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1、2022年河南省濮阳市普通高校对口单招高等数学二自考模拟考试（含答案及部分解析）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（3 0 题）,数其中/为可导函ft.阚加+.等尸（）.1.A.AJ（*y）+/（x-y）B 厂（x+y 卜厂（x-y）C.2 /（x+y）D.2 r（x.y）c函数y=1 +。，则2.x Jx()o3 2A.E3 1B.一 小 市3 13_ 2D.x 彳下面等式正确的是（）A.s i n(e)d.r s i n(e)d(e)3.C.xc ch=e rd(r2)B.一D.e“c s i n axk=e 6 d(cos x)4.设函数/(N)=且 三?，则li mf(z)是JC D
2、x-*5A.0C.1B-1D.不存在设/为连续函数,则！7(*此 等 于()A./()-f(0)B.2/(l)-/(0)jC.2/(2)-/(O)设 广(lnx)=l+j 则/”)等等()A l n r+f/n+CR*+今+CC.,T+Q +CD.cr+y+C*设/(x)为连续的偶函数,且F(x)=/(，)市，则*7)等于).A.F(x)B.-F(x)C,0 D.2F(x)若Q)d r=F(z)+。,则 sin r/(co sr)&丁等于()A.F(siar),(B.F(siru)-CC.F(COST)=(8【)-F(cos.z)+C9.下列等式不成立的是（）函 数 在 定 义 域 内 单 调
3、（）A.增加且凸 B.增加且凹 C.减小且凸 D.减少且凹、“2x+l x0 11.A.0B.-1C.-3D.-512.根据/(X)的导函数/，a)的图像，判定下列结论正确的是A.在(-8,一1)内，/(X)是单调增加的B.在(-8,0)内，/(x)是单调增加的C./(-I)为极大值D./(-I)为极小值 A.A.在(-8,-1)内，f(x)是单调增加的B.在(心，0)内，f(x)是单调增加的为极大值D.f(-1)为极小值13.9函数/(外=/+*的单调增加区间是XA.(-0 0,-1)B.(-1,0)C.(0.1)D.(1,+8)14.f(xo)=O,f(x0)0,是函数 y=f(x)在点
4、x=xo处有极值的()。A.必要条件B.充要条件C.充分条件D.无关条件Jln(l+2/)d/li m-：-=15.e x()oA.3 B.2 C.l D.2/3“已知/(X)是可导的连续函数，则dx=/、16.”0A./y(i)B./(9)-/(3)亦3）y（i）c.31/(9)-/(3)D.3设/(x)为连续函数，则17(2x)dx=17.JoA/2)y(o)B.2V(2)-/(O)-(2)-/(O)C.2-/,(!)-y(o)D.218.下列广义积分收敛的是()o()o当”-1时，号是1一 右的19.A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.不可比较2 0设F(x)是/(x)的 个原
5、函数，则()O户?1 +。I咽+。-2产 田+C21.：4 发生必然导致步件8 发生.则事件A 和 8 的关系一定是(i-8B.AT)B*事件0.互不相容事件22.曲 线y=x3的 拐 点 坐 标 是().A.(-l,-1)B.(0,0)C.(l,1)D.(2.8)设函数工)=工 (a.b 是常数)在工=0 处连续,则a 为1 a x0()A.1B.0C.b23.D小已知/(x)的一个原函数为x2+sinx,则jy(2x)dx=A.4X4COS2X B.2X+COS2X2C.2x+cos2x+C D.x+2cos2x+C24.225.已知二元函数z =/(x.j z)的全微分dz =2工1+工
6、%则 旦 生=一 dydx-26.若 事 件A发生必然导致事件B发生，则 事 件A和B的关系一定是A.A.对立事件B.互不相容事件C.AuBD.ADB27.若下列各极限都存在，其中不成立的是A.*-0 XC.“5+4?一。）=小）hB.li m(x)/(x o)=/(X o)L 与 X-X o28.已知g(%)=In%则/(%)等于().1 1A.X +A*1 1R -+e*15.x,1-In x+C.e*1 D.-e*已知点(5,2)为函数z=xy+g+2的极值点，贝I。,x yA.-50,-20 B.50,20C.-20.-50b分别为D.20,5030.设函数?(x)=sin(x2)+e
7、2 x,则？(x)等 于()。I2)Be2 i r.i I-2 r ,C-2工cnn(T2)-J1D.2i(i 二、填空题(30题)31.设7(工3)dN =d+C,则f(工)等于32.曲线y=x3+3x2+l的拐点坐标为33.设函数 f(x)=e*+lnx,贝iJ/(3)=.+x34.lim-5-=一 2二 一 工+235.已知（cotx）=/（幻，则 jxfx）dx=.36.a+fcr2(x(在工=。处间断则常数a与。应满足的关系是已知/1-工2也=,则（Jl-x?+l）dr=37.J 0 4 D.-2,39.若/(x)在XQ处可导，又 lim/(x)=1,贝 I，(工0)=L 44 0.
