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1、集合间的运算一、并集一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作:AB读作:“A并B”,即:AB=x|xA,或xBVenn图表示如下:1.“xA,或xB”包含三种情况:“”;“”;“”2.两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次)二、并集一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集;记作:AB,读作:“A交B”,即AB=x|xA,且xB;交集的Venn图表示如下:1.并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是2.概念中的“所有”两字的含义
2、是,不仅“AB中的任意元素都是A与B的公共元素”,同时“A与B的公共元素都属于AB”3.两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合三、集合间运算的常见结论若AB=A,则,反之也成立若AB=B,则,反之也成立若x(AB),则xA且xB若x(AB),则xA,或xB例1:并集设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集,且AB=,求AB【解答】AB= ,-4【解析】AB= ,是方程2x2+px+q=0的解,则有: (1),同理有:6()2+(2-p)+5+q=0(2)联立方程(1)(2)得到:,方程(1)为2x2+7x-4=0,
3、方程的解为:x1= , x2=-4,由方程(2) 6x2-5x+1=0,解得:x3= , x4= ,B= ,则AB= ,-4例2:交集设集合,求【解答】【解析】先将集合A、B、C、D转化为文字语言叙述,以便弄清楚它们的构成,再求其交集即可集合表示3的倍数所组成的集合;集合表示除以3余1的整数所组成的集合;集合表示除以3余2的整数所组成的集合;集合表示除以6余1的整数所组成的集合;例3:并集、交集综合已知U=R,集合A=x1x4,B=xaxa+2(1)若a=3,求AB,;(2)若BA,求a的范围【答案】(1)AB=x1x5,;(2)1a2【解析】(1)若a=3,B=x3x5AB=x1x5,(2)
4、BA,A=x1x4,B=xaxa+2,即,解得1a2巩固练习一、选择题1某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8,10,14,若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是()A8B7C6D5【解答】C【解析】设周三,周二,周一开车上班的职工组成的集合分别为A,B,C,集合A,B,C中元素个数分别为n(A),n(B),n(C),则n(A)14,n(B)10,n(C)8,n(ABC)20,因为n(ABC)n(A)+n(B)+n(C)n(AB)n(AC)n(BC)+n(ABC),且n(AB)n(ABC),n(AC)n(ABC),n(BC)n(ABC),
5、所以14+10+820+n(ABC)3n(ABC),即n(ABC)62设全集UZ,A1,0,2,4,7,8,B2,1,1,3,4,8,则韦恩图中阴影部分表示的集合是()A2,0,1,3B2,1,3,4C2,1,3D0,2,7【解答】C【解析】图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合B中,但不在集合A中又A1,0,2,4,7,8,B2,1,1,3,4,8,则右图中阴影部分表示的集合是:2,1,33对于任何集合S,用|S|表示集合S中的元素个数,用n(S)表示集合S的子集个数若集合A,B满足条件:|A|2017,且n(A)+n(B)n(AB),则|AB|等于()A2017B2016C2015D201
6、4【解答】B【解析】设|B|x,|AB|y,|A|+|B|AB|AB|,|A|2017,2017+x|AB|y,|AB|2017+xy,n(A)+n(B)n(AB),22017+2x2y,(*),可得2y2019+x,当且仅当x2017,y2018时取等号,此时可得:|AB|2017+xy2016|AB|20164已知集合A(x,y)|y2x3,B(x,y)|ym,若AB,则实数m的取值范围是()Am3Bm3Cm3Dm3【解答】C【解析】A(x,y)|y0.2|x|1,B(x,y)|ym,画出函数y2|x|3和ym的图象,如图示:若AB,则m3.二、填空题5已知集合Aa,b,2,B2,b2,2
