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1、2021-2022学年浙江省衢州市普通高校对口单招高等数学二自考真题(含答案)学校:班级:姓名:考号:一、单选题(30题)函数y=ln(l+/)的单悯增加区间足()A.(-5,5)B.(-,0)C.(0,+x)1.D.(凸 冲)2设尸(x)是/(X)的.个原函数，iJ J p-/d x=()设函数2=/(工+力+人工一山，其中;为可导函数,则F+f等于2 r()A.f z(x 3)R f (1十)一/JCy)C.2 f(x+y)3.D.2 f X i y)设函数=a-D d r.则=4.-1A.-l B.O C.l D.25.微分方程y-24工的通为.6.称 是无穷小量是指在下列哪一过程中它是
2、无穷小量 A.x 0 B.x oo C.X+8 D.x 007 设/(x)=学，则J/(x)dx=()COSXXA.sinxB.xcosx cc.丁+sinx 八-+CD.xJ2+xln(l+x2)dx=8.A.4B.20D.-2设八)为连续函数,则1 7(方曲 等 于()A./(1)-f(0)R2/一八0)：C.2/(2)-/(0)9 D.2 吗卜八0)10.设函数)=/()的导函数y=/()的图像如图4-1 所示,，二列结论肯定正确的是().工*=-1 是驻点，但不是极值点 B.=-1不是驻点C.x=-1 为极小值点 D.n=-I 为极大值点S 4-I11.设枳分区域。：1&/+，4 4,
3、则 山 心=设/(x)为连续函数，则 r(2x)dx=12.*()oA./(2)V(0)B.2/(2)-/),则*=21.nvA.sin(x2y)B.x2sin(x2y)C.-sin(x2y)D.-x2sin(x2y)已知口1巴 卫 士9=5,贝ijq=22.I 1 -xA.A.7 B.-7 C.2 D.3J x/l x2 dx=B.4-24.微分方程y-2y+y=。的通解为.25.曲线y =2的 水 平 渐 近 线 是 垂 直 渐 近 线 是 0 .1ecLr=-26.若J-3，则 k 等 于【】A.l/3 B.-1/3 C.3 D.-3函数，=/I的极小值是_ _ _ _ _ _ _ _
4、_.N /28.若事件A 发生必然导致事件B 发生，则事件A 和 B 的关系一定是A.A.对立事件B.互不相容事件C.AuBD.AnB若=Jxy+则 A（2.1）u4c 2D.-1-XB.d-dx_ LVI知30.已A.二、填空题（30题）31.若 j(n-2)=xarctanx,则 yB,(l)=设函数/Cr)=l n z.则(力d r =f t /(x)=33.?u 0)34.j x/(x2)/z(x*)d x =设 f(x)=sin.贝 ij/*()=.35.xn36.设函数/1x si n xx o.x VO，A.-1B.0D.不存在37.已知 J：V l-x2 d x =彳，贝 U
5、J；V l-x2 d x=,38.设 事 件A.B相互独立，且HA+8)=则常数39.设 十八则喧+3 =40.不定积分f(H)d w=3 H+C,则 JH/XS-X1)d z=.41.设 z=2 l i w,=v =ej 3，贝lj d z=xi-dr=42.Jox2+3x+243.(e，+c o s x)d x=44.&Rsd,=设/(x)-ln 4.则 lim45.M/(x +A x)-/(x)_Ax46.BMlff=(x)dx=(l+x2)arctanx+C,则 f(x)47.QZ=/(J C2+y2).则 y扛-x2=d x d y4 只 函数1y=!n(a r c s i n z)
