《2021-2022学年浙江省衢州市普通高校对口单招高等数学二自考测试卷(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年浙江省衢州市普通高校对口单招高等数学二自考测试卷(含答案).pdf（51页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021-2022学年浙江省衢州市普通高校对口单招高等数学二自考测试卷（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（30题）设之=In（方+石）,则丁华+）寺 等 于,OX tfy（）A.-nB.2/nC.11.D 22x+l x0-IA.O B.-l C.-3 D.-5a设函数z=/y,则 =().，dxdvA.x+y B.x C.y D.2x极限存在的是()A.lim 亡B.lim In，r-C.iim sin x7-i-c*D.lim arctan _ r下列定积分等于零的是r sinxd*（1+sinj-）dx6.当XT1时，下列变量中不是无穷小量的是A.A.-IB sin(7-l)c
2、.1nxD.eT已知 f(x+1)=,则fix)=A.xex B.(x-Dex C.(x+l)ex D.(x+l)eJ+,7.8 函数f(x)在 a,句上连续是/(x)在该区间上可积的A.A.必要条件，但非充分条件B.充分条件，但非必要条件C.充分必要条 件 D.既不是充分条件，也不是必要条件下列极限不正确的是()A.lim(z+l)=4r-3-_L_C.蛔 1()1 =8BM=1D.lim 21=+ooj o*n已知3”lim-x-2-+-a-x-+-6-=5_ 贝raiji la=I -xA.7 B.-7 C.2 D.310.设/0)的一个原函数为/c+,则/)等于()A.2z-e+B.(
3、2,T-1)cC.(2 才二 De+11.D 2；rJ12#K M j 姓()A.无定义B.不 连 续 C.连续但是不可导D.可导sirLrA.sinx+CB.-sinx+2C.C0SX-H213.D.-COSXY14.设函数f(x)在 x=l处可导，且 f(l)=0,若 f(l)0,则 f(l)是()oA.极 大 值 B.极 小 值 C.不是极值D.是拐点设 ，V都是可导函数，且 v，0,贝心与=八15.v()o/U，一 “/八+“UV-U V-3 D.v2x4-1 x0()。A.连续 的 B.可 导 的 C.左极限，右 极 限 D.左极限=右极限s 设/(幻在-1，1 上连续，则/(-幻也
4、=17.J-IA.A.0B.23 d x-*/(x)dxC.J”f:/W d xD.818 设 函 数 z=tan(xy),则3=().B.cos(xy)C.cos(xy)D.cos2(xy)19.x)=|x-2|在点x=2的导数为A.I B.0C.-1D.不存在20.设义工）=；一工，则X=1是人工）在-2,2 上的A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点若Jf(N)dz=zl n(H+D,则为()A.2B.-2C.-121.D.1设 Lian（xy-三）则言等于（)A,工 二 二 CDS ，-1 会）B.厂 2，-sin2
5、(j-y-)y-2 M22.IX3 i 2J1 -(.ry Jr，)?下列函数中，在指定区间内是有界的函数是()A.f(JT)(8.0，B./(.r)=|Lr vr 6(0.1)C./(.r tatLr,j-e(0.23.D.“_r)=3jr,iG(0,-k,)当XTO时，ln(l+ox)是 2x的等价无穷小量，则 a=A.-l B.O C.l D.225.下列关系式正确的是A.d|/(x)cLr =f(1)B =/(x)C.国 7(工)业=/(x)D.副 f(.dz=/(x)+C极限 lim(1 +3x)女=26.27.定 积 分j：T=28.F列函数中,不是c-e 的原函数的是（A.A.2
6、 S 一c W-心儿!邺1+工 厂=()29.AJ BeC.2cD e级 数 二A.绝对收敛B.条件收敛C.发散30.D.无法确定敛散性二、填空题（30题）31.设 f(x)=e*,则J =32.设z=/(u,v),“=e,v=ln(x2+y2),/是可微函数，则生三dx设 y=A?+e_24.贝(l 严)=33.34.I J工+1 -1 n设-j 一 /则 工=0是 函 数 八工)的0.jr=0A.可去间断点 B,第二臭间断点 C.连续点 D.跳跃间断去35.jx-ljl+x2 dx设z=/(x,y)是由方程e f-W+z Z +y e J l确定的函数，求生 与包.O X dy36.37.
