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1、2022年河南省开封市普通高校对口单招高等数学二自考模拟考试(含答案及部分解析)学校:班级:姓名:考号:一、单选题(30题)1 设/(x)的一个原函数为xin。，则/(x)的导函数是()A(lnx+2)Inx(1+In x)B.x2(1-In x)C.x(2+Inx)D.*函数/(*)=3 -9 1+1在-2.6 上的最大值点.z=Inxy+则二 =3.设函数 力，则【】A.l/2-2e2B.l/2+e2C.l+2e2D.l+e2(xJ sinx+l)d xw 八4.J ()oA.OB.l C.2 D.35.下列函数中，是奇函数的为A.y-x x2e*-e-xC kB.y=j xD.，ex+e
2、-x6.A.OB.l设m是常数，则lim理 了”等于()o2C.m12D。设 lim/(x)存在，则f(x)在沏处A.一定有定义C.有定义且/区)=lim/(幻7.I B.D.一定无定义可以有定义，也可以无定义8.曲线y=-2 的水平渐近线是,垂直渐近线是方用 P+2?-1-2=0 在-3,2内A.有I个实根 B,有2个实根9.C.至少有1个实根 DJE实根10.下列命题肯定正确的是A.若l i m f(z)存在，l i m g(z)不存在，则工)+g(z)必不存在-*0 L*o L%B.若l i m f(z)与l i m g(z)都不存在，则l i m (z)+g(z)必不存在L%L*e X
3、-“C.若l i m f(z)存在，l i m g(z)不存在，则l i m (工)g G)必不存在L%L I。L N。D.若l i m f(z)不存在，则l i m=(z)|必不存在11.已知 f(x)=Inarccotx,则 八】)=()。2A.2B.nC.2KD.21 2若事件A发生必然导致事件B发生，则 事 件/和8的关系一定是A.A.对 立事件B.互 不 相 容 事 件C.A c BD.?Xn8函 数y=eJ/Ti的极小值是.函数人工）=|2x-1|在点x=十处的导数是（）.A-0 B.1 C.2 D.不存在15.从10名理事中选出3名常务理事，共有可能的人选（）。A.120 组 B
4、.240 组 C.600 组 D.720 组16.设 z=e ,则 dz=（）oA.edxB.（xdy+ydx）e。C xdy+ydxD（x+y熄I7 1 x/（x2）f（x*）dj-=.1 Q函数y=，4 z+ln lz 1）的定义域是1 o.A A （。B.（l，41C.（l，4）D(1,4-OO)设函数了=/+2,则dy等 于()A.(e7 I 2)drB 匕C 十 】)dr19.D.e2 dL r三：!x)dx=sin 2.贝 lj J xf(x)d.t 等于()B.2fiin 2f(l+24z)f(l)设 函 数 在 工=1 处可导，且lim/则，=L i微 分 方 程 灯 一34n
5、ly=0 的通解为下列等式不成立的是A.lim(l+-)+5=eB.=e-1lim(l+f=eD.lim(l-，)”=1u fl24.下列命题正确的是()oA.函数f(x)的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点B.若 xO为函数f(x)的驻点，则 xO必为f(x)的极值点C.若函数f(x)在点xO处有极值，且 F(xO)存在，则必有F(xO)=OD.若函数f(x)在点XO处连续，则 fxO)一定存在25.已知 f(x)=xe?x,则 f，(x)=()。A.(x+2)e2xB.(x+2)exC.(l+2x)e2xD.2e2x设 z=a-y-+et.则26.drdy27.函数y=e-2,在定义
6、域内是严格单调A.增加且凹(上凹)的B.增加且凸(下凹)的C.减少且凹(上凹)的D.减少且凸(下凹)的d fdzj o,JC2sinz2 di=28.B.X2COSX4C.2xsinx4D.x2sinx4 A.2xcosx42 9.微 分 方 程-2,+=0的通解为设z=xy.则荆30.加A.A.O B.-l C.-l D.1二、填空题（30题）31.1 x32 一 二葭 =In(cot x),则 dy=设/件 )=；7 7(1#7)，则/x)=33.34.SIHTCO9LT35.函数y =3/+6 x +5 的单调减少区间是36.设 则 d z=37.设 y=sinx,贝 lj y(10)=
