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1、2021-2022学年云南省丽江市普通高校对口单招高等数学二自考模拟考试(含答案及部分解析)学校:班级:姓名:考号:一、单选题(30题)1.设f(x)的一个原函数是arc tanx,则/(x)的导函数是A.5-5-B.-L-1 +x2(1+x2)2r_x n 2xa+xT D-设 乙=/，贝口去=2.曲()A 2x(1+x2y)exlyB 2x(l+x2)ex2yC 2xy(l+x2)ex2yDxy(l+x2)e?v设二元函数z=sinGr”)，则手等于3.d xA.A.xj/cos(xy)B-XJCOSCXJZ2)Q-y2 cos(x2)D y2 cos(xy2)4.已知 f(x)=xe?x
2、,则 f(x)=()oA.(x+2)e2xB.(x+2)exC.(l+2x)e2xD.2e2xsin 3x设函数/(x)=,15.a.*0 0,在x=0处连续,则a=(x=0).A.-1B.1 C.2 D.36.若 f (x)0(a0,则在(a,b)内必有().A.A.f(x)0 B.f(x)0 C.f(x)=0 D.f(x)可正可负7.设其中u=X1 =，且/都 存 在.则 比 等 于(A.汇 r+g 。B.x+2y切 o?du dv,C.里.2、)D.亚 亚 2/01 du 3r8.已知 f(x+l)=xex+l,则 f(x)=A.A.xexB.(x-l)exC.(x+l)exD.(x+l
3、)ex+4 1设 uarctan1.则/禽-y贯等于()9 .A)B.O C.|D.210.设函数?(x)=s in(x 2)+e-2 x,则？(x)等 于()A.g(l”.2 r B.-1 -rC.-2 x co a f)-e2D.2 i(s(i i +rI I.设/(x)=X()o,则J/(x)dx=cosxXA.sinxB.x-+CC.xsinx _-+CD.x函数在点处的导致是A.O12.D.不存在j n 设函设，则=()13.drA.xy B.xylny C.xylnx D.yxy-11 4.已知 y=2x+x2+e2,贝 IJ y 等 于().A.2*+2ir+e5B.2ln x+
4、2x+2eC.21n 2+2殳D.r 2+2X设则/C r)()A.有极小值15.C.无极值B.有极大值D.是否有极值不能确定16.设函数f(x)在点xO处连续，则函数?(x)在点xO处()A.A.必可导B.必不可导C.可导与否不确定D.可导与否与在xO处连续无关设 u,V 都 是 可 导 函 数，且 V W 0,则(上)=17.vUA.A./UV-WB.v2u，v+uv,C.v2D.已知/(“)=处，贝=A.C.18.X1-lnxx2lnx-1x2B.D.1 +lnx V Inx-xx219.设 f，(cos2x)=sin2x,且 f(0)=0,则 f(x)等 于 A.x+l/2x2B.x-
5、l/2x2C.sin2xD.cosx-l/2cos2x20,设/C)=V，则(N)&等于().-sin xD.+c21.设函数/(H)=则在z=l处1,x ，2,则 d z 等 于 A.6x2y e-d x d yB .x2e-(3d x+2 x y d y)C.3x2e-d xD.x3e2d y2 9.设 f(H)是连续函数，则j/(x)dx-J /(a+6-x)d x 等于A.0 R IC.a+6 D.J/(x)dx30 设 函 数=(1-i)d，M(x)W(极大值 1/2 B.极大值-1/2 C.极小值1/2 D.极小值-1/2二、填空题（3 0题）己知 J：Jl-x dx=:,则，Ji
6、-x2 dx=.ln（l+2 jr）设函数4 力=-x-,在 x=0处 连 续,则。=32.x=033.-34.设函数H =e .则 dw=A.e0Lr B.d y +y d r)/*C./d_y+y-/u）（r+r*）为37.A.A 4 L B.4-A A C.非膏&偶品数 D.*法轲定奇偈惨函数曲线y =X e-的凸区间是38.39.函 数/（X）=2x,x*1.T*.Jr +CC.4-C D.2 e 2 +C一 设函数/(工)=在彳=0 处连续，则_ _ _ _ _ _ _ _ _47.I a,x0当x-0时,函数/(x)与s i n 2 x是等价无穷小瞅,则|加9=-*0 f iin?
