《2021年高考数学考点67坐标系必刷题理【含答案】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学考点67坐标系必刷题理【含答案】.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考 点6 7坐标系1.在平面直角坐标系中，将曲线口向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,1纵坐标缩短为原来的2得到曲线0 2,以坐标原点。为极点，有力的正半轴为极轴，建立极坐标系，G的极坐标方程为p=4 c o s a.(1)求曲线0 2的参数方程；(2)已知点M在第一象限，四边形M N PQ是曲线的内接矩形，求内接矩形M N PQ周长的最大值，并求周长最大时点M的坐标.(x=2cos6 空雪 I y=sine(2)4也，5,5【解析】(1)由。=4cosa得p：=4pcosa将代入，整理得曲线G 的普通方程为(x ZL+p =4,设曲线CJz的点为(Z/),变换后的点
2、为(x.y)由 题 可 知 坐 标 变 换 为 I；,即，代入曲线Q 的普通方程，整理得I J e)J曲线G 的普通方程为?+*=1,二曲线G 的参数方程为匕；;鬻(&为参数).(2)设四边形MNPQ的周长为1,设点M(2cos8.sin8)(D 0 p ,I=8cos6+4sin0=4y5(cos0+sinfl)=4 5sin(0+p),且cos(p=sin(p=,n(P 0(p -+(Pnv 0 0 -27 T szn(-+(/?)sin(0 4-p)1 max=44.9+(p=_,3=且当 2时，/取最大值，此时 22cos0=2sin(p sinO cos(p=M()所以，再 也 此
3、时 5 5；2.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xy中，圆 好 +y?=2：(x=2x,经过伸缩变换卜=技 后 得 到 曲 线 0 2,相互垂直的直线4、G 过定点P(1,O)1 1 与曲线C?相交于4、B两点，G 与曲线,2 相交于C、。两点.(1)求曲线C 2 的直角坐标方程;(2)求IP川|PB|PC|PD|的最小值.-1=1 ,8-6-(2)(-2,2)【解析】(1)由y=息 可 得XX=：，)，=生 1 3将 上 式 代 入 犬+尸=2,可得到曲线J的 方 程 为?=1.9 b(2)设直线工的参数方程为F 然:(t为参数)，代入方程+匕=1,整理得(3cos%+4sin，
4、a)t2+6tcosa-21=0,8 6设 人 3两点对应的参数分别为J，J,贝 上】二二4smM所以|P川|PB|=他 也|=3cos2a+4sin2o r3+sin2o r同理|PC|PD|=3+COS2C T故|PA|PB|PC|PD|=_(3+cos2cr)(3+sinza I 12+sin2crcoszC T工+桂展二a当s in 2 a=l时，上式取得最小值为36.所以|P川|PB|附|陷|的最小值为36.3.在平面直角坐标系xo y中，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线G:x2+y2-1,直 线/:P(c o s6-sin e)=4.(1)
5、将 曲 线G上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、G倍后得到曲线。2,请写出直线，和 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程；若 直 线4经 过 点P0,2)且/,4与 曲 线。2交 于 点,N,求 归 闾 归 叫 的值.”V1 2(1)X y=4 9-F =1 ；(2)2.4 3 因 为/:P(c o s8-sin e)=4 ,所 以/的 直 角 坐 标 方 程 为x y=4；设 曲 线G上任一点坐标为(x,y)，则 xf=2xy=y3y所 以 XX-2y代 入 方程得:”V2所 以G的 方 程 为:-+g-=L7T(2)直 线/：x-y =4倾斜角为一，由题意可知,X直 线4的 参 数
6、方程为yg2也2+12(/为参数),联 立 直 线4和 曲 线G的方程得，g/+u +7 =o.设方程的两根为内 当，贝 心 弓=2，由直线参数/的几何意义可知，1 P M 归 叫=卜2|=24.选 修4 一 4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆G：/+/=1经 过 伸 缩 变 换 信=落 后 得 到 曲 线。2.以坐标原点为极点，工 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，10cosd+2sbI。建立极坐标系，直 线L的极坐标方程为 P(1)求曲线0 2的直角坐标方程及直线L的直角坐标方程；(2)设 点M是0 2上一动点，求点M到 直 线L的距离的最小值.(1)x+2 y-1