7、.38.f1(de J+c o s x)dx=.39.r(i +2J-)-/(i -x)_设函数，(1)在工=】可导,则！吧1-x-A./(l)B.2r(l)C.3/(1)D.-/(I)40.设八上)的二阶导数。在若 f/(x)dr=2s i n+C ,则/(x)=41.1 242.设/（X）,：登 呼 一.则/（JT 1+c o i r函 数 的 极 值 点 为 工设函数y=y+2 ,贝 Uy(l)=44.45.曲线y =I+F 的拐点是A.(0.1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1.1)kSft/W-46.sin(x-2)j-2(lz2X的连续区间为(2x3)若 j (%4s i n
8、x+x2)dx=g ，贝!j a =_ _ _ _ _ _ _ _4/J-c ，设 函 数 则 全 微 分 加=48.49.设/=i i m /(y,则 f，a)=._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-X+X-/50.设函数y =言，则 六-51.设 函 数 3=212+0 工+3 在点工=1 处取得极小值，则 a =52.函数y=x-l n(1+工)的 驻 点 为 彳=,53.设 x z =exp-则 =-Jl i m/i /(工 0 r54.若 f(xo)=l,f(xo)=O,则-卜57.设 2/(J)COSJ-=%八N)了，/(0)=】，则/(x)=A.c o s x
9、 B.2 c o s x C.1 +s i n x D.1 s i n x已知/(x-乂 盯)=/+/-个，则)+包A58.未 物设 y =-5 ,则 o.三、计算题(30题)计真定根分(d r&r.61.J,设函数。=Q +y)e id 求d z与 嘉 63.求,分 方 程3尸+5工-5/=0的通解.6乙4.(2知已敷y =a rc s i n j 工1二.求乎|.Y I+s i n r dz I#-o设 z =/(,二),其中f(u.v)为可微函数.求 鉴 原.65.3y64 1 1 8 nl.r(l e-u，)s i n2x .4.1 n求极限 l i m -;-F x s i n ./
10、-0 JC N66.L,67.已知x=-l是函数f(x)=ax3+bx2的驻点，且曲线y=f(x)过点(1,5),求 a,b 的值.68.设函数y =y（G由方程y=（l n x）”确定，求69.计算二重积分/1c L rdy.其中D 为由曲线y =一彳,与,=1 一1所围成的区域.O求J s i n(l ru-)dx.设函数y =,（）由参数方程1/J.cos/v=sinf rcos/确定，求取.ar求极限l i m1 772.73.求函数z=arctanG、）的全微分.求函数Z =T1/+x,y,的全部二阶偏导致./T*75.求板限叫 得严.求极限lim J-U76.“7 7求J e d
11、i d y.其 中 D是由直线y =x.=1 及 y轴围成的区域.计算二次积分J d y j：等 业.求j /(x -1)d*求函数y =2 x3+3JT2 1 2 工+1 的单调区间.81.ftSft =炉+苒中人工）为可循函数,求dr.8 2求微分方程2，+5 y =5/2”-1 的通解.3lim.5,8 3.i i +17+1),设下述积分在全平面上与路控无关，L 1y6工）山+6幻 84.其中函数中 9 具有连续导败,并且“D=L求函数加工）.求 极 限I呵号!）设+2 i-2 =确 定 函 数？=wCr.y).求 生.生.86.dr dy设 八 外 为可R函数且脩足方程：.r|/（/