7、rf 2/-x+2+1)3dx=.设=旌4,则 4=x I-52.设Z=/(“，D “=e,v=ln(x2+y2),/是可微函数，则 生=cos aJC X5 3.5 4.设 y=y(x)由 方 程 x y+x 2=l 确 定，贝IJ d y/d x=5 5设 函 数/二 仁.:%在 点，=o处连续，则常数。=56.xdx4+x257.设 J；则J：(d x =58.设察件 A,B 满足 P(A)=O.4,P(B)=0.3,P(B|A)=0.5,则 尸(A +B)=59.设函数y =2 3,则 y A.2 1 ln2C.ln2 2 -n.rB.2 s ir u rD._ 2i n x60.空
8、空d xsn JC三、计算题（30题）61.计算二重枳分其中D为由曲线y =1 一/与y =工?一 所围成的区域.62.1+4 7设函数/=.TT7,x 0.求定枳分*V 0求极限I 而 型 上 沁.6 3 .VT37-164.设(才其中可导 求，沙埼6 5设函数z =(2 j r +y).求 此6 6 巳知函数 =a r c i u 后需,求黑6 7 求微分方程y -2 y -3 y =3 x+I 的通解.士皿(1 e )sinfcx,(工)由方程y=(Inx)确定求y.77.设函数 ynx,sinx,求 dy.求极限 lim(X+-e，.78.I J 八+/1(0 c设函数，(*，求/(x
9、-2)dx.79,，明80.已 知x1是 函 数f(x)=ax3+bx2的 驻 点，且 曲 线y=f(x)过 点(1,5),求a,b的值.设/G)求不定积分 J 1 +8 3设函数g=/(八：)/具有二阶连续偏导数,求量,嘉8 4计算定枳分，/乙.设八外为可R函数且脩足方程：.rj fittd t (x+1 )|(x 0).8 5.求函数/().计 算 定 枳 分，2 +2 c os 2/c L r.计算定枳分加(0+“小-求 定 积 分 l n(l+G)dx.89.求 函 数f(x,y)=x?+y2在 条 件2x+3y=l下 的 极 值.*x in *0.讨讫函数/=的切线,波切线与上述彼得
10、奴及J轴第成一平面图9 5 .影,求此图形统，0宜找一同所成的箧转体的体根C,证明I当，时外,1-=2 x(l +z2y)ex dxdy3.D4.Cf(x)=(xe2x)-e2x+2xe2x=(1 +2x)e2x。根据函数在点x=0处连续的定义：lim/(x)=/(O),则行-4lim/(x)=lim S*n =3=/(0)=a.j.U x6.A利用函数单调的定义.因为f(x)0(axf(b)0,故选 A.7.B答应 选B.分 析 本跑考布的知识点是二元复合函数的偏导数的计算.dz df d u d f dv of af、dy 加 dy 3r dy du Ai所 以 选B.8.A用换元法求出f
11、(x)后再求导。用 x-1换式中的x 得 f(x)=(x-l)e所以 f(x)=ex(x-1 )ex=xex 09.C10.B本题主要考查复合函数的求导计算。求复合函数导数的关键是理清其复合过程：第一项是sinu,u=x2；第二项是eu,u=-2x.利用求导公式可知/*(*)wn(*)(r*=ro(I*),(i5)*e u (-2 1)=2cw(JI3)-2e 3，.ll.B12.D13.C 此题暂无解析14.C 用基本初等函数的导数公式.15.A16.C连续是可导的必要条件，可导是连续的充分条件.例如函数?(x)=|x|在 x=0处连续，但在x=0处不可导.而函数?(x)=x2在x=0处连续
12、且可导，故选C.17.B 解析 利用商的导数公式可知(lnx)*jr-lnxx,1-lnx18.Ax2X219.B 因 f,(cos2x)=sin2x=1 -cos2x,于是 f(x)=l-x,两边积分得 f(x)=xl/2x2+C,又 f(0)=0,故 f(x)=x-l/2x2.20.C【解析】根据不定积分的性质(Gdx=/)+C,故选c.21.D22.A答 应 选A.奥示 先 用 复 合 函 数 求 导 公 式 计 算 出 再 将，=/代 入因 为/)=cos ，所 以r仔 卜 亨.选A.23.D 解 析：因为一(X)是X的4次多项式，所 以/(5)(X)=O24.B 因为 y=f),所以
