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1、2 02 1-2 02 2学年浙江省温州市普通高校对口单招高等数学二自考真题(含答案及部分解析)学校:班级:姓名:考号:一、单 选 题(30题)设函数”(工)，小外可导，且M G H O,若y=钙，则/等于v x)A U，(x)v(x)+u(x)v，(x)A-r 7-T-V s(x)/(N)T/(N)一义1)v2(x)7(7)“(1)J(JC)T/(X)设离散型随机变盘S的分布列为2.则EA.A.1.2B.1 C.0.8 D.0.7若 J/(x)d.t=xe-+C.则/f(1 v)di 等于(A xln x C B.-xln x+C.-I n K+C D.In x+C3.*x4,设f(x)的
2、一 个 原 函 数 为X cosx,则 下 列 等 式 成 立 的 是A.A.f(x)=xcosxB.f(x)=(xcosx)C.f(x)=xcosxD Jxcosdx=f(x)+C5 下列函数在x=0处切线斜率不存在的是A.A.y=xex口 y=arc tanxB.y=Ux+C.y=4D.设“arctan 则j暮-y贯等于()6 .A.-1 B.O C.l D.27.若f(x)的一个原函数为arctanx,贝 ij下 歹!J等式正确的是A.A.Jarctanxdx=f(x)+CB Jf(x)dx=arctanx+CCjarctanxdx=f(x)D J f(x)dx=arctanx变fit=
3、在变化过程为 )时为无穷大ift.A.1 一)B x-1C.x-T8 .D.X-29 .以下结论正确的是().A.函数f(x)的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点B.若 x O 为函数f(x)的驻点，则 x O 必为?(x)的极值点C.若函数f(x)在点x O 处有极值，且 (x 困存在,则必有f (x 0)=0D.若函数f(x)在点x O 处连续，则 f (x O)一定存在1 0.从9 个学生中选出3 个做值日，不同选法的种数是().A.3 B.9 C.8 4 D.5 041 1 .设函数f(x)在点x O 处连续，则下列结论肯定正确的是().A人 lim.A.A.必存在C.当x x
4、O 时,f(x)-f(x O)不是无穷小量D.当X T XO时,f(x)-f(X O)必为无穷小量设 x+乂 D)=且，则xy dx dyA.A.x+y1+XB.yc.y yD.y y113.设函数/x)在区间a 上连续，则下列结论不正确的是A.j 7(x)d x 是f(x)的一个原函数BJ/C)&是/(x)的一个原函数(a x 6)C.J 是一八公 的一个原函数(a V z V 6)D.fG r)在,瓦 上是可积的14.下列等式不成立的是1im(l+-rJ=eA.A.nlim(l-)=e,B.一 lim(l+-V)=ec A n lim(l-4)w=ID.f n*1 5.下列命题正确的是A.
5、A.函数幻的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点B.若沏为函数 X)的驻点，则 沏 必 为 的 极 值 点C.若函数/(x)在点x o处有极值，且/(X。)存在，则必有/(%)=0D.若函数/(x)在点沏处连续，则/(%)一 定存在1 6.函数f(x)在 点x o处有定义，是f(x)在 点x o处 连 续 的()oA.必要条件，但 非 充 分 条 件B.充分条件，但 非 必 要 条 件C.充分必要条件D.非充分条件，亦非必要条件1 7若lim A-红)-/=/(0)=.1 7 .T -2_ K1 8积分7s in z1+COSJ?dz等 于【】A.-l B.O C.l D.2jg下列函数在
