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1、2021-2022学年浙江省绍兴市普通高校对口单招高等数学二自考真题（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（30题）1.区/）的一个原函数为In 则/（*）等于（）.2设版机 变 量取 非 负 整 士 为 值且小.则的数学 期 望E建）-A.A.-l B.OC.1 D.23.函数f（x）在 a,b 上连续是f（x）在该区间上可积的A.A.必要条件，但非充分条件B.充分条件，但非必要条件C.充分必要条 件 D.非充分条件，亦非必要条件4.设/*）=xe2U-0,则在x=1处的法线方程是A.x-3y-4=0 B.x+3y+4=0 C.x+3y-4=0 D.x-3y-f4=05.设 J；/(f
2、)dz=x2e3 则(x)A.(l+x+x2)e”C.(2+3x+x2)exB.(2+2x+x)e”D.(2+4x+，)e*6.当x-0 时，下列变量是无穷小量的是【】A.sinx/x B.In|x|C.x/(l+x)D.cotx7.设函数?(x)=exl nx,贝 l j?(l)=().A.O B.l C.e D.2e设/(i，y)=7,期 6门)=()设函数设疝ir）匚co&H .VrV j 3则f O）等手A.s inrK-2s ir u*co?r 0 设/(x)=詈，则J/(x)dx=()B.xCOST+CC.Xsinx.-+CD.x11.下列不定积分计算正确的是A.=工*+c B.J
3、 3dx=+cC.Jsinxdx=cosx+c D.Jcosxdz=sinx+cI2 曲线y=a _(x-b 户A.A.上凹，没有拐点B.下凹，没有拐点C.有拐点(a,b)D.有拐点(b,a)13.定积分f等于().A.O B.2(e-1)C.e-1 D.l/2(e-l)14.当X 2时,下列函数中下革无穷 小 我 的 是A.?-8 B.sin(x:-4)C.e1 D.In(3-x)15.设 函 数/（x）=L（1 -i）dr,则/（X）有（）A.极大值1/2 B.极大值-1/2 C.极小值 1/2 D.极小值-1/216.函数f（x）=x4-24x2+6x在定义域内的凸区间是【】A.(oo,
4、0)B.(-2,2)C.(0,+oo)D.(oo,+oo)B.q i/+2r17.A金18.函数/(x)=xssinx 是A.奇函数C.有界函数B.偶函数D.周期函数19.下列各式中存在极限的是A，S i(x+1)2c 出B.l im工+8D.l im 3*20.X“彳设/(j)d j =JC1+C,则 f(sinjr)cosjrdj7=J JoA.l B.-l C.n2/4 D.-n2/421.(xcosx+x)dx=(A.-2 B.O C.2 D.422.设函数f(x)在 x=l处可导，且 f(l)=0,若 f”0,则 f(l)是()oA.极 大 值 B.极 小 值 C.不是极值D.是拐点
5、”设“=u(x)，v=v(x)是可微的函数，则有d(v)=/J()oA.udu+vdvB.uzdv+vd”Q udv+vdwD“dv-vd24.A.已 知y=2+，+J，则，等于().2*+2x+e B.2,lnx+2+2e2*ln 2+2 D.x-2*_,+2x25.下列等式不成立的是()B.l i m f 1.l i m (1 +-j =eD.l i m f 1 +ji.n*/26.设?(x)具有任意阶导数，且，？(x)=2f(x),则？(x)等 于().A.2?(x)B.4?(x)C.8?(x)D.12?(x)27.设函数/(x)在区间%6上连续且不恒为零，则下列各式中不恒为芾裹的是).
