《2021年高考数学考点31数列求和必刷题理【含答案】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学考点31数列求和必刷题理【含答案】.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点3 1 数列求和1 .杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡(1 6 2 3 一1 6 6 2)是 在 1 6 5 4 年发现这一规律的，比杨辉要迟3 9 3 年，比贾宪迟6 0 0 年。右图的表在我国南宋数学家杨辉1 2 6 1 年所著的 详解九章算法一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就。如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,1 0,5,，则此数列前1 6 项 和 为()A.1 2 0 B.1 6 3 c.1 6 4 D.1 6 5C【解析】考查每行第二个数组成的数列：2
2、34,5，归纳推理可知其通项公式为以=“+1,其前8项 和 第=8 x 2 +*x l =44;每行第三个数组成的数列：L 3 6 1 0,归纳推理可知其通项公式为G =兰 坦=?晨+),其前8项和的=i x+注*=120,据此可得题中数列前16项和为120+4 4=164.本题选择C 选项.2 .对于函数y =/O),部分%与丁的对应关系如下表:X123456789y375961824数列 4 满足：4=1,且对于任意“6N*,点(/，4+1)都在函数y =/(x)的图象上，则X1+x2 T b 尤 2 0 1 5 =)A.75 5 4 B.75 4 9 C.75 4 6 D.75 3 9【
3、解析】由题意可知：f=3,/(3)=5,/(5)=6,/(6)=1,f(l)=3 ,点(Xn.%+14 B在函数y=f(X)的图象上，则：%2=1,%=3,Xj=5,X4=6,*5=1=%,则数列 打 谴 周期为4的周期数列，由于2015=4 x 503+3,且为+x：+x3+x4=15,故犬 工 +x2+,+x；015=503 x 15+(1+3+5)=7554.本题选择/选项.3.已知%是等差数列，/(X)=X2 _ 2X+1,%=f(x+l),。2 =2,a3=/(x-l)o(1)求数列%的通项公式与；(2)若%单调递增，且 册 的前几项和%1 0。，求n的最小值。(1)见解析；(2)1
4、 1(1)设公差为d,=f(x+1)=0+I p-2(x +1)+1 =,a3=f(x-1)=(%-I)2 一 2(%-1)4-1 =x2-4 x +4因为%+%=2 a 2,a2=2 得%2 +x2-4%4-4 =4,解得=。或%=2,当 =0 时，Q =0,。2 =2，=4,d =2,an=2 n-2,当 =2 时，Q =4,%=2/3 =0 d =-2,a =-2 九 +6,(2)若 单 调 递增，则d0,%=2-2,0 +2 九-2Sn=-n=n(n-1)(n 1)1 +J 4 0 1 1 +J 4 0 1,、n-1 0 -1 0 0 解得 2 (且 2 ),所以 的最小值为1 1.4
5、.已知等差数列%的公差为4 且关于x 的 不 等 式%,-五-3 2)又因为A *-2,且=1,所以数列“提 以1为首项，2+2为公比的等比数列，故a：=A+2,a?=(2+2尸,由题知 8&=3a1+aJ+13 所以 8。+2)=Q+2/+16,整理得万一 4入+4=0,解得入=2所以册=犷-1因为%=log,an+1，gp4n-1-&n=log44n,所以bn=-h，则北=1+/+“+票+寿7,43U)段,1 6 4 +3 T r所以 n 9 _ 9 X 4 T,又 n N*,f 1 6所 以 (瓦6.已知数列 an 的前n 项和为Sn,a =2,且满足an+1=Sn+2n+l(n N*)