6、(-8 ,+8)内单调增加的是().A.A.y=xB.r=7C.y=x2D y =s in x2 0.设函数/）=3 n x,则件g等于（），A.-2 B.-l C.O D.22设函数/（2 x）=x 2+e 则/（x）=A.A.2 2I-+e*B 4C 2 x +2 e”D 4 x +2 en2 2.设函数 f(x)在区间 a,b 连续，且 3=0.r ,|，)d%ub,则I(u)A.恒大于0 B.恒小于0 C.恒等于0 D.可正，可负2 3.若 f (x)O(a 0,则在(a,b)内必有().A.A.f(x)0 B.f(x)0 且 a l),则 f(1)=A.A.a(l+lna)B.a(l
7、-lna)C.alna D.a+(l+a)28.已知事件 A 和 B 的 P(AB)=0.4,P(A)=0.8,则 P(B I A)=A.A.O.5 B.O.6 C.O.65 D.O.7A.0B.1/2C.1 D.2苦皿但的&Mr皿 则 i)30 A.i B.3 C.|D.任意实数二、填 空 题(30题)设 函 数 丫=/(-/),且/(“)可导，贝Udy三31.lim32.2IzlV=233.设j=lnj2 xlnx确定函数y=火工)，则y34若如?35.设 y=f(a-x),且 f 可 导，则 yJ x3设 j/(x)d x =In x-+C,则/1(x)=36.3 9设 y =2x,且x
8、=l 时，y=2,则丫=3 7.设y =38.e2arcco，贝lj yar=O39.若义 )=sin(j?+工+1，则 f(x)=40.设函数z=e 2 ，,则全微分dz=，41.设2十 八 则 喷+3=函数z=（lnx,则dz42.4 3.H fd（arctanx）=.定积分 XCO8 xdx44.-，45.函数y=ln(l+x2)的驻点为x=.46.若曲线y=x2-ax3/2有一个拐点的横坐标是x=l,则 a=47.设函数 y=sin x,则 y=48.当x-0 时，1-cos戈与xk是同阶无穷小量，则 k=49.当A-0 时，/（工。+3五）一八工。一九）+2人是h的高阶无穷小量，则f
9、（工。）=5 0f c or+l）dA-5 1.I，+1 -1.工会 0设 八*）=*则 1 0 是函数人力的0，*=0A,可去间断点 B.第二类间斯惠 C.连续点 D.跳跌间断点5 2.设 z=u2nvu=v=e 3 贝 1 J dz=x5 3.设尸l+c os 2%,则寸=5 4.设，(x)=sii)L,则 f d)=xn5 5.设z =y+,则隐=dxdy5 6.Jx d(c os x)=5 7.limx2+x2X2-X+25 8.若占击=4 则a =_设二元函数z =s in式，则照=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _5 9 .y 次力6 0.曲线)4/7+
10、1的拐点坐标(%.%)=-曲 线y=(l/3)x 3-x 2=l的 拐 点 坐标(x o,y o)=.三、计 算 题(3 0题)求极限如信产求不定积分1 二&6 2.J d/d y其中 D =|i 4-y:64.计算，苧&rd y,其中D是由出线、=h.2 y =7及I=1 围成的区域.6 5计算二次积分I M：等 公66.设函数u =/(j.jry .x y r)./可供东密宾噤67.巳 知 函 数 工=1 7”,求 塞.e工。y68.设/8是连续函数可曲=求/(7).69设 z=/(2)是 由 方 程 貂 千/所 确 定，求今求极限hm 理70 vT-37-17|计算定快分求极限lim7
11、2.一巨；她+工 .X X7 3.已知函数 f(x)=-x2+2 x.求 曲 线y=f（x）与x轴 所 围 成 的 平 面 图 形 面 积S；求 的 平 面 图 形 绕x轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 体 积Vx.7 4.求 二 元 函 数f（x,y）=x2+y2+x y在 条 件x+2 y=4下的极值.求极限1*3（烹775.76.计算二重积分J=j J1 （）必+卜（工）向y d y,78.其中函数中（）具有连续导致并且6 D=1.求函数职工）.求函数y =2/+3/-1 2 1+1的单区间.79.8 0.计算Jr d r d y,其中D为圜环区域，1 4/+y&4.81.设函数