6、A./(6)J(a)B.lim/(x)D M，28.微分方程/-24工的通为.29设 函 数z=sin(町2),则9等于().A.y4cos(xy2)B.-y4cos(xy2)C.y4sin(xy2)D.y4sin(xy2)卜-也=()ec A.eJ+C B +CC.-e+C D/+C二、填空题(30题)31.当 f(0)=时，f(x)=ln(l+kx)m/x 在 x=0 处连续.33.设 yi+2yx=3x1，则 y I=.3 4.设 y=sin(lnx),则 y”)=3 5.函数y=3x?+6x+5的单调减少区间是36.极限1皿(一 产 的 值 是A.e B.-C.e,D.Oe37.设f
7、Q)在 点H=0处 可 导，且f(0)=0,则l i m B=_ _ _ _ _ _ _ _.r-*0 X38.曲线/(X)H 4三的水平渐近线为 S,T B.y=y C.y=Y D.y=-0 o S39.40.已知y=ax3在点x=l处的切线平行于直线y=2x-l,则 a=41.设 函 数 存 在 一 阶 连 续 偏 导 数 学 率 则&=42.lim(5/+1-y/n)=r*4 3.X,冬44.当x-O时,若sin）x ,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.45.设函数*）*,制46.设 函 数y=2/，则其单调递增区间为47.Jsinxcos2xdx=。48.设2=5山2（公+
8、力），-7-=_ dxdy49或 1*=/（-、/1 r.则:-.50.不定积分J工siniz?+l）dx=.51.设/*）=，g a）=e”，则;（g（/a）=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.dx设函数/（x）=|e 在点x=0处连续,则常数52.la+x.x0qq 设 y=】n x-，求dy.54.曲线y =ln(l+x)的铅直渐近线是.55.设 y=excosx,贝 y=.56.(-1 0 V/4 1,设函数八1)=1 在 1=1 处间断是因为 2-x,1 1.xA 1 B.0 C.2 D.不存在三、计算题（30题）求 lifn(.63./徵求 不 定 积 分 口
9、 水 好 万 百)山 04.J65.求微分方程/一 2y 一 3y=门 的 通 解.66.J im.(?T T-7T T)-设函数f(x)67.(1+x*x 0.求:/C r-2)lr.巳知曲线 /.成求，（1）曲线在点i.n处的切域方程与法蝮方程；6 8.（2）曲线上等一点处的切域与友线=4工-1平行？69.*Z巳 知 函 数Z=工，”求 病70.求 做 分 方 程21y.+5y 5x*2x-1的通解.r、设 函 数 工）=!工 一,，+4，求/（工）在-1.2上的最大值与最小值./1.J*-72.求函数z=arctanCx1）的全微分.求 不 定 积 分 -ir73.J，y r r 7r7
10、 4 M75.求函数一、一翦 总 的 导 数 累.76 求隶分方程y=，+1面是y -2,y(0)-0./(0)=1的特解.77.求极限lim-J-0设下述积分在全平面上与路径无关;9（）必+卜（工）向ydy,78.其中函数6工）具有连续导致并且6D =1.求函数职工）.求极限l im79.80.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户（如图所示），其周长为12 m,为使窗户的面积A 达到最大，矩形的宽1应为多少?81.设函数 y=x3+sin x+3,求 y.82.求u=tan(rz)的全微分.8 3设函数八工）-（土一。）*（上）.其 中x（j）在点工=a处连续.求/（a）.84.已知=zl
11、 nz.求 y_ _ 计算不定机分85.arc&jrtr 必vT+7设 m=xy/86.，停 产 中 小）可 导,求 喑+埼.设函数z87.=（八手）/具有二阶连续偏导数，求 会,矗 88.在抛物线y=l-x2与x轴所围成的平面区域内作一内接矩形ABCD,其一边AB在 x 轴上（如图所示）.设 A B=2x,矩形面积为S（x）.写出S（x）的表达式;求S（x）的最大值.89.求不定积分jj4 sifirdr.四、综合题（10题）91.设八外在区间 a瓦 上可导，且/(a)=/2)=0,证明：至 少 存 在 一 点(a,b)使得/(e)+=0.92.过曲线y=x:(x 0)上某点A作切线.若过点