6、的连续区间为49.y=cosex厕 dy=50.心 小dz设/(二 1)=:(1#7)，则 八i)=_51.T J T 152.设K=?，则略53.设 z=xyy已知/(x)=54.x2 _X+1%,计算J：,位.55.-1设 0(x)=L 0-4,则 0 (工)=dxx+157.曲线)=I F F 的铅直渐近线方程是58.若x4sin x+x2)dx=/,贝！a-59.ri.xsin2 x.I-+)dxJT 1 +X60.函 数 y=|sinr|在 才=0 处的导数为)A.-1B.0C.1D.不存在三、计算题(30题)61.已知x=-l是函数f(x)=ax3+bx2的驻点，且曲线y=f(x)
7、过点(1,5),求 a,b 的值.公。求不定积分j l n(7+业.oZ.J求极限hm+2z)63.K 3 7-164.计算定积分改变积分f业/Q)dy+j：rj：的积分次序.求极限limd .；-F(eJ 1 )cos an t(osin3.r,r/oo.x=a lt-sin/).小巳知参数方程 =a(1 cos/)J 设八为可通函数且潮足方程i山-(X+1)”八 山 (x 0).6 8.求函数/(1)69设z=/(x,y)是由方程=y+e,所确定，求登“、求极限l i m E一口.70.，0 n x(/siin L x#0求函数f(n 4 的导数71.!。，工=。计算定积分 In G+D
8、d i.72.J。计算乎，(Lrd/其 中D为圜/+y=1及H+歹=9所围成的环形区域.求函数Z =T1/+x,y,的全部二阶偏导致./T*-Q)&rd.y,其中 D 为 一+z W 176.J G(1+G77.设函数y=y（x）由方程y=（Inx）1 卢确定，求y.78.已 知 曲 线C为y=2x2及 直 线L为y=4x.求 由 曲 线C与 直 线L所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积S；求 曲 线C的 平 行 于 直 线L的切线方程.79.求微分方程2/+5z=5x:-2jr-1的通解.f/1-Inx设函数 y=y求 凯 T 含84.求.分 方 程3xJ+5JT-5y-0的通解.85
9、.求微分方程xlordy 4-(lnr)dx=0濡 足y=1的特解.86.求!(/+/)0)为边的平行四边形.ri r/-/87.计算Jjr，+y，Ar88.求 函 数f(x)=(x24)3+3的 单 调 区 间 和 极 值.8 9设函数人工)-G r-a)*J),其中以)在点工=a处连续.求rG O.加 设/(工)=j e-dr,求j */(I)cLr.四、综 合 题(10题)力 证明 i 当 0 V z V I时,COST V 一号+1.92.求由曲线yr/与直线上=1.1=2 及y=0 圉成平面图形的面枳S 以及该图形烧，轴旋转一周形成的旋转体的体积.证明 t 当,，时.彳 1 I!In
10、 L.93.一 ，Q A求由曲线yi +4 与 y 所圉成的平面图形的面积.设的数/Cx)=x 2arct*nx 作抛物线的切线，该切筑与上述粒物级及，轴圉血-平面图97.%求此图形流，轴宜转一网所成的箕转体的体根.9 8求 函 数y=16一 船 的一调区间和极值.99.设 人 力 在 区 间 a,瓦 上可导，且/(a)=/(6)=0,证明：至 少 存 在 一 点(a),使得/(f)+3/(f)=0.100.过曲线.V L产（工 0）上 一 点1.1 作切线/.平面图形D由曲线_ V =M.切线/及J轴围成.求：3）平面图形D的面积；（2）平面图形D烧1轴旋转一周所形成的旋转体的体积.五、解答
11、题（10题）101.求/（x,y）=2 -3 x2-2/+10的极值点与极值.102.证明双曲线y=l/x 上任一点处的切线与两坐标轴组成的三角形的面积为定值。103.z=sin（xy2）+ex2y,求 dz.104.设函数y=s i n 2 j：,求严.105.（本题满分8 分）设函数Y=cos（Inx）,求 y.106.求由曲线y=ex、x 2+y2=i、x=l在第一象限所围成的平面图形的面积 A 及此平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V x。107.计算/s i n 5 xd x.108.证明：当 xl 时，xl+lnx.(1注由曲线=2 与y=0 所围的平面图形(如图所示)的面枳
