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1、2021-2022学年浙江省金华市普通高校对口单招高等数学二自考真题（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（30题）1.当x-0 时，下列变量是无穷小量的是【】A.sinx/x B.In|x|C.x/（l+x）D.cotx2.函数f（x）在 a,b 上连续是f（x）在该区间上可积的A.A.必要条件，但非充分条件B.充分条件，但非必要条件C.充分必要条 件 D.非充分条件，亦非必要条件 0.1=-3.若J-8 3,则 k 等 于【】A.l/3 B.-1/3 C.3 D.-34 已知/”.,则（夕击等于（）A.1/2B,1 C,3/2 D.25.当 x0 时，x2 是 x-ln（l+x）的（
2、）.A.较高阶的无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价的无穷小量D.较低阶的无穷小量6.设 函 数-浮+公 山 则 言|3等于A.e+1 R e+lC.2/+1 D.2 e+l7.若事件A与B满足P(B|A)=1,则有A.A是必然事件 B.P(B|A)=OC.AZB D.AUB8f(xo)=O,f(xo)O,是函数 y=f(x)在点 x=xo 处有极值的()。A.必要条件B.充要条件C.充分条件D.无关条件.tan(x-1)下 列 各 对 函 数 中 相 同 的 是 史，1A.0B.tanlc.79.D.2m设函数Z =cos(x+y2),则罂等于().1U.3xdvA.-2ycos(x+y
3、2)B.-2ysin(x+y2)C.2ycos(x+y2)D.2ysin(x+y2)11.下列等式不成立的是（）.12.设：=/(U.I.其中u-xy,且 都 存 在.则 我 等 于(A曳 4力n炉 9f.d?b du dvC.生 2?D.亚 亚.2:叫Hu a*设/(x)可导，则l i m /()二色3加，13.z AxA.A.3 f(0)B.-3 f(0)C.f(O)D.-f(O)M设 函 数/(2幻=/+b，则 八x)=x 1 ；-+-e2A.A.2 2XX -+e2B.4C.2x +2e2D 4x +2ea设 ,V都是可导函数，且 3 0,则(当，15.v/uA.7B./八+“UV-U
4、VD.,已知y=*,则y (1)=16.x-()oA.O B.l C.cosl-2sinl D.cosl+2sinl17.函数y=lnx在(0,1)内()。A.严格单调增加且有界B.严格单调增加且无界C.严格单调减少且有界 D.严格单调减少且无界18.设f(x)的一个原函数是(x+l)siru,则 /(x-l)d x =A.sin IB.-sinlC.0D.1若 J /（x）d.t=xe 7+C则/f（In x）dx 等于（）.A.xln x*1-CB.-xln x+CC.I.In x,+CD.-1 -I.n x+（19.XX20.sinxdxA A Snx+cosx+CB tanx-cosx
5、+C-cosx+Cc.C08X-cos x+CD.cosx21.下列各极限中，正确的是A.lim/1 =ex-*oo I X jC.lim（l+a%）+=e设、c 叱t12-x +3 l xx0。则,心x）=22.A.0B.C.-3D.-5“设lim/(x)存在，则/(x)在xo处23.m 工有定义且/(X。)=lim/(x)力 士、,a.ZE有7E义 b.-7E无7E义 c.，一 与 d.可以有定义,也可以无定义2 4 已知f(x)的一个原函数为f e ,则 Jf(2x)dx=A.A.”B.2?e%CC e Cr2 e2x+CD.425.已知/G)=出则/，图 等 于().叵4B.1T26.