12、A作的切线,曲线y=，及，轴围成的图形面积为之,求该图形绕上轴旋转一周所得旋转体体积V.93.证明方程/-3工-1 =0在1与2之间至少有一个实根9 4.讨论函数/()=3.,/的单调性.95.求由曲线y：=(X-D*和直线1=2所围成的图形烧/轴旋转所得旋转体体积.“证明：方 程 4工一 1 =47 T在(0.1)内仅有一个根.96.J 1+1设函数/(x)n x 2arctan“)求函数/(.r的单网区间和极值，97.求曲仪 八/的凹凸【；川和丹士.98.设函数/(x)在闭区间 0.1上连续.在开区间(0.1)内可导且/(0)=/(I)=0,/(1)=1.证明:存在”(0,1)使 r(e)
13、=i.9 9家函数苧的单区间.极值及此函数曲线的凹凸区间.拐点和渐近线IC C 证明：当 工 0时，l n+-.10（）.1 +.r五、解答题（10题）1 01（本题满分8分）计算 1+n xdx.102.求函数z=x2+2y2-2x+4y+l满足条件x-2y-6=0的极值。103.求极限 l imr（e+1）.JT 8104.（A题清分R分）计算八）4105.（本题满分10分）在第一象限内的曲线y=3上求一点）使过该点的切线被两坐标轴所截线段的长度为最短.106.求曲线y=l n（l+）的凹凸区间和拐点.107.计算 l im 2 x.XT-Xi108.设 f（工+y,工=+2 21r力试求
14、 f Sxty）,/yC x.y）.109.建 面积为/的网球场(如卜图所示)，四周要留下通道，前、北两侧的通道宽为。，东、西两侧的通道宽为6.向：为使征用的土地最少，则网球场地的长和宽各为多少?110.求由曲线，=2-/与直线,=工(工2 0)及y轴围成的平面绕工轴旋转形成的旋转体体积匕六、单 选 题(0题)y+1,1V 0,设八1 0 C.r l,则/外在I 2-1 VJT4 2.A.z=0,x=l处都间断B.x=0,x=l处都连续C.z=0处间断，x=l处连续ppp D.x=0处连续，x=l处间断参考答案l.B答 应 选B.提 示 本JK考查的是原函数的概念及导数的计算,因此有/U)=(
15、/，=，,/*()-(y)=-.外以选B.2.C3.B根据定积分的定义和性质，函数f(x)在 a,b 上连续，则 f(x)在 a,b上可积；反之，则不一定成立。4.C 解 析：因为 八*)=(1+2视 2(1),r(l)=3,则法线方程的斜率左=-L 法3线方程为 y=,即 x+3y-4=0.故选 C.5.D 解 析：因为/(x)=(3*/=2 xex+x2ex=(2 x+x2)ex所以/，(x)=(2 +2 x)ex+(2 x+x2)ex=(2 +4 x+x2)ex6.C 经 实 际 计 算 及 无 穷 小 量 定 义 知 应 选 C.Jim 1 wl iml n I x|=-oo Jim
16、T7-=0 l imcotr=8.x-*0 X 1-。1 r X x-*0K7.C 因为/(工)=(门叱)，=(/)，1!1；+，(1)工+,所以？，(1)=8.C9.D10.B11.D12.D函数的定义域为：(7,+8),|-，42(”与33当x=b时，y”不存在.因为函数/(*)在x=b点处连续，且当XV6时，y,r b时，yv 0,曲线y上凹.所以“=方是曲线的拐点横坐标.y(b)=.故曲线的拐点为：(b,a).13.B本题的关键是去绝对值符号，分段积分.若注意到被积函数是偶函数的特性，可知J e dx=2 edx=2c*|=2(e-I ),无需分段积分.14.C答 应 选c.分析 根据
17、无穷小鱼的定义:若5/(，)=0,则当XT*。时4 G为无穷小，.因此可根据定义计算其极限值，知逸C.15.D本题主要考查极限的充分条件.本题可以先积分，求出/(X).然后再求其极值.最简捷的方法是利用变上限定积分先求出/-(X)=X-I J-(X)=1 0,所以 有极小值/(1)=(I-l)dl=-l)J =-4.所以洗D.16.B 因为 f(x)=x4-24x2+6x,贝I J f,(x)=4x3-48x+6,f(x)=12x2-48=12(x24),令 仪)0,有x2-40,于是-2x0/k I(当-3时),所以当dr=3 时.Y1 siny x xa(x 0).45.应填 e-l-e-