12、y=x3+sin x+3,求 y，.82求 微 分 方 程 21y 3 y -ie 的通解.83.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户(如图所示)，其周长为12 m,为使窗户的面积A 达到最大，矩形的宽1应为多少？求极限hm 丫1一三二.8 4.6-285.求曲线y=x2(x0),y=l与 x=0所围成的平面图形的面积S：求中的平面图形绕Y 轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.求 极 限 limz.86.87设y=y（x）由方程e-e=sin（xy）所确定,求务|“8 8设函数=e I+普弓+y/（3，-y）,其中/为可导函数.求嘉.求定积分J /xXlnrTdx.89.90.求函数f（x,y）
13、=x?+y2在条件2x+3y=l下的极值.四、综合题（10题）证 明：当 10 时 有 -In 0时96.I rC/(x)在a.|上连续存在m.M两 个 常 数 且 满 足 小6,证明，恒 97.m x,-x,)M 1工+(：,即选项(；正确，X4.B5.D因为y=五 的 y=!尸，当x-*()+时，_/+,即y不存在.2vx6.C7.B根据不定积分的定义，可知B 正确。8.C9.C本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的.要否定一个命题的最佳方法是举一个反例，例如：y=|x|在 x=0处有极小值且连续，但在x=0处不可导
14、，排除A 和 D.y=x3,x=0是它的驻点，但 x=0不是它的极值点，排除B,所以命题C 是正确的.10.C11.D本题主要考查函数在一点处连续的概念及无穷小量的概念.函数y=f(x)在点xO处连续主要有三种等价的定义：lim Ay=O=lim/(%)=/(与)o lim/(x)=lim/(x)=/(q)，-aI还有一种就是连续的分析定义(6-6语言).已超纲.不作要求.如果将第二个式子写成lim/(工)/3)=0,利用无穷小1ft的定义,可知：当X-X。时J(X)7%)为无穷小量,所以选D.这里容易出错的是：很多考生认为选项A是正确的.如果lim上 乜 羽 存 住,则 它 等 于/(%),
15、函数/(X)在点X。处连续;但是反过来，若函数尸/(X)在点X。处连续/(，)不一定在点匕处可导.产生这种错误的原因是疑本概念不清.12.D设 x+y=u,xy=v,则/(,v)=,即/(r.y)=,所以vy(x,y)+#(x,y)_ 1 xdx dy y y213.A14.CA.B.C.D.利用第.个重要极限易判定.+=lim(I+-V)=e=1 故选C.15.C根据函数在点即处取极值的必要条件的定理，可知选项C 是正确的.16.A17.1/418.B因 7(x)=苫公为“如 故 也 枳 分 也 质 知.缶0.19.A解题指导本题考查的知识点是利用导数符号的正值区间来判定函数在已知区间内是否
16、单调增加.20.D根据函数在一点导数定义的结构式可知lim,0=(0)=2(ta n x)|=2一-=2,冼D.21.A先用换元法求出/(x)=+eL4 x 1 1所以/(x)=+2e2.2 222.C23.A利用函数单调的定义.因为f (x)0(axf(b)0,故选 A.解析A.x2-l-0 (X TI)B.sin(x2-1)-0(x 1)C.In x 0(x-1)D.e 1 (x-I)25.B26.C27.Af(x)=(xa)+(ax)+(lna)-axn1+axlna，所以 f(l)=a+alna=a(l+lna),选Ao28.A因为 P(8|/)=*=丝=0.5P(,A)0.8所以选A
17、.29.A30.C-2jtff(-x2)dx 解析因为=fX-x2)(-x2Y=-IxfX-x1)3 1所以 dy=-2xfXx2)dx32.e-2*(1+lnz)2y(1+lnz)33.1。1 y34.应填 1/7.【解 析)本 题 是 型 不 定 式.X-1 .x-1 Ilim-；-=lim-7 Tss+5x 6 i (x 1)(X4-6)735.-axlna*f(ax)x2 Inx【解析1因 为/(x)=J/(x)dxf而(J/(x)dx =(-lnx-+C)r=x2 lnx+-=x2lnx36.所以/(x)=x2lnxx2+1 解析 由 y=Jydx=2忌=，+c又由初值条件，有y(l