6、函数f(x)在 a,b 上连续是f(x)在该区间上可积的(A.必要条件，但非充分条件)B.充分条件，但非必要条件C.充分必要条件D.非充分条件，亦非必要条件_一小、2X+3已知函数/(x)=X27.A.A.9 B.8 C.7 D.6,则 iim/(x)+lim/(x)=x0 I28.曲线y=x3x上切线平行于x 轴 的 点 是【】A.(0,0)B.(l,2)C.(-l,2)D.(-l,-2)29.图2-5 1所示的?(x)在区间 a,b 上连续,则由曲线y=?(x),直线x=a,x=b及 x 轴所围成的平面图形的面积s 等 于().A.仇 他g-J f(x)dx皿30 设 z+sin y,则
7、髭=()A.2x+cosy B.-siny C.2 D.O二、填空题(30题)31.若/(x)是 奇 函 数，且/(G d z =1,则J(z)d z =32.Jl+x-1 _33.已 知 =，则 =34.设函数 y=xsinx,则 y=.35.设 代工)=2”,则J，(sinx)cosxdx=.36.已知 P(A)=0.7 P(B|4)=0.5,则P(48)=.若f ebd x收敛，则A应满足的条件是_.37.h38.3 9 设 x)=e，8(工)=,则g(*40.j:|x|dx=A.0 B.4 C.1 D.-o O O41.设 函 数/(1+2)=尸-2 1+3.则/(2)=A.3 B.0
8、 C.1 D.242.让(+ar c t an，)市43.设 函 数Z=c o s(x2+y 2),则 空=，设函数/(x)=-1 在彳=0处连续，则。=_一44.I a.x dy-o的通解.求极限l i m；n；r +(er 1 )cos 卜巳知 曲 线 依 求，1）曲线在点 29 0.求D境轴箧丹形成的旋转体的体积.四、综合题（1 0题）9 1.设函数FQ）=三时（工0）,其 中/（6在区间 a.+8）上连续.7*（工）在.+）内存在且大于零.求证:FG）在（a.+8）内单调递增.9 2.过曲线N =/（工0）上某点A作切线.若过点A作的切线曲线 =及1轴闱成的图形面积为之,求该图形绕轴旋
9、转一周所得旋转体体枳匕i殳函数/（x）*x 2irctinx.求雨数/（J）的单区间和极值，9 3.（2）求曲线丫=，）的凹凸区何和拐点.94.设人力在区间。，刈上可导，且/（a）=/（6）=0.证明：至 少 存 在 一 点Q.b）.使得/+3）=0.9 5求函数y =的单调区间和极值.96.求由曲线y-x1与直线1=1.*=2及y =0圉成平面图形的面积S以及该图形烧.，轴旋转一周形成的旋转体的体积.求函数/（l）=上 一,.+J的单明区间和极值.97.已知曲线y =。6储 0）与曲线 I n G在点Go.”）处有公切线.试求：（1）常数a和切点（工.”）,98.（2）两曲线与工轴隔成的平面
10、图形的面积s.平面图形由抛物线丁-2,与 该 曲 线 在 点 处 的 法 线 所 围 成,故 求，（D该平面图形的面板，99.（2）该平面图形绕工轴旋转所成的旋转体的体积.100.求由曲线y =（工一 1）和直线X =2所国成的图形绕J-轴旋转所得旋转体体积.五、解 答 题（10题）10求由曲线y=s i n r,y=co s i及直线1=0,工=汗所图成的图形面积.102（本题满分8分）计算 土?也.103.设义=2。，y）由方程e-x y+co s（/+z2）=0确定，求必皿 计 算 翁小计算 l i m(V x2+i -x).105.106.求证+3 6/+2 c z=a+6+c在（0,
11、1）内至少有一个实根.107.计算arcsin xdLr.108.（本题满分8分）计算则 JA A a *109.设函数y=a x 3+b x+c,在点x=l 处取得极小值-1,且点（0,1）是该曲线的拐点。试求常数a,b,c 及该曲线的凹凸区间。110.求由曲线y=2x H,x-y=0所围成的平面图形的面积A,并求此平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积vxo六、单选题（0题）lime111.-o()oA.O B.l C.e 1 D.+oo参考答案l.c 经 实 际 计 算 及 无 穷 小 量 定 义 知 应 选 C.lim 1 .limln|=-oo Jim T-y-0 Jimcotr=8