13、，y=f(ex)exdx25.A26.B27.B28.B用工=/)于是5=3 /=2J?*d=dx+dy=3/dr+ZJ3yvf1 dy=?/0,所以极小值/(【)=。-l)d=y(l -1产：=-；，所以诜D.31.K/232.233.34.B35.-1/237.B(F,2)a。解析 因为 y=(2-x)cx 0,得x 2,即(，2)Jo.39.A40.(1,-1)41.因为 y 2xln2,贝!j y=21n2。42.-243.44.因为尸口）=!,则尸（e、）=e所以 r r(L)dx=-e r =e-i_eJ 1145.1因为 y(l尸2a+2=4,则 a=l46.D47.048.1
14、解析x+x49.50.【答案】应填/（2x+l/+C.凑微分后用积分公(2x+1)3d x =(2z +1)3d(2x +1)=(2x +1 )4+C.51.-2利用重要极限n的结构式:l i m(1 +0)5=e 或 l i m (1 +I =e.由已知 四（1+以=e：可得2人一4,所以4=-2.界冷工+2xf：x2+y2rukc.i a dw dz dv dz A dz 1 解析dx-=au-dx +Tdv Tdx =du C y+Tdv x2+y2x 2 x=加+等T f：52.53.ln(4+x2)+C 解析 _ h r =：fT T d(4 +，)=:ln(4+x2)+c56 4+
15、x2 2 J4+x2 257.利用变上限积分的定义，当上限取某一定值时，其值就唯一确定.因为 所以 当x 取 8 或 2 时有J：/(f)dr=，j/(/)d r=y设 4x-t,贝 l|x=/2,Jx=2ftJfx I 1 I 4t i 2-于是 f 1-y=/(Vx)d.r=2 ji/(s/x)d(Vx)=2 ji/(r)d/=2 =1658.59.Ccotr+Ccotx+C工工原式/=|J dx61.V原 式/=舒 中 工：必=看 J(1 .rz x:+1 )cLr=打1 2 -2L3 rA 11 n 3,Q62.if7/(x)d x =f /(x)d x +1J-l JT J o0=l
16、n(1+e)+-j-In2-ln(1 +e)+1 j1-p d(2 x)=ln2-ln(1 4-e)+arctanZ1 c 0=ln2-Ind-be*)+-f-.of7/(x)d z =I,f(z)d z+1J I J 7 J 0=ln(1+eT)+T-i z -M+)(Lr 2JT2)(Lr*T|I1.1=-38,(4 t-T4、)=-38 83)=1.1=13 8 3/(x)d x-/1 4 2d zJo 1+4 x/(x)d xi _1_ 4 2 d zJo 1+4 xIn 2-!n(l+e )+1 +4d(2x)ln2-ln(1 -I-e)4-arctan2jr=ln2 ln(1 +e
17、)+o2.In(l+2x).1 +2xlim.=hm-：-i-3*-1,7 1 x(3)2一3才2 2-3工1+2-3 63.1。_ 4 3r _ _ 43(1+2x)=一lim里上L =|加I八一31一 1 i2r+2 i-X(-3)2 八 一 3H也1 +2工乂 2，1 -3工一3I-_ 4-3才；T?3(1+2x)4T-z=/(3)令 u=jcyf/(u)y:(u)+jryf(u)+y1 fiu)64.2x/()=2xyf().z=0/(令 u=jcyflu).言 二y/(“)室第=(“+w嚼=x f(tt)+1/()-=x/()+”().因此，箓十丁案 h iy/(u)-+X/(M)4
18、-y*f(u)=2xy/(w)=2iyf(65.方程两边取对数得Inx (x+2y)ln(2x+y)两端微分有工 妙=(dx+2dy)ln(2x+)+(j+2y)2.一曲.X2r 十 y所以 dz=(2x+)+2.+2ln(2j+4J*十 y cx 十 y方程两边取对数得Iru,-(x+2)ln(2x+)两端微分有 djr=(dx+2dyln(2r+)+(x+2y)?；二S 所以 =0r-0 X-0silLT+sin/=j msinro v 1 +sinx67.曲分方程对应的齐次方程为y-2y 3y 0,其特征方程为一-2.-3=0.特征根为r,=3,rt=一】，故对应的齐次方程的通解为y n