7、设f(x)二阶可导，y=e%则y38 若/(GHZH+S,gaLGjr+A.且/弁(l)二疝八工).则=X+xh m-：-x-2x-x +239.jdx40.J，x41.r xdxM +x242.Jl+x-1lim-x x设函数则y _ 44.2xx 1,函 数/(x =J 在 点1r=1 处 1A.不可导 B.连续C.可导且/C D =2 D.无法判断是否可导45.Jsinxcos2 xdx=_-a246.若(3 i n?)k=亍 则 a=47.函数/(x)的间断点是48.卜 涧 7 d x-49.曲线y=ln(l+x)的垂直渐近线是_50.设/(x)为连续函数，则/(幻 业=dx52.设/
8、(X)=，In tdt,则 f x)=设南数：=则全微分4 =53.54.函 数y=ex2的 极 值 点 为x=55.,limT-*00I?+1 )“2 1X 156.设z=arcsin（工痴），则 空=57.L58.不定积分J在 鬻 也zK l-zF+-y）2 的驻点是一f*-ydx=6 0.。三、计算题(30题)6求微分方程v、in/sinx-1 )dr+cordy-的通解.6 2.求,分方程y如+/_ 4/dy-0的通63.若已知y fe，sin2i.求 y i6 4求不定积分j-rdx.(1+x1)*求不定积分65.xarcsin一-r(jL ry i-x,66.求 四 武/-1).已
9、知函数/(H)处处连续.且满足方程/(/)）|/+力4 0）.7 1设八外是连续函数，且/也=1.求人7）.7 2求不定用分L c m L.设D是由曲线-/（工）与真线y.0y-3 1H成的K域.其中（X*.x 273.求D饶y 影成的旋转体的体积.巳如曲线，,丁成求，（1）曲线在点“,】）处的切蚊方程与法蝮方程，74.（2）线 上 骞 一 点 处 的 切 域 与 直 线4 1-1早行？75计算不定枳分/旺呼二2d xrjr1-y=0.一,求线4 在点”一21）处的切线方程和法平面方程.76.13x+2y+1 =077.求微分方程Jlnj-dy+y-lnj)dx=0淌足y=1的 将 解.78.
10、上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户（如图所示），其周长为12 m,为使窗户的面积A 达到最大，矩形的宽1应为多少？79.求函数z=x2+y2+2y的极值.(arctanf)2d.r求极限lim 一80.f+1求极限Km亡二81.1 -/】一 标82.x=r ln(1 +H)Ji巳知函数“h x(y)由 参 数 方 程.确定，求学y=arctanr ay83.求他分方程/一 2y 3,=的 通 解.84.已知曲线C 为 y=2x?及直线L 为 y=4x.求由曲线C 与直线L 所围成的平面图形的面积S；求曲线C 的平行于直线L 的切线方程.85.设函数上=y+其中/（八）为可Ik由数求dz.8
11、6.求微分方程1 的通解.求定积分ln（l+G）ch.87.88.设函数丫=%外 由 方 程y=（l nx）/确定，求89.求 函 数/（力=-在定义域内的最大值和最小值.计 算 二 重 机 分4rd y,其中D是由真线,=2.y 上与双曲线j r y -1所用成90.的区*.四、综合题（10题）91.设抛物线y =o r +&r+c过原点，当O&H&1时,y 2 0,又已知该抛物线与工轴及x =1所图图形的面积为试确定a.c.使此图形绕才轴旋转一周而成的体枳最小.92.求由曲线V=（X-D*和直线I=2所图成的图形绕/轴旋转所得旋转体体积.93.求 函 数 八 一 一 在定义域内的最大值和最
12、小色.94.过曲线y =上一点作切线/.平面图形D由曲线y =./.切线/及T轴围成.求 平 面 图 形。的面积；(2)平面图形。绕j轴旋转一周所形成的旋转体的体积.95.设八外在区间 a.句上可导，且/(a)=/(6)=0,证明：至少存在一点Q.G).使得，(0+3 )=0.96.求 函 数y=)6 直 的限调区间和极值.97.求函数 =苧的单区间,我值及此曲数曲线的凹凸区间.拐点和淅近 线.求函数y=1(/-1，一2尸山的单两区间及极值.Vo.Q Q证明；当 工2 0时J n(l十 公 罕 詈平面图形由抛物线_/=2,与该曲线在点(+.1)处的法线所围成.成求 0(X TDC.Inx f