12、.2.B根据定积分的定义和性质，函数f(x)在 a,b上连续，则f(x)在 a,b上可积；反之，则不一定成立。3.CA 0,1 1故 0.由 题 意 知-=-T-,从 而A=&,欠 34.B本题考查的是导函数的概念和定积分的分部积分法.J xf(x)dx=I xdf(x)=xf(x)|-J/()Ar Ai-O 3Ax du+d-f1,-1=cos 1-2 sinl.17.B18.C 解 析由原函数的定义可得J/(x)dx=(x+l)sinx+C则 /U-l)d x=/(x-l)d(x-1)=xsin(x-1)|=019.C答应选c.分 析 本题考行的知识点是不定积分的寂念和换元枳分的方法.时于
13、不定积分的积分公式如I C O H xlt=in K +C.考生应该更深 层次地理解为其结构式是/9 1口x(Jl +x +l)V l+I+1 233.【答案】应埴4(”)e 求出y 化简后再求)，”更简捷.y*=e J,-2xe3 =(I -2x)e:,y*=-2e*2*-2(l-2x)e*=4(x-l)e,34.2cos x-xsinxoy=sin x+xcosx,y=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx35.36.0.35P(AB)=P(A)P(BA)=0,7 x 0.5=0.3537.k,因此/(g(x)=e”“=e j所以 T-/(r(x)=2 xe1.nr40.A
14、41.D42.x+arctan x.43.2xsin(x2+32)44.045.46.21n2-ln347.f(xy)+X(p(xy)48.2xcosx-x2sinx-2xln2(x2cosx),=2xcosx-x2sinx,(2x),=2x.ln2,e,=0,所以y,=2xcosx-x2sinx+2xln2.49.1n(lnx)+C50.1/7151.C52.53.54.(2,2小)/=e-x-x e-J,/=-e-x-e-x+xe-x=-e-J(2-x)令 y”=0,得；x=2当x 2时，/0,曲线上凹.故点(2,2e4)是曲线的拐点.(3,1)解析J因 为y =4x+3=15解得 x=3
15、 又 y(3)=2 x 32+3 x 3-26=15 5故点M的坐标是(3,1)“axna-r-Uhuz十；56.xlna xlna57.258.2ab cos2(ax+by)2ab cos2(ax+by)解 析：=2sin(ax+hy)cos(ax+by)a=asin 2(ax+by)dxdxdy=a cos 2(ax+by)-2b=lab cos 2(ax+by)59.B60.y e 5 +2x7T产解析:dz dz du dz dv 次 有=-1-=e y+dx du dx dv dx dudz 1dv x2+y2x2xx（要 业d y =J：号d y ；&0 V=J cosydy-j
16、ycosydy=sin|J yd(siny)62.-cosl.(字11rdy=工 爹 dyj；j _J d(sin)n sinl-sinl-cos|=1 cosl.原式763.=l原式=y|arctarLrd(x,)=9 j*arctanj-2”十:业-7x arctnx#1+#=-x2arctanx (x-arctanx)+C.f扣向出64.J arctarLrd(x:)x:arctanx-】J/cLrrarctan*y j(l 工，产rrctanx-arctatw)+C.2J(ln-r):d(vCr)=2 G(1U)，1 -j zlturdj=8e-8J Injrd(x)=8。-8严目；浜
17、=8e 16e+16 yx|=8e 16=8(e-2).J 六Xlnj尸Ar _ 2J(IIU-JCA/X)8e 8 lnxd(/x)=8(e 2).65.或-i法必达法斯.o.o第二种方法利用了结论：当XT8B九L-O,则CT_|66.解法1直接求导法.在用直接求导法时一定要注意：等式两边对x（或y）求导时，应将y（或z）看成常数，而式中的：应视为x与y的二元函数,Jft后再解出北（或 即 可.等式两边对X求导,得噂，解 得 导 亡.解法2 公式法.设辅助函数F（x,y,t）=xz-y-e.等式两边对x求导时.式中的）与：均视为常数，用一元函数求导公式计算.对，或：求导时,另外两个变总也均视