12、S;(2)求(I)中的平面图形规了轴旋转一周所得旋转体的体积109.110.设函数 y=lncosx+lna,求 dy/dx。六、单选题(0题)111.设 y=f(x)二阶可导,且 f、(l)=0,f 0,则 必 有().A.A.f(l)=0 B.f是极小值C.f是极大值D.点(l,f(l)是拐点参考答案l.C2.A3.C4.C5,y=+G z?+C2 x+C3 y=d +C x2+C2x+C36.C因 lim e xL0=1,lim eX *0 0=0,lim e-x=+8 9故 lime”不存在，应选 C.jr 0 0 x-*oo7.B 解析)因 为 xlMl+x?)是奇函数8.A所以 2
13、+*1m1+/)也=2：2dx=49.D10.C答 应 选c.分析本题主要考作极值的充分条件及驻点的概念.由/(的图像可二-二 二 二 x=-1为驻点.排除B,而当x -I时J(x)O；x -I七=至 T二 二X F,可知*=-I为函数的极小值点.所以选C.本跑也可以由(*)的图像而得y=，+I,则原函数为 =5+x+C.从而很容易得知选项C是正确的.时于这种由闲数导数的图像来分析和研究函数特性的方法建议考生多做练习.熟练掌握.如果本题换一种提法则可以得到另外两个选择题.设 函 数y=/(x)的 导 函 数/=/(x)的图像如图4-I所示,则函数V =/(*)的单词递增区间为A.(-8.1)B
14、.(-,+)C.(-1.+)D.(0.+X)(C)(2)设函数 =/(x)的导函数/=/x)的图像如图4-I所示.则下列结论肯定正确的是A.在(-8 .-I)内,曲线,=/(*)是凸的B.在(-工.+R)内,曲线=/(K)是凹的C.在(-8 .+8 )内.曲线=/(*)是凸的D.在(-8 .+8 )内,曲线y=/(x)是直线(B)由于，=1+1.则有y-=1 0,从而可以判定曲线=/(*)在(-8 .+8 )内是凹的,所以选B.11.15兀/412.C本题的关键是r(2 x)当d(2 x)因为/r(2 x)d(2 x)=d/(2 x).所以 dx=(2 x)d(2 x)=-/(2 x),=1(
15、/(2)-/(0).2 2 o 213.C14.B由 题 意 知，所 求 面 积A=(ex 1 )d;r=e 2.J o15.B 因为 f(x)=x4-24x2+6x,贝 I J f,(x)=4x3-48x+6,f(x)=12x2-48=12(x24),令 f(x)0,有*2-40,于是有。Q,i故4 0.由题意知二=f 从 而A =&,K 3A&o,27.c e28.C根据己知条件及事件关系的定义应选C.29.1/230.B解析因为）（，（&）=/（V）（7）=八 与 所以 八 4）=一千dx x x x x x x x 2取 工=应 有 户 ）=-.=-12 2 Q i31.1/2y S-
16、i)=(X t an x)=arc t an x +-y1 +x=(,arc t an x +-x-=)1 +x严1 14-X2-2X2_ 2-1 +x2+(1+x2)2-(1+x2)2所 以 n33.134.志/3+cn2 解析 由 /z(x)=cos(-y)所以/z()=cos-J-=n2x x n 山 2 135.”*36.D37.7T/27T/2 解 析：在区间-1,1 上，1 为偶函数，所以7d x=2（后山=2.冷美一打+N-/-aa=5_3次缶或y4-3X 22+XM=或4-3-2女孩8.9.由40.41.y3dx+3xy2dy因 w=/Inv,“=2,V=J，,所以 z=斗 Z
