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1、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：1.二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.2.二次项系数不为1的十字相乘在二次三项式中
2、，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、按照以下进行排列：按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.例1：二次项系数为1的二次三项式分解因式：（1）（2）（3）（4）【解答】见解析【解析】（1）；（2）；（3）；（4）例2：二次项系数不为1的二次三项式分解因式：（1）（2）【解答】见解析【解析】（1）；（2）.例3：待定系数法求字母的值若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）A.
3、1B. C. D. 2【解答】C【解析】，可分解成或，分以下两种情况考虑：由可得m1，由可得，故选C.例4：解决几何类问题已知长方形的长、宽分别为x、y，周长为16，且满足，求此长方形的面积.【解答】15或15.75【解析】又解得，长方形的面积为15或15.75.例5：十字相乘法综合求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数.【解答】见解析【解析】证明：是7的倍数，设（m为整数），则，x、m是整数，也是整数，是49的倍数.巩固练习一选择题1把多项式x2+x2分解因式，下列结果正确的是（）A（x+2）（x1）B（x2）（x+1）C（x1）2D（2x1）（x+2）【解答】A【解析】x2
4、+x2（x1）（x+2），故选：A2下列因式分解正确的是（）A4m24m+14m（m1）Ba3b2a2b+a2a2（ab2b）Cx27x10（x2）（x5）D10x2y5xy25xy（2xy）【解答】D【解析】A、4m24m+1（2m1）2，故本选项错误；B、a3b2a2b+a2a2（ab2b+1），故本选项错误；C、（x2）（x5）x27x+10，故本选项错误；D、10x2y5xy2xy（10x5y）5xy（2xy），故本选项正确；故选：D3下列多项式不能分解的是（）A（ab+cd）2+（bcad）2Bx2y26x+9Cx22xy3y2+4x+8y5Dx2+2x+4【解答】D【解析】A（ab
5、+cd）2+（bcad）2（a2+c2）（b2+d2），故本选项能分解；Bx2y26x+9（x3+y）（x3y），故本选项能分解；Cx22xy3y2+4x+8y5（x+y1）（x3y+5），故本选项能分解；Dx2+2x+4不能分解，故本选项符合题意；故选：D4把多项式（xy）22（xy）8分解因式，正确的结果是（）A（xy+4）（xy+2）B（xy4）（xy2）C（xy4）（xy+2）D（xy+4）（xy2）【解答】C【解析】（xy）22（xy）8，（xy4）（xy+2）故选：C二填空题5若对于一切实数x，等式x2px+q（x+1）（x2）均成立，则p24q的值是 【解答】9【解析】由题意得：
6、p12，q1（2），p1，q2，p24q14（2）1+896分解因式：x23xy4y2 【解答】（x4y）（x+y）【解析】x23xy4y2（x4y）（x+y），7若x2+mx15（x+3）（x+n），则mn的值为 【解答】3【解析】（x+3）（x+n）x2+nx+3x+3nx2+（n+3）x+3n，解得：m2，n5，则mn2+53.8若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x1），则m+n的值为 【解答】1【解析】x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x1），x2+mx+nx2+x2，m1，n2，m+n121.9阅读下列文字与例题：将一个型如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果
7、能满足qmn且pm+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）例如（1）x2+3x+2（x+1）（x+2）（2）x23x10（x5）（x+2）要使二次三项式x2+mx6能在整数范围内分解因式，则m可取的整数为 【解答】5，1，1，5【解析】616231（6）2（3），m1+65或m2+31或m1+（6）5或m2+（3）1.10多项式kx29xy10y2可分解因式得（mx+2y）（3x5y），则k，m【解答】9，3【解析】kx29xy10y2（mx+2y）（3x5y），kx29xy10y23mx25mxy+6xy10y2，解得：.三解答题11分解因式：x2+12x189，分析：由于
8、常数项数值较大，则将x2+12x189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行x2+12x189x2+2*6x+6236189（x+6）2225（x+6）2152（x+6+15）（x+615）（x+21）（x9）请按照上面的方法分解因式：x260x+884【解答】（x26）（x34）【解析】x260x+884x2230x+900900+884（x30）216（x30+4）（x304）（x26）（x34）12李伟课余时间非常喜欢研究数学，在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：x22x30经过思考，他给出了下列解法：左边因式分解可得：（x+1）（x3）0，或，解得x3或x
9、1聪明的你，请根据上述思想求一元二次不等式的解集：（x1）（x2）（x3）0【解答】x3或1x2【解析】由题意知x1、x2、x3中负数的个数为偶数个，则，解得：x3；，解得：1x2；x3或1x213在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x1）（x9），乙同学因看错常数项而将其分解为2（x2）（x4），请你写出这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解【解答】2x212x+182（x3）2【解析】甲：2（x1）（x9）2x220x+18，乙：2（x2）（x4）2x212x+16，甲同学看错了一次项系数，但没有看错常数项，乙同学看错了常数项，但没有看错一次项系数，原
10、多项式为2x212x+18，将其分解因式为：2x212x+182（x3）214我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式a2+6a+8a2+6a+91（a+3）21（a+3）+1（a+3）1（a+4）（a+2）请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）x26x27 （2）x22xy3y2【解答】（1）原式（x+3）（x9）；（2）原式（x+y）（x3y）【解析】（1）原式x26x+936（x3）236（x3+6）（x36）（x+3）（x9
11、）；（2）原式x22xy+y24y2（xy）24y2（xy+2y）（xy2y）（x+y）（x3y）15找出能使二次三项式x2+ax6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解【解答】见解析【解析】x2+x6（x+3）（x2）；x2x6（x3）（x+2）；x2+5x6（x+6）（x1）；x25x6（x6）（x+1）16先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目分解因式：x4+4x4+4x4+4x2+44x2（x2+2）24x2（x2+2x+2）（x22x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项按照这个思路，试把多项式x4+x2y2+y4分解因式【解答】见解析【解析】x4+x2y2+y4x4+2x2y2+y4x2y2（x2+y2）2x2y2（x2+y2+xy）（x2+y2xy）