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1、考点2 8 数列的概念与简单表示法4n1.已 知 数 列 满足%+2a2+3。3+%=（2-1）-3 八 ,设 bn=%,S”为数列 九 的前n项和.若（常数），n G/V*,则;I 的最小值是（）3 9 31 31A.2 B.4 c.1 2 D.1 8C【解析】:k +2a二 +3a3 H-F nan=(2n-1)-3n 当n N时,类比写出+20+3a?+(九一1)%1T =(2.-3)3nT由得 nan=4n-3八 一1,即册=4-3n-1.当九=1B寸 Q2=3工4,3 n=1._(I-a-(4.3-1 n 2,b n 3gn-1?Z =1n 2S=3 +3+ft+号 =：+小/今+号
2、 _31 6n+9 315n=12-4-3 12Sn 0，%+12=45+钠+1,若不等式钿2-8 几+3 0,所 以%+1=%+2,即与+1-%=2,所以数列 册 表示首项%=1,公差为2 的等差数列，所 以%=2 n-l,又由4n2-8n+3 (5-m)2n-%,即4n2-8n+3 (5-m)2n-(2n-1),gp(2n-3)(2n-1)(5-m)2n-(2n-1),即(2九-3)-即 2 n 对任意的正整数恒成立，2n-3 2n-1 2n-3-2九 +5b n=-b v b=-=-r设 2,.则 n+1 2 +ii 2nn 2n +1,1所 以%“与 久 ,-m 0凸=1,n+2 册+
3、1 1 0 0%,则 0 20 1 8+%=（5 H-y S /5 1+/5A.2 B.2 C.2 D.2C【解析】品,二=:彳)f l100=0 9 6整理得说6+a”-1=0,解得。96=二7 或。96=三 二，0,a20 1 8-1+g2-.1 _-1+反 _ 1a96+l =-2，a i 0 0 =a98+l-1+/5 1 y/5+ci o =-F-=3 2 2 21+非 _ 1 _ -1+7 5F y 20 1 8=T7 =Q2。20 1 6+1 2故选C.6.一给定函数y =/（久）的图象在下列四个选项中，并且对任意 e（，1）,由关系式%+1 =%）得到的数列%满 足%+1 a.
4、则该函数的图象可能是【解析】由题对于给定函数y=f(x)的图象在下列四个选项中，并且对任意对 e(0.D,由关系式即+工=f M得到的数列/满足娱1V 时.则可得到f(an)%,所以f(a J 在v%e(Q,D上都成立，即v x e1),f (x)x,所以函数图象都在y=x的下方.故选：A.7.在数列 册 中，若%=2,且对任意正整数m、k,总有%n +k =&“+%,则 册 的前n 项和为S”=()n(n+3)n(3n+1)A.(3 n-l)B.2 C.n(n +l)D.2递推关系 +卜=+佻 中，令k =l 可得:m+l=am+al=am+2,即。加 +1 -am 2恒成立,据此可知，该数
5、列是一个首项%=2,公差d=2的等差数列,S=na其前 项和为n(n-1)n(n-1)x 2=n(n+1)本题选择C 选项.8.已知数列 册 的首项出=1,且 满 足%+1-，=(-5)(，+),如果存在正整数n,使得(%-认+1 -。成立，则实数，的取值范围是C【解析】由题意n 2 20寸,册=%+(a：-aj +(1-&)+.“+(a-an_ J =1 +(一：)+(-：)+(-)n-1=2(-$*，由(M2)(册+2 2)0,即(2-an)(A an+1)0,.a:k A a：k-i且a=k A a;fc+I,k&N*,a：k=1 -(-：)”=：(1 一哀)，其中最小项为=，1一：)=
6、与a2 k-i=:1 一(一 ：)-=：(1 +品0,其中最大项为A =1,因此：A 1.故 选C.本题考查累加法求数列的通项公式，考 查“能成立”问题，当已知%+1-册=/(=)时，一般用累加法求通项，即%=%+(。2-%)+色3-。2)+”,+(%-%_ ),“能成立”问题：存在 X使 则m /(x),则叫“恒成立”问题：对任意X不等式m /(乃 恒成立，则加9.(20 1 7 保定市一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当X W 0 时，/W=x(l-x),若数列%J 满足_ 1 =1出=2,且%】一 鼻，M(aQ=()A.2 B.一 2 C.6 D.-6C【解析】由明+1=六可得
