《2021年高考数学考点32数列的综合问题必刷题理【含答案】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学考点32数列的综合问题必刷题理【含答案】.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点3 2 数列的综合问题S n1.已知数列 册.、!h 与.满足al =an +l-an =九=2（n G /V *），则数列I仍%的 前10项的和为（）（49-1）（410-1）1（49-1）（410-1）A.3 B.3 C.3 D.3D试题分析：由题可知即=1+5-1 2 =2 1,与=1-2n-1,则数列出G 即为数列也 奇数项，则数列出。）仍为等比数列，其首项为片=1，公比为原数列*公比的平方，则数歹I J出 的前10项的和为2.删去正整数数列123，中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项 是（）A.2062 B.2063 c.2064 D.2065B【解析】由题
2、意可得，这些数可以写为：F 23.2：,5 6 7 8 3：.,第k个平方数与第A+1个平方数之间有2k个正整数，而数列423.2:567 8.32.45：共有2025J页，去掉45个平方数后，还剩余2025-45=1 9 8/数，所以去掉平方数后第201印 页应在2025后的第38个数，即是原来数列的第206顼，即为2063,故选B.点睛：解决该题的关键是找出第2018 1页的大概位置，所以数列炉23.22,567 8 3.45;共有20251页这个条件非常关键，只要弄明白去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解.3.将向量吊向，组成的系列称为向量列 4 ,并定义向量列 编的前几 项和+&+4
3、.若a；+1=A an（%B.S2016=2016,。2013 “4C S2016=2016,。2013 “4 D.S2016=2016,。2013 X3+2016X则/(X)=3XA2016X),所以犬c电 R 上单调递增，目犬0为奇函数。由条件得。2013-1)=-I 。2。1 3 旦口44%。13，故选：D.5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：仞1.12=0.05Jgl.3=.ll,，g2=0.30)()A.2021
4、年 B.2020 年 C.2019 年 D.2018 年C设第几年开始超过200万元，贝|严*(1+12/O)-2 0 1 5 2 0 0,化为(九 一 2015)1.12 lg2-lgl.3fl 0.30-0.11n-2015 -=3.80.05,取 =2 0 1 9,因此开始超过200万元的年份是2019年，故选C.,nn6.已知数列 4 的前几项和为%,若“+S 2 n ,则%5=.253256t解析】在册+Sn|si ny|=1 中分别 取=2k+1(k e N*),n=2 k-l(k e N *)向a*+l +S*+1=1.C lzk-L+2k-l=1，两式相/减 1 可。北+1。二
5、 一 1+2k=。,把。二 欠=U弋入得2。二 出+工 一Qj k-i +1=0,即。*+1,+1=二(a 二 欠-1+1)an+Sn-|si n|=1中，取或=1 得%=：.所以数列 a r+l 提苜项为;，公比为:的等比数列，所以。,5 =-会.一 _ *90另解：可运用归纳推理：。工=：，&=一：,q=1，。5 =一京,.3.2,3。2+。2=三,。2+。4=:，。5+。6=7 ，猜想得3+。6 =方,由题意 得&6 =1，所以0 工 5=-素.7.对任一实数序列=(面 心/，)，定义新序列A 4 =(a 2-a i，a 3-a 2，a 4-a 3”“)，它的第八项为%+i-%,假设序列
6、A(A 4)的所有项都是1,且%2=。22=,则。2=.10 0.设序列A4的首 项 为 乂 则序列A 4 =d,d +l,d +2,.,则它的第n 项为d +(n-1),因此序列A的第项斯=%+(。2-J =&+d +d +1+d +n-2=%+(n-l)d +-n(n-l)d乙 ，则是关7工 c c n an=(n-12)(n-22)于n的二次多项式，其中M 的系数为2,因为%2=。22=,所以必有 2、,故。2=|(2-12)(2-22)=10 08.将正整数12分解成两个正整数的乘积有1x12,2x6,3 x 4 三种，其中3 X 4 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3 X
