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1、专题02：乘法公式主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式公式一、平方差公式公式二、完全平方公式在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下：1.2.3.4.5.公式三、立方和公式公式四、立方差公式公式五、三数和平方公式公式六、两数和立方公式公式七、两数差立方公式例1、计算例2、计算例3、已知a、b是方程的两个根，求：（1）；（2）；（3）；（4）【解答】（1）77；（2）；（3）112；（4）24【解析】a、b是方程的两个根，a+b=7，ab11.（1）；（2）；（3）；巩固练习一.选择题1下列式子计算正确的是（）Am3m2m6B（m）2Cm2+m22m2D（m+n）2m2+n2
2、【解答】C【解析】A、m3m2m5，故A错误；B、（m）2，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确D、（m+n）2m2+2mn+n2，故D错误2如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到、两部分，再把、两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A（mn）2m22mn+n2B（m+n）2m2+2mn+n2C（mn）2m2+n2Dm2n2（m+n）（mn）【解答】D【解析】图（1）中，、两部分的面积和为：m2n2，图（2）中，、两部分拼成长为（m+n），宽为（mn）的矩形面积为：（m+n）（mn），因此有m2n2（m+n）（mn），3将图
3、甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（）A（a+b）（ab）a2b2B（ab）2a2b2Cb（ab）abb2Dabb2b（ab）【解答】A【解析】（a+b）（ab）a2b2.4如图1的8张长为a，宽为b（ab）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）Ab5aBb4aCb3aDba【解答】A【解析】设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，SS1S2ADAB5aAD3aAB
4、+15a2BCABb（BC+AB）+b2BCAB5aBC3aAB+15a2BCAB+b（BC+AB）b2（5ab）BC+（b3a）AB+15a2b2AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，5ab0，b5a5已知实数x、y、z满足x2+y2+z24，则（2xy）2+（2yz）2+（2zx）2的最大值是（）A12B20C28D36【解答】C【解析】实数x、y、z满足x2+y2+z24，（2xy）2+（2yz）2+（2zx）25（x2+y2+z2）4（xy+yz+xz）202（x+y+z）2（x2+y2+z2）282（x+y+z）228当x+y+z0时（2xy）2+（2y
5、z）2+（2zx）2的最大值是28二填空题6已知（a+b）27，a2+b25，则ab的值为 【解答】1【解析】（a+b）27，a2+2ab+b27，a2+b25，7+2ab5，ab17我们规定一种运算：，例如36452，按照这种运算规定，当x 时，0【解答】8【解析】由题意得（x+2）（x2）（x+4）（x3）0，x24（x2+x12）0，解得x88如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC1时，BEG的面积记为S1，当BC2时，BEG的面积记为S2，以此类推，当BCn时，BEG的面积记为Sn，则S2020S20
6、19的值为 【解答】【解析】连接EC，正方形ACDE和正方形CBFG，ACEABG45，ECBG，BCG和BEG是同底（BG）等高的三角形，即SBCGSBEG，当BCn时，Snn2，S2020S20192020220192（2020+2019）（20202019）；9如果，那么a+2b3c 【解答】0【解析】原等式可变形为：a2+b+1+ 5（a2）+（b+1）+ +50（a2）+4+（b+1）+1+ 0（2）2+（1）2+ 0；即：20，10，10，2，1，1，a24，b+11，c11，解得：a6，b0，c2；a+2b3c6+032010我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三
7、角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律例如：（a+b）01，它只有一项，系数为1；（a+b）1a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有 项，系数分别为 ；（2）（a+b）n展开式共有 项，系数和为 【解答】（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n【解析】（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4
8、，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n三解答题11已知x+y6，xy5，求下列代数式的值：（1）x+y（1x）；（2）x2+y2【解答】（1）11；（2）26【解析】（1）x+y6，xy5，原式x+yxy6511；（2）x+y6，xy5，x2+y2（x+y）22xy（6）2252612已知A2x+3，Bx2化简A2AB2B2，并求当x时该代数式的值【解答】1【解析】A2x+3，Bx2，A2AB2B2（2x+3）2（2x+3）（x2）2（x2）24x2+12x+9（2x24x+3x6）2（x24x+4）4x2+12x+92x2+4x3x+62x2+8x821x+7，当x时，原式21（）+7