8、函 数y=ln x,则丫4 1函数/(I)=产 在1=。处的二阶导数/(。)=42.曲线7=院 在点(0,D处的切线的斜率左=-43.(I.xsin2x.I-+l)dx=J-1 +x设/(x)=J l-2 x ,则/(0)=.44.45.1im 蛔346.设 y=x2cosx+2x+e,贝I J y,=,47.f dz _J(2 x-5)5-,48.0l+a r c,a n,)d,=-49.X +7设 f(t)=lim/(-).则 ft)=.-x-t50.设函数y=2 xz+a x+3在点x=l 处取得极小值，则 a=.51.设,则 J：9f(4)dx=.52.曲线=1+F 的拐点是A.(0.
9、1)B.(1,0)C.(0.0)D.(1,1)53.已知 j/(x)d x=xl n(l+x)+C ,则 J e V(ex)dx=.(X X R P2设x2+2y x=3x7，则 y=.三、计算题（30题）计算乎，（Lrdy,其 中 D 为圜=1 及H+歹=9 所围成的环形区域.62.设亨，其中八）为可南函数，痔 急63.求定积分J ln（l+G）（tr.计算定积分 7 1-e udx.64.J65.求极限如詈.66.设 z 为由方程义工+力 +。=0 所确定的函数,求偏导数z,.67.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户（如图所示），其周长为12 m,为使窗户的面积A 达到最大，矩形的宽1
10、应为多少？设 Z=y/（）+.其中u）分别为可微函数,求乎，空.y x ox oy计算口 1Mrdy.其中。由双曲线I及直线y=O.y-1所陶成的平面区域.7 0求不定积分JlnGT y/T+7.71.求微分方程3/+51 5/=0 的通解.72计算定枳分,m(G+n u73.已如函数 y=arc9inx7 r R B-*L#-74.求极限lim(J-:!In/x-175.求极限四-z i A t.J+3r76.计算定积分，/2 工一工也.77.求函数y=2/+3/-1 2 1+1 的单调区间.78.设函数y=E7TT求 力求极限lim79.-r-x?ln/1 *求极限lim80.e 一 e8
11、sin3x(ez-1 )cos j.必打其中。是由U 线 y=z,2 y =及 I=1 圉成的区域.求不定根分上q ittrcLr.82.求函数义工）83.0.*=0的导数.1=084 求 l*m x(c-l).85.设是 由 方 程 所 确 定 的 隐 函 数，求86.求微分方程-2y 3y=xe 1的通解.87求微分方程通，r）d y u（）的通解.求极限lim 2 f-388.,-28 9.求 u tan(1)，;：)的全微分.90.设函数 =y+*/C r.y).其中/(x.y)为可At函数.求d.四、综合题(10题)c y 证明，当了 0 时.有 d-在a.41上连续.存在m.M隅个
12、源数且稠足a x,x,.96.证明方程二-3 工-1=0 在 1 与 2 之间至少有一个实根.97 证明 1 当 V l V 彳 时，ros.r V -+19 8求函数，=的单一区间.徽值及此函数曲线的凹凸区间,拐点和渐近it99.证明:方程e，一 1一备市=。在区间（。）内有唯一的实机100.一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金福增加100元时就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月菊花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得破大收入？娘大收入是多少？五、解 答 题（10题）101.讨 论 函 数 八 公=在 点 处 的 连 续 性 与 可
13、 导 性.102.设z=x,y）是由方程e F-，+z2+yeZ=l确定的函数，求 生 与 半.dx dy103.设 y=z ln x+s in（N2）,求 dy.104.已知xj=l,必=2 都是函数y=+x 的极值点，求。与力的值，并求此时函数曲线的凹凸区间.105.某 射 手 击 中10环 的 概 率 为0.2 6,击 中9环 的 概 率 为0.3 2,击 中8环的概率为0.3 6,求在一次射击中不低于8环的概率。计算 T2 ez djr.106.107.,-W叶10分）当 时.证 明：e I +*.108.（本独满分8分）计 算/品109.设 y=ln(sin x+cos x),求dy