13、0D.t 1(1 1)解析 用换元法求出f(x)后再求导用x-1换式中的x得/(jc)=(x-l)e*7 A 所以 f (x)=e*+(x-1H =xex8.B根据定积分的定义和性质，函数f(x)在 a，加上连续，则/(x)在口，0上可积；反之，则不一定成立.9.C 解析 因为分母lim(l-x)=OX TI所以必有分子lim，+ax+6)=0ii即 a+7=010.B。=-7ll.B12.C13.D14.B15.B16.Dlim/(x)=lim(2x+1)=1,lim/(x)=lim(x2+1)=1 .故选 D.i-*17.D因为/(x)在 T,1 上连续，其奇偶性不知道，排 除 A 与 B
14、,又j f(-x)dx=l(力(一 dl)=j(x)dx 故选 D18.A此题暂无解析 解析 因为/(x)=|x-2|=2（幻=:xW2x2/z(2)=lim fx)=lim(-1)=-1i 2-Jf-rf：(2)=lim fx)=lim 1 =1/w 19.D 所 以 广(2)不存在，选 D.20.B21.A22.A23.A24.D因为所以ln(l+ar).ax a.um-=lim =1r-*0 2x 工 5 2x 2a=225.C26.ec2+127.928.A29.D30.C31.1/x+C2e+19|L(心 2dz=/z(Inx)dlnx,|/z(u)du=/(u)+C=e*+C =e
15、l,u+C=-+C.32.d z d z du d z d v d z_ =_-_-_-_-_-_-_-_-_L1-._-_-_-_-_-_-_-_=_e y+dx du dx dv dx dud z 1dv x2+y2x2x二 对 工 +寸 -2%小 解析/=3x2-2e/=6x+22e2,尸=6-2%，y(4)=24e产=-25e-”J34.A35.卜.yi+Y dx=g Jl+x2 d(l+x2)a-=(l+x2)3+C解法一 公式法一式 中 的X,y,Z均视为自变量设 F(x,y,z)=e-4-x2+z2+yez-1则 叱HF=一 卡-。-2左 =-xe-+e0 a产-=2z+yezd
16、x dy az所以包=_%=-+丝 四=_&=dx F：2z+ye1 dy F：2z+ye1解法二 直接求导此 时x，y是 自 变 比，而2=2年，y)等 式 两 边 对x求 导 得-k-。-2乂 +22改+生=0dx dx等 式 两 边 对y求导得-*+2 2生+a噂=0dy dy解得 手=:上?，器=旦=dx 2z+ye dy 2z+ye37.v叫u、a)r+/a)v叫i/a)r+/(x)解 析y=e”/(”)/=e/(x)-f x)f x)+e/u)/*(x)=ef M，(x)+f x)38.2 解 析 39.40.1/241.i|n(4+x2)+Cr xdx4+，14 h +x-d(4
17、+x2)=-2l*n(4+x2)+C使 用“共掘”方法，分子、分母同乘“77+1.J 1+X -1.(一 +X -1)(J 1+x +1)h m-=l i m-7=-I，X X(J 1+X+D.X r11=hm-=lim j=42.1/21/2 解 析：x(Jl+x+l)|=C.4故原方程的通解(x-4)y =C r.其中特解=0 包含在通解之中.由 y-=esin2a.得j?=esin2H+2ecos2z=e(sin21r+2cos2T).y =er(sin2x+2cos2x)+e4(2COS2JT-4sin2x)=(4cos2x-3sin2x).64.解法一：第一换元积分法原式 J f d
18、 C+i)=y +力 Wd(l+/)2J(1+x1)+2J-y j(l+X*)-+-(1 +/)T d(l+/)=y i 4-x1 4-1-7+Cl解法二:第二换元积分法原 式 上 工L 吗 secd，J sec r=I *cosrd/J cos/T 匕 粤&(co”)J cos t=-f U-d(co5Z)+fd(cosr)J cos，J=-F cos/+CCO!U=y r+7r+-=L=+c.y n r z解法一：第一换元积分法原式=44 J j c K 1 +/)H(1 t,r2)-ld(1+j I)2J(1 2 J(l+x1)=iJ n i+N +-(l+a r)T d(l+/)=vT
