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1、无理方程1.无理方程的定义：根号下含有未知数的方程叫做无理方程.2.无理方程的解法：平方法、换元法.3.解含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：（1）移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；（2）两边同时平方，得到一个整式方程；（3）解整式方程；（4）验根.4.解含有未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：（1）移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；（2）两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；（3）按照3的方法继续解方程.例1：含有一个二次根式的无理方程解方程：【解答】【解析】移项，得，两边平方，得，移项、合并同类项得，解得
2、或，检验：将代入原方程，左边右边，是增根，将代入原方程，左边右边，是原方程的根，原方程的解是.例2：含有两个二次根式的无理方程解方程：【解答】【解析】原方程可化为，两边平方得，整理后得，两边平方得，整理得，解得或，检验：将代入原方程，左边右边，是原方程的根；将代入原方程，左边右边，是增根，原方程的解是.例3：换元法解无理方程解方程：【解答】【解析】设，则，原方程可化为，即，解得或，当时，解得，当时，方程无解.检验：将 分别代入原方程，左边右边，原方程的解为.巩固练习1.下列方程中，不是无理方程的是（ ）A. B. C. D. 【解答】A【解析】根号下没有未知数的方程不是无理方程，即不是无理方程
3、.，故选A选项.2.下列方程中，有实数根的方程是（ ）A. B. C. D. 【解答】C【解析】A选项，此时方程无解，故本选项错误；B选项，算术平方根是非负数，此时方程无解，故本选项错误；C选项，符合题意，故本选项正确；D选项，且，解得，经检验，当时，左边右边，故本选项错误，综上，故选C.3.下列说法正确的是（ ）A. 方程的根是和3B. 方程的根是C. 方程的根是D. 方程的根是【解答】D【解析】，解得，A选项错误；，经检验，是方程的解，故B选项错误；，解得，经检验，是原方程的解，故C选项错误；解得，D选项正确，综上，故选D.4.下列哪个不是方程的解（ ）A. B. C. D. 【解答】C【
4、解析】当时，方程左边，方程右边0，左边右边，故是原方程的解；当时，方程左边，方程右边0，左边右边，故是原方程的解；当时，方程左边，方程右边0，左边右边，故不是原方程的解；当时，方程左边，方程右边0，左边右边，故是原方程的解；故选C.5.方程的根是 .【解答】或【解析】令，原方程可化为，则，整理得，解得，当时，则，解得，当时，则，解得，则原方程的根是或.6.方程的解是 .【解答】【解析】令，则，原方程可化为，解得（舍），经检验，是原方程的解.7.方程的解是 .【解答】【解析】由合分比定理得，两边平方得，由合分比定理得，化简得，解得，经检验，是原方程的根，原方程的解为.8.方程组的解是 .【解答】
5、或【解析】令，即，原方程可转化为，解得或，当时，；当时，原方程组的解为或.9.方程的解是 .【解答】【解析】令，原方程可化为，整理得，解得，.10.解方程（1）（2）（3）（4）【解答】见解析【解析】（1）原方程可化为，或，解得或，经检验，它们都是原方程的解，原方程的解为或.（2）两边平方得，整理得，即，解得，经检验，是增根，原方程的解为.（3）令，原方程化为，解得（舍），当时，两边平方得，解得；（4）令，则方程可化为，解得，当时，即，解得或，当时，即，解得或，经检验，并不是原方程的解，原方程的解为或.11.已知是非零整数，且满足，解关于的方程.【解答】【解析】，解得，解得，则不等式组的解集为，是非零整数，或，当时，方程为，解得（用换元法解）；当时，方程为，此方程无实数解.原方程的解为.