18、2.本题考查的知识点是函数的概念及定积分的计算.因为剜广所以J/(e)d J*e d注/(一)/46.(0+oo)-cos1 x+C cos1 x+C47.3 348.2ab cos2(ax+by)2ab cos2(ax+by)解 析力一=2sin(ax+by)cos(ax+by)-a=a sin 2(ax+by)dx-=a cos 2(ax+by)-2h=lab cos 2(ax+by)dxdy49.t V*l Ircoaj-/MOT V【冷情点】公 今 了一七4的 一忖 保.(r:)-2 f-J M fUf(2,)尸 ln2，-0M 1=2T tmt+2ff lf2.50.-cos(x2+
19、D+CL l-cos(x2+D+C乙51.2xe*2因为 g(/Q)=ed2所以 丁(g(/。)=2xex解=-2x dy=(2x)dx53.1 x54.x=-l因为函数的定义域是：x-l.而 l im l n(l +x)=-8X T-1+所以X=-1是曲线的铅直渐近线.55.-2exsinx由 y=ecosz,则 y=eJcosi-eJsinx.y=eJcosx eJsinr e*siar-ecosz=-2eJsinx.56.D57.C58.1-sinZr59.Jx x/l+x2 dx=+r d(l+公)=-(l+x2)3+C860.D(2-)891 一？8T9|9 l+39I-a8 卬芋J
20、 _ ：回 引 ，8(r/v)pru|fg-aa“E 号J-J 式Q.|rzuepj y 4-(,a 4-I)uj-J +(+i)u|一 剪；j+J(Q+口固卬Jb-+l.0 +不 中,0弋+1-0+I)U|-Z U.|rguepjel+(,a 4-I)ul-2UI=4-(,Dul-2UI(Q+1)u印一？I .,+J=明l rLr)zr-2j(l fw),d(/Gr)|-J a Irurdi8e 8j Inxd(x)8e 88e 1 6e+16 G|8e 1 6=8(e-2).原式一1淅 三 二 苦 原式=l im 不工 hiemu 一 1二=htm.-u；-工 一1二，.n e-I t x
21、tf r-o e-1 +xei e 1 .e*_ 1=hm-r ：=K =nm-l 1.二 二x-.63.-TC-r 2e 2-oie+21 264.Jl n(x 4-+*)dr=xl n(x+J l-#)Jxd(l n(x+，1 +?)=jrl nCr+，i +，)一 fx*-z 5.drJ/TH?/=xl n(x+/1 +x*)-drJ=xl n(jr+5/1+x2)(1+x2 厂+d(1 +*)=xl n(x+，1 +f )，1 +/+C.Jl n(x+/I +*)dr=xl n(x+J +7 )Jxd(l n(x+x/1+T2)=#(-1+卷(舟产=xl n(x+，1 +*-drJ y
22、 rr7r=xl n(x+.)一坏1 +八1+1(1+/)=xl n(x+工)，1 +z +C.65.相应的齐次方程为y-2y-3 y -Q,其特征方程为 r*-2r 3=0.得特征根为C =3.r,=-1.故齐次方程的通解为y=Ce“+G e G.G为任意常数).由于自由项/(r)=re 以=-1是特征单根.故可设原方程的特解为y=x(Ar+B)e*,将y,代人原方程,得8 Ar+2 A 4fi x有-8A =1.2A-4B=0得A=一：.B-总故原方程的特解为 =才(一 一 尸 一三(21+1)一.所以原方程的通解为y=C e+C e，一条(21+De F C,为任意常数).相应的齐次方程
23、为其特征方程为 rx-2 r-3 =0.得特征根为n=3,r,=-1.故齐次方程的通解为y=Ge+c?e C.G为任意常数).由于自由项工)=xe f.A=-1是特征单根.故可设原方程的特解为y,=H(A r+8)，将y代入原方程,得-8 Ar+2A 4B=”有-8A=1 2A 4B=0故原方程的特制为力=(一；工一5产 一(2 x+l)e所以原方程的通解为y=C e+Q e，一三(21+De F G C 为任意常数).66.（母一等）=!吧3 +1 1+1T+”+27+1li mZ-1j y(x-2)=C|+C:e g为齐次线性方程的通解.而5，一2工一1中的入=0为单一特征根.故可设y*=
24、jr(A r+Hr+C)为2/4-5/=5xl-2x-1的一个特解,于是有.(/)=3A r+2H r+a(y)”=6A r+2B.知2(6Ar 4-2B)+5(3Ar,+2Rr 4-C)=Sx1-2x-1,即15Arz 4-(124+!0B)x+4B4-5C=5-2x-1,故15A=5.12A+10B=-2.4B-b5C=-1.于是所以2y+5y=5x*2x 1的一个特制.因此原方程的通M为y=G+Ge/+（+C|.Cj 为任意常数）.与原方程对应的齐次线性方程为ty+5,=0.特征方程为2rx+5r=0故r,=0,r,=-|-,于是y=G+Cje.为齐次线性方程的通解.而5,一2工一 1中