12、dr-（l+1&(x 0).87 求函数/（）.88.设 曲 线y=4-x2（xN0）与x轴，y轴 及 直 线x=4所 围 成 的 平 面 图 形 为D（如图 中 阴 影 部 分 所 示）.图 131求D 的面积S；求图中x 轴上方的阴影部分绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.89.设函数广看7行求产tx-arctan/已知叁“方程，求90|y=I ln（l+/）四、综合题（10题）平面图形由抛物线V =2 1.与该曲线在点G.1）处的法线所围成.庆求,（1）该平面图形的面积91.（2）该平面图形绕工轴旋转所成的旋转体的体积./（X）-X 2arctanr“求雨数/（，）的雌调区间和极值,9
13、2.（2）求 曲 线 丫=上）的凹凸区间和拐点.（R求曲线y=（”1）疗的凹凸区间及拐点.求函数/(x)=x94.一 !，+：的单调区间和极侑.95.证明方程4 1=2-在 0.1 上有且只有一个实根.96.设人力在区间 a.瓦）上可导，且/Q）=/（6）=0.证明：至 少 存 在 一 点（a*）,使得八 打 +3 (。=0.97.讨 论 函 数 八 =的单调性.巳知曲线y=a 6（a 0）与曲线y=I n G 在点（工。.山）处有公切线.试求:（1）常数U 和切点（4 w）:98.（2）两曲线与上轴国成的平面图形的面积S.99.证明：方程 生 山=上 在 0D 内恰有一实根.设平面图形D 是
14、由曲线y=C.直线=1 及 轴所围成的.求:（1）平面图形D 的面积;100.（2）平面图形D 绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.五、解答题（10题）101.计算 fXC08 x ix,102.设 z=/（zy,亍），求 dz.103.（本题满分8 分）计算104.2 dx yfx+1 +（X +105（本题满分8 分）计算助106.试用夹逼定理证明:limp了 ，3+z dr=0.107.设z=/（x,y）是由方程e f *+/+*=1确定的函数，求生 与红.O X dy 设函数j=/4 n z ,求dyIvo.109.某班有党员10人，其中女党员有6 人，现选3 人组成党支部。设事件
15、A=党支部中至少有1 名男党员），求 P（A）。HO.求由曲线y=2x2,),=2 x-l及 xK)围成的平面图形的面积S 以及此平面图形绕X 轴旋转一周所得旋转体的体积Vx.六、单选题(0题)111.设函数一工则老等于x y dyA.-B.-C.Txx参考答案l.B因为/(x)=(xkj2x)，=ln?x+2lnx=lnx(2+lnx),所以/(x)=(2+lnx)L+1|nx=2(l+lnx).X X X2.x=-23.B由 导=工 z+/,则 M=-i-+e:.dy jy dy 2注也可先将H=1代人，则z=ln+e，则 交=工+e,所以生=-?-+e2.oy y dy(i,t)24.C
16、|(x2sinjc+l)dx=J：dr=2.5.C6.A 解析 lim f(x)的存在与函数在该点是否有定义无关!7.B 8.y=-2x=0;9.C10.All.B因为/9 =焉卜力),所 以 Mg4一.412.C13.e e14.D答 应 选 D.分析绝对值求导的关键是去绝对值符号,然后根据分段函数求导数2x-1 .x 三；.因为/(*)=|2x-l|=.1 -2X9 x 18.B19.D20.Cs 应选c.方 所：.区号行的知识点是定积分的悔念和定积分的换元枳分法换无时积分的上、下限白祖.f(*)Jr=、in 2 更广义的理 M 应为1/(d=、in 2,所以(叭/)d x =y /(x：
17、)a(*J)/(u)lu=有2.I k/21.B22y=e(C 为任意常数)y=e)(C 为任意常数)解析 利用第二个重要极限易判定：A.lim(l+-J-)*5=lim(l+-)(1+-)5=en”*n nB.lim(1-)=(lim(1+)-_,=e-1F IT*fl 6 T 一 C.lim(l+l)=lim(l+4/=e0=l”一*fl!-*fl11 2D.lim(l-)=lim(l+-)-=e=l23.C 故选C24.C根据函数在点xo处取极值的必要条件的定理，可知选项C 是正确的。25.Cf(x)=(xe2x)=e2x+2xe2x=(l+2x)e2x。2 y-re(.y+x)2 y-