14、.110.设2 0件产品中有3件次品，从中任取两件，在已知其中有一件是次品的条件下,求另一件也是次品的概率.六、单选题（0题）由曲线=一/,直线Z=1及工轴所围成的面积S等 于（）B.一为C.13D.111.12参考答案1.C本题考查的知识点是二元复合函数偏导数的求法.本超只甫将；-/(八小工-号成工n 八”)切)，共 中 人 同 时 利 用 复 合 函 数 求偏导畋公式文/()拌/”件 和 手 /d 用 t H，)2可知选M C 是正确的.而 dx dx ar ar ay2.B八(3-白，3.A4.D5.D6.C7.B答 应 选 B.提示 利用/(-x)=/(幻 及 F(-，)=,作变量代换
15、 =-u 则F(-x)-u)d(-u)=-J*/(u)du=-尸(*).所以应选 B.8.D9.C利用重要极限n 的结构式，可知选项c 不成立.10.D 解析 因 为 叫/(幻=1 岬(犬-3)=-2所 以(/iirn/(x)=/(-2)=(2x+=-31112.DX轴上方的F(x)0,X轴下方的F(x)V O,即当xV-1时,f(x)-l时 F(x)0,根据极值的第一充分条件，可知f(-l)为极小值，所以选D。13.D 解 析：因为尸(x)=2x-7，使尸(外0的区间是X1x所以函数的单调增加区间为(1,+8).14.C15.DJ；”n(l+2 r)d,洛必达法则 xi n(l+2 x)等阶
16、代换2x2 2h m-；-二 h m-：-h m-r-=xf。x 3x2 I。316.Djy(3x)dx=1 d(3x)=1/(3x)|；=；/-/(3)17.C本题的关键是/(2x)=2亲2.d(2x)因为/r(2x)d(2x)=d/(2x).所以 dx=；/(2x)d(2x)=；/(2x)=；/(2)-/(04.18.B19.C17由lim =l i m=1,所 以 当x-1时,：三与1 G是等价无穷小.工-1 一 右 L l 1十7 1 +x20.A21.A答 应 选 A.提示本题考查的知识点是事件关系的概念.宪两个事件相互包含的定义,可知选项A 正确.令22.B因为y”=6x=0,得x
17、=0,则y=0,且在x=o两恻 异号.故占(0 9)为福占23.CI解析 根据原函数的定义可知/(x)=(?+sinx)=2x+co&x因为 f/z(2x)dx=|ff(2x)d(2x)=；fdf(2x)=1/(2x)+C24 B 所以 J/(2x)dx=g2，(2x)+cos(2x)J+C=2x+gcos2x+C25.2x26.C根据已知条件及串件关系的定义应选C.27.C28.B本题考查的知识点是复合函数的概念及其求导计算.本 题 的 关 键 是 正 确 写 出 复 合 函 数/的 表 达 式.根据函数概念可知：/&(*)=g，(*)+e*，),因为g (，)=1，所以Xflg/C x)=
18、+eT,x故 选B.解析 由极值存在的必要条件，应有解得 a=50,b=20.29.B30.B本题主要考查复合函数的求导计算。求复合函数导数的关键是理清其复合过程：第一项是si n u,u=x2；第二项是e i),v=-2 x.利用求导公式可知/(*)=:Mfi(/)(.e =2.coe(iJ)-2eQ 5 Q 53 1.5J+c J4-C3 2.(-1,3)3 3.33因为广(力=e+L,所以/3)=r+1x 33 4.1/2x x-2-c ot x+C-c ot X+C3 5.si n x si n x 解 析|V V)d x=J.r d f C x)=Jtf(x)-J/(j r)d x=
19、f(c ot x)dx=-c ot X+CJ sin x3 6.a r b3 7.(加2)+23 8.D3 9.1/(1)在Zo可导，射/(外 左&处连续，因此/(外在a处左连续，于是，lim/(工)=/(寿),而lim/(z)=1,梭 /(a)=1.(-D (一 D!4 0./(一1)(-D!x4i.21n2(ln2.1)2In2(ln2-l)42.解 题 指 导 本题考查的知识点是导致的几何意义.函数在一点的导致值的几何意义是表示函数曲线在该点的切线斜率.因此*=（e*x）r=-e-*I =-1.I*30 I x0这类题型的另一种命题方式是：曲线y=e 过点（0,1）的切线方程（或法线方程