9、113先化简，再求值：（x2y）2（xy）（x+y）2y2y，其中x1，y2【解答】2【解析】原式（x24xy+4y2x2+y22y2）y（4xy+3y2）y4x+3y，当x1，y2时，4x+3y46214.已知，求的值.【解答】【解析】15.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【解答】（1）40；（2）27【解析】（1）将代入得.16.已知三角形的三条边分别是a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状.【解答】等边三角形【解析】由已知得，a、b、c为三角形的三边长，即，即三角形为等边三角形.17前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来验证，请结合下列两组图形回答问题：图说明：左侧图形中阴影
10、部分由右侧阴影部分分割后拼接而成；图说明：边长为（a+b）的正方形的面积分割成如图所示的四部分（1）请结合图和图分别写出学过的两个乘法公式：图： ；图： （2）请利用上面的乘法公式计算：100299101；（60）2【解答】（1）（a+b）（ab）a2b2，（a+b）2a2+2ab+b2；（2）1，3602【解析】（1）由图可得，（a+b）（ab）a2b2；由图可得，（a+b）2a2+2ab+b2；（2）1002991011002（1001）（100+1）1002（10021）10021002+11；（60）2（60+）23600+2+360218要说明（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab
11、+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立【解答】见解析【解析】（1）小刚：（a+b+c）2（a+b+c）（a+b+c）a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）小王：（a+b+c）2（a+b）+c2（a+b）2+2（a+b）c+c2a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2；（3）小丽：如图所示：（a+b+c）2a2+b2+c2+ab+ac+bc
12、+ab+ac+bc，19【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题已知a2+b210，a+b6，求ab的值；已知（2021
13、c）（c2019）2020，求（2021c）2+（c2019）2的值【解答】（1）x2+y2（x+y）22xy；（2）13；（2）4036【解析】（1）x2+y2（x+y）22xy（2）由题意得：，把a2+b210，a+b6代入上式得，由题意得：（2021c）2+（c2019）2（2021c+c2019）22（2021c）（c2019）2222020403620如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S阴影 方法2：S阴影 （2）写出（a+b）2，（ab）2，ab这三个代
14、数式之间的等量关系为 （3）若（2m+n）214，（2mn）6，则mn的值为 已知x+y10，xy16，求xy的值【解答】（1）4ab，（a+b）2（ab）2；（2）（a+b）2（ab）24ab；（3）40，xy6，或xy6【解析】（1）方法1：图2的阴影部分面积等于图1的面积，即2a2b4ab，方法2：大正方形与小正方形的面积差，即（a+b）2（ab）2，（2）由（1）可得：（a+b）2（ab）24ab，（3）由（2）得，4mn（m+n）2（mn）214262（14+6）（146）208160，mn160440，由（x+y）2（xy）24xy，可得：（xy）2（x+y）24xy，把x+y10
15、，xy16代入得，（xy）210241636，xy6，或xy621请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和方法1： ；方法2： ；（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：若ab2，a+b4，求a2+b2的值【解答】（1）a2+b2，（a+b）22ab；（2）a2+b2（a+b）22ab；（3）12【解析】（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即，a2+b2，方法2，阴影部分的面积等于总面积减去两个长方形的面积，即，（a+b）22ab，（2）两种方法求得的结果相等，因此有，a2+b2
16、（a+b）22ab，（3）由（2）得，ab2，a+b4，求a2+b2（a+b）22ab1641222如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）（1）图2中的阴影部分面积为： （用a、b的代数式表示）；（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（ab）2、ab之间的等量关系是 ；（3）利用（2）中的结论，若x+y5，xy，求（xy）2的值 ；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式；（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连
17、接EG、BG、BE，当BC1时，BEG的面积记为S1，当BC2时，BEG的面积记为S2，以此类推，当BCn时，BEG的面积记为Sn，则S2020S2019的值为 【解答】（1）（a+b）24ab或（ab）2；（2）（a+b）2（ab）24ab；（3）16；（4）（3a+b）（a+b）3a2+b2+4ab；（5）2019.5【解析】（1）图2中，阴影部分的边长为（ab）的正方形，因此面积为（ab）2，也可以从边长为（a+b）的正方形面积减去图1的面积，即（a+b）24aba2+b22ab，（2）通过（1）的计算可知，（a+b）2（ab）24ab，（3）（xy）2（x+y）24xy26916，（4）整体长方形的面积为（3a+b）（a+b），图中八个四边形的面积和为3a2+b2+4ab，因此有：（3a+b）（a+b）3a2+b2+4ab，（5）如图，连接EC，则ECBG，如图所示：SBEGSCBGBC2，S2020S20192020220192，（2020+2019）（20202019），2019.5，