18、(y+x)26.y27.CLsindz=sinCr2)2 (f)=2xsinx4.29.y=C e，+a z e，(G.G 为任意常数)y =Ge，+Gi e，（G，a为任意常数）30.B因为所以设 ir=xy9 则 z=4 dz dz du 1 1 I y添WR；八诉5匕，曲.词(i.i)2 Vx|,231.（l/2）ln2232.答 应 填-d x.s in r co s x提 示 用 复 合 函 数 求 导 公 式 求 出 y .再写出 ly.33.1(2-x)J34.3 5(8,4)函数的定义域为(，+8).令 y =6 x+6 =6(x+l)=0解行驻点：x=-l在区间（一，-1）内
19、，/0,），单调增加.ydx-xdy)解析J因 为 3=;.=叵ox yjy 2Vx 2xy要=&)/=-dy 2 2y的in A ZA 历x 而$而/门 八加以 dz=dr+dy=-dx-ay=-(yax-xdy)36.a 力 2xy 2y2 2xy237.-sinx由 y =s inr,且 y n)=s in。+i),则 y 0 )=s in(1 0 X y +工)=s in(5?r+x)=s in(it+x)=-s ir u,38.2sinl注 意 是 奇 函 数，所以(d e +cosx)dx=2sinl39.C40.x Xcos-cos-41.2 242.43.044.解析 先求出函
20、数y =x +2 的 n阶导数，再将x =l 代入，注意：2 是常数因为 y,=nxni/=n(n-l)x-2y =n(n-l)(n-2)-l =n!所以 y=(3xJ+5l)cLr.积分得5=/+-|-x*+Ct,故通解为y=+#+C.64.5 学=3x2+5JT,Lr5dy=O x1+5r)dx.5y=，+C|T，+#+c该期若求出导函数后再将1=0代人计算比较麻烦，下面利用导数定义计算./I-siriHr（0）=lim 这普）lim=|im=1.了 一。一。JT 1 +siru,该题若求出导函数后再将x=0代人计算比较麻烦，下面利用导致定义计算.1 sin j/(0)=lim lim=l
21、im、/1/=1.1-U 1To jr x-M)y 1 +sirtrd z dz -d-u-T dz d-u-dx du dx dv 3x=八卜 子)厂+八卜 子)/，/./，引+/.(L.生=夫.包+生.包dy du dy dv dy=/.广号)+”引 前65.d，z.s x s dz du .dz dv dx du dx dv dx=/4)ef+/”(C q)/=门/.(厂子)+，.(1引 女-_ 女 d一 -u，iy-dz-*d-vdy du dy dv dy/,LT L膏)()=c 小尸，亨 一,/.卜 ，4).66.由于当i f 0时.三是无穷小量.且卜in I.故可知!i即/s i
22、 n/=0.当丁-0 时，1-e-v,3/.故lim(1 二叫 咏 士 二.3工 产=Hm 3sirgx=3z-0 X，7 x L0 X所以 lim(1-e)s in t j-4-x S in =3.由于当工-0 时，尸 是无穷小斑，且卜in 5|I.故可知1叮上“亩 4 =0.当工-0 时.1-e-J 3/,故I.(1 e-r)sin2x.3xJ sin2x 1.3sin2x _lim-=lim-：=hm =-=3.1。X 17 X J-0 X所 以 lim-历 4-x4sin j=3.67.f(x)=3ax2+2bx,f(-l)=3a-2b=0,再由 f(l)=5 得 a+b=5,联立解得
23、a=2,b=3.68.y (lnjr)*y jr1M+(Inx),(x ),=ej a 1 a +(lnx)r (eta，O，=ln(lnx)+1 亡，5 卜 了+(lnr)eh，,2lnx 二(lnj-)J In(lnj-)+产+2(lar)_r.y lnj-)*J，产+(Inx),(x ),=e 2 产 +(liu-)r (eto，O/=e 4 3 rln(lnx)+j 七 J 工 2 +(lnJ)eb，*21nx =(Iru-)*pndnx)+亡 1*+2(lnx)工 .原式/=时,时；严69.83原式/=一1 f (1 x2 一工 +1)cL r8 J I=与 f(2 2 x2)d.r
