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1、专题01：绝对值1、绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即对于任何有理数a都有： 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的2、绝对值的性质0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或
2、03、数轴上两点之间的距离若A、B是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x1、x2，则A、B两点之间的距离为.4、含绝对值的方程与函数含有绝对值的方程要先去掉绝对值的符号，再求未知数的值；绝对值函数的定义：，绝对值函数的定义域是一切实数，值域是非负数.例1、利用绝对值的性质化简如果a、b、c、d为互不相等的有理数，且，那么等于 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【解答】C【解析】由已知可得，不妨设，ac与bc互为相反数，即ac（bc），ab2c，又，bc与db相等，即bcdb，2bcd，同理，若设，可得，C选项正确.例2、化简求最值已知实数x、y、z满足，则代数式的最大值是 .【解答】24【
3、解析】当时，当时，当时，故的最小值为4，同理可得，当时，最小值为3；当时，最小值为9，则439108，故x、y取最大值，z取最小值时，代数式的值最大，最大值为.例3、绝对值方程解方程：【解答】【解析】计算步骤如下：.例4、绝对值函数作出函数的图像.【解答】见解析【解析】由题意可得，函数图像如图所示：巩固练习一选择题1把有理数a代入|a+4|10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，若a23，经过第2020次操作后得到的是（）A7B1C5D11【解答】A【解析】第1次操作，a1|23+4|1017；第2次操作，a2|17+4|1011；第3次操作，a3|11+
4、4|105；第4次操作，a4|5+4|101；第5次操作，a5|1+4|107；第6次操作，a6|7+4|107；第7次操作，a7|7+4|107；第2020次操作，a2020|7+4|1072设x为有理数，若|x|x，则（）Ax为正数Bx为负数Cx为非正数Dx为非负数【解答】D【解析】设x为有理数，若|x|x，则x0，即x为非负数3已知x是正实数，则|x1|+|2x1|+|3x1|+|4x1|+|5x1|的最小值是（）A2BCD0【解答】B【解析】|x1|+|2x1|+|3x1|+|4x1|+|5x1|x1|+2|x|+3|x|+4|x|+5|x|当x0，即x时取最小值，最小值为：|1|+2
5、|+3|+4|+5|+0+4已知实数a、b、c满足a+b+c0，abc0，则x2019的值为（）A1B1C32019D32019【解答】B【解析】已知a，b，c是有理数，a+b+c0，abc0，则b+ca，a+cb，a+bc，a、b、c两正一负，则11115能使等式|2x3|+2|x2|1成立的x的取值可以是（）A0B1C2D3【解答】C【解析】A、当x0时，原式3+47，不合题意；B、当x1时，原式1+23，不合题意；C、当x2时，原式1+01，符合题意；D、当x3时，原式3+25，不合题意；6已知x，y都是整数，若x，y的积等于8，且xy是负数，则|x+y|的值有（）个A1B2C3D4【解
6、答】B【解析】x，y都是整数，x，y的积等于8，且xy是负数，x8，y1或x4，y2或x1，y8或x2，y4，|x+y|9或6，一共2个二填空题7已知，则x 【解答】5或7【解析】因为3，所以|1x|6，所以1x6，所以1x6，或1x6，所以x5，或x78若x|x|x2017|，则x 【解答】2017或【解析】x|x|x2017|，xx|x2017|或x|x2017|x|x2017|0或2x|x2017|当|x2017|0时，解得x2017当2x|x2017|时，若0x2017，2xx+2017，解得x，x2017，2xx2017，解得x2017（舍去）9若对于某一范围内的x的任意值，|12x
7、|+|13x|+|110x|的值为定值，则这个定值为 【解答】3【解析】P为定值，P的表达式化简后x的系数和为0；由于2+3+4+5+6+78+9+10；x的取值范围是：17x0且18x0，即，所以P（12x）+（13x）+（17x）（18x）（19x）（110x）63310已知|a|3，|b|2，且ab，则a2b的值为 【解答】1或7【解析】|a|3，|b|2，a，b2，ab，a3，b2，a2b3221或a2b32（2）711若|mn|nm，且|m|4，|n|3，则m+n 【解答】1或7【解析】|m|4，|n|3，m4，n3，而|mn|nm，nm，n3，m4或n3，m4，m+n3+（4）1；