7、4 为12的最佳分解.当p x q(p q 且p,q e N 1是正整数 的最佳分解时，我们定义函数/5)=q-P,例如外12)=4-3=1.则/(8 1)=,数列 f(3)(ne N*)的前10 0 项和为0 35 0-1【解析】V8 1=1 x 8 1,3 x 27,9 x 9/.f(8 1)=9-9 =0.由 题 可 知f(3)=3-1=2/(3。)=3。-3=2 x 3 =6.f(34)=32-32=0,-f(3zk-=3k-32=2x3t-i j(32k)=3k-3k=0/.数 列(r(3n)的 前 too 项 之 和2 n=0 f(3)=2x3+0 +2 X 31+0 +2x3-+
8、2 x 34 9+0 =2 X 殍 贽 3n=2 x :丁=35 0-1故答案为(1)Q,(2)35 0-1n,为奇数时9.数列。,的递推公式为%=4，为偶数时(e N*),可以求得这个数列中的每一项都是奇数，2则为2+5=；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个3是该数列的第_ _ _ _ _ _ _ _ 项.18 38 4由题得：这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3-二 +%5 =3+15 =18.又因为 的=3，绘产 3|2=3 a24=3.即项的值为3时，下角码是首项为3,公比为2的等比数列.所以第8个3是该数列的第3X 28 T=3 84项
9、.故18,3 84.10.在 数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为其，令%=1 0 g 2 4，e N*.(1)数列%的通项公式为%=；(2)Tn=ta n6 72 ta n74+ta n(24-ta ntz6+ta n(22 n-ta n6 z2/J+2=.+2 ta n(+2)-勿 2-;-n.2 ta nl【解析】(1)设在数1和2之间插入”个正数，使得这”+2个数构成递增等比数列 勾则4=L4+2=2=lx q Z,即qi=2,g为此等比数列的公比，Al f n*2)什2 m+：.An=l q q q q=q=g 2=(?)2=2 2i
10、4 n+2.二%=log?4=；一故数列 4 的通项公式为4=47 7 +，(2)由 可 得q=log：4 =一又tan 1 =tan|(?+l)-lJ=tan 17 7 +1)-tan nl+tan(7?+l)tan7】tan(7 7 4-11 -tan n/.tan1774-11 tan n-1tanl/、/、tan(?7 4-2)tan(77 4-1)-/.tan0&.tan02=tan(7?+1)tan(?+2)=-:-Ij7 6 ArtanlTn=taua2-tanaA+tana4-tana H-F tana1n ra77al2_(tan 3-tan 2tanl+(tan 4-tan
11、 3 +(tan 5-tan 4tanl)t tan 1)(tan(77+2)-tan(w+1)、)tanl,tan(a+2)-tan 2-n,n e Ntanltan(+2)-tan 2故答案为一1-tanl1 1.已知数列应 满足：a+1=l-,q=2,记数列应 的前项之积为此，则8(1=册2因为4+1=1-i=2，所以以 2=1一!=,，%=1 2=-1,%=1 (-1)二2，a2 2所以数列 4 是以4为周期的周期数列，%a2a3 =2 x|x(-l)=-l,则6 on=aaia3，a2m i=(-l)67-2=2.1 2.已知数列 4“满足a,-(+2)a“=4(2+2)，其中。=1
12、,4=2,若?“对V e N*恒成立，则实数4的取值范围为.0,+oo)【解析】由 啊+2-(+2)4=4/+2)得：4-&=令%=&,则 也”的奇数项和偶数项 +2 n n分别成首项为1,且公差为九的等差数列，所以+%=1+(上-14 .keN*故a2 i_1=2 A:-l+(2 A7-l)(A:-l)z,a二=2 1+2无(k l),k e N*,因为4 对N*恒成立，所 以 oIi_1=2 A;-l+(2 Ar-l)(/t-l)x al f=2 +2 (A-l)z 恒 成立，同时%*=2 1+2左(左 一 1)彳 。小1=2上4 +(2 1)(上一1)2恒成立，即 一1(左一1 恒成立，