24、8 J -isin(lnx)dxCxsin(lnjr)|J xdsin(lnx)-J cos(ln.r)dT=esinl-xcos(lnx)+jrdcosdrtr)esinl-ecosl+1-J sin(lnz)d.r.sin(lnj*)dx=y e(sin l-cosl)+1.sin(lnx)d.rCxsin(lrtr)|xdsin(lnx)esinl-J cos(lrkr)d.resinl-jcos(lnjr)J+jrdcos(lrur)esinl-ecosl+1-J sin(lnx)d.rsin(likr)djr=e(sin l-cosl)+1.由于里=sin 尊 =cos/cos/+/
25、sin/=Znin/.dr dt1此因S包dj-dz=亚-3/in/sin/由于里=-sin/烈 =cos/cos/+/sin/=/nin/.At dr此因立d/_drd7-cJ _1)，c0 s7-=2 iy +3x2 y2 74.z”n 1 2 +2 y.%=2x*+6 3zn=8*+6Q=8、+6xy.因为所以zt=4x1,+2xy,.z,=21，+3 y j=I2x2y +23.之,=2r+6xf.zn-8*iy+6jry.之 a=8*y+6 0:原式=|i mL 华二,一 x -sirtrxldr/T T 3 7x-siru,J Tim 卢 王 互 r，。I-C O JLT1/l+3
26、x(1 cow)，1 +3”y，1+3*(1 co v)JTl 7TT37喔75.l i mr 2=2.+3rlim 2.=2.+3 i枳分区域D 如图所示.由于被积函数八zW=e L因为此该二重积分适用于化为“先对x 积分.后对y 积分”的二次积分进行计算.又区域D 可去示为10 4 工&y.于是，ird y =J dyj c*dx=*e/dy-%J l:1 1 t2 2枳分区域D 如图所示，由于被积函数/G.y)=e L 因为此该二重积分适用干化为“先对x 积分.后对 积分”的二次枳分进行计算.又区域。可表示为:1.于 是eArd h|dyj c t dr=9(1-J ).78.原积分=应
27、交换积分次序.原积分=j 甸 dy|coMrdx-sinx|=应交换枳分次序.阿:等“j：coardx=sinj2令 1 I=i4,则 dx=d.当 6 0.2 时.“1.1.于是原 式 /(x 1 )cLr=J fiu)du=J f(u)du 4-J/(u)dw*业+士公79.令1-Iln(l+e).=“则 dr=d“当 1 0 2时 1.1.于是原式=j /(x -1 )Ar=J f(u)du=j fudu 4-J f(u)du=占二 f ZJ-t 1 e Jo】+i=ln(1 4-e).80.y=6Z!+6Z-12=6(J:+X-2)=6(1+2)(工 一D,令 y=0.得力=-2,X
28、j=1.列表讨论如F：Jt-2-2)-2(-2.1)1(1 +8)y+00+yz由表可知单调递增区间是（-00-2 U（1+8单调递减区间是-21。y=6z!+6x-12=6（十工-2）=6（1+2）（工 一D,令 y=0.得 4 =-2.X?=1.列表讨论如卜：jr(.2)-2(-2.1)1(1 +8)9y+00+yz由表可知，单调递增区间是(心，-2U(1,+刈,单调递减区间是-2,1。dz=空 cLr+空 dyAr Sy81.=+4-3y:+dz=会业+当dyHi dy J=+/(ry)cLr+3y+x/(,)=C|+C:e g为齐次线性方程的通解.而5，一2工一1中的入=0为单一特征根
29、.故可设y*=jr(A r+Hr+C)为2/4-5/=5xl-2x-1的一个特解,于是有.(/)=3 A r+2 H r+a(y)”=6A r+2B.知2(6Ar 4-2B)+5(3Ar,+2Rr 4-C)=Sx1-2x-1,即15Arz 4-(124+!0B)x+4B4-5C=5-2x-1,故15A=5.12A+10B=-2.4B-b5C =-1.于是所以2y+5y=5x*2x 1的一个特制.因此原方程的通M为y=G+Ge/+（+*+5,=0*特征方程为2 rl+5 r =0.故r i =。八 .r?=q5,于是y=G +C：e /为齐次线性方程的通解.而 5，一2 1 1 中的；I =0