19、 G e +a e -(C1,C,为任意常数).由于自由项八幻=(3 i+D e”,A=0 不是特征根故可设特制为y =A+Rr 将 y 代入原方程得-2B 3A-3 Hr=3x+1 有-3 B=3.-2 B-3 A 1.故 A=J ,B=1 .从而 y，s J所以原方程的通解为y=C.e1*4-C,e-4-1 -T(C.,C,为任意常数).曲分方程对应的齐次方程为y-2y-31y=0.其特征方程为一-2.-3=0,特征根为r,=3,r,=一 1,故对应的齐次方程的通解为y-G e-F G e(CB.G 为任意常数).由于自由项/(x)=(3 x+l)e-*.A =0 不是特征根.故可设特价为
20、y =A+Rr.将歹代入旅方程.得-2 B-3 A-3 H r =3x+1.有-3/3=3-2B 3A 1 故 A=1.B=-1 .从而 y，=-x.3J所以原方程的通解为y=G e+G e +为任意常数).68.由于当工f 0 时，工 是无穷小量，且卜in|X j o J所以阳 吐 口+石吗尸由于当工-0 时,三是无穷小量，且|si n4 1.故可知电了、i n/=0.当了 0 时.1-e s/3/.故lim(-1-e-v-)-s-i-n-2-x-=.l.im3-x-2-s；-i-n-2-x-=lrim-3-s-i-n2x=3Q.一。X.3 X X所以 Um(1-e,，)9 in J+x S
21、 in J =3,由求导公式.得生=Q Jn(l+f；)了=二 开?d(arctan/)(I-/)1.i+fl于是,K i 一 叮dy:(arctan/)69.-j-Z)=2(/-1)(/*+1).r+?于是.由求导公式.=*需 n fZ)=2c+1).1 +/1 +f70.解设 F(x,y,入 尸 f(x,y)+X(x+2y-4)=x2+y2+xy+k(x+2y-4),2x+v+A=0.令 =2y*x+2A=0t=x42y-4 sO,由与消去A,得z=0,代入得y=2,所以/(0.2)=4为极值.由于因此COST-cos/+/sin/Ixin/9inz=/ninr.71.由于因此cos/-c
22、ost+/sin/=，rinf打包Ard;=-sin/1%i r Lr d/=xzd(-C O S T)=I2 C OS T+j c o a r d r2=-j-2 C OS T+J 2x c o s j r d x*=1%o s x +2 j-d s i n j=x 2c o s x +2x s i n x -z j s i n r d x=x2 c o s x +2x s i n x +2c o s/+C.2s i a r d x =Jx2d(-C O S T)=I?c o s x +J c o s x c Lr2=?C O S T+J 2x c o s x d x=x:c o a x +
23、z j x d s i n x=x2 c o s x +2x s i n x z j s i n x d-r=x2 c o s x +2x s i n x +2 C O S T+C.f e +l n(1+x)Jd j-=y 1 e2,d(2x)+1l n(1 +x)i r=+x l n(1 -F x)f S-diZJ 1十工=e +x l n(l +x)f l 2 Jd x乙J 1十JT=小 +x l n(1+x)-x +In(1+x)+C.2f e八 +l n(l +N)CLT=y j e2,d(2x)+l n(1+x)d x=4 e +-r l n(1 +x)f r-y-d z=J e +
24、x l n(1+”)-f l -、一d z/J 1+x=ye2 +x l n(1+x)-x +l n(1 +x)+C.74.设 F(z,y,z)=j r +J?xyz1,则F,2x yz2,F y =3y 1 x zz.F,=2xyz.圭=_ g=红 二卫.在=_ f z =3 ywdx F,2xyz dy F,2xyz设 F(H,y,z)=j-2+jJ xyz2则F,=2.r yz1,F,=3yl x zz,F,=-2xyz.d z _ F,_ 2z -.y d dz _ _ 31y 2-x z?3x F 4 2 工y z 3 F 2 l o r =(I r u,)4 r i n(l a r