18、)=l+C=237 得 C=1 故 y=，+l由 J =e 2 3 2 1 1=_/1 X2 X=O38.-2y39(2J+1)COS-In(lnx)-一餐42.I y )y J4 3.应填 7T/4.用不定积分的性质求解.J d|(1(arctan x)=(arctan x+C)=arctan x|：=作，44.解 题 指 导 本题考查的知识点是奇函数(或偶函数)在对称区间上定积分的性质.若;(工)为奇函数，则f/(x)d x =0；若 为 偶 函 数，则/(Z)dx=2fy(x)dx.由于本题的f(4)=xcos X是奇函数，故 夕cos xdx=0.对于对称区间上的定积分的填空题，首先要
19、研究的是被积函数，W的奇偶性.若f(，)为奇函数，则直接填0,否则再进行计算.如果被积函数不易积分或根本无法积分，则应优先想到它是否为奇函数(一般情况下都是奇函数).例如：设/(工)为连续函数，则/j京 严=.定积分 如(1 +)+d(cos/)cos，J-F cost+CcostS/TTP-K-+c.TTF7r解法一I 第一换元积分法原式=M 一 j j d”+工 力-u2 J (1”上，了+/)T2 J (l+x*H=:“(】+/)T-(1 4-x,)d(l+x,)7 T+7+c.解法二：第二换元积分法原式令 上 tanif lanfJ secJf scc:tdt=f 吗 c o s r
20、d/J c o s /-cow,cos:rd(c o s r)U-d(c o s/)4-|d(c o s/)c o s r J初 十 871+?+？-+C./TT7r由对称性知3ydrdy=0.所以63.3 y2)drdy=2/d r=ya*.由对称性知3ydxdy0,所以(x2 4-y2)dxdy=2rdr=f 1464.(0 4 x 41 区域 D 可表示为1I?，f f 竽 业%=J闻;,苧dy3=(1 -cos2x)dlr T(J-ls i n 2j)l o7 -l9*n 2-心区 域D 可表示为J l /则g喑1rdy =朝；,竽力川苧y|；dr:j (1 c o s 2x)c L
21、ry0 1 *4-z-s i n 2.4 o6 5.应交换枳分次序.原枳分=j dj,空三dy =I c o s x du =s i n j r应交换枳分次序.原积分=f du j =|c o w c L r =s i n j*令.y =uxyz=1/,则 f(w)/(x.u.v).if+黑嚏+空/弟+骂 7+普 山 6 6.加-dv十au-d.*_du-du-布dv-dz翼+a u-a ja u-ra v-令“y =u t x y r =v,则/(w)/(x u.v).if+ff 噎+空,黑噜+ffy+ff，2枣.也+跑.羽=闻.工+型.mdu dy dv dy du dvdu*du du*
22、dv dz dv:=2J-C4V 4-x2y y=(2x +x2y)e,r O J，r*4-(2x +.r v)e.r (3x:-F.r1 v)e .6 7.a i d yV 重=2x c4 T+r，e =(Zx 4-xIy)e,.d x*,=F e +(2x-f-x:(3 x2 4-x3y)etf.d x d y等式两边对丁求导得1.即 fix1-D=工3x-1 ）3/=“令t=2 .得，（7）k 土.68.12等式两边对T求导得/（x,-D 3：=】.即 fix -D=1，令I=2,得/=.69.解法1直接求导法.在用直接求导法时一定要注意：等式两边对x（或y）求导时，应将y（或工）看成常