30、为维一特征根.故可设y*=x(A r:+R r C)为2/4-5/=5 x 1 -2 x -1的一个特解,于是有.(y*V=3 A rJ+2 H r 4-C.(y*)*=6 A r +2 8.知2(6 A r +2 8)+5(3 A r,+2 B L r 4-C)=5 xl-2 x -1,即1 5 A rz+(1 2 A +I 08)f +4B +5 C =5 -2一 1,故1 5 A =5.1 2 A +1 0B =-2.4 B-b 5 C =-1.于是AA=1 u 3 7所以为.工 A lxy=TT+252y*+5y=5JT1 2x 1的一个特制.因此原方程的通解为y=G+a e，+（弩+
31、I f c*a为任意常数）.83.031+I I+1=lim/JIlim3-/+-r-1x1 4-1-I?+z+2尸 十】二 2T _!=3/P=y y2p(x).Q=6*)由积分与路径无关得迨=更Ar 3y,即得（，才）一”）y=3用（*）或，（工）-3 6JT）=i.fplx)底 卜 卜e l*d _ r+C 卜e L r+C叫一抒 d e +C e F-y(x e -je-l zdx)+C=e 7 +W)+q=-4 -+Ce”.3 984.由 中 =i 得,1=-4-4+*.解 得 仁=9-，.故有6/力.、=一一 彳1 一 1 +I 13e 3(r l).p由积分与路径无关.得即/工)
32、一 J得p(X)=S S=由 3(】)=1 得，1 =-785.j-1、flim /.=lim|JT 1*,-y JC i*1 f j|故当86.令 F(x.y.r)=F,=2故当一 2 y-e，/0时,有dz _ Iar F=0%(i).Q=俨 力 y .西 北.dx dyr)y=3用 工)或，(力 一 3(x)=z.。-卜小1 1-小 业+(7e-卜 emlim/.-lim/1+e-*.八 x 4-1 /尸.*-0)期令 F G.y 之)=*+y*+2 i 2yz e*=。则F,=2 i+2,F,=2y 2N,F =-2y ,2y e*f 0 时有at _ .F,_ 2(x-i-l)at
33、_ _ F,_ 2(-)a r F,2y+e,力 F.2y+e*/十 式+2*-2 -e，=0则x+2.F,=2y-2zFt=-2y e，=2G +D生 _ _ 邑=2(小一力,2y+e dy F.2y+e*87.,/(x)为可微函数.方程式两端对_r求导得j (l-r)/(ndz=1 (工).两端再对上求导得(1 X)/(x)=Zxf(x)+I /(工)即 x*/C x)=(1-3X)/(J),上式是可分离变故的微分方程.通解为/(x)=C r%C 为任意常数).,/(X)为可微函数,方程式两端对才求导得j(l-z)/(r)d f=两端再对上求导得(I x)/(x)=2x/(x)f (x).
34、即 P/C x)=(l-3 x)/(x),上式是可分高变量的微分方程,通解为/(X)=C r*e为任意常数).88.(D S=j(4 -/).-f(4-J)dx=(4x-y)L(4XT)IL,V,-ir|*Jdy=irI(4-y)dy=J4y-y/j|=81r.=_ 1_,-M +4+3 彳(z+1 z+3)y=l)(x+1)z (一 )(工+3勺，/=-y-1)C(-2)(x4-1)7-(2)(z+3)T乙=4(-1)(一2)(1+1广3(l+3)3.y=J(-l)(-2)(-3)(x+l)4-(-3)(x4-3)-*=1)(一 2)(-3)(z+l)T(工+3厂 ,w*故 y*=4(-i)