20、）是.-2xsm x43.22解 析:1 +公是奇函数.解析广(-1)ZJ1-2x (1)(V1-2x)z(Jl-2x)2-15(1一2炉所以/7 o）=-i45.146.2xcosx-x2sinx-2xln2(x2cosx),=2xcosx-x2sinx,(2x),=2x.ln2,e=0,所以y,=2xcosx-x2sinx+2xln2.47.-y(2 x-5)-4+C-(2x-5)-4+C48.x+arctan x.49.x 4.f 2,土因为/(/)=lim i(-Y=t Um(l+-)2-x-i Jr*x-r 2f=+-)22 t-lim(l+)I*x i i x-t=re”所以/(r
21、)=c2,+re2,x2=(l+20ezt50.-451.利用变上限积分的定义，当上限取某一定值时，其值就唯一确定.因为 7(0 d z=所以 当x 取力或 2 时有=j /(f)d z=y设&=1 贝 l x=/2,d x=2 f t lfx|1|4t i 2-于是 J：j=、)d x=2j(五)d(4)=2 j：f d/=2.g =1 652.A53.因 为 e,/(ex)d r=j f(e,)d eJ,=j/(u)d w(u =er)=u ln(l+w)+C=cxln(l+cJ)4-C54.3-e155.l+aje2156.因为 y=：一 令 0,得 x=0.57.-4sin 2x.y,
22、=2cos 2x.y =-4sin 2x.58.2在=J工，生=，所 以 工 区 十 区=一2 _+_ 红 _dr x+y2 dy x2+y2 dx dy JC2+y2 JC2+y259.6【解析】因 为 理 学 工?冢 苧V W=lim1-=1 (当a=6 时)x-40 xa-t所以当a=6时，有sir?，/(4一。).60.士/士/61.其 中 D,D,画出区域D 如图所示由枳分区域的对称性及被积函数关于轴和,轴都是偶函数故有Ip-dxd.y=4it%为区域D 在第一象限的部分,即=(.r.y)I l&r+y 4 9.2 0.y 0).利 用 极 坐 标 变 换 可 袅 示 为 0481&
23、r a 3 故IP，/,*drd v=J cwj(rcosfl):rdr41=f cod 喇?dr-2 0 f/组 此 20 1.+5in261|=5x.因此|rddy=4jjrd.rd.y=20K.画出区域D 如图所示.由枳分区域的对称性及被枳函 数 关于,轴和3,轴都是偶函数故有jp djrdy=Ajprd/dy*7 D,其 中 D i为区域D 在第一象限的部分即D|=(1 )I l&i+y&9.2 0.2 0),利用极坐标变换口 可 袭 示 为 0 4 夕 抵 1&r 4 3 故心 业 心=“If.(rcosfl)2 rdr因此.=j c oLd 曲J Pdr 2 0 j 4 L 土 皆
24、 也由=2 0 :6+y si n 2|*=5 x.djrdy=J p r d i d y=2 0 x.女一 _ 女 du y d”z-d.v.3 x du dx dv dx=门 /卜 子）+，（dz dz du.dz dvdy du dy dv dyr）62.d e dz du dz du3 x du 3 x dv dx/户 宁）厂+人（4）（一1 W A一手 人 广 蜃 上/（子）.尸,十 八 卜 ，子）dz dz du,dz dv -dy du dy dv dy（不引广宁）步1.，“亨一”卜 nI n（1 +，7）d z=xln（1+6”：出 备=必 2 廿后匕由于外:岳S=生 市（令
25、向=尸+告产=y /+I n|1 +,川。故63.二一 2+I n 2.I n d +v/7）d r =I n 2 +-y ln 2 =y.J ln(l+/7)/7)c i j r =I n 2 +2 -ln 2 =J o L C64.令J =s im.则”=一 而 叫&-一 猊 市.且 当 工=0时粉当i工ln(2 -3)一吟.令 e-r=si n/则 X=-I n si n/c t r =且当工=0 时，=i 当j rsi n/Z时=菅,于是O ln(c sc/-c ot，)：-ln(2 -3)一si n xi*t a n x 卜 c osx.si r u*r 1hm-=hm-=li m-