19、+7r+-1-7+c,y r+v解法二：第二换元枳分法原 式 上 二二j震高 疝=|sn/cosrd/J cos rf 3CO*，一-d(cos/+I d(cos/)J cos/J+cos/+Ccos/yr+v+,.+c.八+I 专 ，叫 业 =一 fa r c s ir u-d-pJ /T-，J i/X x2arcsinx+y/x 一 二J/1-arcsinx 4-JcLr65.x-y i-arcsinx+C.田 警 丝(Lr=一 arcsinxd一，1 一,arcairu*+J 一 尸-jrarcaix-v 1 -x:arcsirur+C.66.或化 为 喷e -l济 必 达 法 斯.第二
20、种方法利用了结论：当X-8时.1 一(),则 广方程两边关于“求导,得/(x)=2x+5in2x4-j cos2r 2+-y(sinZa)2=2x+2XCOS2J,./(x)=2+2co$2x+2JT (-2sin2jr)=2(1+cos2x)-4xsin2x.67.所 以 伐)2(1+cos 1)4 X-X sin=2 a.Z4i方程两边关于1求导,得/(J)=2*+s in 2 i+r co s 2 r 2 +(s in Zj)2M=2*+2 TC OS2J T./，/)=2 +2 co s 2”+2J T (2 s in 2 i)=2(1 +C O5 2X)-4 x s in 2 x.所
21、以=2(1+co*-y)4 X X s in -y n 2 w.8.吏-5曳dy*=2.解得、即 驻 点”(2.-2).在 点M处有b =-2,=-2,B-0.C=-2.H2-AC=-40.4 =-2 r（f）-（-）w（f）4二，俘）-亨,，俘）+，（0.塞，/俘）仔）+“k）（-）。，伊+唐国心,/（今W（力（-烹）*（讣；=6）-7，俘）+/（分由对称性知43 yd/dy=0,所以70.=2 1 dt fj r4 dr由对称性知43 cL rdy=0,所以u(xz+y2)d”dyr,dr=-y-i4等式两边对丁求导得f ix1-1)3/=1 .即 fix1-D=工3x71.令 1=2.得
22、/(7)1而等式两边对丁求导得f(jrs-1)3xJ=1 即/(xJ 1)=厂令 I=2.得/112,胡式=y|arclartrcK J*)arctanxarctanx72.1 ,I,一yxearctanx-arctatir)-C.原式=taru-cKx*)arctanxarctanx IP,；-fit1-Lrl+x:F T P)必y x2arctanx (jr arctanx)4-C.由题意得it(6-):dwy73.-卜6-川：-州|：=%由题意得匕=T T|(6 yKdy-KJ(/y)Jd一%(6=手 x.74.1,.,=2曲线y=z,在点（1.D 处法线的斜率为k-所以切线方程为 y-
23、l =2（x-l）,即2x y-1 =0.则法线方程为 y-l即x+2y 3=0|（2）设所求的点为曲线y=工：在点（工。山）处切线的斜率为y I=2 d =20.切线与直线、=。一1平行时,它们的斜率相等，即2入=4.所以4=2,此时M=4,故在点 M N2.4）处的切线与直线丫=4 1-1 平行.（1）根据导数的几何意义,曲线y=在点（lD 处切线的斜率为W,2.曲线y=/在点（1.】）处法线的斜率为k-f所以切线方程为 y-l =2（x-l）,即2工一y-1 =0.则法线方程为 y-l I）.即工 +2y 3=0法平面方程为(x 1)-1-(y+2)+2(c 1)工 02l 3y+4之-
24、12=0.曲线方程可化为*=1 3x4-1,厂-2 9在（1,-2,1）点处曲线切线的方向向量为s=（x（!）./+2)+2(1)=0,2n 3y+4之-12=0.原微分方程可化为去y7,于是，方程的通解中=J eJ*&r+C.e M溥-J l.ln x d x +C .一（%工+C）.之将初始条件y|=I代入.有C=:.故满足条件的特解为:y=/ln x +十 七=?l u +亡）.原微分方程可化为于犯，方程的通解0=J;“&+（：/1金山-J l.l n x d x +C .=（抄。+。）之将初始条件1 =I代入有c=寺故满足条件的特解为:y=l-lnx+/Inx+r-.2 2 Inj 2