23、数，而式中的：应视为X与y的二元函数，最 后 再 解 出 或;：）即可.等式两边对工求导.得解得 T=-r-ox dx dx r-*解法2 公式法.设辅助函数F（x,y,;）=x:-y-e.等式两边对x求导时.式中的）,与工均视为常数,用一元函数求导公式计算.对或：求导时,另外两个变St也均视为常数，即dF dF.-=F.=J,-=F,=x-e,所以=解法3 求全微分法.直接对等式两边求微分.求出dz的表达式.由于改=当工+当）.所以dx（或dy）前面的表达式 就 硬 碟）因为即则所以d(xx)=dy+d(e*),zdx*xdz=dy+c&,dz=dx；-dy,e-x e-xdz z2li m
24、 lyn-(-l-+-2-x-)-htm.-：-l-+-2-x-八-3*-1 -0 J _ x(_ 3)2。-3.7 0.2，1 -3工-34 3-r3(1+2公4二 一 亍v ln(I+2x)r 1+2”lim.=lim-：-,7 v 1 3x-I l。I _x(_ 3)2%/l-3xr2 sz 2，1-3 1i 1+2z 3i c d*=y j *de”T 叫-卜叼=克工+|：一%叱dx 工 y j j-den7卜 甘1：一 卜%=宜一m1：-犷口7 2.由于当i f 0时,工,是无穷小量，且卜i n 2|1,故可知liry s in =0.当 工 0时.1-e-J 3.故I-(1 -e-
25、)sinzx i；3xJ sin2x.3sin2x _hm-；-=lim-：-=hm ：=3.10 X sin2x.4.In、-F x sin=3由于当0 时,/是无穷小鼠，且卜i n/|1,故可知li个/s i n 5 =0.当 J T f 0 时，1 一厂)3/,故I-(1-e-,r，)sin2x.3x2 sin2x.3sin?1 olim-lim-：-=hm ：-=3.J。X J 0 JC所以 则吐 三：+3 i n,=3.73.由 厂T 2H)与a*)|y=0.(D S=/(-+2 z)d x=(-半+/)|#=y-74.解设 F(x,y,入尸f(x,y)+X(x+2y-4)=x2+y
26、2+xy+X(x+2y-4),Mdx2x+y+A=0.令.=2y+x+2A=0,=x+2y-4=0,由与消去A,得工=0,代入得y=2,所以/(0.2)=4 为极侑.75.原 式/=部,呵；如=-1-J (1 x!4-1 )L r=-1-J (2 -2 x2)dj76.原 式/(1 -/工，+I )p(x)或 f (JC)3(x)=J.=小 卜*4:卜eP皿业+C=e-jxedjr+Cj=e -yjxde n+C-y(xe-,#-je-ndx)+C=e T+w)+q=一?+Ce”.；-1 +C e 解得C=故有j y yP=y y*p(x).Q =(j)-y由积分与路径无关,得aQ=dPdx
27、a y 即=3用 G)或，(工)3aJT)=r得 p(x)工/卜皿 卜J川d*+C=e-n Jxe-n Ar+Cj=叫 一 扑+0=e1r (xe -Je ir)+C=e”Y(k+W)+C 3由3(1)=1 得,1-y ，-1 +Ce”.4+CeUMC=告厂故有yy79.y 6 x?+6x12 =6(/：+z 2)=6(r +2)(x 1),令 y =0 得.门=-2.列表讨论如列J(-8.-2)-2(-2.1)1(!4-oo)fy+00+yZZ由表可知单调递增区间是(-00-2 U(1+电单调递减区间是-21 0y=6 x2+6x12 =6(J*+X-2)=6(r +2)(11),令 y =
28、0 得门=-2.x 2 =1.列表讨论如F：J C(-8 一2)-2(-2.1)1(1.4-oo)ty+00+y/由表可知，单调递增区间是(-co,-2U(1,+河,单调递减区间是一2。80.积分区域D如图所示.D的边界=4用极坐标表示分别为r=l.r=2,故积分区域D在极坐标系下为-：L -(一 旦1d r：_ ycc，(/y +?)-2 ia n(jy)a rrtan(“)=ITI KT+”+力 令 可=e.2,h .2,u y/(3 y).V 争-e I (-3)./-A 1.JT(d?._ sec)-2Edni ya r(x1+/),方=y 3rln3 /(3 ).，生=曳+至+曳dx