7、0 =0 (2)dmin=加【解析】由 大+尸=经 过 伸 缩 变 换 可 得 曲 线 G 的方程为：(守+(T=L即9 +F=1 将极坐标方程两边同乘P可的直线的直角坐标方程K+2y-10=0.(2)因为椭圆的参数方程为x=3co s d”为参数)，(y=2sin6所以可设点M(3cos仇2sm8),由 点 到 直 线 的 距 离 公 式，点 M 到 直 线 的 距 离 为 d=S浣 3=0詈H(其中cos0o=jsinJo=由三角函数性质知，当。-a=0时，d取最小值为4nhi=底5.选修4-4：坐标系与参数方程(第二1+tcosccy=l+tsina(t为参数，0 W a ),以坐标原点
8、。为极点，%轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线g p=l(1)若直线/与曲线G相交于点4 B,点证明：为定值；(x=/3 x t(2)将曲线G上的任意点(X,y)作伸缩变换(y,=y后，得到曲线0 2上的点(V y),求曲线0 2的内接矩形4 BC D周长的最大值.(1)1 (2)8【解析】曲 线 G：x2+y-=1.x=1+tcosay=1+tsina=t2+2t(cosa+sinar)4-1=0,MA MB=t j2=L三+尸=1(2)伸缩变换后得Q：9 +尸=1-其参数方程为：3y Siiiu不妨设点4(?n.w)在第一象限，由对称性知：周长为4(耐+?)=4(yJ
9、cos0+sin0)=8sin(0+)：.x2 y2=p2=4 .即曲线。的直角坐标方程为/+./=4 .X ,=1 v 丁 一 70 v,由1 2 ,得 二.V=Vy=y-代入方程/+/=4,得+三=1.已知M(XQ，)为曲线。上任意一点，故可设“(c o sa j sin a),其中a为参数.则点M到直线/的距离/15=0.8.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系X。)，中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcQsO=a(a 0),0为/上一点，以。为边作等边三角形O P 0,且。、P、。三点按逆时针方向排列.(1 )当点。在/上运动时，求点。运动轨迹的直
10、角坐标方程；x，2x(I I)若曲线C：2+夕2=。2,经过伸缩变换 一 得到曲线C，试判断点。的轨迹与曲线C，是否y y有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由.(1)x-y/3y-2a=0(2)a,(2a,0).(i)设点。的坐标为(p,e),则由题意可得点0的坐标为(夕 招+三)，再由点0的横坐标等于a,a0,可得 pc o s j 8 +g j=a ,可 得;pc o s8-4夕sin 8 =。，故当点。在，上运动时点尸的直角坐标方程为X一-2 a =0.(n)曲线 C：x2+y2=ay=v=土.2,即 一 5,代入+j 2=/，即！+=y=y*联立点P的轨迹方程，消去X得
11、7,V：+A后ay=0,Y a 0,二A 0有交点，坐标分别为j j卜(2 0).9.选修4-4：坐标系与参数方程(x=cosa 4-1在平面直角坐标系尤。了中，已知圆G：I y=sina(a为参数)，以。为极点，华由的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆,2的极坐标方程p =4 s f n 0(1)分别写出圆好的普通方程与圆,2的直角坐标方程；(2)设圆G与圆,2的公共弦的端点为4B,圆6的圆心为明,求的面积.见解析；(2)见解析.(x=cosa+1(1)因为圆,1：I y=sina(a为参数)，所以圆的普通方程是(x-1)2+/=1因为圆Q：p=4sin0,所以圆&的直角坐标方程
12、是,+/_.=0.(2)因为圆0 1：(%-1)2+/=1,圆 Q：x2+y2-4y=0,两式相减，得x-2 y=0,即公共弦所在直线为x-2 y=0,所以点(1,0)到X-2y=0的距离为丁，2口=空所以公共弦长为q 5 5,。1 4/&2所 以 师 8 2 5 5 5.(%=y 1=+t t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系，圆C1的极坐标方程为p2-2apcose+a2-4 =0(a 0).(1)若直线1 与圆,I 相切，求。的值；/%=2cos0(2)若直线1 与 曲 线 2：b=信 访。(为参数)，交于A,B两点，点C(2,l),求|AC|+|BC|.20