18、为常数，即所以 S .x-e e -x解 法3求全微分法.直接对等式两边求微分.求出dz的表达式.由于k=,ezv=（2 +，y）e”,d xd y=+（2 1+=（3+.r*y）e，68.用换元积分法.令/=ta n,则产 11fqi-=；-s e r/d/J 工 工.八 十 才2 J f tanz sec/=J:cscz cotd/,9 3 /2-2 /3CSC/.=.J用换元积分法.令.r=ta n/.则 1 I ,-,a.r=5-sec id t，i+z 2 J|tan/seel=1:cscz cowdr,勺 3 7 2-2 7 3=-esc/=-.-.JJ-。sum-xS IU*-x
19、。s in x x二12imj-。injr 一69.lim 型 二，一 o sirtr-x工 7 im ye，T)x，sinx-x，sin-r-r=|im 42 =1.，-o sinx-J T70.因为“=ASUC(Q Z).%=jrrsec(.jryz)%=xsec2(xyz)所以 d-Ksec(jy 之)djr+Hsec2(Kz)dy+j5cez()&.因为 ur yzscc1(xyz)u9=xzsec1()u,h xsec2(x jrr).所以 d=KsaAjyrlcLr+jzsec2(yz)dy+jyscc;(ayz)dz.71.9 ve*-4 1两边对.r 求导.得 l+2 e：1
20、y=-2 e”（y+z y）.于是 y=2 ,注意到与i =1时,有l+A =$一 2+犷）于 是=-H照7,注意到当上=1 时有1 +c=1-2edxd.y=J dyj edx+J,dyjyedx画出枳分区域图D,如图所示t考虑到被枳函数的情况,先对z 枳分较宜.卜 e dj-d.y=j dJ _ye d_r+j,dvj yey dx(e-e)dy75.函数的定义域为(-oo,+oo),且f (x)=6x(x2-l)2令 F(x尸0,得Xl=0,X2=-1 X 3=l,列表如下：(-!)1(-1.0)0(0.1)i”.8 )/()-0-00/U)0)=2 为极小值ZJt由上表可知，函数f(x
21、)的单调减区间为(-0 0,0),单调增区间为(0,+o o)；f(0)=2为极小值.7 6.示.则由辅助三角形，如图所示,则seer=+a=tanf=土.a a于是f,-=金山=fsec/d/J+_2 J a sec/J=In|secz+tan/1+C吗I a=ln(x +/F +a?)+C；Inn=ln(x +J tan2/-p f=a sec/.由辅助三角形,如图所示，则seer=+“.ta n/=土.a a于是f -=f 4邢！出=sec/d/J “+了 J a sec/J=In|secz+tan/I+C空电+Z|+G=ln(x +，4 +a?)+C；Ind=ln(x +y/x2+a2
22、)+C(C =C1 Ina).方程两边关于1 求导,得/(x)u 2*+sin2x+x cos2x 2+4(sin2x)2M=21+2xcos2x.人工)=2 +2cos2ax+21 2sin21)=2(1+cos2x)-4xsin2x.77 所 以/(手)=2 ;dy=c-yc(xy)dx e,+xcos(xy)为广求言!.应先将*=0 代入原方程解出相应的y 值，然后代人学即可.QA I B*o由于工=0代入原方程得c-e=sin(O,y)=0,B P y=0,解法2等式两边求做分.得dx-xdy).dy e,-ycos(xy)dx ercos(xy)即解得所以82.f(x)的定义域为(-
23、oo,0),(0,+co),且仆)=2吗仆)=2-点令/(，)=o.得1：令/1*)=().得“.列表如下：由上表可知.函数/（x）的单调减少区间为（-8 1 ）.单调墙加区间为（-I,0）和（0,+8）;/（-1）=3 为极小值；函数/（动的凹区间为（-8 ,0）和（苏，+8）,凸区间为（0,万）；拐点坐标为（/.0）.X(-)-1(-1.0)(0.K)(苏 )/,()-0/()极小值3Z/拐点(5.0)-A-+亚=0,1一4*y即:!(-dJ+=04 1工一4 x)y两边积分得4-(ln|x-4|In I JT|)4-In|,y|=C.4故原方程的通解(x 4)y =CT,83.其中特解y