29、 Hr Hr Hr3e y(+y)sec”工y)213水 内)=IKT+(，+,.25 2 1=2 1-8e-=8u-=8e-=8e-+y3 ln 2，(3”-y).+y3”n 2，0-y).(lnjr),d(vCr)x(ln-r,|J-Irurdx-s j Injrd(x)心厨lJ加-16e+16 5/G r j-1689.l n j,)zd r *2j2严3：-急8e 8j I n x c K v x),l n.r d x=8e 8严吠-浜=8c 16 e +16 i|8e 168(e 2).90.解设 F(x,y,X)=X2+y2+X(2x+3y-l),F：=2#+2 A *令0,令 F
30、*=2 +3 A =0,今=2 x+3 y-l -1=-0消去A.解得“卷 片.：则 的.)4为极值91.要证明的不等式即r；V l n（1+工）-I n x V .1+z x取函数八工）=1皿，当工 0时.函数人工）在R.I+工 上满足拉格朗日中值定理的条件，于是在（工+力 内至少存在一点&使l n（1 +工）-l i u r .，（）1=看又工VSV 1+”,于 是 有 白 一 ；上 I +工 E J结合上式.有 !n（1 +x）I n x 1 +工 xo n1 i I +11即T-7 I n-.1 4-x x x要证明的不等式即V l n(1 4-x)I n.r V .取 函 数f（x）
31、=Itu，当工0时函数/”）在（11+工 上满足拉格朗日中值定理的条件，于是在（11+1）内至少存在一点&使ln(l+x)-Injr 9 I.又“V W V 1 +”于是“4-1 r X R 1结合上式,有 ln(1 4-x)lor V 1 +x x即,工】In-】-+-工-0;当 工 1 8-t，/(x)0.所以/(I)=e =为函数/(x)的最大值.C又因为lim/(x)=limre-=-81lim/(x)-lim xc =,lim十 e=lim e=0.92.于是.函数/J)在其定义域内无最小值.函 数/(x)=xe*的定文域新二8.+8).且函数/(X)处处可导，因为/(x)=一 =e
32、,(l-X).令/0;当工 1时/(工)V 0.所 以 八1)=e =-为函数/(T)的最大值.e又因为lim/(r)=l i m=-oo|Ji -r 2lim/(x)=lim xe =lim 二=lim 2=0.eC于是.函数/(X)在其定义域内无最小值.93.函数的定义域是（-O O.+8）且2-/O孑一工+）=y2(5z+1)_ 2(5x4-1)9 6 9 x 4当 右=一5时,丁=0,当工，=0时./不存在.故以q =-1和4=0将定义域分成三个部分区间.并列表讨论如F:J*(8.1)5i（;。）0(0,+s)y0+不存在+y-f(Gn有拐点U无拐点U所以在（一8 一内 曲 线 是 凸
33、 的.在（-+8）内曲线是凹的.曲线的拐点为（一 i .-5 J S）在 工.0处曲线无拐点.函数的定义域是（-8.+8）.且71一 红，2(5工+1)=2(5工+1)977当 右=一5时=0 i当4=0时 不 存 在.故 以 右=-1和4=0将定义域分成三个部分区间.并列表讨论如F，J*(8.5)51 (b)0(0,+).y一0+不存在+y-/(*n有拐点u无拐点U所以在（一8一 专）内 曲 线 是 凸 的.在（一看.+8）内曲线是凹的.曲线的拐点为（一 机 一 卷J J）,在工=0处曲线无拐点.94.令/-e-4 -P l 3 d h显 然/在 0.门上连续.4 Jo 1 -r f又/(0
34、)i-1-10.呜 e-1 =c-y O.M J 9 1 i，4 4.由零点定理知，/工)在(O.l)内至少有一个零点.即方程 g=0至少有一实根.又/(x)=e*-r-p-r 0(r 0).”)在 O.lj上.单调递增,即/在(01)内与轴 至多有一个交点.所 以 又 上 述 可 知 在(0 1)内 方 程 只 有 唯 一 的 实 根。令/(I)=e*-4 -P 八显然/X)在 0.1上连续.4 J。1+f又/o)=e-4 -r 147 rdz=1 -4 =-4-e-1 =c 0.4 J 9 1 i t 4:.由零点定理知，/(工)在(O.l)内至少有一个零点.即方程八了)=0至少有一实根.