13、J2一 AC+BC=-(1)a=2y/2+l.(2)7 o【解析】(D直 线1的普通方程为y=x-L圆C _的直角坐标方程为&-a)2+尸=4.因直线1与圆C二相切，所以=2，由于。解得。=2 0+1.(2)曲线Q的普通方程为F+4=1,点C(2.1)在直线)-=x-1上，(x=2 +4所以直线1的参数方程可以写为*(t为参数，b =1 +y t将上式代入J+f=1得2=+1 0、+4 =0.设A,B对应的参数分别为打，t2,2 0 J 2 8所以 t-1I +C2o =-7-,G1 2=7二,、2 0$所以+18cl=IH+IGI=_(fi+切=-1 1.在平面直角坐标系xOy中，以。为极点
14、，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为X=-2+y t,y=Wp=2sine+2acose(a 0),直线，的参数方程为I 2(t为参数)，直线，与曲线C分别交于M,N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程；(2)若点P的极坐标为(2,n)，|P M|+|P N|=5也 求a的值.(1)曲线C的直角坐标方程为即(x-a)2 +(y-l)2 =a2 +l,直线/的普通方程为y=x+2：(2)a=2.【解析】(1)由p=2sin1+2acos6(a 0),得p：=2psin+2apcos8(a 0),所以曲线C的直角坐标方程为犬+)=2y+2ax,即(x a):+
15、(y-I)2=a-+1,直线/的普通方程为y=x+2.(2其各直线/的参数方程 一 2:T J代入K+产=2)，+2ax并化简、整理，I 丫 =争得产 一(3、，2 +2a)t+4a+4=0.因为直线I与曲线C交于M,N两点。所以A=(3在 +V2a)-4(4。+4)0,解得a L由根与系数的关系，得%+J=3V2+V2a,t1tz=4n+4.因为点P的直角坐标为(-2.0),在直线/上.所以|P M|+|P N|=匕+t2 =3j2+y/2a=5&解得a=2,止匕时满足a 0.且a#1,故。=2.(x=4cosa 4-2 /1 2.在平面直角坐标系*。了中，曲线C的参数方程为I y=4 s
16、i n a(为参数)，在以0为极点，x轴的非负7 T,e =(p w R)半轴为极轴的极坐标系中，直线1的极坐标方程为 6 。(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设直线1与曲线C相交于A,B两点，P为曲C上的一动点，求aP A B面积的最大值.(1)p2-4 p c o s 0-1 2 =O.(2)5 Kl 3。【解析】（D将方程F=4 C 0 S a+2 （a为参数），消去参数a后可得炉+尸 一 4 x-1 2 =0,I y=4 s m az曲线c的普通方程为炉+y=-4 x-1 2=0,将X：+y=P2 x=p c o s B代入上式可得p：-4 p c o s J =12,曲线C的极坐标方
17、程为p二-4 p c o s 9-1 2 =0.（2）设4,5两点的极坐标分别为（p _5），（生？），O:-4pcos0=12,由.q H 消去e整理得P二 一2、/%-1 2 =0,根据题意可得P：，小是方程P -2 V m p -1 2 =。的两根，2+=2 V 3,p、p：1 2,二 AB=|P i-p3|=V（P 1 +P:）2-4 P 1 P：=2 V 1 5.直线/的普通方程为、傲-3 y=0,圆C的圆心（2.0军1直 线/的距离为d =1=1,I32+（VT2又 圆c的半径为r =4,.1 1（S A P 4 B）m =习4 B|（d +r）=2 x 2声x（1 +4）=5屏1
18、 3.在平面直角坐标系中，以 为极点，4 轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线6的极坐标方程为p s M O =-1,曲线0 2 的参数方程为b=-2 +2 s i n。（。为参数），设P 是曲线G上任一点，Q 是曲线0 2 上任一点.（1）求C 1 与 交 点的极坐标；（2）已知直线，:x-y+2 =0,点p 在曲线,2 上，求点P 至的距离的最大值.（1）g与 2 的交点极坐标为卜 一 力与（2 滑）；（2）点P 到，的距离的最大值为2/2 +2.【解析】(D由条件得C：的直角坐标方程为y=-1,Q的普通方程为犬+()，+2)=4由3+晨2=4，解 啜:上 或.曲线心与心的
19、交点为(、出 1),(-v,T-1).尸=2,-=tan(=tan-zr,品 3 V 6/一 门 3 6 7所以q与G的交点极坐标为(2.-3,(2 5 7).(2)由(1)可得圆Q的圆心(0.-2)到直线I的距离为d=2V2,又圆的半径为2,.点P到1的距离的最大值为2&+2.1 4.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，以坐标原点0为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极psin(6(x=l+3cosa坐标方程为 6 2,曲线C的参数方程为I y=3sina(a为参数，a 6 R).(1)求直线1的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)证明：直线/和曲线C相交，并求相交弦的长度