26、I t m-=1X 165 i -x L U jr c osxsi n xil-i m-t-a-n-x =vh m-c-o-s-x=l.i.m-s-i-n-x Pl i m-1-=1X.1=1.X-M JT r0 J?1r*0 COSXaa由 函 数 求 导 公 式 知 一，：可由隐函数求导公式知，一华旺3海杀67.窗户的面积4=+务./和/满足2A+3/=12.得/i =6-,/.代人人则有4=6 1-#+,狙,73，令 八瓦=6-3，彳/=0.得,=4（6;*由于实际问题只有唯一的驻点，可 知 片 笔 沁（m）为所求*住）H喂）+*仔）（Y），住）+仔）-,仔卜箓=信）+（力（-孙。倬 Y
27、68.7 俘），/仔 mS=住）H 伸+“伐）（-，）=/（7）+r（f）-（-）w（f）4一，住）一手,/俘）+*）.69.-1-y(l +yD，d y =(4 V2-1).I F y c L r d y=加y j y2 V dy=看(4 -I).70.Jln(x 4-+*，)dr=xln(x+“，)-卜d(ln(j*+/l+x2)=xln(x+/+，)-fx-I -I/二-公J z+x/T R Z l 4+?J=xln(x+/l+x2)-rLrJ y r r 7r=x ln(j+，1 +f )-1-1(1 +工?)，d(1 +/)=jrln(z+，1 +j?)J+/+CJln(x 4-，1
28、 +f )dr=xln(x+，1 +-卜d(ln(/+，1 +zD)=xln(x+，1 +)fx -1 (I/二-7dxJ X+/PH7 vi+r I=xln(x+/I +/TT7r=x l n(j+.)一扑 1 +小)大(】+工?)=xln(x+，1 +J?)，1 +or*+C.原方程变形为5 翌=3,+5xdr分离变饿得5dy=(3xJ+5*)dx.枳分得5y=F +C|故通解为71.y+C原方程变形为分离变量得枳分得故通解为72.5dy=(3/+5x)dx.5y-3 +G y=*+#+C.令u f f*原式,J ln(/+1)2rd/=J ln(1 +r)d(f:)=，ln1 +，)：-
29、j j.=，n 2-:片1 c b 7 n 2-7+4 抹=in2-D L+1na+1，L=ln2 一 (0-：)(ln 2-0)1二 2.原式令-j f1ln(t+1)-2rd/=J Ind+t)drt)=，”ln+00+yz、z由表可知，单调递增区间是(-C X),-2U(1,+8,单调递减区间是-2,1。=_ _ _ _ _ L_ -M 十4+3 (z+1 z+3)y=-y(-l)(x+1)2-(-l)(x +3)*.,y=4(-1)(-2)0+1)，一(-2)(z+3)T=枭 一1)(一2)(+1尸一(工+3)FZ =J(-l)(-2)(-3)(x+l)4 一(-3)(1 +3厂叮=y
30、 =一(工+3)”.78.乙=_ 1_y +41+3-7(x+1 z+3)y=如 一 l)(x+1),-(-1)(x 4-3)-*.,iy=l)(-2)(z+1)-J-(-2)(x +3)-J=)(一1)(-2)(工+1尸 (工 +3)门，y =y(-l)(-2)(-3)(x +l)4-(-3)(T-F 3)-4=y(-l)(-2)(-3)(x+l)-x 4原 式=l i m -J-=l i m /.=.1，I I -1+2*388.2 G2m-u 2 J，2JT V 2 x 4原 式=l i m -J-=l i m ：一 二i +2.32/789.因 为“7二 sec1(x y z)%=TZ
31、 sec:(x y z),%=xyeC1(x y z).所以 du=.yrsec/CjyzJdr4 jzsec2(j y z)d y(z y x)d z.因 为“=y zsecJ(x y z)%=jrzsec2(x y z),u9 h xysec1(x y z).所以 du=csecCjyrJcLr 4 jzsecr(jy z )d.y+jyscc;(jy z )dz.dz=-dj-+-dy3x dy90.=1/(二)一+*/(/,、)d.v.dz=空 dx+生 dy9x dy=jr/(工y)+/(jry).91.要证明的不等式即-J V ln(1 +jr)lnr V .1 +x x取 函 数