7、册+:=上 一i-a”故a“+2 =产=言=册，因此 金提周期数列且周期为3,1-n-T又=a：=*_ r =2 ,故f(a Q =/(a,)=/(2)=-f(-2)=6,故选 C.1 0.已知数列%的前项和为又)且满足+5S”，则下列说法正确的是(A.数列|册 的前项和为Sn=5n C.数 列Sn为递增数列CB.D.1数列%的通项公式为时 5n(n+数列 册 是递增数列方法一：Van+5Sn-iSn=O,Sn-Sn.i+5Sn.iSn=O,0#0,.1二 专 是 以5为首项，以5为等差的等差数列,n.5+5(n-1)=5n,当 n=l 时，ai=1,当 屯2时,4 F-S n】唱 一 肃 嬴
8、 三p,_ I，n=L.%=25n(7i-iz 故只有C正确,方法二：当口=1时，分别代入A,B,可得A,B错误，当口=2时，及+5ai(ai+ai)=0,即&中*aE),可得 一。故D错误，故选：C.1 1.设四C”的三边长分别为力”,0,的面积为S/i =1,2,3,，若%+R =2%,4 l=_%+4 _ 九+%bn+L c +】=,则()A.U n 为递减数列B.J为递增数列C.甘2-1 为递增数列，甘2 为逆减数列D.S 2 d 为递减数列，甘2/为递增数列B【解析】由加+尸加可知A B C口的边BnCn为 定 值a】由bn*i+Cfti_ 2ai=7（6n+cn-2a1）J5,bi
9、+ci=2ai得bn+Cn=2ai,则在Aa&Ce中边长BeCn=ai为定值,另两边AaCn、AaBn的长度之和bnrn=2a为定值,由此可知顶点An在以Bh、Cn为焦点的椭圆上才艮据卜1-仁+1=-：（九一），得昆-q=（-：）八-，（瓦一 G）,可知n-时悦一勒，据 此 可 判 断 的 边BnG的高上随着口的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案.bi=2a】-ci 且 b i c 12ai-ci ci 二ai ci,.,.bi-ai=2ai-ci-ai=ai-c i 0,.b i a i c i,又 b i-c iV a i,.2ai-ci cjai .c工 B，由题意,3 Hn，.b
10、n7+CLl-2加=：（b a+g-2%），bn+Cn 2an=0,bn+Cxi=2aa=2ai,bn+Cn=2ai,由此可知顶点人在以&、Cn为焦点的椭圆上，又由题意，bn+1-Cn-l=Cn,b n,为 计 工 一（2。工 一 bn+工）=:，=ai bn,.bn+i-ai=4（tii-&n）,.,.bn-ai=（-7）n-1,；也=i+（&i-0）故选：B.12.设%为各项不相等的等差数列 册 的前n 项和，已知a3a5=3。7,3=9（1）求数列%的通项公式;1设为数列 册时+”的前n项和，求n%=。+1；2(n +2).【解析】等 差 数 列 或 的前n项和，已知2325=317,S
11、3-设 刖 的公差为d,(aj+2d)(a1+4d)=3(a1+6d)3X 2一-3a1+257Ad=9则由题意知I 1 2 d=0(d=l解得5=3(舍 去)或 ai=2,;4=2+(n-1)xl=n-1.1 _ 1=1_0八&d (n+1)(n+2)n+1 n+2T _J U_+彳 1 一 ()+)_+(二_)_ 二 _ _ 一 二 一.n-a1a2 a2a3 anard-l 2 3 3 5 n+1 n+2；2 n+2 2(n+2)an+an+21 3.若无穷数列%3 满足：对任意n e N*,-2 a-,存在常数比对任意n e N,则称数列 册 为“T数列”.(1)若数列 册 的通项为%
12、=8 -2(C N),证明：数列 册 为“T数列，；(2)若数列 册 的各项均为正整数，且数列%为“T数列”，证明：对任意M6 N,an an+1,(3)若数列%的各项均为正整数，且数列%为“T数列”，证明：存在数列 程。+为等差数列.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（D证明：由册=8-2%可得册+:=8-2+=,册+工=8-2n+3：.an+an+z-2an+1=8-2n+8-2n+-2（8-2n+1）=-2 0,.对任意n N,9产 三 册+又数列m为递减数列，二对任意 nN*,anai=6.数列&为“T数列1&-1.由数列 加 的各项均为正整数，可 得 哈a
13、w+l.由立髻“三a m，可 得a.回融.一0 2（我 一 D-3=a-2.且 ak-i2ak*i-ak2ak*i-业-:=我-1 同理 ak-jak-i-2依此类推，可 得 对 任 意 有4七ak-n.因为业为正整数,设*=m,则mN在 a士3k-n中,设n=m,贝aiWO.与数列an的各项均为正整数矛盾.丁.对任意 nN*,atan+i;（卬）,数列 为灯数列，.存在常数M,对任意nN*,anM.设 MEN：由（II）可知,对任意n N*,an an+i，则 WanWam n（）,有m一 二。.对任意 n G N*,%+1-%+-.二存 在 n G N*,数列,为等差数列.1 4.若数列&