17、3y=zy3,于是 dz=新丁+空dy=)3dz+3zy2dy.i x dr dy42.21n2-ln343.2sinl注意/e，是奇函数，所以JjxV,2+cosx)dr=2sin 144.xsinx2运用变限积分导数公式，得f/sinz2dz=xsinxJdx J。次云及由45.046.设 =x2+)?，则 z=/(u)dz 8“dz-=-2xdu ax dudz du dz _-=-2 ydu dy du于是 y-x-=2yx-2xy=Q47.00 解析：办，du du48.01)49.1/x2e1/xsine1/xdx 由 y=cose1/x,所以 dy=-sine1/x.e1/x.(
18、-l/x2)dx=l/x2e 1/xsine 1/xdx5。*+7”51.1(2一工尸52.一z(z十y)53.(x+ylnx)解 因 为 J：f(x)dx=(J-D +J/工 +口西=54.55.3 156.arc sinx-vl-x2+C.57.x=lx=l58.应填1.被积函数的前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，因此有(x4s i n x+x2)d x=x3 3 n2 3 2Ta=T 解得 a=L59.22解析:普 是 奇 函 数60.D61.f(x)=3ax2+2bx,f(-l)=3a-2b=0,再由 f(l)=5 得 a+b=5,联立解得a=2,b=3.62.|l n(x 4-)d
19、r=x l n(x 4-+工，)1.rd(l n(x +/1 +x2)=x l n(x+4+，)-fx*-1 .(1.dxJ X+/T=H7 1 /TH?/=x)n(x -F+#)-1 二cL rJ 5/1 +x2=x l n(j +，l +7)-|(1 +x2 厂+d(1 +/)=x l n(x 4-，T+)，1 +E，+C|l n(x +J+*)cl r=arn(jr+，1 +”?)-J.r d(l n(x 4-+HD)=x l n(x+4 +?)fx -J H/I dxJ X+/TK7 1 y r+7)=x l n(x +，1 +*)f-cL rJ八十=x l n(x +5/1 +xz)
20、-1-|(1 +x2)”d(1 4-x2)=x l n(x +，1 +*)，1 +h*+C.2 l n(l +2 x)1 +2 xl i m .=hm-：-i-3*-1 ,7 1 x (3)2一3才63.r 4 y 1 -3 x也-3(1+2*)32 l n(l +2 x)1 +2 xl i m 尸-u m-：-v 1 3 x _ 1 0 -x (3)2-3 464.l i m4 y 1 -3T3(1 +2 x)令财-需 曲 且 当 工 时 .予 当 =E2工-ln(2-G)一令 e-r=sin/则z=-Insin/.(Lr:一 山.且当工=0 时，=1 当”=In2sin/Z时-卷,于是o=
21、Cln(cscr-cot/)一n ln(2-g.M65.由所给累次枳分画出原二重积分的枳分区域D 的示意图,如图所示.据此将D视作丫 型区域.即D=(x)I 0 、6 4工4 2 亦因此J dj-J/(N.y)dy+/(jry)dy/(x.y)d x.由所给累次枳分画出原二重枳分的枳分区域。的示意图，如图所示.据此将D视作丫 型区域.即D (x.y)|0 y C 1，64工 4 2 田 因此/(x.y)dy+/(x.y)dy/(x.y)djr.当Z f 0 时J e，-1）是无穷小鼠,c o s llim(e,Deos =0.，x而勤益.7 小+e,=2,阴 8 3.cos3x-I66.原式