35、”！Q+I L-”一(工+3尸-”.=_ 1 _，一 十41 +3 -1(z +1 z+3)y=l)(i+1)2-(-I X x +S)*.,y=4-(1)C(2)(x+1)1 2)(z+3)T=y(-l)(-2)(x 4-l)-,-(x +3)J,Z=l)(-2)(-3)(x+l)*-(-3)(x 4-3)-43=y(-D(-2)(-3)(x 4-l)-4-(x +S)-1,故十,=l)”!(z+1尸”一 工+3厂1190.dvd7-dxd7=力dx所以则dvdv-CLrdr=所以则2博)犷2，)(L rd 71 +?首先求抛物线炉=2 在点（彳.1）处的法线方程.由导数的几何意义知.点（5
36、.1）处 的 切 线 斜 率 为；=q所以该点处的法线斜率为士=-1.故法线方程为即(1+)3（I）可先画出抛物线y=2 x与 点 处 的 法 线 所 围 成 的 平 面 图 形 的*图.yl=2 z,先求方程组，3得交点为7).选y为枳分变量,枳分区间为-3.1 ,则所求平面图形的面积为S=-W一孙91.=（.一耳一袅”：竽.（2）绕,轴旋转所成旋转体的体积为V=能泰也一”；勺一外出H X，|：+T：勺一力；=华*.苜先求抛物线y=2J 在 点 处 的 法 线 方 程.由导致的几何意义知.点（91）处的切线斜率为y,=+所以该点处的法线斜率为A =-I.故法线方程为y-1 =一】（1 ：）即
37、jc+y y.)yy*Y T T 川二一印（2）绕，轴旋转所成旋转体的体机为7 =XJ：2HLT-艰勺一力出=x 0：+T 孑隹一|；=必92.(1)因为函数/(x)=1一2arctan.r.则令/=0.得驻点x=1.当1 V 一 1 时.，（工）0：当 一】V*V I 时V0,当 工 1 时/（工）0.故函数/（x）在（-8.-D 与（1.+8）上单调增加；函数在（一 1.1）上单调减少.因 此 函 数 人 外 在 I=一 1 处取得极大值/（一 1）=左-1.在工=I 处取得极小值/=1-f I）（2）因 为/G）=所以八 0时./（0.故曲线y=/（外 在（0.+3）上是凹的.且（0.0
38、）是曲线的拐点.(1)因为函数/G)=工-2arctan j .则令 Z 0;当一 1 V 工V 1 时.，（）V0:当H 1 时.，（力 0.故函数/（x）在（一8一 D 与（1.+8）上单调增加函数八外 在（一1.1）上单调减少.因 此 函 数/在 H=-1 处取御极大值八一1）=半 1在 H=1 处取得极小值/1）=1-f（2）因为/Q）=f 三;,所以人工）（1 匕尸令/*0时.广（力 0.故曲线y=/（i）在（0.+8）上是凹的.且（0.0）是曲线的拐点.93.函数的定义域是（-O O.+8）且2-/O孑一工+）=y2(5z+1)_ 2(5x4-1)9 6 9 x 4当 右=一5时,
39、丁=0,当工，=0时./不存在.故以q =-1和4=0将定义域分成三个部分区间.并列表讨论如F:J*(8.1)5i（;。）0(0,+s)y0+不存在+y-f(Gn有拐点U无拐点U所以在（一8 一内 曲 线 是 凸 的.在（-+8）内曲线是凹的.曲线的拐点为（一 i .-5 J S）在 工.0处曲线无拐点.函数的定义域是（-8.+8）.且71一 红，2(5工+1)=2(5工+1)977当 右=一5时=0 i当4=0时 不 存 在.故 以 右=-1和4=0将定义域分成三个部分区间.并列表讨论如F，J*(8.5)51 (b)0(0,+).y一0+不存在+y-/(*n有拐点u无拐点U所以在（一8一 专
40、）内 曲 线 是 凸 的.在（一看.+8）内曲线是凹的.曲线的拐点为（一 机 一 卷J J）,在工=0处曲线无拐点.函数/（N）的定义域为（一8+8）.且，（工）=1-4+=*-1.解得Z=1是/0.人 力 在（一8 01内单调增加,当工 0.1时.，（）V 0,即/（X）在0,1内单冏减少：当了 口.+8）时,，）0,即八）在口.+8）内单调增加.从而/（X）在点工=0处取得极大值/（0）=1.94./G）在点工=1处取得极小值/（D=0.函 数 人 的 定 义 域 为（-8.+8）.且解 得 了=是人工）的 驻 点 门=0是/（1）的不可导点.当1 6（8.0 1时./（力 0.八外 在（