14、是公差为2的等差数列，数列也 满足=1,与=2,且 与+九=也 1.(1)求数列&,他 的通项公式：册+1nn()cn=-(-i)na rn+(2)设数列 J 满足 九+1,数 列 的 前 n 项和为右，若不等式 2“T对一切n e N*恒成立，求实数乂的取值范围.(2)(-2,3).【解析】(1).数列 b j荷足比=L%=2,S.anbn+bn=nbn+1.n IB寸，ax+1 =2,解得=1.又数列 册 提 公 差 为 2的等差数列，.,.an=1 +2(n 1)=2?i 1.：.2 nbn=nbn 1,t 2 bn=dn+1,数列%建 首 项 为1,公比为2的等比数列.：.bn=2n-
15、x.“+券，两式作差，得11-1 1 1 1 n 2n n n+2 Tt1=1+FH-=-=2-2 2 22 2 I 2”2n2,n 2(-1)M T+-(-1),!A 4-不等式 2人1 化为 2”】，,2入 V 4-n=2k(AwN*)时,2n：取几=2,.2 3.,2 入 -2.综上可得：实数2的取值范围是(-2,3).1 5.设数列%的前九项和为S%且%=1，%+1 =25.+1,数列 如 满足%=%,点。(与瓦+i)在x-y +2=0上，n eN(1)求数列 册,的通项公式；G =4_九十 22”1bnC 九=(2)设 时,求数列 7 的前n项和7n.n+1n _ 1 3-%=3，3
16、 T.【解析】(D由册+I=2S”+1可得册=25“T+l(n 2),两式相减得/+工-4 =2册,an+1=3an(n 2).又a=25工+1=3,所以的=3 a l.故。工是首项为1，公比为3的等比数列.所以册=3-，由点PSn.bn+工 电直线X-y+2=0上,所 以 瓦+1 -%=2.则数列 九谴 首项为1,公差为2的等差数列.则b=l+(n-l)-2 =2 n-l(2)因为C n =F =会，所以A=a +a+“+L t”o 0 n n o则,2 n-3 ,二T i-l n-十-,2 -i 2n 2 2 2 2 2 n-l-Tn=l+-+-两式相减得：3 3 32 3”1 3nT=3
17、_ _1_ _ 2八 1 _ 3 ”+1所 以 2.3n-2 2-3n-1 3 I1 6.已知数列 a j 满足%=1,且%=2%.1+2(”2 2*6/7)(1)求证：数 列 是 等 差 数 列，并求出数列 册 的通项公式;(2)求数列%J 的前兀 项和.(1)%=(2 1)2 1；(2)Sn=(2/?3)2+3.?.,?2 iln I +2 1 I【解析】(1)证明：因 为&=2 公 i +2,所以牙=-亍-=k+1,生&I .%I 他 1 士 1 1即一 广 二1,所以数列l 2”J 是等差数列，且 公 差d=,其首项彳=5,所以梦=5+5-1)X 1=-5,解得 b l=(，z-x2=
18、(2?!-1)2 L(2)SH=1 x2 0+3 X 214-5 x22+.+(2 n-1)x2 1，2 Sn=1 x2 +3 x22+5 x23+.+(2 n-3)x2 1+(2 九一1 2”,一，得 一%=1 x2。+2 x2 1 +2 x2 2+2 x2 1-(2 n-l)2M4 X 1-2”=1+P 2-(2 n-l)2=(3-2 n)2,-3.所 以&=(2-3)2+3.2J.1 7.在数列例 中，1 =1,当“2 2 时，其前八项和$嘴 足 S”一即d 一?)b _ S n 求 与的表达式；设“-2 九+1,求 九 的前九项和1n(1)2 n-1 2 n +1(1)V 麴=5S,T
19、(2 2),；.=(SSLI)N 即 2 T=&T,j_ J_由题意得ZT&WO,式两边同除以Z-i S“，得瓦一S i=2,数列 3 是首项为/=5=1,公差为2的等差数列.1/.&f=l+2(z?-1)=2/7 1,/.5 =2 n 1._i_ _ M；勿=2+1 =(窃 1)(2+1)=八2 1 2 n+l J,i i ii G _L J.勿=四+灰 H-bn=1 (1 3)+(3 5)H-F(2M1 2M+1)=2 k 2 n+l j=2 n+l.1 8.在数列&中，已 知=1，。2 =a 仪+2 =a“+i +6 0n.(1)若%+1 +4%是等比数列,求4的值；(2)求数列 4J