35、又/(x)=e-r-r 0(T 0).1 +X)在 0,1上年调递增,即/(X)在(0.D内与J轴至多有一个交点.所以，又上述可知，在(0,1)内，方程只有唯一的实根。曲线y n工,与直线工=1.1=2及丫=。围成的平面图形如图所示.所求面积;S=J/d j-=9=孑(平方单位八所求旋转体的体枳：V=nJ(x*)：=工，与 直 线 工=1.1=2及y=成的平面图形如图所示.所 求 面B b S =/A r =jx5 I =!(平方单位八所 求 旋 转 体 的 体 积：V=J(x*):d x =x ,4*(立方单位).96.设函数 fix)=l n(I +x)j -(x 0),/(0)0.由=T
36、T7-(1 +x)2=(1+r)*在(0.+8)./(工)0.故f(x)在(O.+g)内 严 格 单 调 增 加，从 而 当 工0时,人)/(0+0).又函数/(工)在 0,+8)连 续.故 八0+0)=/(0)但/(0)=0.故 当 工 0时./(x)0,ln(l+x)_(J 0).设函数/“=l n(I +x)jj，(工 0)/(O)=。由 =1 4-x -(1 +JT)*=(1 +x)2在(0,+8)./(工)0,故fix)在(0.+8)内 严 格 单 调 增 加，从 而 当 上 0时./(工)八0+0),又函数人工)在 0.+8)连 续.故 八0+0)=八0),但 八0)=0.故当工0
37、时./(x)0.即工)帚0).因r(x)在：a.6 1上连续,根据连续函数在所区间上J f t值 定 理 知 在*6 内展物最大值又有最小值记E.M分别是最小值和大值则，W (a-6)时有/(x)&M.又因为，()在 q.r j上有意义,从而函数)在,4 上连域且可导.邺雨数/“)在0,.八上稠足拉格朗口中值定理的条件故存在S W (八.八).使得A 3 3.而ma/q)WM所以恒有97.mW Z x)在:a.6 1上 连 续,根 据 连 续 函 数 在 闭 区 间 上 用 值 定 理 知 在.*内及有最大值又有最小值.记E.M分财是量小值和大值.则，e (u.f r)时有m /(x)M.又
38、因 为 在 人.心 上 有 意 义从而函数/Q)在O,.1 r,上连蛾且可导.即函数“外在 马上H I足拉格朗口中值定理的条件,故存在S C (八.八).使掰而所以恒有m(*i -Xi )4/(xj)/(xi)C M(xf-X|).98.因 为 抛 物 线y=ar +&r +r过 原 点有 *d x=呜一+%+，)-A(6 a:+1 5油+1 0 6)30=言1 6”，+l0 a(l-u)+与(1-.(/，=*1 9)=u，+ia 4*10+制要 使V最 小令a R一 争.此 时/，=.于 是a=?$=*=0时,此 图 形 绕 上 轴 旋 转 一 周 而 成 的 体 积 最 小因为抛物线y=+
39、幻+过原点.有C =o 又o&工&I 时，0 故该抛物线与轴及I二 1 所圉图形的面积为J (a r:+&r )d x =；于是 2 a +3 6 =2.该平面图形绕7轴旋转一周形成的立体体枳为V =KJ+f c r )ld j*f f(ia!+7a 6+lA，)袅（6 a：+1 5 a f a +1 0 6 ）3 0+1 0 a（l -a ）+竽（I a .（A =2，3）匐“.+叫工匍”打+垮?要使V最小令a=.此时/,=1-.于是&一 一 =目.=0时.此图形绕工轴旋转一周而成的体积锻小.4 Z99.设 A点坐标由“=2 上 得切线方程为一 立=2X0(X-J 6)或工=?+茅 由 已
40、知=J：(/二十菅 一仃)力,所 以 入=1*(1,1).切线方程为2”-3 1 =0切线与1轴交点为I =十.于是V =J*c L r K,(2 x -l)?d x =y M-=言(立方单位).y设A点坐标（八尤 由=2工，得切线方程为y 舄=-x-1 =0切线与I轴交点为工=于是4V=。也一 *一 D&=9 一 *=卧 立 方 单 位）.该函数的定义域为(-8.+8).y=!(6JJ xl)*(12x-3x*)=-#一；令y=0得驻点x=4.另有不可导点H=0及1=6.函数的单调性列表讨论如下,_ H(4-r)=4 jy/i6xl-x1)i 力工(6 工 产由匕述讨论可知.函数的单调递增区