25、 Inx F78.窗户的面积/!=!+亨/和人满足2/+3/=12,得人=6-自/,代人4,则有4=6、尹+夕，.6-3/+争 0,得/=但 曳.由于实际问题只有唯一的驻点.可知/=笔乌（m）为所求7 9.由得驻点（0.-1），虫二 2产2=0.dr因为 4sss=2.=0,C=-M=2,dx(O.-D oxd)0.-1)dy o.-i)所以B4C=-40,从 而 可 知 为 极 小 佰.I (arct an Z)2d/|(arct an/)2d/l im =l im -l im -1 工一-4*00 y/xl+1 x,4 (工，+=l im (arct an x)2c=(7)：-8 0.I
26、(arct an/)2dr f(arct an/)2d/l im .=l im -l im :工,-+0 0 v4 r +1 工 ，-+J x”+1=l im (arct an.r)z=（4）x.eJ-s irw -e s in x 1i-y i x!e，-s in j 18 1.=2 l imr-*02 l im10e*COSN2 xe，+s in x2l im 丫 一 s|nx-,1 -一/e s in x 1_ (v i+()i)e，s in r 1zx2 l im2 iim+s in x .-2-=L由求导公式(arctanr)于是.8 2.1 +Hd*x (1 r)zy 2(】一 八
27、方 弥丁而，=H2=2(-1)5 +】).r+?由求导公式.口 一加(1 +)了(arctan/)2/于是.d-E一呼dy:(arctanr)1 +/,-1 f=2(L +】).r+?8 3.与原方程对应的齐次线性方程为特征方程为-2 r-3 =0.故rT=3.于是y=G e，+G e”为齐次线性方程的通解.而e 中的A -1为单一特征根，故可设y*=xAe-,为y*2y-3y*=e*的一个特解,于是有3)=A e 7一 A re-3)*=-Ae_,-Ae-,4-Are知Are*-2Ae J-2(Ae-,-Are x)-3Are-*=尸.即-4 A e：=于是由 4A=1.知 A y,所以y.
28、=-j-e-,为y*-2y-3y=的一个待解,因此原方程的通解为y=G e，+G e”一手e (GC为任意常数).q与原方程对应的齐次线性方程为特征方程为-2 r-3 =0,故3.于是y=Cie-)=Ae 一=尸 3)*=-Ae_,-4-Are*,知Are*2Ae-,-2(Ae-Axe-3Are-*-e-S即-4 A e：=e*于是由-4A=】.知 A 4所以.xy e为y-2y-3 y=的一个特解,因此原方程的通解为y=C,e+G e 一年e CC 为任意常数).484.画出平面图形如图阴影所示设过点(工。,力)的切线平行于y=4x,则 (%)=4%=4,所以4=1,%=2.过此点的切线方程
29、为y-2=4(x-l).BO 4x-v-2=0.dz=罢 dx+-dydjr dy85=v 一 /(J.v)cLr+3y:+d,v.dz=当 ctr+段 dy d y、=4 (1 y)+/(x.)d-r+3y:+所给方程是可分离变敏方程，先将方程分离变量，得ydy=-dx两边积分86.可得=1-x*+in|x|4-In|C I .即y(jr:=In I Cr|从而可得 X*+y2=In(Cr)2为原方程的通解,其中C为不等于零的任意常数.所给方程是可分离变就方程,先将方程分离变量，得11 -X*.ydy=-dxt*两边积分f.f 1 -ydy=J di,可得4-y=4-x*+In|X|4-In