20、的通项公式._ 2x3”(-2)n T(1)-3 或 2 5 5【解析】(1)设等比数列(册+)+船口 的公比为q,则册+2+，册+1=Q(an+1+/)，整理得册+2=(q-2)f ln+l+雨On，又 an+二=an+l+6M,.fq-a =1.I雨=6解得2=-3或2=2.由 得，当-3 时,q=-2,此时数列。+1-3册 内 等比数列，.1.an+i-3*=Q -3al)(-2尸=(-2 尸，当a=20寸,q=3,此时数列%+a+2每为等比数列,：.an1+2an=(a2-2%)3-1=2-3n,-得-5册=(-2)-1-2-3%2X3n(-21*.ann=-.5 51 9.定 义“等
21、积数列”，在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列卜1 是等积数列且%=2,公积为1 0,则a2 0 1 8 =.5已知数列 册 是等积数列且=2,公积为i o,可得。2 =5 8 3 =2,。4=5,。5 =2”，由此奇数项为2,偶数项为 5,所以。2 0 1 8 =52 0 .设环表示正整数n 的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列%的前n 项和为%,那么 6 3 的值为.7 1 4t 解 析】由 已 知 得，当 兀 为 偶 数 时，an=a n当“为 奇 数 时，专.结 合 所 求$6 3,构造2=4+
22、%+&+%+亚-1,通 过 递 推 的 方 法 求 得 工“_工=21+，犷-工一：，然后可得563=_ 1 =25+-45-=7 1 4.由已知得，当n为偶数时，册=犯；当为奇数时，。”=.2.S jc.i=a1+a：+a?+04+.*.S2n*l-i=a1+a?+a?+aa+。二”+1_J=+。3+。5+a 二 n+l_i)(a 二 +04+*+02”.1_二)=M(+1+,1+3+,1+5+,l+2n;*l-l;+,(i+,、G+0”T)=(1+2+3+2)+(a+g +a3+(1+2n)2n=2 S”_【=：(21+4n)+5”_”1S2n+1=-2(2时,%+i+%-1=2(4 +1
23、),则&的通项公式由 4 +1 +Q九 _ =2(/+1)得/+1-an=ann_i+2(n2)又a 2+。工=2(&+1)=10,=14+=30,二。4=16.又a A+g =2(A3+1),。3=9,。工=1 。二 一=3,.数列。计】一册提首项为3,公差为2的等差数列，.an=3+2(72-2)=2n-1(”2),.,.当n 2 2a寸，an=(an-art_j)+(an-i-n-2)+-+(0-i)+%=(2n 1)+(2n 3)+.+l=九又。工=1满足上式,.an=n2(?6 iV*).答案：23.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为
24、神奇数.具体数列为：W,2,358，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相.邻数字之和.已知数列4 为“斐波那契”数列，S”为数列 册 的前兀项和，若。202。=，则$2018=.(用 表示)M-1 数列为：1,1,2,3,5,8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和Q+2=+1=+几 一1+八=Q”+Q/i-1+九 一2+九 一1=+n -1+”八 一2+一3+0打 一 2=。鹿 +a八 -i +a2+a九 _ 3+a?+1则52018=。2020 _ 1=M _ 1故答案为M-l2 4.已知数列%)满 足:%-(T)4-i =(n N2),记%为&的前n 项
25、和，则5 40 =440【解析】由品 一(一 1)册-1=n(n 2)可得：当n=2助寸，有a -1工=2k,当w =2k 1 时，有aT+a:k_z=2k-L,当兀=2k+1 时,有a”+i+a2k=2k+1,乂有：a*+a2fc-2=4k 1,-有：a二+Q T=1，则:S4o =(a 1+0 3 +0 5+。？+a”)+(a?+a+%+Q4o)=1 x 10+(7+15+23+-)10 x9=10+7x10+-x 8=440故答案为：440.2 5.若数列GJ满 足%+1 一%)=+S +”9(1 +3 且%=1,则%。=3 0 01 1+l-an)=an+(n 2+n)(i +-)“产册+1-5 +1)册=(层+?1)3(1 +_)由 九，则 n fan +1 an n 4-1H n 7-=ig-=g(九 +i)-S即九+1 /n,aioo za100”99、尸99。98、-=(-)+(-)所以 1 0 0 1 1 0 0 997、99 98,+碍-?)+%=(。0 0 -匈99)+(服99-S98)+(服2 -Igl)+1 =IglOO 4-1 =3,所以Q1 0 0 =1 x 3 =3 0 0