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1、专题03：二次根式1.二次根式的定义：一般地，形如的式子叫做二次根式.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.3.无理式的定义：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式，如是无理式，而不是无理式.4.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式，或通过约分的方法达到分母有理化的目的.5.有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式，常用的有理化因式有：（1）与；（2）与；（3）与.4.分子有理化：把分子中的根号化去，叫做分母有理化.方法：分子、分母同时乘分子的有理化因式.5.二
2、次根式的大小比较：二次根式比较大小的方法有平方比较法、作差比较法、求商比较法、求倒数比较法等，其中，比较常用的是平方比较法.6.二次根式的运算：二次根式的加减类似于多项式的加减，先化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并；二次根式的乘法类似于多项式的乘法；二次根式的除法，通常写成分数的形式，再进行分母有理化.例1：二次根式的意义已知实数满足，求的值是多少？【解答】2019【解析】二次根式有意义，即，解得，等式两边平方，整理得.例2：二次根式的性质与化简若实数、满足，求、之间的数量关系？【解答】【解析】，同理可得，可得，.例3：分母有理化已知，求的值.【解答】当时，原式.例4：比较大小试比较与
3、的大小.【解答】【解析】化简后分母相同，分子不同，所以倒数大的反而小，所以.例5：双重二次根式化简已知，则 .【解答】【解析】将的左边分子有理化得，化简得，两式相加得，解得，.巩固练习一选择题1若x2+y21，则的值为（）A0B1C2D3【解答】C【解析】因为x2+y21，所以1x1，1y1，因为，其中y20，所以x+10，又因为1x1，所以x+10，x1，所以y0，所以原式2+022已知x2，x4+8x3+16x2的值为（）ABC3D9【解答】D【解析】x2，x2（2）2（）222+2274+4114，则原式x2（x2+8x+16）x2（x+4）2（114）（2+4）2（114）（2+）2（
4、114）（11+4）112（4）212111293若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（）A7B6C5D4【解答】D【解析】去分母得，m+2（x1）3，解得，关于x的分式方程有正数解，m5，又x1是增根，当x1时，即m3m3，有意义，2m0，m2，因此5m2且m3，m为整数，m可以为4，2，1，0，1，2，其和为4.4设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则x3+y3+z33xyz的值是（）A0B1C3D条件不足，无法计算【解答】A【解析】依题意得：，解得x0，yz把x0，yz代入x3+y3+z33xyz得：原式（z）3+z30.5设，则S最接近的整
5、数是（）A2015B2016C2017D2018【解答】C【解析】所以S最接近的整数是2017.二填空题6已知a、b满足，则ab的值为 【解答】【解析】a+3，若a2，则a2a+3，不成立，故a2，2aa+3，a，ab+1，ab+11或0，或，ab7已知，则4x2+4x2017 【解答】2015【解析】，4x2+4x2017（2x+1）220183201820158若，则a2004b2005 【解答】3+【解析】，a3+0，b30，a3，b3+，ab（3）（3+）981，a2004b2005（ab）2004b1（3+）3+9已知xy3，那么的值是 【解答】【解析】因为xy3，所以x、y同号，于
6、是原式，当x0，y0时，原式；当x0，y0时，原式故原式10当x，y时，的值为 【解答】【解析】由题意，知：x+y4，xy2，（x+1）（y+1）6；三解答题11已知，求代数式的值【解答】40【解析】当时，12已知x，y都是有理数，并且满足，求的值【解答】3【解析】，x，y都是有理数，x2+2y17与y+4也是有理数，解得，有意义的条件是xy，取x5，y4，13已知：，求的值【解答】【解析】，14已知，且19x2+123xy+19y21985试求正整数n【解答】2【解析】化简x与y得，x+y4n+2，将xy1代入方程，化简得：x2+y298，（x+y）2x2+y2+2xy98+21100，x+
7、y104n+210，解得n215已知矩形的周长为cm，一边长为cm，求此矩形的另一边长和它的面积？【解答】另一边长是cm，矩形的面积是cm2【解析】矩形的另一边长是：矩形的面积是：16观察下列格式，（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程【解答】（1），4；（2）；（3）【解析】（1），；（2）；（3）17先阅读下面的解题过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+bm，abn，即，那么便有： 根据上述方法化简：（1）；（2）【解答】（1）；（2）【
8、解析】（1）；（2）18阅读下列解题过程：请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子 ；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子 ；（3）利用上面所提供的解法，请求的值【解答】（1）；（2）；（3）9【解析】（1）；（2）；19阅读材料：像b1（b0）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式例如与，与，与等都是互为有理化因式在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号例如：解答下列问题：（1）与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值【解答】（1），；（2）；（3）a1，b2【
9、解析】（1）与互为有理化因式，解得，a1，b220某同学在解答题目：“化简并求值，其中，”时：解答过程是：；（1）请判断他的解答是否正确；如果不正确，请写出正确的解答过程（2）设（n为正整数），考察所求式子的结构特征：先化简通项公式；求出与S最接近的整数是多少？【解答】（1）不正确，过程见解析；（2），当n1时，S最接近的数是1或2；当n1时，S最接近的整数是n+1【解析】（1）他的解答不正确，正确过程如下：原式，当a时，原式；（2）n为任意的正整数，当n1时，S最接近的数是1或2；当n1时，S最接近的整数是n+121.阅读下面计算过程：；. 请解决下列问题（1）根据上面的规律，请直接写出 （2）利用上面的解法，请化简：（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程【解答】（1）；（2）9；（3）【解析】