30、 1 C|,乙 C a即y(xI+y )=In I C r|C t从而可得为原方程的通解,其中x2+y2=l n(C r)2c 为不等于零的任意常数.ln(l+石)Ar=xln(1 +)|-y j87.=L 2一 打:后 必由于后业=J：r r?d/(令，=6)T：(L】+出)市=g -/+In I 1 +/111=-+In2.故|ln(1 +vT)dr=In2+-In2=|ln(I+/r)dj-xln(l+/7)|-y|由于 J 后S=生/r)dr=In2+J In2=y-y=(Irur)了 /2 +(Ina:)9=了 .+(hu尸 e”=e*h:,nj rln(lnx)+工士 +(lu)，
31、eb，21ar -=(Irw)4 In(lnx)+5 +2(lrLr)r*1 x1*1 1.88.L 后 y=(Inx/了 Jr+(Inx)*(xw)*二了 +(n j.y(/)=j|、2 mdnx)/jJ-J 工a+(lar)#eta，J 2Injr 二(Iru,),Undru-)+(一1 +2(ln j)f 1廿 89.函数/(x)=xef的定义域为(8.+8),且/(I)处处可导;因为，(彳)=b jre 4=e(1 工).令 f (x)=0得驻点x=1.且彳V 1 时，(“)0/1 时./(工)0,x 1 时.，(幻 0 故该抛物线与轴及1=1 所函图形的面积为J(ax:+Ar)dx=
32、；.于是 2a+36=2.该平面图膨绕工轴旋转一周形成的立体体积为V=K(ar1 4-hr)*dx x(%，+”+我)-A +竽(】一 卜,(，3 3 3 ，)=Ma，+la+l 匍”灯+跨弓.3要使V 最小令a=此时6 H y .于是&=一 包 湎=0 时,此图形绕工轴旋转一周而成的体积最小4 292.显然曲线y =(x-1)3关于工轴对称,则它和直线工=2 围成图形也关于工轴对称.又曲线和工轴交点为(1,0),因此V=ir 1yd r=J (x D tLr=手(立方单位).J l J1 4显然曲线y =(了一】尸关于工轴对称，则它和直线1=2 围成图形也关于工轴对称.又曲线和了轴交点为(1
33、.0),因此y =nJ/d r =Ttj(x-l)Jdx=孑(立方单位).函 数/(x)=x e-的定支域岸二8.+8).且函数/(x)处处可导因为/(x)=e_J-x e_,=e,(1-x).令/0;当 工 1 0.所以/(I)=e-为函数/(T)的最大值.C又因为lim/(x)工 lim 才 e-ooj4 *,0;当1 (H 0)在点M(l.l)处切线斜率为2.过M 点的切线方程为y 二 2工一】.切线与上轴的交点为)(如图所示).(1)平面图形。的面积为A=(L r-1.1.l1=12,(2)平面图形D 绕/轴旋转周而成的旋转体的体积V=f x(工 尸dr n 1*,4-Jo 3 4j.
34、R：!X30,曲线y=x (x 0)在点M(1.D 处切线斜率为2.过M点的切线方程为、=2工一】.切线与J 轴的交点为卷(如图所示).)(I)平面图形D的面积为A=|/L r-1.1.1-1 s=14 12(2)平面图形D绕/轴旋转一周而成的旋转体的体积 3 0 95.设 F(x)=/(1)/.则 F(x)在 a.b 上连续,在(a“)内可导.且F(a)=f(a)c =0.F(6)/(A)c*=0.因为F(a)=F(6).所以F(r)=f(x)e在 匕 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件,于 是 在(a.*)内 至 少 存 在 一 点&使F(O=0,即r(f)=/(f)er，4-/(W)e
35、=0.即e 5 Z(f)+3 /(f)=0.而.设 F(x)=/(*)J.则 F(x)f t C a.f r 上 连 续.在 储 内 叫 导.且F(a)=/(a)e*=0.F(b)/(6)e*=0.因为F(a)=F 3),所以F(T)=八在 上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件,于 是 在(a,b)内 至 少 存 在 一 点&使F(O=0.即产得)=+/(f)ef，3 5*=0.即/八“+3 日初-0.而/0故/(f)+3 /($)-0.(a.96.该函数的定义域为（8.+8）.：S 4-（6 ）7 .（I2x 3r*）=_ 工（4-r）_ 4 xj （6工 一 P 0.所以单调增加；当j