24、=0包含在通解之中.力=，jr 4x y即：4 -7 d z 4-=0,4-4 x)y两边积分得4*(In|x 4|In I x|)4-In|y =C.4故原方程的通解(x 4)y =CT.其中特解y=0包含在通解之中.当”f 0时，（/-1）是无穷小鼠,1 )c o sJ L=o.c o s1.7 e +e 1如京命二如仃石y84.*原 式=1+0=o J;当 彳-0 时，(1-1)是无穷小量，cos1 4 1,：l i m(eJ 1)c o s =0.X而而hm.6-.e$、=rh m7/+e-15一。8s m 3x lo 8一35-丁=可，COS3J*3*原 式=+0=*T*.o J85
25、.（1）根据导数的几何意义，曲线y=/在点（1.D处切线的斜率为曲线y=在点（l.D处法线的斜率为*-T所以切线方程为 -!=2（x-l）,即2x y-1=0.则法线方程为 y 1 =-（x 1）即r+2、-3=0|设所求的点为M J/1.）.曲线y=/在点（Z.，W）处切线的斜率为y|=2x1=2x0.切线与直线=417 平行时,它们的斜率相等,即2 4=A,所以工。=2.此时y“=4.故在点M,（2.4）处的切线与直线y=4一】平行.（1）根据号致的几何意义曲线y =工：在点U,D 处切线的斜率为=2.曲线y =z 在点（l.D 处法线的斜率为卜y.所以切线方程为 -1 =2（x-l）,即
26、21 一 y -1=0.则法线方程为 -1即x +2 3=0（2）设所求的点为曲线y -M在点（。）处切线的斜率为y I =2x 1=21。.I1%I 一，（!切线与直线y =4 j-1 平行时,它们的斜率相等，即2 4=4.所以a=2,此时M =4.故在点 M M 2.4）处的切线与直线y =4I-1 平行.86.画出区域D 如图所示由积分区域的对称性及被积函数关于1 轴和y轴都是偶函数.故在fr d j r d =4 j J_ r d/d y.II其 中 口 为 区 域 D 在第一象限的部分,即D）=（八_ ）|I W M +y&9.120,y N 0.利 用 极 坐 标 变 换 可 表
27、示 为 0 48 W”1 .故j p d x d y =“孙(r c o s 5)2 rdr=|c o sz&d d j y d r-2oJf L券型的=20 y s i n 2d|*=5 x.因此|xzd x d =4i j j/d i d y _ 20 x.画出区域D如图所示.由积分区域的对称性及被积函数关于1轴和轴都是偶函数.故有j j r?dxdy=4 jJ/d/d y.If D,其 中 口 为 区 域D在第一象限的部分即D （.r，y）I 1&M +y,&9iO.y0）.利用极坐标变换小 可表示为0&8 4彳.1&厂 3,故jp d/d y =f4(rcos0):rdr因此.i=2
28、0 4-s in 2 d|zdj-dv=4jJj-:d.rcl.y=20 x.5x.方程可化为+3=2+，皿这是一阶线性微分方程.利用逋解公式y=e i (s e c x +ta n _ r)e fid _ r+C=叫1/詈M+c tanx H-cosur87.“inx+C cou+1.方程可化为变+匹 皿=seer+ta a r这是一阶线性微分方程,利用通解公式dr e!，i J(s e c x +t a r u J e/id r+C r f secx+tanx.c o s -dx+(J cowtanx+-cosxsiru-+Ccosur+1.区 域D可表示为:0 4工4 1 十14 a工(
29、1 -cos2x)cLr88.区 域。可表示为11 /d则drdy=J：d rj；苧dy=ls in，x d j r=(1 cos2x)(Lr89.根据枳分区域与被积函数的特点,该二重枳分用极坐标计算比用直角坐标计算简便.积分区域D由一+/4】化为r 4】.0 夕42 x.故J(+xy)cLrdy=Jfsin/y)dr P y ycosdsintfj cW|-j-J sin0dsin5JK-卜in划根据枳分区域与被积函数的特点,该二重枳分用极坐标计算比用直角坐标计算荷便.积分区域Q 由，+/化为r=1.04 84 2 x.故j j(y/jr+y-j r y )Lr d y =-c o s Z?