25、的A =0为单一特征根.故可设y*=x(Ar*4-Rr+C)为2y+5y=5x*2x 1的一个特解,于是有、(y,)=3Ar+2H r+C,y)=6Ar+28.知2(6Ar+2B)+5(3M +2&4-C)=5x2-2x-1.即15Ar2 4-(12A+10B)J+4B+5C=5-2x-1,故15A=5,124+10B=-2.4B +5c-1.于是所以为2y+5y=5/2x 1的一个特价，因此原方程的通解为y=C,+C,e*（C,.G 为任意常数）.71.f,ix）=/5/+4.令/（x）=0.得驻点 xt=l.xj=4.由于q e -1.2,因 此 应 该 舍 掉 又/=V，/=%+#+H+
26、2.该 题 属 于 “=/(X)型的微分方程,可通过连续积分求得通解.对/=工+1两边积分.得/N4 V+H+C.将初始条件y”(0)-I代入.得G=1.即-yX*+x +1.两边再枳分.得y=标+犷+_r+G.将y(0)=。代人.得C,-0,即两边再积分得y-+#+/+。.将 训0)=2代人.得C,-2.故所求特制为、=/+#+#+2.P-|-y（x）.Q=回 工 一由枳分与路径无关,得aQ=aPtdx dy 即=3用（*）或，工）3.（工）得中（工）-e-|*g*e 2 r+C=b卜 e-dx+(7=c -g 卜*+。、-M -(xe u 卜 dl+Cj=e T+W)+qH+T+Ce”.由
27、 6 1）=1 得.=一!-!+。八 解 得。=祟 一,.故有j 3 y78.王+”1)3 9 T 9P=.Q=中()由积分与路径无关,得aq=apdx dy 即(工)一.r)y=3冲(h)或，(工：得?(x)-卜epMd_r+C=L 卜 e-:-J-让其产生分母.然后通分计算该题属于“8 一8”型,我们用倒代换工=：让其产生分母.然后通分计算之.l im x -1 +：)=-p-l n(1 +r)rt-l n(1 +/)=um-；-=l im-=2/(1 +z)2，80.窗户的面积4=仍+亨尸./和人满足2 A+3/=1 2,得 A=6-方/，代人人则有4=61-#+,聆=6-3/+多工0,
28、得f=4(6-yj)由于实际问题只有唯一的驻点,可知%普乌(m)为所求81.y,=(x3)+(sinx)+(3)=3x2+cosx.因为=yzsec2(xyz)=x z s e c1(-r y z)ua=xy s e c2(xyz)82.所以 d”=尸)d r f j x s e c tj yr id j r+j yn e c tye j d z.因为“二 j z s e c1(r yz)u,=jnsec1(jryz)ut xy s e c2(xyz)所以 d u -(jyz)d r +x ts e c2(jyz J d,y+j ys c c;(xyz)d z.(JT)在/=a 处 连 续 于
29、 是 l im x(z)=g(a).r 利用函数的导数定义.知l im A-)-SSil=|im -=l im g(x)=g(a)存在.X Q*Q X U 483.故，(工)在 z =a处 可 导 且/(“)-X(a).月(1)在X=a处连续于是lim g(H)=g(a).r 利用函数的导数定义,知lim LLLI-Ssil=|jm,二“，民二=lim g(x)=g(a)存在.x-a-x -a，一 故/(工)在工=u处可导且/(以)=g(a).v(r-n=r y*2 1 =(r l r v)=I n x +x =1 +I n j r.VG=r VI，T84.J yy*-n=，=(x l r u
30、-)*=l a r +x y =(1 +I n x)=85.f a；dr=2farcsinrcK，+JT)J v T+7 J=2r+xarcsinx-J+r =2/1+xarcsiar-f =d x lLJ v l-x J=2+xarcsinx+2-jr+C.fctr=2farcsin.rcl(y/+x)J y r+7 J=2 4 +.xarcsinx ，1+r ，】=2+-rarcsinx-f 1-&.J/l-J J=2，+jrarcsinj-+2，1l +C.X=(1+l n x)=.JTL=1 +I n x tX*Xl-/()+x y/*(u)空0JCox y f(“)+/(M)(一黄)