36、r e 时V 0,所 以 y 单调减少.由极值的第一充分条件可知y|=工为极大值.ICv 21 mr-3。八 4H Xy p-令 y=0/时./0,曲线y 为凹的.根据拐点的充分条件可知点（e+.弓ef 为拐点.现列我如下：X(O.e)e(C.CT)ei(e*.+8)，y+0一一.一一一0十根据上表可知：函 数,=苧的单调增加区间为（0，c）;函数y=苧的单网减少区间为（e,+8）;函数y=苧 的 极 大 值 为 y（e）=函数曲线、=皆 的 凸 区 间 为（0.由；函 数 曲 线 苧 的凹区间为（e九+8）：函数曲线y=也 的 拐 点 为（e）.春c b.X4因为lim 也=0.所以曲线y=
37、叵有水平渐近线y=0,垂直渐近线N=0.XX函数的定义域为（0.+8）,且4=匕 强.令y =0得驻点i =e.X当0 V x V e时=三）5 0.所以,单调增加；当工e时,y V 0.所以），单调减少.由极值的第一充分条件可知/=为极大值.y=二.令=0,海,=J.当O V z V d时,/V O.曲线y为凸的1当 工/时./0,曲线y为凹的.根据拐点的充分条件可知点（e+*e T）为拐点.现列表如下：(O.e)e(e.c f)ei(c i.+8)y+0一一V一一一0+根据上表可知*函数=苧的单调增加区间为（O.e）;函数y=竽的单调减少区间为（e+8）；函数y=叵 的 极 大 值 为y（
38、e）一 i函数曲线、=叵 的 凸 区间为（0,5）；函数曲线、=应 的xexJr凹区间为（+8八函数曲线y=也 的 拐 点 为（e+,?c+）.X乙因为lim恒=0.所以曲线y=匣有水平渐近线y=0,垂直渐近线x-0.*0时.F Q)0.所以F(x)单谓增加,则当i 0时.F(r)F(0)=0,即(1 +x)l n(l +x)a rc ta nx.故l n(l +x)a rc ta nj r1+H99.当 x h 0 时.l n(l+力=-所以当了2 0时有 l n(l+j r)竿 胃.设 F(j)=(I +x)l n(1 4-x)a rc ta nx则F#(x)=l n(1 +x)+1 7-
39、7-p=I nd +*)+1f -1 +1+xs当工0时,F Q)0所 以F(z)单调增加则当工0时.F U)F(0)=0,即(1 +x)l n a rc ta nx.故l n(l +x)a rc ta n-r1+x-当 1 =0 时.l n(l +z)=0 罕 署：=0.所以当上20时有l n(1 +工)arctaruT+T 首先求抛物线式=2 在点（5.1）处的法线方程.由导数的几何意义知.点（十.1）处的切线斜率为y：=所以该点处的法线斜率为A =-1.故法线方程为y-T(T).1）可先画出抛物线丁=2 I与点（:）处的法统所围成的平面图形的草图.y先求方程组得交点为（十1）.（今._3
40、）.工+y选y为积分变量,积分区间为-3.1.则所求平面图形的面积为S =J ,4 -y）-I 力d y=（齐 一 步 一 i 川:学.（2）绕_r轴旋转所成旋转体的体积为100.2xdjr-n,J-j):r x_r“，+k y(-|-J)45苜 先 求 抛 物 线=2 1在点（j.l）处的法线方程.由导数的几何意义知.点（力）处的切线斜率为y,=；|,二1.所以该点处的法线斜率为A =-1.故法线方程为y l=7（x-外即1 +y=I .C t（1）可先画出抛物线y:=2 x 与 点 处 的 法 线 所 围 成 的 平 面 图 形 的 草 图./=2 x,先求方程组 工7=色得交点为（%1）
41、,（今.-3）.选y为枳分变量，枳 分 区 间 为 则 所 求 平 面 图 形 的 面 积 为S =f y-y yl1yJ 7 Z 4（2）绕x轴旋转所成旋转体的体根为V =4 2血 一 寸；弓 一 力 也 M 2|：+x *I -W ；=好.由是奇函数，则必有x2的系数为0,即A0.2 2/(!)=-.即 a+c=-.，(D=0,得 3a+c=0.3 编 1 一 3解伸 =W，c s s-5此时/(x)=g/-1x.7 m 1 1 今/#(x)=-x2-=-(x2-l)=0.J 5 5 5得x=1./(-I)=|xj=q o.所以/(-D=-；+；=；为极大值.令/(x)=0,得x=0.,f