41、间为（0.4）；单调递减区间为（-8.0）与（4.+8）,且函数在1=0处取得极小值f（0）=0.在工=4处取得极大值，4）=2 .该函数的定义域为（-o.+o o）.=7（4 /=4-一（6-二 力（6一工/：令y=0得驻点工=4.另有不可导点工=0及1=6.函数的单调性列表讨论如下:由上述讨论可知函数的单调递增区间为（0.4）；单调递减区间为（-8.0）与（4.+8）.且函数在I =0处取得极小值/（0）-。.在r =4处取得极大值，/（4）=2沉.jr(o o#0)0，4(4.6)6(6 +8)9y一+一yz、Jx*IftrAr-Inj-y jx3d(lnx)101.yln-r-yJjd
42、jr=ylnx-i-x*+C.102.解 如图8 1,绕工轴旋转一周所得的旋转体体积为绕 y 轴旋转一周所得的旋转体体积为V,=K22dy(/y)2 dy=4 y-y/Io N I o=8 7 r.103.li m-1：，停 T*2.104.解 由 工，2)市=/,两 边 对 X 求导数，有/(一)=3/令/=,则/)=3，.所以 2 j：/(x)dx=2(：3 xdx=2 2X3X-X=3解 由，(/)山=/，两边对x 求导数，有=令 x2=z,则/(/)=3 r *所以 2(：/(x)dx=2 3 xdx=2 2 x3 x-x=30 0 2 105.解l i m ：_ 一：i j 3-x
43、-J l +xr*2 -x +J l +工)-(1 -x)(l -H x)(V 3 -x+V l +x)f (斥 I_V17X)(V 3-X)+V 1 7 x)I 2(1-x)=-+x)(，3 -x +V 1 4-x)=-2/22 i设画面的长为，cm,真为y cm,又设广告画整幅所用纸张的面枳为S,则求面枳函数S-(jr+16)(y+lO)在演I足约束条件Q 7 8 4 0下的最小值点.月工0 7,(1+1 6乂 +10)+*刈-4840).F9g wy+10+Jly0.-F，HI+1 6+*,0.FA-jy-4 8 4 0-0.解得i=8 8,y=5 5.此时只有唯一的驻点,根据实际向H必
44、有所求,即当画面的长为88cm.0 6 宽为550n时.才畿使广告画聋所用城张的面积小设画面的长为ic m .宽为y cm.又设广告画整幅所用纸张的面枳为S,则求面枳函ttS-(1*6)(m 0)在酒I足约束条件功=4840下的最小值点.F C r.y)=C r+16X y+10)+*jy-4840).F.r+i o+M。.尸广工+16+*0 jy -4840=0.解得i=8 8.y =55.此时只有唯一的驻点,根据实际同必有所求,即当画面的长为88cm.宽为55cm时,才能使广告画整幅所用纸张的面积量小。107.本超考查的知识点是应用导数求实际问题的极值/-分 析 所 谓“成本最低”.即要求
45、制造成本函数在已知条件下的限小值，C松的关键是正确写出制造成本函数的表达式.再利用已知条件将其化卜、-一一.一主教.并求其极值.,3 3,，.一t e 设池底半径为r,池 高 为 人(如 图3-3),则irJ/i=之“，得/(=亍.第2笈本为S.则-3、二 X)大 厂 +20 2-rrr/i=30*trr2+20 2irr -r =30T T()+d c o s(|2+z2)=0e*(zdr+xdz)-(jdx+xdy)-sin(y2+z1)(2 ydy+2zdz)=0A PX H,y-ze x+2ysin(y2+jc2)解得 dz=-=-T-dx+-=-ay08.xew-2zsin(yz+z2)xew-2zsin(y2+z2),解：本题用微分法求解，公式法及直接求导法请参看类似题解.对等式两边求微分得de-d(xy)+dcos(2+s2)=0ec(zdx+xdz)-(dx+jcdy)-sin(y2+22)(2)由+2zdz)=0A2 i H.y-z6n.,x+2ysin(y2+jc2)解得 dz=-=-z-dx+-i r-dyxeu-izsinCy1+z)xew-2zsin(y+z3)109.110.解 =(eJ)lnx+eJ(ln x)=eT In x+x解 j=(e)lnx+eJ(ln x)=eTlnx+x111.A