6、.证明：数列J 为等差数列；(2)求 T fS 1+S 2+S m(1)见解析；7n=2 +S-l)2 i【解析】(1)证明:由 Snl-Sn=an+1 得 Sc*l-SB=Sn+2Al，即 Sn*l2Sn=2A2n+ir2n+i,-得-T q+22+253+1,整理得 Tn=2+(n-l)-2B+1.7.已知无为数列/)的 前 项 和,且 4 ,6 S”=端+3%+2,n w N*.(1)求数列%J 的通项公式；(2)若对VneN*,求数列 的前2 项的和72 n.(1)%=3 n-2；T2n=lQn2-3n【解析】(l)6Sn=as+3a+2,neJV*.n 2 2B寸,6册=6%一6 5
7、 1 =若 +3/+2 _(*_工 +3册_2+2),化为：(册+/_ 3)(/_册7 _ 3)=0,册 0,二 an-an_i=3,n=Ifl寸,6al=a；+3%+2,fiax 2 +?i 2”+i两式相减得，-04=1.21+1.22+.+1.2 -小2+1 =2 1-2-八2+1 =(1-兀)2“+1-2.-.Pn=(n-l)2n+1+2.-.f tn +1=(n-l)-2n+1=(n-2)-2n,n 2；又 与=-2 也符合，bn=(n-2)-2n,n w N*,即 与=n.2 -2 +N*7.=4 +/?2 H-F b”=1 21+2 2?H-F n 2”(2?+2 H-F 2n+
8、，=P”-(2 +2 _ 4)=(n-I”+1+2-(2 +2 _ 4)=(n-3)2 +1+69.已知各项均为正数的数列&的前项和为S n,且熊+2%=4S”.(I )求与；_ _ _ _ J-(II)设 =(诉不1+4,求 数 列 九 的前n项和7n.12 1-/(1)九+/(2)的+1【解析】由题意得1,两式作差得(册+工+an)(an+1-an-2)=0,n+i+2 an+1=45n+1又数列 册 各项均为正数，所以小+工-a n-2=0,即笃+工一册=2当n=时,有a；+2ax=4s l=4的,得a 式%-2)=0,则=2,故数列 册 为苜项为2 公差为2 的等差数列，所以又=nA+
9、殁 0d =屐+n(m-L=_i-=四之 一 士bn(V n+1+v n)vn(n+l)、F v/n+I所以耳=优 H=毙 式 a-集 i)=1-焉10.在 A 4 B C 中,角 4 B,c 的对边分别是a,b,c,且满足后+c?=儿+a?(1)求角”的大小；(2)若等差数列 4 的公差不为零，。正如4=1,且a Z,a%成等比数列，求%品+的前n项和产y r nA=-(1)3 n+1【解析】(1).炉+c，=b c+a。，.c+二a=爱=J c o s A=：又4 e(0m),.*=3(2)设 a 工的公差为d,由已知得A=2,且a；=f l;a8,.(2+3d)=(2+c f)(2+7d
10、).又d 不为零，；.d =2,.an=2n,4 _ 1 _ _ _ _ 1_ n(n+l)n n+1.,.Sn=(1-+-+-(-)=1-=2Z v2 3y%n+ly n+1 n+11 1.已知等差数列 a 中，2a 2+43+25=2。，且 前 10项和&()=100.(1)求数列 a 的通项公式；1 若bn=anan+1,求数列 小 的前n项和.n(l)an=2n-l(2)Tn=2 n +l(1)设等差数列 a n 的首项为a i,公差为d.(2a2+Q 3+Q 5=4。1 +8 d =2010 x 9 (a=110%+-d=10a.+45d =100?：由已知得I 1 2 1 解得Id
11、 =2所以数列 a#的通项公式为an=l+2(n-1)=2n 1.1 _ 1(1 1)(2)L 二(2n-l)(2n+l)=22n-l 2n+l),1 1 1 1 1 _1(1 n所以-2 V 3+3-5+2n-l-2n+1)-2 2n+l)2n+1.1 2.已知数列%的前兀项和为S%向量0=品 2)1=(1,1-2)满足条件 B(1)求数列%的通项公式；nc 八(2)设%,求数列 c j 的前几项和7n.%=2Tn=2-(n e W +)2)2nt解析】：.Sn=2n+2-2当九=IB寸,Q工=51=2当九2 20寸，an=Sn-Sx=2n,而=S =2满足上式：.an=2n.乙畤:勿=*+
12、自+素两边 同 乘，得/=三+g+“+篝 +岛，两 式 相 减 得：.F =2-丁 5叫).13.记S”为等差数歹“%的前n 项和，已 矢 口%=-7,53=-15(I )求色”的通项公式；(II)设%=2 .%,求数列 0 的前n项和心.(1)%=2n-9；(2)7n=(2*1 1).2 +】+22【解析】(D:等差数列%中，a 7,S 3 T 5,.,.a i 7,3a i+3d 15,解得 a i=*7,d=2,.,.a i 7+2(n-1)=2n-9；(H)由 bn=2-(2n-9),利用错位相瀛法，7；=(-7)-21+(-5)2:+(-3)23+.+(2n-11)-Z71-1+0,