32、 八 幻=1皿，当工 0时函数八”)在 九1+1上满足拉格朗日中值定理的条件,于是在(1 1+工)内至少存在一点和使ln(l+x)-Irur 又“VWV 1+工于是有E J V工结合上式有T；ln(l 4-x)lor 要证明的不等式即rI l n(l+x)-l n x 0时函数/”)在 九l+工】上满足拉格朗日中值定理的条件于是在(11+“)内至少存在一点&使ln(1 +“)-litr又iV g V 1+二 于 是 有 白 一 1 工.1 +*E j结合上式,花7；ln(1 +x)Inx 0.所以由零点存在定理.可知函数人工）4在（0.1）内至少存在一个零点.又，（工）=4一 号 了 =若 当
33、 0,所以./（工）在（0.D 上是单调递增的,即函数/G）在（0，】）内有且仅有一个根.令/（x）=4x 1 f/当 7.则/x）=4 一 1 一 arctamr.且/（X）的定义域为（-8.+8）.因为/（0）=-1 =3 子 0,所以.由零点存在定理.可知函数/G）在（0.D 内至少存在一个零点.又/（上）=4 一匚3=法 焊 0,所以J G）在（0.1）上是单调递增的,即函数八工）在（0.】）内有且仅有一个根.93.设 A 点坐标（1。.工；）.由 y 2，得切线方程为_ y M=2x0（x x）,）或茅 由 已 呜=工 （5荒 一 仰 心=言 注所以工。=1*1,】），切线方程为21
34、一 广 1 =0 切线与轴交点为I =9.于是V=n j,dr 一力（2/-1 尸d*=拼 立 方 单 位）.4”.寸）设A点坐标（八，尤）.由，=2，得切线方程为y M=2八 工一”（,）或工=总y+午,由 已 知=（去-6户=苏 正所以z,=1*（1,1）.切线方程为2T一 -1 =0切线与I轴交点为工=1.于是首先求抛物线V=2H在点（/.1）处的法线方程.由导数的几何意义知.点（J.I）处的切线斜率为y|,=1|=1.1y hf.i）所以该点处的法线斜率为4-1 故法线方程为y 一 一一|（1 2）即JT +I 力dy94.=（如 一1一 袅，）|=二 学.（2）绕r轴旋转所成旋转体的
35、体积为V=xJ：2也 一 nJ；今 一 力 也 工 式刁：十|：=好.首先求抛物线y =2在点（/.i）处的法线方程.由导致的几何意义知.点（十.1）处的切线斜率为y L,=所以该点处的法线斜率为A=-1.故法线方程为y-1 -即工+y=去（1）可先画出鼬物线9 =2 x与点.1）处的法线所围成的平面图形的草图.先求方程组1/=2 工.铲 交 点 为（卜）.（分 一3）.选y为枳分变量,枳分区间为-3.1 ,则所求平面图形的面积为S =j sC ）力d y（2）绕r轴旋转所成旋转体的体枳为V =wJ j 2 x d x-Kj*（1-x）l（Lr =舁.因Z（x）在 a.6上连续根据连续函数在碉
36、区间上J值定耳知.，（/）在 d.A内豉盯I t大值又有最小值.记E.M分别是最小值和大值则/W（.61时有/（x）&M.又因为r（）在o,.r j上有意义.从而函数/（在u,*,上连或H可导.即雨数八力在上满足拉格朗口中值定理的条件,故存在 （八.八）.使得3 2 =r*（e）,-J T|而M所以恒有95 m（xj xj）/（x：）/（X）M（xj I|）.因/（x）在 a,6上连续.根据连续函数在闭区间上最值定理知/，）在,内腐有大值又有最小值记 分 别 是 最 小（f t和最大值则r G储净）时有m V（Jr）（M.又因为，a）在O-i J j t有意义.从而函数/*）在 门 上 连 续
37、 且 可 导即南数人外在,八上满足拉格朗口中值定理的条件故存在WW（*1 八使得 5 2.二/1口2 s 八6q 一1|向所以恒有m（xj -X|）/（x：）一 /（xi）C M X|-X|）.96.令/（T）=/一 3 H一 1 .知f 在口2 1上连续.又/（I）=-3 0.即/（I）./（2）0.由零点存在定理知.人工）在（1,2）内至少有一点总使/（f）=0.即fix）在1与2之间至少有一实根.令-x -3工一1.知人工）上连续.又/（I）=-3 0,/0.即/（I）/（2）0.r (0,-y).则/*G）为增函数.所以对于上 （0.）,有/*（力 /*（0）=0成 立,所 以 为 增