13、当左1时，一一 尤，而上7+8时一一70,所以定2 0即可，当上=1时，一1(太一1 恒成立，综上之0,Ar-1 Ar-1故镇 0：+8).13.已知数列%满足q=1,an+l，若卜 表示不超过x的最大整数，则Q J+a22 d F 20172=-11【解析】由递推关系可得：。s”1+。-1=%,二-一1=1,又1=1,ar an 据此可得：数列1_.%.是苜项为1,公差为1的等差数列,=14-(77 1)x 1=?./.=,则 当 回 时：a：=l1 1T据此有:1+:1 1 +-+nx r(12016 201712 7 a；=1则 寸+3，+=1 4.已知数列 中，q=Q（0 2)(“”)
14、,记乜+3 2)/*、V a!=a(0c?2),an+i=/.(n e N-%+3(。2)，奥二 一d+3=31,3).当aG 1,2时，3 X 1,2,饱=-功+3=a.当小261,时，31+52=+3-a=3,Z=3(61)+才2015,天 1 时舍去，a=2 时，A=672,此时 止1343；n=2 .A7,B t,01+02=0+3-0=3.*.S 2*=3 A?=2 0155=6 7 1+,不是整数，舍去；3当 a (01R 寸,3-a (2,3),；.ay-2T-a(0sl),：.a 4=-O3+3=a 2 (2,3)：a 5=Q4-2=a (2,3),当 n=4 上 上 人、时，
15、%+。2 +。3 +0(2k+l)C t=0 3+DC 常 产=2 2(n+l+k)-(2 n +l)C常 产=2 (n+1+k)C宝 产 一 十 c米 产k=o4=0k=o=2(2n+1)刈=。C k-(2n+1)冷=。仁工产=2(2n+1)4 (2 +C)-(2n+1)；2-n+1=(2n+l)C：.Tn=(2n+DC=(2n+D =+或)=2(2n+iK zn-i e N.X能 被 碗+2整除.1 7.若对任意的正整数”，总存在正整数加,使得数列%,的前”项和S“=4，则称%是 回归数歹(1)前项和为S,=2的数列 6 是否是“回归数列”？并请说明理由.通项公式为勿=2的数列 的“是否是
16、“回归数列”？并请说明理由；(2)设%是等差数列，首项q=l,公差d.数列 q 是“回归数列”.（2+2 7 7 ）7 7 bn=2，前项和 Sn=-=+77=77（+1）2.（7 7 +1）为偶数，二存在 2力=（+1）,即加使图=s，工数 列 也 是“回归数列”.?（?1）1）（2）Sn=7 7 a l +d=-d,22对任意存在冽使?（7 7-1）、艮 d=l +（7 w l）d 取 =2时，得1+d=（胴-1用，解得?=2+：,/0,/.w 2,又 胴e.V*,加=1,，d =1 .（3）设等差数列%的公差为d,令2=一（一1）4=（2 ）,对 V eN*,hn+-bn=-ax,令 c
17、.=(T)(q+1)，则对 V eN*,cn+l-cn=(?,+M；(H I)求证：“6 =1 ”是“存在z e N*,当 2机时，恒有a N a成立”的充要条件。(I )2,1,1,2,2,3,1；(I I )证明见解析；(I H)证明见解析.【解析】(I)2,1,1,2,2,3,1(U)假设存在正整数M,使得对任意的k e N,a S M.由题意，ake L 11.M 考虑数列 a j的前M：+l项：al a2 a3 ayi其中至少有M+l项的取值相同，不妨设,=%=-=a 此时有：a+i=M+1M,矛盾.故对于任意的正整数M,必存在k e N,使得axM.(m)充分性：当 为=1 时，数
18、列 a j为 1,1,2,1,3,1,4,1,k-1,1,k,.特别地，a皿=k,a珠=1,故对任意的n N*(1)若n为偶数，则am2=aw=l(2)若n为奇数，则a 2=W W =a=综上，a 2 2a,.恒成立，特别地，取m=1有当n m时，恒有a 2a*成立方法一：假设存在a1=k(k 1),使得“存在m W N ,当n 2 m时，恒有a 2 a*成立”则数列 a j的前k?+l项为k,1,1,2,1,3,1,4,，1,k-1,1,k2,2,3,2,4,2,k-1,2,k3,3,4 3,k-19 3,kk-2 f k 2,k-1 f k-2,kk 1,k 1,k后面的项顺次为k+l,1