13、A H 11(1-X)2(I )因 为%+1+S n=%i i,所以当“2 2 时，S n+S n-i=a：,-得：an+l+an=A anll-A an,即 时+1+与=+1+与)(%+1 一 5),_ 1因为 册 的各项均为正数，所 以%+1+%0,且；1 0,所以即+1由知S二+5】=久0。即2a工+的=2近，又因为所以。二=彳.所以。二一%=X *A 一故册+1一 册=：5 6胪)，所以数列 5 是首项为:，公差为:的等差数列.X A所以a”=j +(n-l)j =j.(H)由(D得册=p所以b n=n-T,所以 7；=1+22+3笛+(n-1乂 y+nA-1,Tn=A+2A2+3A3
14、+-+(n-1)/171-1+nAn,一 ，得(1-簿 兀=1+-+箝+胪-0,当2 0声X 10寸，(1 7加=*-叱，解得=谷一”；工 一 人 (1-X k 1-x当2=出 寸，由得7；=l +2+3+5-l)+n =*F 2=综上，数列电)的前畋和7；=J (1-2产1 5.数列%中，s”为前 项和，且2s“=na”+0 ie N +)(1)求证：%是等差数列九+2(2)a2 =2bn =-Tn若册%+12 是 的 前n项和，求7n11-(1)见 解 析(2)2n(n+1)(1)证明：2S；=2,+n(nl)2 y i=S T%+6 7 6 2 2)两式相减，24=4+M-a-l)&T-
15、(M-l),:.(n-2)an=O-D 0i+1(2 2)5-1)%=网.+1(谑1)相减得:(nT)4M 加=_(M-IM1T2(n-l)的前n项和又=2 +2 n+3 求 与;(2 )求7n=2%+2-1 +-+21,an(1)a n =(2 n-V n 2 .1 3x 2n-4n-1 0【解析】(1)Sn=n2+2 n+3当？i =I B寸5%=51=1二 +2 x 1 +3=6.当九 2 0寸，an=Sn-571T =n2+2n+3 (”-l)2 2(n 1)3=2解-1 +2 =2舞 +1,故 a n=dL(2)7；=2n-6+2n-1-5+2n-=-7+2)(2 n+1)，2Tn=
16、2n+1 6+2“5+2 -1 7+2n-:9 +2=(2 n+1)(D,-得A =2n+1-6+2n-5-2n-6+2(2 i +2-=+.+2=)-2(2 n+1),TR=l l x 2n-4 n-2 +(2n+2n-1+23)=llx 2n-4 n-2+n =1 1 x 2n-4 n-2-23+2n+1=1 3 x 2n-4n-1 0.1-21 7.己知数列%1 的前n项和又满足：R.=。(用-，+1),(*为常数,a 0 0,a 力1).求 4 的通项公式：(2)设 =%+S%若数列%)为等比数列,求力的值；Q“+1在满足条件(2)的情形下，“(册+l)&+i+1),若数列%的前n项和
17、为方,且对任意的T 2 时,57 1T=a(S g-f ln-i+D,an=a(Sn-S)一。册+aa”7,an=。3且。h 0,a 工 Lan-l二数列a j 是以a为首项,a为公比的等比数列/.n=(2)由bn=an+Sn得力2=23二=2。二-。也=2。3-出-久因为数列 4 为等比数列,所以bj=b3&2标-(1)-=2(1(203-0二-a)解得a=之+,G)+，=(3)由(2)知c”=广+:七 厂*J=l；.：+I ll；,：-.+i/n =所以4=目-号 +-3+金-?1=r7 7 T p所以;公差为d(d0),由已知得：a2(2 a7-8)=(a4+2)2；化简得：d2+4 d
18、-1 2=0,解得：d=2 或d=-6 (舍)，所 以%=a i+(”_l)d=2 n+2.(ai+an)n(2 n+6)2Sn=-=-=n+3n(2)因为 2 2 ,1 1 1 11b-.=-=-=-所以 Sn+2 M+3 n+2 (n+l)(n+2)n+1 n+2,所以7n=。1 +与+卜3+或=朋)+层)+(泊+”岛-总1 1 _ n=2 n+2 2 九 +4.1 9.Z 为数列 的前n项和.已知外 0,吊+2%=4S”+3(I)求 3 的通项公式：bn=1(H)设 anan+l,求数列 的前项和n(I)%=2 n+l.)3(2。+3)【解析】(D由 若+2即=4Sn+3,可知a*+2册