22、R J +0=o JV 当 工-0 时，（/-1）是无穷小鼠c o s I d/-ci.rd7d-一dj-_=龙加a(1 cos r)1 cos/cfy _ co*(1 -co)s i n?Z 1dr1(1 cos r)2 drdi=.cp w 二.!_ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 _ _ _ _ _(1 cos/)2 a(1 cos r)=-1 1 ，.=:-1 C SC 两端再对上求导得(I x)/(x)=2 x/(x)+，/(了).即=(1 -3 x)/(x).上式是可分离变微的微分方程,通解为68./(l)=C r%+(C为任意常数).V/(x)为可做函数,方程式两端时才求导
23、得J -4 Jid id y.其中D i为区域D在第一象限的部分.即Dt=|1&1+/4 9,1 2 0,丫0).利用极坐标变换,小 可表示为0 4 8&羡1 ,故(rcos)2 rdr=j cold叫Pdr 2 0 j4 1 +界?=2 0 :6+|=5 x.因此，|M d”dy=J/d/dy=2 0 x.*o 口画出区域D如图所示.由枳分区域的对称性及被积函数关于，轴和y轴都是偶函数故有jjr dxd =4 jJ.r，d*dy.%其 中 口 为 区 域D在笫一象限的部分,即D i:)(j y)|I&M+y&9.x20,?0 .利 用 极 坐 标 变 换 可 表 示 为048&r&3,故(r
24、cosd)2 rdr因为所以74.z,=4 xjy +2 xy f =2/y+3 xJy .=I2 x2y2+2 yL、=+6/y.ztf=8 1、+,之 a=8*y+6Q.因为所以zt=4 xjy +2 0 =2/y+3jr2y2=1 2”夕 +2 y3=2 x*+6/y,ztv=8*y+6 Q .j =8*y+6 iy:.75.根据积分区域与被积函数的特点,该二重积分用极坐标计算比用直角坐标计算腐便.积分区域/)由/+/&1化为，&l,o&84 2 x.故(4 f-xv)d.rdv(r-r2 cost f sin)rdrdff=J dJ (r1-rJcosf lsin Z?)dr=(y y
25、 cosf isin t f|J(1 5=；夕！-J-J sin M sin-各-上 加 列：=枭根据积分区域与被积函数的特点,该二重枳分用极坐标计算比用直角坐标计算简便.积分区域D由/十 /&】化为r 4 1,0&G 4 2索、故jj(f +/xy J cL rdy=j(r-/cosdsin G rdrcW=J (w1 (r1 coM siM dr=J y -y cost f sin 0 l J(W=；一:J sin 况sin G=-为皿广=，O|。576.77.令，7 =，则dr fV 7(l 4-x)z(l+/)d,=22 f dz ,故I=2 arct an z +C=2 arct a
26、n 石 +C.令 =，则 工=J .dr=2 tdt.故f-.=f 市=2(*-J G(1 +Z)JHI+J 1+?=2 arct an Z+C =2 arct an G+C.y=(I n j)了 +(ln x)r (i f，=*+(ln x).=e 1 rln(ln x)r j*才 2+(I n x)1 e1*2 1 0 r =(I n x)rln(ln x)+亡 .”+2(lrt r尸.工 y=dnj)*T+(lnx)r=产+(Inx),(e f=e i3In(lnx)+工 亡 工 +(lnj-)r eb，*21nxIn(lnx)+l+2(|u尸 .工3:Inx J78.画出平面图形如图阴
27、影所示二(lru*)J S=。一 2/皿=（2八家）|：哮设过点（与，。）的切线平行于y=4x,则y，（x0）=4%=4,所以=2.过此点的切线方程为y-2=4(x-l).RD 4x-v-2=0.79.与原方程对应的齐次线性方程为2y+5_y=0.特征方程为2r*+5r=0.故C5r,=O,rt=于是=C|+C:e g为齐次线性方程的通解.而5，一2工一1中的入=0为单一特征根.故可设y*=jr(A r+Hr+C)为2/4-5/=5xl-2x-1的一个特解,于是有.(/)=3 A r+2 H r+a(y )”=6A r+2B.知2(6Ar 4-2B)+5(3Ar,+2Rr 4-C)=Sx1-2