7、a,且ABAB,则a 【解答】0或【解析】由ABAB知AB,又根据集合元素的互异性,所以有或,解得或,故a0或6已知集合Ay|ya2+1或ya,By|2y4,若AB,则实数a的取值范围是 【解答】或a2【解析】集合Ay|ya2+1或ya,By|2y4,若AB,可得或,则AB,则实数a的取值范围是:或a2故答案为:或a27已知集合A1,3,B1,m,ABA,则m 【解答】0或3【解析】ABA,BA,m3或m,解得:m0或3故答案为:0或3.8设集合A1,1,3,Ba+2,a2+4,AB3,则实数a 【解答】1【解析】因为AB3,根据交集的运算推理得:3是集合A和集合B的公共元素,而集合A中有3,
8、所以得到a+23或a2+43(无解,舍去),解得a19设Ax|x1或x3,Bx|axa+1,ABB,则a的取值范围是 【解答】a0或a3【解析】Ax|x1或x3,Bx|axa+1,且ABB,BA,则有a+11或a3,解得:a0或a3,三、解答题10设全集为R,Ax|3x7,Bx|4x10,(1)求R(AB)及(RA)B;(2)Cx|a4xa+4,且ACA,求a的取值范围【解答】(1)R(AB)x|x3或x10,(RA)Bx|7x10;(2)3a7【解析】(1)全集为R,Ax|3x7,Bx|4x10,ABx|3x10,RAx|x3或x7,R(AB)x|x3或x10,(RA)Bx|7x10(2)A
9、x|3x7,Cx|a4xa+4,且ACA,AC,解得3a7a的取值范围是3a711已知集合Ax|2ax2+a,Bx|x1或x4(1)当a3时,求AB(2)若AB,求实数a的取值范围【解答】(1)AB1x1或4x5;(2)a1【解析】(1)当a3时,A1x5,Bx1或x4AB1x1或4x5;(2)AB,Ax|2ax2+a,Bx1或x4,当2a2+a,即a0时,A,此时AB;当a0时,A;此时应满足,解得a1,0a1;综上,实数a的取值范围是a112已知集合Ax|x1,或x2,Bx|2p1xp+3(1)若p,求AB;(2)若ABB,求实数p的取值范围【解答】(1)ABx|2x;(2)p【解析】(1
10、)当p时,Bx|0x,ABx|2x;(2)当ABB时,BA;令2p1p+3,解得p4,此时B,满足题意;当p4时,应满足2p12或p+31,解得p4综上,实数p的取值范围p13设集合Mx|(x+a)(x1)0(a0),Nx|4x24x30(1)若MNx|2x,求实数a的值;(2)若(RM)NR求实数a的取值范围【解答】(1)a2;(2)0a【解析】全集为R,集合Mx|(x+a)(x1)0x|ax1(a0),集合Nx|4x24x30x| x(1)若MNx|2x,则a2,解得a2;(2)RMx|xa或x1,若N(RM)R,则a,解得a,则实数a的取值范围是0a14设全集UR,集合Ax|1x3,Bx
11、|2x4x2(1)求A(UB);(2)若函数f(x)lg(2x+a)的定义域为集合C,满足AC,求实数a的取值范围【解答】(1)A(UB)x|2x3;(2)a2【解析】(1)Bx|x2UBx|x2A(UB)x|2x3;(2)函数f(x)lg(2x+a)的定义域为集合Cx|x,AC,1,a215已知集合Ax|x24x50,集合Bx|2axa+2(1)若a1,求AB,AB;(2)若ABB,求实数a的取值范围【解答】(1)ABx|2x1,ABx|x1或x5;(2)a2或a3【解析】(1)a1时,集合Ax|x24x50x|x1或x5,集合Bx|2axa+2x|2x1,ABx|2x1,ABx|x1或x5
12、(2)ABB,BA,当B时,2aa+2,解得a2;当B时,或,解得a3综上,a2或a316已知集合Ax|2x25x120,By|y3x+1(x0)(1)求集合AB,(RA)B;(2)若集合Cx|m2x2m且(RA)CC,求m的取值范围【解答】(1)ABx|x4,(RA)Bx|x;(2)m2或m2【解析】集合Ax|2x25x120x|x或x4,By|y3x+1(x0)y|y2(1)集合ABx|x4,RAx| x4,(RA)Bx|x;(2)若集合Cx|m2x2m,且(RA)CC,CRA,解得m2;当C时,m22m,解得m2;综上,m的取值范围是m2或m217设全集UR,集合Ax|1x4,Bx|x2+5ax+6a20(1)若a1,求BA,BUA;(2)若ABA,求实数a的取值范围【解答】(1)BAx|2x3,BUA;(2)【解析】全集UR,集合Ax|1x4,Bx|x2+5ax+6a20x|(x+2a)(x+3a)0;(1)若a1,则Bx|(x2)(x3)0x|2x3,BAx|2x3,又UAx|x1或x4,BUA;(2)若ABA,则BA,当a0时,B0,不满足题意;当a0时,Bx|2ax3a,则,解得,满足题意;当a0时,Bx|3ax2a,则,解得2a,不满足条件;综上,实数a的取值范围是