19、+1=45升工+3.可得a；+i-a；+2(an+1-a)=4an+1 即2(an+l+an)=an+l an=(an+l+fl)(fln+l-fl)由于册。可得册+2-a,=2.又a；+2&=4勺+3,解得&=-1(含去)，4 =3所以 册提 首相为3,公差为2的等差数列，通项公式为a”=2n+1.(n)由册=2JI+I_ 1 _ 1 _ 1 1 1bn=ana+1=(2=+1)(2.+3)=2(2n+1.2n+3)设数列仍“的前n项和为北，贝”Tn=bA+b2+-+bnlr 1 1 11 1 1=o r)+(r -7)(7 彳)3)2 3 5 5 7 2 n 4-1 2 n+3n 3(2
20、n+3)*_ 1 _ 52 0.已知各项均为正数 的 等 比 数 列 的 前 兀 项和为S，“1 4,03+05-64.(1)求数列 册 的通项公式；设n（2 i-l S n,求数列独”的前n项和G.2 n+2 _ 4 乐=2一】；（2）2】-1t 解析】a）设等比数列 斯 的公比为q,因为勺=：,a3+a5=3所以;q，+；q =3故q，=，所以q =匕4 4 0 4 4 _因为册 0,所以q =；,所以 an=：x G)T =2-nT.(2)由(1)知册=2-*工，因为所以5n=斗 并 =5(1 -因为 b n-(2 0+1-1).、，所以b n -22n-l 2n+1-l f所以4 =2
21、(-+-+-)力 1/n 匕虫 22-1 22-1 23-l 2n-l 2n+l-V1 2n+2-4=2(1-)=-2n+1-1 2n+1-l.2 1 .等差数列&中，%=3,其前兀项和为%,等比数列 勾 的各项均为正数，%=1,公比为q(q H l),且 +Q2 =1 2 -q,S2=b2-q(1)求“与与；ai(2)求数列6nJ 的前n项和7n.2n an=3 n,b n=3 T；(2)3(n+1).【解析】（D等差数列 的公差为d,。1+。=1 2-q,S1=b.q,d=6-q,1 2-q =b,q.整理得：q，+q-12=0,解得：q=3或q=-4 （舍去），1,d=3,册=3 +3（
22、九一i）=3%=371-（2）数列a j前n项和为又，s”=誓 必=巴 卫，=x 1sn 3 n（n fl）3 xn n+i/?数列因 的 前n项和4Tn T（1-9 +G-；）+G -3 +G -也）4（1-京；）=就 谭 列 目 的 前 倾 和 心=肃2 2.已知数列 册 的前n项和为S%且%+1 =2 +S”对一切正整数八恒成立.（1）求当%为何值时,数列 4 是等比数列，并求出它的通项公式；,anbn=-（2）在（1）的条件下，记数列（%+1 +1）（%+1）的前n项和为乙,求7n.1 1 “=2 ；（2）2,+1+1【解析】由M+i=2 +5n得：当 哙2时,a=2 +5.v两式相减
23、得：an+i=2an,因为数列S 为等比数列，所以的=2%,又因为a：=2 +5)=2+&,所以解得：=2,得：an=2,_ -口 _ _ _ _ _ _ _ _i_Ln-(l+2n)(l+2n*1)-l+2n l+2n*1【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：2)7 =认 后 时 一 而)；3)-4)=；(*一矢);),则旬b的最小值是5 +2小根据题意，由已知得：a3 +a2=3 aS +a4=-5 -a2 O 1 7+a2 O1 6=_ 2 0 1 7,把以上各式相加得：S2 0 i 7-ai =-1 0 0 8,即.Q 1 -1 0 0 8=-1 0 0 7 -b,=2 3 ,2 3、，,2 6 3 a l 12b 3 a l -F 7 =(T)(%+b)=5 H-F 5 +2-=5 +2 /6,则 的 b%b%b 晒 b2 3+T即 向 b的最小值是5+2他故 5+2册.12 5.定义 1+2+”+”为九个正数内/2，“力”的“均倒数”，若已知数列%的前n项 的“均倒数”为2+1,a,.+1 1 1 1b =_ _+-+-=又 4,则无与 b2b3 20172018.20172018