38、函数，对于/（X）/（0）=0成立.所 以/（才）为增函数.对于 （0 4）.有/（力 /（0）=o成立.即、一 孑+1 cos-r 0所以 COSJ 0.T w（0,y）.则/*（#为增函数,所以对于HE（o，m）有/（*）/（）=o成立,所以，（工）为增函 数,对 于 工（。冷）.有r（i）r（o）=0成立.所 以/（丁）为增函数,对于工 （。彳），有/（1 八0）=。成立.即y y 4-l-C O!U-0.所以 COSJ 0.所以单调增加；当j r e 时V 0,所 以 y 单调减少.由极值的第一充分条件可知y|=工为极大值.ICv 21 mr-3。八 4H Xy p-令 y=0/时./
39、0,曲线y 为凹的.根据拐点的充分条件可知点（e+.弓ef 为拐点.现列我如下：X(O.e)e(C.CT)ei(e*.+8)，y+0一一.一一一0十根据上表可知：函 数,=苧的单调增加区间为（0，c）;函数y=苧的单网减少区间为（e,+8）;函数y=苧 的 极 大 值 为 y（e）=函数曲线、=皆 的 凸 区 间 为（0.由；函 数 曲 线 苧 的凹区间为（e九+8）：函数曲线y=也 的 拐 点 为（e）.春c b.X4因为lim 也=0.所以曲线y=叵有水平渐近线y=0,垂直渐近线N=0.XX函数的定义域为（0.+8）.且y二 三史令y _ 0得驻点*=e.当0 V f V e时./=匕区0
40、.所以 单调增加；X当 工 时.丁 V 0.所以J单调谶少.由极值的第一充分条件可知y|=1为极大值.I，,C，21 ru*,3 ft_ 八 4H 2y=p 令 y=0 得 /=.当0 V N V e+时./V O.曲线y为凸的：当时,/0,曲线y为凹的.根据拐点的充分条件可知点（e+e T）为拐点.现列表如下；r(O.e)c(c.c)1et(/+8)y+0一一.y0+根据上表可知，函数,=皆的单调增加区间为（O.e）,函数y=竽的单调减少区间为（e.+m）;函数y=苧 的 极 大 值 为 e）=%函数曲线、=苧 的 凸 区间为（0,8；函数曲线厂学的凹区间为（乩+8）;函数曲线y=y的拐点为
41、（/寺 b.因为lim恒 =0.所以曲线y=应有水平渐近线y=0,垂直渐近线I=0.XX99.令/-e*-4 7也-/（X）在10J上连续.4 Jo 1 十 t因知 八】）e1 一得 一 1 1 7 d e-y -1 =c-y 0.4 J 9 J *i*4由零点定理知./（H）在（0.1）内至少有一个零点即方程/0（x 0）.1 +X/（/）在0.1上单调递增,即/G）在（0D内与工轴 至 多 有个交点.所 以 又 上 述 可 知 在（0 1）内 方 程 只 有 唯 一 的 实 根。令/-e-4-Pl 3dh显 然/在 0.门上连续.4 Jo 1 -r f又/(0)i-1-10.呜e y -1
42、 =e-5 0.M Jo 1 -i c ti.由零点定理知，/工)在(O.l)内至少有一个零点.即方程 g=0至少有一实根.又/(x)=e*-r-p-r 0(r 0).,./(x)在 0.1 上单调递增,即/(T)在(0.1)内与J 轴 轻多有一个交点.所以，又上述可知，在(0,1)内，方程只有唯一的实根。设每套公寓租金定为八所获收入为、.则y-5 0-三 含 约 G-2 0 0),整理得y=焉(X*+7 2 0 0 x-1 4 0 0 0 0 0),100.知 丁=焉(-2 彳+7 2 0 0),令 y =0 得.1 =3 6 0 0.而,即工=3 6 0 0 是使y 达到最大值的点.故租金
43、定为每套3 6 0 0 元时,获得收入最大，最大收入为y=50 -2-(3 6 0 0 -2 0 0)100=3 4 X 3 4 0 0 =1 1 56 0 0(元).设每套公寓租金定为工，所获收人为则y-5 0-:需00 C r-2 0 0),整理得y=忐(-+7 2 O O _ r-1 4 0 0 0 0 0).知y =2 x+7 2 0 0),令=0 得，了=3 6 0 0.而/=-5 V 0,即 n=3 6 0 0 是 使 V达到最大值的点.故用金定为每套3 6 0 0 元时,获得收入最大，最大收入为y=50 -幽 瑛 警 5(3 6 0 0 -2 0 0)=3 4 X 3 4 0 0