30、s i n 5)r d r c W=J 吗 3 -c o妫i Md r=P y c o s f i s i n t f j j d。=“i n比s i n=_ :i n 1 =4K,o 19 a由题意得匕 TN_ _ l90.由题意得匕=n J(6 y)1 d y -x!/y)*d y-卜6一 刘：一 卜 川：=孚x.91.卜(r)=/(彳乂 a)-匚/(力一八。)，.一八“(6-y2dy (6)d yx(6 UH：=半 上由 Id&e n Rc 定 型 /(1)(“/(r /(a -f(XJT-a)-a)/(9)(/a),/、(-x-a)T，F1-(a t t t f.j 上 /工 a/.F
31、（x）在（a.+8）内单调递增.”（工）=/（公（工-“）一（J T -由1-c定 理应 用 U u t r n n g e 定 理 X-a 1(-/(a)a)2，(”)(a)a),、f(jr /(a /(，二x-a.F(x)在(a,+8)内单调递增.92.?)(*一“)(x -a2 住在刁上/，)/“一)(.应用l*g m n g c定 理 x 设A点坐标（八，/；）.由 y =2，得切线方程为y M MJ或“=+去 由 巳 知 E =1:（*与 一 仰 力=拉;，所以工。=1*。，1）,切线方程为2，一,一 1 =0 切线与1 轴交点为.r =4.于是4V H J x d-T-n f （2
32、x -l）:d j =-rx *立 方 单 位）.Jo J 1 3 6 SU设A点坐标（工。,1力 由y =2，得切线方程为y M =2八（1 MJ或所以工，=1*（1.1）,切线方程为2工 一,-1 =0 切线与上轴交点为1:.于是V =n J x c l r n ,2J-l）rd x =-x yx=芸 立 方 单 位）.93.(1)因为函数/(x)=1 一2a r c t a n.r.则令/=0.得驻点x=1.当1 V 一 1 时.，（工）0：当 一】V*V I 时V 0,当 工 1 时/（工）0.故函数/（x）在（-8.-D与（1.+8）上单调增加；函数在（一 1.1）上单调减少.因 此
33、 函 数 人 外 在 I=一 1 处取得极大值/（一 1）=左-1.在工=I 处取得极小值/=1-f I）（2）因 为/G）=所以八 0 时./（0.故曲线y =/（外 在（0.+3）上是凹的.且（0.0）是曲线的拐点.(1)因为函数/G)=工-2a r c t a n j .则令 Z 0;当一 1 V 工V 1 时.，（）V 0:当H 1 时.，（力 0.故函数/（x）在（一8一 D与（1.+8）上单调增加函数八外 在（一1.1）上单调减少.因 此 函 数/在 H=-1 处取御极大值八一1）=半 1在 H=1 处取得极小值/1）=1-f（2）因 为/Q）=f 三;,所以人工）（1匕尸令/*0
34、 时.广（力 0.故曲线y =/（i）在（0.+8）上是凹的.且（0.0）是曲线的拐点.94.设 F(x)=/(,)/.则 F(x)上连续.在(a d)内可导.且F(a)=/(a)e*=0.F(6)=/(6)e*=0.因为F(a)=F S).所以F(_r)=八在u.瓦1 上满足罗尔定理的条件.于是在(a,)内 至 少存 在 一 点&使F(O=。.即/(f)=/)/+/(f)ef，3e*=0.即J(6)+3 (r =0.而 +3 /(?)=o.e e(.设 F(x)=，Q)J ,则 F(x)&.6 上连续.在(a*)内可导.且Fa)=/(a)e*=0 F(6)=/(6)e*=0.因为F(a)=F
35、()所以F G)=/J J在a 瓦|匕满足罗尔定理的条件于是在(人6)内至少存在一点&使 F(S)=0.即r t f)=八“4-/(“3?=0 即e?/(?)+3 /(?)-0.而/r o.故/(f)+3/($)-0.W W(a*b)*95.该函数的定义域为 =立方单位）.96.曲线y=与直线上=1*=2 及 y=0 围成的平面图形如图所示.所求面积;S=J：/d r =#|：=I（平方单位），所求旋转体的体枳，V=KJ（x*）Idx=x -x1 11=立方单位）.函 数 人 的 定 义 域 为（-8.+8）.且广（工）解得工=1 是/（X）的驻点.工=0 是/（X）的不可导点.当工 （一 8
36、.0 1 时./（力 0,/（x）在（一 8.0 1 内单眼增加；当工W 0.1 时./（工）V 0,即/（x）在 0.1 内勉冏减少：当工e I.+8）时./（1）0,即/（X）在1+8）内单词增加.从而/（J）在点工=0 处取得极大值/（0）=97./“）在点1 处取得极小值/（口=0函 数 八 的 定 义 域 为(-8.+8),且，(力=1解得才=I是/0./(x)在(-8.0 内单调增加：当工 0.1时.(a)V 0.即f(x 在 0.1内值两减少1当 1.+0 0)时，/(工)0.即/(x)在 I.+B)内单调增加.从而/(x)在点l=0处取得极大值/-(0)=/(外 在 点r=1处
37、取得极小值八口-0.由巳知条件知(In/x)#|o=InvrTt求 解.得 切 点 为SD.(2)两曲线与I轴围成的平面图形如图所示：于是所求的面积为：co S=f jx d jr-In/Fdx H I(平方单位).98.e Ji 6(a G)|=*(In Vx)/1(D由巳知条件知.r-y=a y/jrv.o=In求解.得=切点为(c D.e 2)两曲线与，轴阐成的平面图形如图所示：于是所求的面积为：S=1：石&r-j In 77Ar=!/平方单位).首先求抛物线炉=2在点（彳.1）处的法线方程.由导数的几何意义知.点（5.1）处 的 切 线 斜 率 为；=q所以该点处的法线斜率为士=-1.