28、x-1,即15Arz 4-(124+!0B)x+4B 4-5C=5-2x-1,故15A=5.12A+10B =-2.4B-b5C =-1.于是所以2y+5y=5x*2x 1的一个特制.因此原方程的通M为y=G+Ge/+（+=C|+C:e g为齐次线性方程的通解.而5，一2工一1中的入=0为单一特征根.故可设y*=jr(A r+Hr+C)为2/4-5/=5xl-2x-1的一个特解,于是有.(/)=3 A r+2 H r+a(y )”=6A r+2B.知2(6Ar 4-2B)+5(3Ar,+2Rr 4-C)=Sx1-2x-1,即15Arz 4-(124+!0B)x+4B 4-5C=5-2x-1,故
29、15A=5.12A+10B =-2.4B-b5C =-1.于是所以2y+5y=5x*2x 1的一个特制.因此原方程的通M为y=G+Ge/+（+J yeJ AJT+=J(e2-*-cx)d e d x画出枳分区域图D.如图所示1考虑到被积函数的情况.先对x积分较宜.心”ct rd.y=J d J ye-dr+J(d5 J(ye dr=J (e2 v-/x)d r +2 d r t rIf导 +4eG|T-4e-4GL=8(】一:卜以所dJ!(Lrd7dx=ch-则83.7(一2，)也=且/二=包_ _ _ _ _di：drdx/drd/dvck石一drdv)-d.r所以84.白 隹 尸，一=壬=
30、-2 +”dr 1 +?原方程变形为5 学=3/+5 cLr分离变i t得5d=(3.r1+5.r)(Lr.积分得5 x*+-1xr 4-C(.故通解为y=#+#+C.原方程变形为分离变量得枳分得故通解为5d=(3J4+5j-)cLr5y，+G，y=*+#+c.5 敦=3/+5*.85.原微分方程可化为7，于是，方程的通解U=J;e j&r+C e=J+lnxck+C 亡 七将初始条件y=1代入.有C=:，故满足条件的特解为,=1 1 0 x 4-1 -1(1 0 x 4-).原微分方程可化为于是，方程的通解沙=J 京d x+C e J*.x+c 志=(如一+C)之将初始条件可-1 代人.有(
31、.二=!.故横足条件的特解为：=l(,n x +i)-首先画出积分区域D.把它看做Y型.则 dy(x2+y2)cLr=f(4-x3+办)86.J 3首先画出积分区域D.把它看做Y型.则jj(x2 4*yl)da=J d_yj(x2 4-yl)Lr=(-Y-11+yz-r)dy=14aJ e 687.y1根据题意先做出积分区域.如图所示然后在极坐标系下进行计算.F|y/x1+ydz=J：d j rdry1根据题意.先做出积分区域,如图所示,然后在极坐标系下进行计算.j d j +、储工=J n J ft Jo Jo4y=14a2.y*软,1=家:=去绫.1=力 家|:=去88.函数的定义域为(-
32、8,+oo),且f (X)=6X(X2-1)2令 P(x)=0,得Xl=0,X2=-l,X3=l,列表如下：X(-i)-l(-1.0)0(0.1)1 1 B)/()-0-00A*)、1Ao”2 为极小值/由上表可知，函数f(x)的单调减区间为(-8,0),单调增区间为(0,+8)；f(0)=2为极小值.*(工)在 彳=“处连续于是l i?g(z)=g(a).利用函数的导数定义.知 啊?士=事=屋。)存在，89.故f(工)在工=4处可导且 (a)=g(a).*(彳)在.r =a处连续,于是l i m g(工)=g(a).利用函数的导数定义.知1 1 mz-4-_-nI：m一-(-一-“-)c二-