42、 t 1可知x=0左右的/”异号，所 以(0,0)为拐点.由F/(x)是奇函数，则必有f的系数为0,即A0.2.2/(!)=-.即 o+c=八D=0.得 3a+c=0.解 得a=g，c=-此时/#(x)=-x2-=-(x2-l)=0.J 5 5 5得4=1./(-l)=|x|=-g0.所以/(-D=-：+=为极大值.令/(x)=0,得x=0.可知x=0左右的/”异号，所 以(0,0)为拐点.102.由题意，X的所有可能的取值为1,2,3,X=l,即第一次就取到正品，PX=l=10/12=5/6;X=2,即第一次取到次品且第二次取到正品，PX=2=2/12*10/ll=5/33 同理，PX=3=
43、2/12*1/11*10/10=1/66 故 X 的X 1 2 3I_.1.八 .6 33 66概率分布如下103.令 f()dz=c,则由题设知/(x)+2c,J ofl fi 1 1 I所以 c=/(x)d x (彳 +2c)dr=x2+2c=-I-2c,J 0 J 0 4 o Z故 C-，因此=1 1.104.解(点 小 务 力+备 班1 兀 1=arc tanx+ln(l+x2)J=+ln2105.设 3-x=t,贝!J 4dx=-dt.当 H =1 时,，=2；当 x=2 时,，=1.所以j/(3 -x)dx=J/(l)(-dl)=f/(M)dx.【评析】定积分的证明题与平面图形的面
44、积及旋转体的体积均属于试卷中的较难题.106.本题考查的知识点是古典概型的概率计算.古典概型的概率计算，其关键是计算：基本事件总数及有利于所求事件的基本事件数.解设A=两个球上的数字之和大于8.基本事件总数为：6 个球中一次取两个的不同取法为C26；有利于A的基本事件数为:(3.6).(4.6).(5.6).(4.5),共4片.所以4 4107.本题考查的知识点有定积分的变量代换和常见的证明方法.注意到等式两边的积分限一样，只是被积函数的变量不一样，所以对等式右端考虑用变量代换t=a+b-x即可得到证明.这里一定要注意积分的上、下限应跟着一起换，而且定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即J
45、/(*)dx=/(u)du证 令 a+6-x=，.则 dx=-dl.x-a 时，l=6；x=6 时 J=a.所以j/(a+6-)dx=-I /(，)dl=f/(x)d x =左边.请考生注意：如果取a 和 b 为某一定值，本题可以衍生出很多证明题:(1)取 a=1,6=2,则有：证明f/(x)dx=f/(3 T)dx.取 a=0,b=l,则有：(i)若/(X)为(-8 .+8 )内连续的偶函数,证明 J/(l-2x)dx=j7(x)dx.伊)若/(X)为(-8 ,+8)内连续的奇函数,证明j7(l-2*)k=O.I.类 似的证明题如J(x)在 0,1 上连续，证明j y(l-2x)dx=y j
46、/(x)h.这种举一反三的学习方法不仅能开拓考生的思路，而且能极大地提高考生的解题能力.108.依 题 意，X的 可 能 取 值 为0,1,2.PX=0=舁=0.2；PX=1=3 戢=0.6;PX=2所 以X的概率分布为X 0 1 2P 0.2 0.6 0.2109.本题考查的知识点是“coco”型不定式极限的计算.【解析】本题中的 8-8 ”型不定式为两个根式之差.一般需要先有理化”，再根据具体情况约去“8”因子或者/(接计算解lim（而-G）=-1=0.no.基本事件数为c：cl=36.抛掷两次，向上的数字之和为6的事件共有5种，即(1,5),(2,4),(3.3).(4.2),(5,1).注意事件(1,5)与(5,I)是两个不同的事件：第一次出现1或5而第二次出现5或I是两个不同的结果.所以P U)=.36及本事件数为C：C：=36.抛掷两次，向上的数字之和为6的事件共有5种，即(1,5),(2,4),(3.3).(4,2),(5,1).注意事件(I.5)与(5,1)是两个不同的事件：第一次出现1或5而第二次出现5或I是两个不同的结果.所以夕(/)=2.111.16/15