38、故法线方程为即(1+)3（I）可先画出抛物线y=2 x与 点 处 的 法 线 所 围 成 的 平 面 图 形 的*图.yl=2z,先求方程组，3得交点为7).选y为枳分变量,枳分区间为-3.1 ,则所求平面图形的面积为S=-W一孙99.=（.一耳一袅”：竽.（2）绕,轴旋转所成旋转体的体积为V=能泰也一”；勺一外出H X，|：+T：勺一力；=华*.苜先求抛物线y =2J 在 点 处 的 法 线 方 程.由导致的几何意义知.点（91）处的切线斜率为y ,=+所以该点处的法线斜率为A =-I.故法线方程为y-1 =一】（1 ：）即jc+y y.)y y*Y T T 川二一印（2）绕，轴旋转所成旋转
39、体的体机为7 =XJ：2H )+d c o s(2+z2)=0e C z d x+xd z)-(心 +xd y)-s in。？+zz)(2 j d +2 z d z)=0施用.一 y-z e “一 x+2 y s in(y 2 +x 2)人一 xen-2 z s in(y 2 +z?)xexz-2 z s in(y2+z3)解：本题用激分法求解,公式法及直接求导法请参看类似题解.对等式两边求微分得d e -d(xy )+d c o s(j2+z2)=0产(z d x+xd z)-(ydx+xd y)-s in()尸 +Z)(2 d y +2 z d z)=0解 得dz=-5-5-d x+xe
40、z-Z z s i m V+z?)x+2 y s in(),z+x2)xeJ I-2 z s in(2+z3)d yrcosx.rdsinx I rcosx.rdsinx I-r-d r=.=-J-+C -r-d r=-r=-5-+C 04 J sin x sin x 2sin2x sin x sinx 2sin2x这 是“I”型不定式极限，要化为9 型.lim(x?+1-x)这 是“I”型不定式极限,要化为洲.lim U x2+1 -x)=l.i.m I=-=0AI 4+1+X106.证 明 把要证的结果变形，得4 a 才 3 +3+2C H-(a+6+c)=0.令 F(x)=a T4+6
41、x3+c jr2 (,a+b+cix则 F(工)在 0,1 上连续、可导，且 F(0)=F(l)=0,故至少存在一点6(0,1),使Fr(.e)=4ae3+3 扇+2c e (a +6+c)=0故 e 就是方程4ax3+3bx2+2 c x-(a+b+c)=O在(0,1)内的实根.证 明 把要证的结果变形，得4 a jr3+3 6 x2+2c x-(a+6+c)=0.令 F(x)=a x4+6 x3+c x2 (a +6+c)x则 FQ)在 0,1 上连续、可导，且 F(0)=F(l)=0,故至少存在一点e G(0,D,使F ()=4 m 3 +3 公2 +2c e (a +6 +c)=0故
42、e 就是方程4 a x3+3bx2+2cx (a +6+c)=0 在(0,1)内的实根.107.arcsin xdz=xarcsin x .dzJ J=xarcsin x+-n r 109.由 y(1)=1.得 a+b+c.(1)由拐点y(0)=1,得m l.(2)由y(】)=0,得 3o+&=0.(3)联 立(I),(2),(3)解 得a=L b=-3,c=l.所以 =X3-3X+1.因 为y=6x,当x0时，/0,则曲线的凹区间为(0,+oo)：当x0时，y 0,则曲线的凸区间为(-,0).110.所求面枳如右图阴影部分所示.由zy=2x-x2y=x解之，得 交 点 为（0.0）及（】，1）,=Jt(2x-x2)2-x2dr=JtJf(3x2-4xJ+x4)dx=；.所求面积如右图阴影部分所示.由 zy=2x-x2y=x解之，得 交 点 为（0,0）及（1,I）,=Jt(2x-x2)2-x2dr=nJ(3x2-4xI+x4)dr=j .lll.C因为在x=0处f（x）=ex-i是连续的。