19、,k+1,2,k+l,kk+2,1,k+2,2,，k+2,kk +3,1,k +3,2,k +3,k对任意的m ,总存在n 2 m ,使得a,=k ,aT,2=1,这与aT s(由s的定义知k 2 m +l)不妨设a,是数列 a J中第二个大于等于s+1的项，即a 1：a ,a 1均小于等于s.则a 4 i =l.因为k l N m,所以azNaz，即1 2 a A i且a 1为正整数，所以2 1 =1.记a k=tN s+l,由数列 aj的定义可知，在.通”,a*”中恰有t项等于L假设a 1工1,则可设a%=a j：=-=a =1,其中1 c i：a。成立”的充要条件.1 9.设0为各项不相
20、等的等差数列 怎 的前”项和，已 知%=3%，5 3=9.(1)求数列,“通项公式；(2)设7；为数列，一 的前“项和，求7；.(1)an=n+；(2)T=2(+2)(q+2d)(q+4d)=3(q+6d)：【解析】(D设 q 的公差为d,则由题意知 0 3x2 r八3q H-a=9:解得 二:(舍 去)或 :=3 a1=2,an=2+(w-l)x 1 =n+l.(,2)、*/_1_ _=_1_ _ _1_ _1_,4+1(w+l)(+2)“+1”+2 W i fl:n；a/n+i!2 3!3 5!+l ii+2/2(+2)2 0.数列a i,a 2 a n是正整数1,2,n的任一排列，且同时
21、满足以下两个条件：加=1；当 n2 时，|a a i+i|W 2 (i=l,2,，n T).记这样的数列个数为f(n).(I)写出 f(2),f(3),f(4)的值;(I I)证明f (2 0 1 8)不能被4整除.(I )f(2)=l,f(3)=2,f (4)=4；(I I )见解析.(I )解：(I)根据题意，为=1;当时，|a a i+i W 2(f=l,2,则 f(2)=l,f(3)=2,f(4)=4.(I I )证明：把满足条件的数列称为n 项的首项最小数列.对于n 个数的首项最小数列，由于a =l,故 a?=2 或 3.(1)若 a 2=2,则 a 2-l,a 3-l,a n T
22、构成n-1 项的首项最小数列,其个数为f(nT)；(2)若 a 2=3,a 3=2,则必有a 4=4,故 a9,御-3,，a 3构成n-3 项的首项最小数列，其个数为f(n-3)；(3)若 a2=3,则 a3=4 或 a?=5.设 ak+I是这数列中第一个出现的偶数,则前k项应该是1,3,2 k-1,ak+1是2 k 或 2 k-2,即 ak与 ak+i 是相邻整数.由条件，这数列在a k+i 后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2 在 ag之后，故 a k.1 后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上,有递推关系:f(n)=f(n-l)+f(n-3
23、)+l,n2 5.由此递推关系和 可 得,f (2),f (3),f (2 0 1 8)各数被4除的余数依次为：1,1,2,0,2,1,2,1,3,2,0,0,3,0,1,1,2,0,它们构成14为周期的数列，又2018=14x144+2,所以f(2018)被4除的余数与f(2)被4除的余数相同，都 是1,故f(2018)不能被4整除.2 1.已知 ,是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为4,第n项之后各项%+广a“+2，的最小值记为B !,=4,(I)若%为2,1,4,3,2,1,4,3,，是一个周期为4的数列(即对任意 GN*,%+4=%)，写出4，%，%，%的值(I I)设4是
24、正整数，证明：纵=q(=1,2,3,)的充分必要条件为 4 是公比为q的等比数列.(I I I)证明：若4=2,/=；(=1,2,3,)，则 的 项 只 能 是1或者2,且有无穷多项为1.(I)0=%=,%=(n=l,2,3).必要性：qn q ,(7 7 =1,2,3),Bn=q-A之 月 忽,又 。般4 4，,n 4 0 ml，4 =%，Bn=，.0=-=冬=9,an An.q 为公比为q的等比数列.(HI)C T j=2,qn=-(n=ls2,3-),4 =q=2,氏=4%=1，.对任意 21,anBx=1,假设4(2 2)中存在大于2的项，设?为满 足/2的最小正整数，贝|J?22,对