20、.x-y/3y+l=0t(x-l)2+y2=9【解析】(1)因为直线/的极坐标方程为：p s i n(e -5=:b 所以p(s i n 6 c o s-c o s d s i n?)=力 即为兰p s i n S-；p c o s J =:因为:；，所以直线1 的直角坐标方程为4了=:即为 x-y/3y+1 =0由曲线。的参数方程r；匕言“得，二言两式平方做和得到(x-1):+y:=9c o s:a+9s i n:a=9所以曲线C 的普通方程为(x-1 尸+尸=9(2)由 得，圆C：(x-斑+产=9的圆心为C(L0),半径r =3因为圆心C 到直线I：X -、存)，+1 =0 的距离d =卜
21、T+L=l 0,210 sin a 0,t 2 0.1 1 _ 1 1 _ 1 1 _ fi +f2 _ 1 画 一 两=而-而 二1+ar=52 0.在平面直角坐标系。丫中，曲线P的参数方程为ly =t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为p2-8pc o s。+15=0.(1)求曲线P 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)点M为曲线P 上的动点，N 为曲线c 上的动点，求|M N|的最小值.(1)y2=4x,(x-4)2+y2=1.(2)眼。|曲-=2；3-1.【解析】(D将曲线p的参数方程消去参数如 得 尸=4 ,将二=炉+y:,x=C
22、OS&代入曲线C 的极坐标方程得K-8x +尸+15=0,即(x -4):+y:=1.(2)由 知，圆C 的圆心C(4.0),半径r =l由抛物线的参数方程，设点贝 U|M C|=0,0 6 2T T).n(I )x2+y2=l.(H)g与02交点的极坐标分别为 2.【解析】(D将消去参数8,化为普通方程(犬一1尸+()，一1尸=1,X I CflU即Q的普通方程为(x -I)2+O-1)2=1,由p=1,得p：=1,再将1:；瑞;代 入”1，得即G的直角坐标方程为犬+y=1.(H)由产-1)；”丁 =1解得:二 或 ：所以G与G交点的极坐标分别为(L 0),(L g.24.选修4-4：坐标系
23、与参数方程x =1 4-costC:1.c i y =-sint在直角坐标系x Oy 中，将曲线 2(t为参数)上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C 1：以坐标原点0为极点，以 陶 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程为7 T 2pcos 0 )=3/36.(1)求曲线的极坐标方程：(2)已知点M(l，。)，直线/的极坐标方程为 6=3,它与曲线r6 的交点为0,P,与曲线r02的交点为Q,求M P Q 的面积.S _坦(I )P =2c o s 0；(II)AMPQ 2.【解析】(D由题意知，曲线心的参数方程为d=I+，s t&为参数)，y=Sint,.曲线
24、的的普通方程为(X-1尸+y-=l,.曲线Q的极坐标方程为P=2c o s 8.(U)设点P,Q 的极坐标分别为S,殳)，S:，吃,Q=三则由 -s，可得P 的极坐标为(1，三)，P i=2c 0s si,由K:二；、？万 可 得 Q 的极坐标为(3，;).2p2*c o s*(02 6)=3/3,.%=2,二.|P Q|=|P 2%|=2,又M到直线/的距离为三，.“?=：X 5 X 2=y.2 5.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x Q y 中，以原点。为极点，X 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G 的参数方程 为 卜=2 0 8 5。(&火，。为参数)，曲线C 2 的极
25、坐标方程为夕c o s。一及s i n。5=0.y=2 s i n a(I )求曲线C 的普通方程和曲线G 的直角坐标方程；(H)设尸为曲线G 上一点，0 为曲线G 上一点，求|尸。|的最小值.(I)X 一 向 一 5=0；(II)y02 2解：(1)由 a消去参数a,得曲线G 的普通方程为土+2=1y =2 s i n a 8 4由cos。-行0sin6 5=O得，曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为x-岛 一5=0 设 尸 夜cos a,2 sin a),则点P到曲线G的距离为|2V2cos-2V2sin-5|4cos(a+j-5 5-4cosa+jd Vl+2 _ 3 73当cos|a+至1 =1时，d有最小值与,所以|P 0的最小值为理I 4