33、(-工-)-一-0=l.i r r yrz(x),=e(,a、)存石在.，X U 工一。故/(X)在X=a处可导且f(a)g(a).90.因为/(x)=J：e /d，于是l/(x)d x 一f八 叫#)=八力犷I：-&-2 m J c ,*(x1)d x-j-e|=；(c 1 一1).因为.于是出=J)#)=/(x)I；-J I,*.J .2 r d r91.而(j-1)Lr-ye*|=1 1 )设函数/0.x 6(玲)，则 r（“）为增函数.所以对于工（o,i）,有r（1 r（o）=。成立所以，（八为增函数，对于 1 6 （O*f j.f i /（x）/（0）=0 成立.所 以/S 为 增
34、函 数.对 于（0,句,有/（0）-0 成立.即,一彳+1 -CO5W 0.所以 COSJ Otx W.则广(了)为增函数.所以对于工(0*彳)有,(1)/(0)=。成 立 所 以 为 增函数,对于 (0 f).!/(X)/(0)=0 成立.所以/(,)为增函数.对于(0 唠)有/(0)-0 成立.号+1 cosx 0,所以COK1 -亍+L曲线y 工,与直线工=1 .X=2&y=成的平面图形如图所示.所求面积:S-。出=平方单位):所求旋转体的体枳：V=KJ 0时函数八 在C r.l+z 上满足拉格朗日中值定理的条件.于是在(上 1+工)内至少存在一点的使ln(l+x)-Inx又 工vs v
35、 i+工.于是有白一v L结合上式有 ln(1 +x)Inx 1 +工 x即 In L=0时.函数八工）在九1+工 上满足拉格朗日中值定理的条件，于是在（1.1+工）内至少存在一点&使l n(I +x)l i u r /(1 1 春又工VW V 1+工.于是有7 4一 !上.1 +才 W J T结合上式,有 l n(1 4-x)I n x V .94.画出曲线 y=1+4与,=*二 的图形.得所圉成的平面图形如图所示的阴影y=x+4 部分.并解方程组1 1 .得交点（-2.2）与（4.8）.从而知所围成的图形的面枳为S =1 l +4）-的图形,得所围成的平面图形如图所示的阴影部分.并解方程组
36、,1 2得交点（一 2.2）与（4,8）,从而知所围成的图形的面枳为行短S =I J+4）c t rJT Z=C+4L割;H 1 8.95.(1)因为函数/(x)=x 2arctanx JK令Z 0；当一1 V/V I时.，（上）V 0;当工 1时/（公 0.故函数八外 在（一8.-1）与（1,+8）上单调增加；函数/（外 在（-1.1）上他调减少.因此函数人）在*=-1处取得极大值八一1）=亨-1在工=I处取得极小值/!）=1-f（2）因为，（工）=r m所以工 （1匕尸令 f（jr）=0.得 X=0.因 为 当 了 0时./（力 0.故曲线y=/J）在（0.+8）上是凹的.且（0.0）是曲
37、线的拐点.(1)因为函数/(*)=x-2arctan.r.则令，（幻=0,得驻点工=1.当 上一 1 时，/（工）0：当 一 I V/V 1 时.，（I）V 0;当工 1 时.小 ）0.故 函 数/（小 在（一一 一 D 与（1.+8 上单调增加；函 数/（工）在（一 1.1）上单调减少.因此函数fix）在*=-1处取得极大值/（-1）=1,在I=1 处取得极小值/!）=1-f（2）因 为/（工）=所以1 +工令/*x）。.得 x=0.因为当1 V 0 时./*（力 V 0.故曲线y=/（x）在区间（-8.0）上是凸的.又因为当才0 时.，（工）0,故曲线y=/J）在（0+8）上是凹的.且（0
38、0）是曲线的拐点.96.因为抛物线y=+&r+,过原点有,=又v 1 时 y2 0.故该抛物线与工轴及上 =1 所围图形的面枳为j （ax1+hr）d_r=；.于是 2a+36=2.读平面图形绕工轴旋转一周形成的立体体积为V=“j （a r,+6rVLr=（K+W+我）（6a*+15ub+1 0）30=A Sa，+10n I +竽（I-a）.（6=3，）=Mu，+fa+1+H+喘 下C Q要使V 最小令u=；此时6=Y*于是a=-,fr=0时此图形绕工轴旋转一周而成的体积加小4 2因为抛物线y=+&r+r过原点有c =0.又。忘*4 1时.故该抛物线 与 轴及r =1所用图形的面枳为J (c