8、或m+n3+（4）7三解答题12已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|bc|ab|【解答】2c【解析】由数轴知：ba0c，c|a|，a+c0，bc0，ab0，所以|a+c|+|bc|ab|a+cb+ca+b2c13计算：已知，且xy0，求6（xy）的值【解答】36【解析】|x|，|y|，且xy0，x，y，6（xy）6（+）3614设a0，且，求|x+1|x2|的值【解答】3【解析】因为a0，所以x，所以x+10，x20，所以|x+1|x2|x1+x2315已知实数a，b，c满足：a+b+c2，abc4（1）求a，b，c中的最小者的最大值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值【解
9、答】（1）-4；（2）6【解析】（1）不妨设a是a，b，c中的最小者，即ab，ac，由题设知a0，且b+c2a，于是b，c是一元二次方程的两实根，即，a2+4a2+4a+160，（a2+4）（a+4）0，所以a4；又当a4，bc1时，满足题意故a，b，c中最小者的最大值4（2）因为abc0，所以a，b，c为全小于0或二正一负当a，b，c为全小于0，则由（1）知，a，b，c中的最小者不大于4，这与a+b+c2矛盾若a，b，c为二正一负，设a0，b0，c0，则|a|+|b|+|c|a+b+c2a2826，当a4，bc1时，满足题设条件且使得不等式等号成立故|a|+|b|+|c|的最小值为616四个
10、数分别是a，b，c，d，满足|ab|+|cd|ad|，（n3且为正整数，abcd）（1）若n3当da6时，求cb的值；对于给定的有理数e（bec），满足|be|ad|，请用含b，c的代数式表示e；（2）若e|bc|，f|ad|，且|ef|ad|，试求n的最大值【解答】（1）cb4，ec+b；（3）n的最大值是4【解析】（1）n3，|ab|+|cd|ad|，abcd，ba+dc（da），cb（da），da6，cb4；bec，|be|ad|，eb（da），eb（cb），eb（cb）（cb），ec+b；（2）|ab|+|cd|ad|，abcd，cb（1）（da），e|bc|，f|ad|，且|ef|a
11、d|，|bc|ad|ad|，|（1）（da）|ad|ad|，|ad|ad|，2n10，n5，n3且为正整数，n的最大值是417若x，y为非零有理数，且x|y|，y0，化简：|y|+|2y|3y2x|2y【解答】原式2x2y【解析】x|y|，y0，x0，xy，2y0，3y2x0，则原式y2y+3y2x2y2x2y18已知：b是最大的负整数，且a，b，c满足|a+b|+（4c）20160，试回答问题：（1）请直接写出a，b，c的值；（2）若a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即0x1），请化简式子：|x+1|1x|+2|x4|【解答】（1）b
12、1，ab1，c4；（2）原式8【解析】（1）b是最大的负整数，|a+b|+（4c）20160，b1，ab1，c4；（2）0x1，x+10，1x0，x40，|x+1|1x|+2|x4|x+1（1x）+2（4x）819已知a，b，c都不等于零，且的最大值是m，最小值为n，求的值【解答】原式1【解析】当a，b，c三个都大于0，可得，当a，b，c，都小于0，可得，当a，b，c一正二负，可得，当a，b，c 二正一负可得，m2，n2原式120再看绝对值（1）当x3，|x2|；当x2，|x2|；当x1，|x2|；（2）化简：|x2|；（3）在|x+1|+|x2|+|x3|中当x|x+1|+|x2|+|x3|
13、有最小值，最小值为；（4）在|xx1|+|xx2|+|xx3|+|xxn|中，若x1x2x3xn（其中：x1，x2，x3，xn为常数），试回答：当x为何值时，|xx1|+|xx2|+|xx3|+|xxn|有最小值，最小值为多少？【解答】（1）1，0，3；（2）见解析；（3）当x2，最小值为4；（4）见解析【解析】（1）当x3，|x2|321；当x2，|x2|220；当x1，|x2|1+23；故答案为：1，0，3；（2）分三种情况：当x2时，|x2|2x，当x2时，|x2|0，当x2时，|x2|x2，（3）当x1时，|x+1|+|x2|+|x3|x1+2x+3x3x+4，则3x+47；当1x2时，|x+1|+|x2|+|x3|x+1+2x+3xx+6，则4x+67；当2x3时，|x+1|+|x2|+|x3|x+1+x2x+3x+2，则4x+25；当x3时，|x+1|+|x2|+|x3|x+1+x2+x33x4，则3x45综上所述，当x2|x+1|+|x2|+|x3|有最小值，最小值为4；故答案为：2，4；（4）当n为奇数时，时，|xx1|+|xx2|+|xx3|+|xxn|有最小值xn+xn1+x2x1，当n为偶数时，时，|xx1|+|xx2|+|xx3|+|xxn|有最小值xn+xn1+x2x1