25、)+-p+2(l n x尸,xl M ,.77.因为 y,=4x3sinx+x4cosx,所以 dy=(4x3sinx+x4cosx)dx78.Inii _ Um令I =.则原式=e*f l,l i m /1 +e r=l i m-i-J M i JT j 1bm k令 f =一，则 原 式=e。r=?.Xf/(x-2)dj=L=r7 9.令 x-2=t 刃B 么：1/(1-2)dx=j/(/)dz=*/(/)1/+/(,=(1 卜 /,)dz l-f那 么：80 f(x尸3 a x 2+2 b x,f(/)=3 a-2 b=0,a=2,b=3.令 彳 1 =i4,则 dj原式:81.令 r
26、1 =”则 cLr 当 j*W 0.2 时.原 式 一 f ix -1 )crJ 0=J f(u)du=(f(u)du 4-|flu)duL l+e,+L 1+=ln(1 +e).1 .2 .*r ，l一uu ItK 1 ，1 c =c r h 1-TT-i=C 7.fin d t/(/)!/4-j/CrJdz(1 4-H)d/4-e d/3 ,.令 x-2=t,t)dt .7 19 c d/3 e再由f=5得a+b=5,联立解得:=d“，当工 W 0.2 时,u W -1.1.于是-f /(x -1 )cLrJ u-J f(u)du=J/(w)dtt 4-J f(u)du=f r-a n-f
27、 y j-i rJ-t I y e J o 】+工=Ind+e).w 6-1 1.于是设，=，3-/,则.r=3dr=7 T 7 =82.=2(/-*ln|1 4-/D+C再将，二 斤G代入,整理后得 -2(4一工一In I 1+，3 *|)+C.J 1 +-3 7设，=，3-则.r/3 x3 r d”0-2tdt.JT 备 出1+，一 1川FT再将，=_ 2川一出产=-2(r-ln|14-/|)+C斤q代人.整理后得f,%_=-2(/3-1 In|1 4-v3 x|)+C.J 1 +V3 J C生d.r/+/y”（一 揖+/；（揖 卜，（T）83.露 R 人八 一“”一“”瓷=/j+/T8f
28、Hddy”，）+（寸）iaIde乔 贝一卜叼宣啧84.j(c*+1).85.V/(x)为可微函数.方程式两端对上求导得两端再对上求导得(1-x)/(X)=2x/(x)+x tx).即=(l-3 x)/(x).上式是可分离变St的微分方程.通解为/(j)=Cr-为任意常数)./(为可微函数,方程式两端对上求导得 1 -r)/(/)d z=jr/G),两端再对上求导得1-X)/(x)=2x/(x)+x tx).即/(x)=(1-3 x)/x).上式是可分离变St的微分方程通解为/(x)=C r*e+(C为任意常救.因 2 +2 c o s 2 x =2(1 +c o s 2 x)=4 c o s
29、G.所以，2 +2 c o s 2 z d x =J/i c o s G d z=21c o w|d.r86.=2 j c o s x d-r -z j.c o s j-d-r子 =2 s i n j -2 s i n x =2+2 =4.o4因 2 +2C OS2T=2(1 +c o s 2 x)=4C OYJ所以J%/2 +2 c o s 2 x(L r =J/d c o s d/4：87.令JT =r r*原式-l j n 4-l：=J l n(1 +t)d(r:)=I.n92-f1-p1-+r-Jo /+1=I n 2-=i n 2-(O-1 j-2 J c o s x d x -2
30、j .C OS JCLT2 s i r u r -2 s i r t r =2+2 =4.i原式令u，Jr l n(r 4-1)2idt=J l n(I +t)d(fl)=/l n ；J j.山-，n 2 L/4-1 山，n2*+，+】尸=l n 2 1|+l n(f +1)|=I n 2 -(。一 厂(l n 2 -0)=JL2,2 r/x)1 J击卢由于=告d“令/=6)=1,7+出产=y -/+In|1 +r I|=-B+In2.故 j ln=1+4与,二/的图形.得所围成的平面图形如图所示的阴影y =x +4 部分.并解方程组、1 2得交点（一 2.2）与（4.8）.从而知所围成的图形
31、的面枳为S =J （/+4）-0时F G)0所 以F(x)单调增加.则当i0B hF Q)F(0)=0.即(1 +x)l n(l +x)a r c t a n x.当+=。存=。9 2 所以当上0时,有 l n（l+工）2半 詈.设 F(x)=(1 4-x)l n(1 4-x)a r c t a n,r 则F1(x)=l n(1 4-x)+1 ,=I n(1 4-x)4-r.1 4-x 1 +x当1 0时.FG)0.所以F(x)单调增加,则当工0时F(_ r)F(0)=0,即(I 4-x)l n(l +x)a r c t a n x.故l n(l+x)a r c t a n-r1+x当 i =
