r =万111/一,9+C121.已知2-两边对 x 求导 f(x2)=6x2.,.f(x)=6x 已知/T两边对 x 求导 f(x2)=6x2.f(x)=6x122.解解穿=2y2 +ycosz-cosy,a).疝3=4y 十 COSJC+sinj.装 =2y2+jcosx-cosy,3%A.曷=4y 十 COSJT+sm y