31、=y/(u)一空=X/(K)+jr y/(“)当dydyu)+jryf(u)=jrf(u)+86.因此 J空 +y 翌=x /()-y:f(u)+xyf(u)+yl f(u)O T oy=2xy/(M)=2xyf().?=、/(、)令=.n=jcyf(u).空=/()+*、/，(“)身dxox /“+”/(”)(.兴)=y f(u)_第=(“)+0八”嚅=j*/(u)+x y ff(u)工=/(“+因此/共+y 取=Jryf(u)-y/(w)+x y/tu)+/，(“0JT dy=2xyf(u)=2xyf().（一，）+/:（一 揖 7 +A(7)87.+/T3rzdxdy”+(句/Fd)-V
32、*88.(DS(x)=AB-BC=2xy=2x(l-x2)(0 x=fljtie.m F(x)在 上 连 续.在(Q)内可导.且F(a)=/(a)e*=0.F(6)=/C6)e*=0.因为F(u)=F(6),所以F(i)=/(力 X 在a.1上满足罗尔定理的条件,于是在(“,6)内 至少 存 在 一 点-使F)=0,即r(e)=，(e/+/(e)ef,.3=0.即e1*Z(f)+3/(?)=0.而 /#0.故/(f)4-3?1/(f)=0.(a.b).设F(JT)=/(.则 FX)在一同上连续,在Q 内可导,且F(a)=/(a)e*0.F(6)=/(6)e*=0.因为F(a)=F(A),所以F
33、(r)=/(1)/在u,瓦)上满足罗尔定理的条件,于是在(a,b)内至少存在一点&使 S=0.即r(f)=/()J 4-/(“3e*=0.即/()+3()=0.而 -o.92.设 A 点坐标（工。,工力.由y 2.得切线方程为，一 鬲=2x（x Xo）或l5y+号,由 巳 如 吉 J：（爱 广 号 一 6户=这 人所以A =1.八（1,1）切线方程为2“一3 一 1 =0 切线与/轴交点为1:.于是V 工 可 业 一n j （2 1尸d*=y x =.（立方单位）.设 A 点坐标（八尤 由 y-2，得切线方程为y M=2人（I n.）或工=宁 由已知=（A；4 号 一 切 力=这 乩所以工。=
34、1.八（1.1）,切线方程为2工一-1 =0 切线与1 轴交点为T=:.于是V=nj/d i -JT（21-1 尸d-r=-1-x=点（立方单位）.93.令 人工)=I 一3工一1.知/(力 在口.21上连续.又 八 1)=-3 0,即/(I)./(2)0.由零点存在定理知./(工)在(1,2)内至少有一点3 使/(=o,即 外 在 与2 之间至少有一实根.令 人工)一3工一1.知/(小 在 1.2上连续.又/=-3 0,即/)./(2)0.由零点存在定理知,人工)在(1,2)内至少有一点&使/()=0,即工)在与2 之间至94.(1)函数八工)的定义域为(-8.+8).(2)f (x)=3
35、3x*=3(1 +x)(1 x).令/y(x)=0.得不=-15=1 .函数八才)无不可等点.3)以 n=-1 和 表=1 为分界点划分定义域,列表讨论如下：所以.函数/(X)在(-8,-1)与(L+o o)内是递减的.在(-l.l)内是递增的.X(-8.-1 )-1(-1.1)1(1 +8)1tg0+0/(X)单调递我单刊递增单调递减(1)函数/(工)的定义域为-8.+8).(2)/(x)=3 31rl=3(1 +J)(1 x).令 f (x)=。.得上 =-I =I 函数/(-r)无不可导点.(3)以 =-1 和工：工 1 为分界点划分定义域,列表讨论如下所以，函数/(Jr)ft(-O O
36、,-I)与(1+8)内是递减的在(-1.1)内是递增的95.18,1)一1(-1.1)1(1 +8)一0+0/(x)单调递M单调递增显然曲线丁=(工一 尸关于工轴对称,则它和直线工=2 围成图形也关于工轴对称.又曲线和7 轴交点为(1.0.因此V=卜&=J：C r-1尸dr=孑(立方单位).显然曲线V =(工一 尸 关 于/轴 对 称，则它和直线z=2 围成图形也关于工轴对称.又曲线和了轴交点为(1,0),因此V=卜&=式(一 1尸 业=孑(立方单位).96.令/（x）/一 1 1;学则/（X）=4 x 1 arctaor 且/（x）的定义Jo 1 4-f域为（-8.+o o）.因为八0）=-