32、时,ln(l+=。=0.所以当上2 0时.有l n(l +x)a r c t a n xm7,93.设函数/(J)=-y +1 COST.X 6)./(0)=0.而(G =x+siru-/(0)=0,f(X)J -1 +CO5J-./*(0)*=0.f (x)=1 sinx 0.T(0.-).则/”（z）为增函数,所以对于丁 有，（力/*（0）=0成 立.所 以 为 增函数，对于才 有（0）=0成立.所以/（1）为增函数.对于工 （吟）有/-0成立.+1 cosj*0,所以 COSJT 广(i)=1 siru(0.1 (0t-).则/“（1）为增函数.所以对于i E（0 ）有,工）/（0）=0
33、成 立.所 以 为 增函数，对于“6（。方）有r（i）r（o）=0成立.所以/S 为增函数.对于工 （0，卷）.有/（”）/（0）=0成立.,一彳+1 -COJU*0,所以 cosj V =+1 94.函数的定义域为(-8.+o o).因为，=(x-l X x-2)1.令y=0得驻点为1=2.函数的单调性列表讨论如下，X(B.1 )1(U2)2(2+联立J,_,n必，-2必+】*+必+2-0y.-2.由于直级和发物线相切，所以y48 0,即(2 +1)2)-0.化 曾 得=1,&系实际解科t-y.又 上 =4=1-1 .X网x-3.代人y-.傅y-I.即切点坐标为2 一2 295 所以 V=：
34、X2XKX V d；a-2)(Lr-1.设切线的斜率为A,则切线方程为y-IV=k(.x-I)联立，_ _ _ 招 A P-(2A+】)*+A+2-0y qx-2.由于直线和物物线相切所以 。,即(2+1一 3 +2)-0.化 曾 得=I,联.系实际解得士 一:.又 士 =y=J=4 .傅丁-3.代人丫=，7=2.禅y=I.即切点尘标为(3.”.2/F7?2所以 V=4X2X*X 1 -w jx-2)d x -i.96.要证明的不等式即 ln(1 4-jr)Inx V -.14-x J,取 函 数 f（G =l n,当工0 时.函数八工）在 九 1+工 上满足拉格朗日中值定理的条件，于是在（1
35、.1+工）内至少存在一点&使ln(I+x)liur /(1 1 春又工V WV 1+工.于是有74一 !上.1 +才 W J T结合上式,有T；ln(1 4-x)Inx V .1 +x x即1 l nl x!1 +工 x x要证明的不等式即r ln(l+x)-ln x 0;当z 1时.，(幻 v o所 以/(I)=e-1 为函数/(X)的最大值.C又因为lim/(.r)=lim=oojlim/(x)=lim xc =lim 二=lim-7=0.1 r,.(e,修 e97.于是.函数/J)在R 定义域内无最小值.函数/(x)=xe*的 定 支 域*二 8.+8),且函数八工)处处可导；因为，(*
36、)=一 jre*=e (1 x).令/=0.得驻点1=I.且 1 V】时/(工)0】当工 1 0.所 以 八 1)=f-为函数f(j-)的最大值.e又因为lim/(x)h lim 工 L =-/0F)l 0.由零点定理知在(*1)内存在一 点 葭 使F(JT9)=0乂因为南效F(r)在 0.4 上连续在0.4)内可导且F(0)=F(J t)=0.所以满是罗尔定理的条件.故存在一点C(0.1)使F*(e=0.即r(v -i-o.所以存在s e(0.1)使/一 1成立.构造函数八，)人 工)X.则威效F Q)在 0.1上连城且y O.F(l)-l 0.由零点定理知在(1)内 存 在 点4 使F U
37、.)=0乂因为由故F(J)在 o.，l上连续,在(0.4)内可导且F(o)=F(J.)=0.所以幡足岁尔定理的条件.故存在一点W C：(O.n便F*()=0即/(1-1-0.所以存在 (0.1)使 八 c-1成立.99.由 iMRranttc 定理/(工)(1 一(1)一/任 乂1一a)./(a /(H r a)(j a)J/(/(公 缸&刁 上/(r)/()(工 一 事X 0 应用 IJiKrange 定理 X -a O(SV r).F(x)在(a,+8)内单调递增.V F/Cx)=/(幻 -a)/(x)/(a)(x -a)2由jRran警定理 外 力(1一a)一/(彳-a)八八一八a)/(