39、w:+hr)d x=；.于是 2 a+3 6 =2.该平面图形线，轴旋转一周形成的立体体积为V =(a r1+f c r )d i=(家+”+我)-A(6 a:+1 5 M +1 0V)3 0=壶 j 6 u：+1 0a(l a)+与(I a )，.(/=，3 *，)=盘 h+叫第(相要使V最小令a工 一,.此 时b=y.于是&=一 1,=0时,此图形绕工轴旋转一周而成的体积最小.设切线的斜率为人则切线方程为y-y A(JT-I)联立4 _堀必，一(2公+】)工+必+20y.2.由于直线相抛物线相切所以 4ar+-0.化 解 得=I,联系实际解得t-I又*”=汨 十.解 博 代 人、.懵y=1
40、.即切点坐标为3.1).97.所以 V=y X 2 X X l,wj(x-2)dj*w设切级的斜率为A 则切线方程为y-iy k(.jr-I)联立，_ _ _ _用公/-(2/+)工+必+2 0y.-2.由于直线如抛物级相切所以/4ar=。即(2U+11一 公+2)*0.化曾褥“，=1.我系实际解褥A -十.又 =/=一=三=3.*傅*-3.代人一二，物y=L即切点坐标为(3.1).所以 V-J X 2 X W X 11-*，(*-2出-1.98.该函数的定义域为(-OO,4-00).,:.1 )=/(1).则 F(x)在 a 同 上连续,在储力内可导且F(a)=/(a)e*0 F(6)/(6
41、)e*=0.因为F(a)=F S).所以F(r)=/(力 e，&a,b匕满足罗尔定理的条件.于是在b)内 至 少 存 在一 点&使F(S)=。.即F(W)=/(3)e/+/(e)ef，3 e*=0.即ee，/(f)+3 /($)-0.而W 0.故/(f)4-3 /()-0.100.曲线y=/（!0）在点M（1.D处切线斜率为2.过M点的切线方程为y=2h一】切线与丁轴的交点为十（如图所示）.（】）平面图形D的面积为A=J jdx-1_ ）1 _ 13 Io 4 12（2）平面图形。绕r轴 旋 转周而成的旋转体的体积V =n（x2/dr-*4-3Z曲线y=在点M（】.D处切线斜率为2.过M点的切
42、线方程为、=2 一】.切线与I轴的交点为J（如图所示）.（1）平面图形D的面积为A=|jd-r-1FIT，（2）平面图形。绕 上轴旋转-周而成的旋转体的体积V=J K（x2）2dj-y K I1 yJt _ X101.解：=2y_6H=0,=21一 外=0得驻点（0,0）%=一6,匕=-4,%=2 =2-240,/L 0二（0,0）为极大值点，极 大 值 为1。得驻点(0,0)%=一6,匕=一4,/=2=(0,0)为极大值点，极 大 值 为10.102.见右图.过双曲线上任意一点M)(1y-y0=-与/与坐标轴的交点坐标4(%+x02yo,0),B 0.注意到外=；，则 彳(2x0,0),8/
43、但=：3仔 卜2，见右图.过双曲线匕任意一点检(X-24V 0,兀 V00,用)的切线方程为二”|一0.泗)的切线方程为1广 -2%与坐标轴的交点坐标/(XQ+XJ为注 意 到 汽=,，则/1时，r(x)0,则 f(x)单调增加，所以当X1时,f(x)f(l)=O,即 x-l-In x0,得 xl+lnx.109.(I)由已知条件可知S=fzdH +g d z=*+In 2.(2)旋转体积匕=&+d5工r.56二三2+三3110.山 d.x T inx=(In cosx+In a)=-dr dr COST4 y d 八.、-sinx=(lncosx+lna)=-=-tanx.dr dx COSTlll.B根据极值的第二充分条件确定选项.