37、1 0,所以由零点存在定理.可知函数人”）在（0.1）内至少存在一个零点.又r（z）=4 一丁b=注/0.所以J G）在（0.D上是单调递增的,即函数八公在（O.l）内有且仅有一个根.令/（z）=4x 1|半产.则/（x）=4 x 1 arctanj，且 fix）的定义域为（-8.4-00）.因为八0）=-1 0,所以.由零点存在定理.可知函数/（7）在（0.D内至少存在一个零点.又=4 一 匚 =共 0,所以J G）在（0.1）上是单调递增的,即函数/（1）I-r X 1 -r Jr在（01）内有且仅有一个根.97.(1)因为函数/(x)=x 2arctaor.M令公=0.得驻点了=1.当上
38、一 1时，/（工）0；当 一1 x 1时.，（工 0.故函数/（x）在（-8.-1）与（1,+8）上单调增加；函数/G）在（-1.1）上单调减少.因此函数/J）在*=-1处取得极大值八-1）=辛-1.在 工=I处取得梃小值/=1-1,（2）因 为，G）=白，.所以八.1匕尸令/*（x=0.得 x 0.因为当i V O时./*（）V 0.故曲线y=八 力 在 区 间（一8.0）上是凸的.又因为当i 0时/*（）0.故曲线y=人）在（0,+o o）上是凹的且（0.0）是曲线的拐点.(1)因为函数/(x)=x-2arctanx.H令/=0,网驻点 x=1.当上 V-1 时，（工）0;当一 1 x I
39、 时.，（工）0.故函数/J）在（一 8一】）与（1.+8）上单调增加；函数/G）在（-1.】）上单调减少.因此函数人）在工=一 1处取得极大值/（-1）=-1,在H=1处取得极小值/=1-f,M（2）因为二 手 鼻，所以外）令 f 0时/（!）0.故曲线y=/J）在（0+8）上是凹的.且（0,0）是曲线的拐点.构造函数F（x）-/O.F（1）l 0.由 零 点 定 理 知 在 内 存 在 一 点n使F（x）-0.乂因为函数Fx）在 0.4 上连续,在（0.*）内可导且F（0）=0.所以横足罗尔定理的条件.故存在一点 （0.x.）C 0.1）使F =0.即f0.F1）-K O.由零点定理知在（
40、打）内存在一点,使F（x）=0.乂 因 为 南F（x）在 0.*.上连续.在（。.4）内可导且F（0）=F C（O.l）使F*=0.即/（1）-1-0.所以存在SW（0.1）使f （f-1成也.9 9.函数的定义域为（0.+8）,且y =匕 史.令/=0 得驻点了=已X当O V z V e 时=宁吆0.所以单调增加；当j r e 时V 0,所 以 y 单调减少.由极值的第一充分条件可知y|=工为极大值.ICv 21 mr-3。八 4H Xy p-令 y=0/时./0,曲线y 为凹的.根据拐点的充分条件可知点（e+.弓ef 为拐点.现列我如下：X(O.e)e(C.CT)ei(e*.+8)，y+0
41、一一.一一一0十根据上表可知：函 数,=苧的单调增加区间为（0，c）;函数y=苧的单网减少区间为（e,+8）;函数y=苧 的 极 大 值 为 y（e）=函数曲线、=皆 的 凸 区 间 为（0.由；函 数 曲 线 苧 的凹区间为（e九+8）：函数曲线y=也 的 拐 点 为（e）.春c b.X4因为lim 也=0.所以曲线y=叵有水平渐近线y=0,垂直渐近线N=0.XX函数的定义域为(0.+8),且J =匕 强 工 令 y=0 得驻点r=e.X当OVxVe 时y=三 9 0.所以、单调增加：当 上 时 r V。,所以y 单调减少.由极值的第一充分条件可知|=一为极大值.y=辿$二J .令 3=o.
42、得 z=+.当 O V z V e+时./V O.曲线y 为凸的t当 工/时.0,曲线y 为凹的.根据拐点的充分条件可知点(e+.*eT)为拐点.现列表如下：r(O.e).(c.e l)el(。匕 +8)y+0一一一.一0+根据上表可知，函数=苧的单调增加区间为(O.e),函数y=苧的单调睡少区间为(e+m)；函数y=苧 的 极 大 值 为 八 e)=%函数曲线y=苧 的 凸 区间为(0,/),函 数 曲 线 行 字 的凹区间为(e+,+8)：函数曲线y 一 垣 的 拐 点 为(乩 浜 b.因为l im 叵=0.所以曲线y=叵有水平渐近线y=0,垂直渐近线1=0.XX100.设函数/(x)=I
43、 n d+x)-j-(x 0),/(0)=0.由f()=_1_ _/7 m-(1 +x)2 (】+7 在(0+8)./(_ r)0,故f(x)在(0.+3)内严格单调增加，从而当上 0时./(工)/(0+0).又函数八工)在1 0,+8)连续.故八0+0)=八0).但/(0)=0.故当工 0 时./(x)0,即l n(l +x)T4-(工 0).1 +x设函数 fix)=l n(l 4-x)-(x 0),/(0)=。.由1 +x,f)_ 1 1 .JCJ=1+=在(0,+8)./(工)0,故 八 外 在(O.+o o)内严格单调增加，从而当_ r 0时./G)/(0+0).又函数人 力 在 0