38、)o(e x).F(x)在(a.+0 0)内单调递增.100.因为抛物线y =a r!4-lu+c过原点.有c=0.又&1时.y 2 0.故该抛物线与1轴及1=I所围图形的面枳为J (a r:+hr)d x =:.于是 2 a+3 6 =2.该平面图形线i轴旋转一周形成的立体体枳为V x (LT:-+-hr)*(t r”(R+W +我)-芸 6/+1 5必+1 0 6)0+I。一)+与(1-0)，,(6 .2，.W)叫 匍(制要使V最小令a h-此时b=1.于是u =一 擀,=得.-0时,此图形绕1轴旋转一周而成的体积最小.因为抛物线y=o r1-F Air -r 过原点有*=0 又 时y20
39、.故该抛物线与轴及1 =1 所圉图形的面积为1 (a r:+hr)djr ；于是 2+3 n 2.该平面图形烧X 轴旋转一周形成的立体体积为V =n j(a r;+Ar)d”n(ia：+7a A +T6*)=W(6 a：+15ab+10,八3 0=磊+1 0 a(l a)+与(1 -a (6 =3 3 )=匍/+3 +叫匍”打+垮 卜，一 .a要使V 最小.令u H 此时&K y.于是a =-4=4 =0时,此图形绕丁轴旋转一周而成的体积最小4 2101.RtU*102.S(x)=AB-BC=2xy=2x(1 -x2)(0 x 1).今 1 S(x)=2-6/=0,得 x =(舍去负值).由于
40、只有唯一驻点，根据实际问题有最大值,所以当号时喘)为最大值，103.解：设A =4第i次iE面向上“=1.2,3A=三次正面向上）H P（A,）=y.j-l,2.3所以 P（A）=P（A A;A:）=P（A.）P（A：）P （A：）=l/8104.系式设围墙的总长为S（总长最短，用料最省），土地长为x,宽为 由题意应有关S=2x+3y.由于面积216=刈，所以 =变，从而围墙总长5与土地的长x的函数关系为Xn648S=2x H-xX （O.+oo）.因648 2X2-648X1令 S=0.得x=18：又 S J畔，S*（18）0.所 以 是 函 数 的 极 小 值 点 依 题 意 也 是 最
41、小 值 点 这 时,=曾=“答：当这块d龙 长 为18m、宽为12m时,建造围墙所用材料最省.=y ln x -j-x3+C.106.解因为讲=9拿，所 以 占+击+导币+.W1=1ir,n+i故 阿(+先+忌 可 尸 1_圭尸1 07.依题意，随 机 变 量X只能取值3,4,5；H.P(X =3 =*=得;PX=枭有P(X=5 AL所 以X的概率分布为X I 3 4 5P A A10 10 101 08.解题指导本题考查的知识点是平面图形面积的求法及平面图形绕X 轴(或y 轴)旋转一周所得旋转体体积的求法.求平面图形面积的关键是根据已知条件中的曲线方程画出封闭的平面区域(本题已将平面区域画出
42、)，然后根据已知的曲线方程联立求出x 的城大变化区间为0,1,而 y 的最大变化区间为0,e.通常情况下上述区间就是对或y)积分时的积分下限与积分上限.最后再根据积分的难易程度选择积分变量.积分变量的选取原则是：必须使积分计算简捷.本题显然应选择对，积分(对y 积分要分成两段).在计算旋转体的体积时，一定要注意是绕，轴还是绕y轴旋转.(1)S=J e*dx=e*|=e-1.(2)匕=J (e/d%=irj e2*dx=-j-e2|=-y-(e2-I ).1 09 jzcosfdrn/jcosfdr221 sini2+C.jxcasx2dr=1|cosx2dr2=1 sinx2 4-C解(1)利用随机变量分布列规范性的性质，可 求 出.因为 0.1+0.1+。+0.3+0.2=1,所 以=0.3(2)P0,5&XV4=P X=1 +P X=2+PX=31 1 0.=0.1 +0.3+0.3=0.7解(1)利用随机变量分布列规范性的性质,可求出a.因为 0.1+0.1 +&+0.3+0.2=1,所 以a=0.3(2)P(0.5 WXV4=P X=1 +P X=2+PX=3=0.1 十0.3+0.3=0.7lll.C先求出f(x),再将x=l代入.因为/(，)=当.则/)I 迭CI