44、 =1 1 56 0 0(元).101.因为在工=2 处有l i r r 2=0=/(2).故/(幻=江。在工=2 处连续.又因为八2)=阳与/L 阳 唔 心退了%=+8.故/(1)一行？在上=2处不可导.102.解法一 公 式 法 一 式 中 的 x,y，z 均视为自变量设 F(x,y,z)=e-J ，-J C2+z2+e2-1则 丁 -ye -2 x.=-x e-Ay+e S -=22+ye1d x dy dz所 以,匹=_里=生 工dx F；2 z+界,F；2 z+y c、解法二 直接求导此时尤丁是自变量，而 z=x,)等式两边对X求导得 v e-2x +2z 牛十辨 乎=0dx d r
45、等式两边对y求 导 得-射-孙+2%翅+/+)面 包=0d y dy解 得生=旷 仆 12K,j z =xe-J-ef9JC 2z +y e*2z +y e?解方 法 一：因为 y =l n s+l+2I C O S J?,所以d1y =(l +l o r+2N c o s H 2)d N.方 法 二，dy=d(x l r u r +s i nJ T2)=d(x l n j r)4-d(s i i L Z2)=I n i d/+j?d(l i k r)+c o s 2M d(j r2)=I i L r(L r+d z +2x c o s j r2d r103.=(1 +l o r +22c o
46、 s/)d z.解方法一：因为 j/=lmr+l+2 zco sjc，所以4y=（1+ln r+2JTCOST2）dz.方 法 二，dy=d（xliL r 4-sinjr2）=d（x ln jf）4-d（siiLZ2）=I n id i+t d（Im r）+c o s/dCx2）=In rd jr+dz+2HCOS/d r=（1+la x+21cos/）&r.104.解函数的定义域为x 0因为 y*=+2Zx4-1 y*=-g +2bX Xy，（l）=a+26+1 =0,y，（2）=+4+l=0联 立 解 得a=2.b=-13 3则有 令 丁”=0得4=1（x=-l 舍去）当 0 0：当 1v
47、x+oo 时，y（）因为 y，=9 +2hx+l,y=-g +22X Xy l）=a+2b+l=0,y12）=+4b+l=0联 立 解 得 一2当 b=-13 3则有 y =-y-2,令=0得X=1（x=-l 舍去）3x 3当 O cxvl 时，/0：当 lx+oo 时，/0与x 1+x.通常情况下是将不等式写成 函数/(*)=e、-H-1.证明/(X)0(或/(*)/()=证 设“X)e-l-x,则/(0)=0.因 为/)=e-l.)当x 0时J(x 0,所以/(x)是单调增加函数 即*0时J(x)/(0).即/-I 7 二X 1;2 当x 0时J(x)0,所以/(工)是单调减少函数.即工/
48、(。).即-1-x.x L尊L.知当x 0时d *+1.108.用凑微分法求解.【解 析】-；Ax=f-7-d(In x)=arctan(In x)+C.J x(l 4 ln2x)J】In，解/=-(cosx-sin x)解sinx+cosxy=-(cos x-sin x)sinx+cosx109.110.cosx-sin-c-dxsinx-hcosjrcosx-sinjr-dxsin x 4-cos j解求条件概率的关键是如何设出符合题意且容易计算的两个事件.注意：这里是一次取两件，已知其中一件为次品，另一件可能为正品，也可能为次品.所以应设A=至少有一件次品”,B=两件都是次品”，显 然 有BUA,而且互表示两件都是正品，根据题意所求的是P(B)=拿3=190P(B|A)=P(AB)BCAP(B)_ 1P(A)P(A)-18解求条件概率的关键是如何设出符合题意且容易计算的两个事件.注意：这里是一次取两件，已知其中一件为次品，另一件可能为正品，也可能为次品.所以应设从=至少有一件次品”,B=两件都是次品”，显 然 有BU A,而且不表示两件都是正品，根据题意所求的是P(B|A).P(A)=1-P E)=1一 冷_P(AB)Bc：Ap(B)_ 1一PCA?P(A)-18lll.C