44、,+8)连续.故/(0 +0)=八 0).但/(0)=0.故当了 0 时./(x)0.即l n(l +x)(x 0).1 4-x101.本题考查的知识点是定积分的分部积分法.将被积函数分成两项，分别用公式法和分部积分法计算.fe 1 +x l n x.fe 1 ,e.e fe.、-ax=QX+I n xax=I n x +x l n x-I%d(I n x,J i x J i x J i i i J i=1+e-f d x =l +e-x =1+e-(e-l)=2.102.设 F(xt y,Q=x、2y2-2x+4+1 +2(x-2y-6),愕laF1 济而y=-2,则极小值为z=l.dF-a
45、 rdr-彻dF-u设尸(x,y,X)=x2+ly1-2x+4+1+X(x-2y-6)=2x-2+lO(1)=4y+4-2A0(2)=x-2*-6-0(3)(I)，式(2)解得x=-y.代入式(3)得x=2,y=-2,则极小值为z=l.03.解方法一:方法二:令2=房，则 工=心，且 当Zf 8时t 1.所以l i m z(e+_ 1)=l i m j-JFBl】i n z令E 1=，则解方法一:.t-1).u.1 1l i m-：=l i m：；-r-r r =l i m-r =1.L I I n f u-o l n(u-r 1)-0 l n(l +u)-方 法 二：令2=徜，则Z=A，且
46、当If 8时1,所以 l i m z l e。l)=l i m jr*co L1 IT!/令 1=,则l i m-：-=l i n i i-：.；=l i m-=1.L I Int w-o l n(u-r l)l n(l +u)-104.本题考查的知识点是分部积分法.【析】1 1.(I .d=x ln(I -j dtsx ln(l*i,)*2 11 1 -s I nf I *x2)-21*2 arctU fi C105.本题的关键是求出切线与坐标轴的交点.【解析)如图2-5-2所 示 因 为 八 一 也 所 以 切 线 方 程 为 厂-会 .).设切线与两坐标轴的交点分别为(a.0)(0.6)
47、,由切线方程可得0=4。.：7。%；=%0.白 ,xo=yxo.2 12 3一。？+门所截线段长度的平方为L =P=+=-xj+斗,上式两边对力求导得91 =%-4 x 9 4-2 航令 L =0,得/=2 （%=-2 舍去）,由于只有唯一的驻点，所 以 必 为 所 求,所 以 点“。的 坐 标 为 卜图 2-5-2106.解2(1工 I“1+工 2”(1+q 2 令 =0,得 x=l.当|工|1时,y”V 0,曲线在（一8,一D U（l,+8）内是下凹的（凸的或上凸的、当一I V h V I 时,/0,曲线在（一 1,D 内是上凹的（凹的或下凸的）.拐点是（一1,1）2）和（l,l n2）.
48、解/_ 2x”_ 2(1 T)y 1+工 2班一(1+炉 产令 y=0,得 N=1.当|工|1时,/V 0,曲线在（-8,-D U（l，+8）内是下凹的（凸的或上凸的）,当一I V n V I 时,/0,曲线在（-1,1）内是上凹的（凹的或下凸的）.拐点是（一 l,l n2）和（l,l n2）.107.初cx-c-x-2x.eJ4-e-,-2 ex-e-J.解 hm-z-=hm-=l im-=0i o x2 2x%-40 2解所巴守=l im四=l im巴 1x-m x2 u 2x i 0 2=0108.解解因为 f(,x-y-,xy)=xi-y2-2xy所以/(x y)=x!4j.故 f，I
49、(.x,y)=2x,f，y(,x,y)=4.因为 f(.x+y,xy)=xz+y -2 x y,所以 f(x,y)=x2 4y.故=2 x,109.设网球场地的长为x,宽为M 其总面枳为Xs.M G Aa=-xy,因(x-2a)(.y2b)-A.得尸25+一x-2a则有彳+).4 a=2b+A Arx-2a(x-2a)22Aa(x-2a)2则 y=2h+令X a-0 解得x=2a+(取正值),由于只有唯一驻点，故x=2a+为所求.110.解=：，得广=二(L：|j=2 x2|y=-2 旧=1由图知忆=冗 ：(2 统)2 J：2 dz=KJ(4 5x2+x4)dx一(4工 一 赳+令 J：=治解厂=:,得X=1y=l由图知V,=K(2-xJ)2-x2dx0=KJ(4 5x2+x4)dxM4工一赳+加in.c3815K