25、任意14大 2,3m=2x1=2,3*1=mina*,B 2,D 1故g.”i 丛42+2=1与册-1 =不 矛 盾，4-i 工.对于任意之1,有4 42,即非负整数列 对 各项只能为1或2.2 2.设正项数列%的前项和为S”，且满足。3 =7,a,=6S“+9+l,eN*.(1)求数列4 的通项公式；(2)若正项等比数列也 满足4=%,&=%,且q,=a,也，数列 g的前项和为人求小若对任意 2 2,n e N*,均有(北一5)加2 62-3 1 +3 5恒成立，求实数加的取值范围.(1)q=3一2；(2)m 3 2【解析】a；_ i =6S n+9 n+l,=6Sr_1+9(n-l)+l(
26、n 2),.,.a -a*=6ar+9(n 2),=(ar+3)*且各项为正，a n_ i=a!；+3(n2 2)又a?=7 ,所以a?=4,再由a：=6S 1+9+1得a 1=1,所以aa 1=3/.M 是首项为1,公差为3的等差数列，,a*=3 n-2(2)bj =l,b3=4 bn=2n_ 1,cn=a,-b,=(3 n-2)-2r-10 TR=l-20+4-214-+(3 n-2)-2s-1,2 T,=l-21+4-2:+-+(3 n-2)-2K.一 =1 +3(2 1 +2?+2*i)-(3 n-2)-2fi,T*=(3 n-5).2*+5(3 n-5)-2n m 6n?-3 1 n
27、+3 5(n 22,n c恒成立m _6_n_:_-_3_1_n_ _+_3_5 =_(_3_n_-_5_ _)_(_2_n_-_7_)=_2_n_-_7_ 曰n nn m _2_n_-_7_ 相 F r 7.(3 n-5)2f l(3 n-5)-设K =苛，匕匕=条 厂-当n 4 4时，匕“冗,n N 5时，3 3 3.(k ja a i=k5=y=,?.m-2 3.已知数列 a J满 足%=1%=2%+，(1)求身品及数列 S,J的通项公式；,(-1)“b _(2)若数列他 满 足 5 n,且他 =1 5 2 =|,又=(|)二 2 2 r-2T-2 n-7 _9-2 n2 n 2 案+1
28、*匕ii，其 中 为 册 的前“项和(n e N +).J的前n项和为，求I 7 的最大值和最小值.1n=2时 储 薪=,九=1时|73 =1.【解析】数列%满足S n=2 an+1 贝J 5“=2an+1=(SR+1-Sn)=3 Sn=2 5n+1,即数列 s j为 以i为首项，以:为公比的等比数列，所以3=FT，所以品=L S：=p(2)在数列协力中，%=詈=-1 旨2，北为 九 的前加页和，则 解I=-1 X 口+(-J +：+-P)3+(比；3 9 3(T)n 1=1 +(_=)+:+(+,显然7 1 =2 a寸熊 I mi n=：，=时|7J ma x=12 4.数列,电，。”是正整
29、数1,2,，的任一排列，且同时满足以下两个条件：q=l；当”2 2 时，旧一*1区2 (/=1,2,-1).记这样的数列个数为/().(I)写出/(2),/(3),/(4)的值；(I I)证明/(2明8)不能被4整除.(D详见解析；(2)详见解析.(I)解：2)=1 J(3)=2 J(4)=4.(I I)证明：把满足条件的数列称为项的首项最小数列.对于“个数的首项最小数列，由于6=1,故%=2或3.(1)若 叼=2,则%T，%T，。“T 构成 T 项的首项最小数列，其个数为/(T)；(2)若%=3,4 =2,则必有&=4,故4-3,%一3,3构成一3项的首项最小数列，其个数为/(-3)；(3)
30、若q =3,则q=4或q=5.设a,7是这数列中第一个出现的偶数，贝J前 Q 项应该是L3,2上-1,。+1是2上或2左一2,即 必与生一是相邻整额.由条件，这数列在外+1后的各项要么都小于它，要么都大于它，因 为2在o p之后，故4一后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系：/(n)=/(n-l)+/(n-3)+l,n5.由此递推关系和(D可得，各数被4除的余数依次为：1,1,2,0,2,1,2,1,3,2,0,0,3,0,1,1,2,0,.它们构成14为周期的数列，又2018=14x144+2,所以/(2018)被4除的余数与/(2)被4除的余数相同，都 是1,故 了(2018)不能被4整 除 一2 5.设S”是等差数列/的前项和，已知SB=6,“4=4.(1)求数列 a,的通项公式；(2)若“，=3%-3%,求证：-+bi b2 bn 4(1)a“=；(2)证明见解析.S?=3。+3d=6,a,=1,(1)设公差为d,则 3 解得%=q+3d=4,d=1.C l 口 7 7 (2)bn=3n+-3=2-3,.bn 一_ I9%3,、是等比数列.也j.i _ i =，q=，633