41、-8.0 内单调增加：当工 0.13时.，（工）V 0,即f（x）在0,11内单两减少；当了6 口.+8）时./（力0,即/（外 在1 1,+8）内单调增加.从 而/（X）在点工=0处取得极大值/（0）=1./（X）在点工=1处取得极小值/（1）-0.设义工）=4工一 2,则此函数在0,1上连续且可导.因为/（0）-1./（1）=2.根据零点定理可知，必存在（0,1）.使/小）=0.即4?-2=0.又因为 Z（x）=4-2 dn 2,当 0 V 工 V I 时.ln2 2*ln2 2ln2 2（ln2 O（O x 1）,95.即/（-r）是单调增加的函数所 以/（x）=4-2,=0有且只有一个
42、实根.设义工）=4工一 2 则此函数在0,1上连续且可导.因为/（0）=-!./（1）=2.根据零点定理可知,必存在s e（0.1）使/e）=0.即4 e-2f=0.又因为/（x）4-2M n2,当 0 V_r V 1 时.ln2 27n2 2ln2 2（ln2 0（0 x ）,即fix）是单调增加的函数,所以/（工）=4x-2*=0有且只有一个冥根.96.设 F(x)/(o r*.则F C r)在一，叼上一续，在内可导，且F(a)=f(a)e =0.F(6)=/(6)e*=0.因 为F(u)=卜飞).所以F(.r)=/(力/在 人口上满足罗尔定理的条件.于是在(人方内至少存在一点&使 F(W
43、)=0.即尸得)=，(E)e.+/(6)/-3e,=0.即e /)+3=0.而 J R。.故Z(e)+3 /(e)=0.w s Q.b r设 F(x)=/(1)/.则 F(x)在 a,b上连续,在(Q.A)内可导.且F(a)=/a)e*-0.F(b)=/(6)e*=o.因为Z a)=F 3).所以F )=/j)在 人切上满足罗尔定理的条件,于是在(-6)内 至 少 存 在 一 点&使 F(O=0.即F(f)=+/小)/3?=0.即e 八 6)+3(0=0.而 r。，故/(f)+3/(f)=o.S 6 Q.97.(】)函数/(X)的定义域为(-8.+8).(2)/(x)=3-3xl=3(1+x)
44、(l-x).令 小 )=0.得马-1.x,=1,函数/)无不可导点.3)以 工=-1 和工：工 1 为分界点划分定义域,列表讨论如下所以.函数/(工)在(-8.一I)与(1.+8)内是递减的,在(一1.1)内是递增的.X(-8.-1 )一1(-1.1)1(1 +8)/一0+0一/(X)单词递戒单濡递增单调逢改(1)函数f i x)的定义域为-8.+8).(2)/(x)=3 3/=3(1+x)(l-x).令/(JT)=。，得工1 =-I.Xj=1 .函数/(T)无不可导点.(3)以 与：=-1 和 4 =I 为分界点划分定义域.列表讨论如下，所以.函数f(J)在(一 8.-I)与(1.+8)内是
45、递减的.在(一 1.1)内是递增的.X(一 1)-1(-1.1)1(1.4-00)/(x 一0十0一单网递M单得递增卓谓递减(a/xY|(I n /xY|(1)由巳知条件知J 二 0 =i n /x7求解得=，切点为(eD.e 2）两曲线与工轴围成的平面图形如图所示，于是所求的面积为：98 s =1“1 A l L l n，F dj =*一 十（平方单位）.（1）由巳知条件知.Q 4 x Y I (I n 77)|IJ J.I Qw =aya=I n vG?.I 2 3 4 5 6 7,求解.将 =，切点为（e JD.e 2）两曲线与I轴围成的平面图形如图所示：于是所求的面积为：S =L;石
46、d L J jnG lr =!/一（平方单位）.99.原方程可化为J 怎&一 卷=0.令/（x）C .At-上 则/（J）在 0,1 上连续且J。1十，1U/0）-|:+2 1+八|:一七m I n 2-又 l n 2=l n（l +l:+5 一：+/一 故 1）（1 _ +_+_）一10-6 1 6 7 0.6 =0.0 1 6 7 0.:,由零点定理知./（工）在（0.D内至少有一零点，即 方 程|餐&=上 在（。）内至少有实根.又/（_r）=0,x 6 （0.1）,故，（工）在（0,1）内单调递增于是函数、=八外与上轴至多有一个交点,即方程/（力=o 也是总 出 =上 在（）内至多有一个
47、实根.所以方程在区间内只有一个实根。原 方 程 可 化 为&一 白 二 0.J 0 I 十？1U令/（X）=，一&L则/（x）在 0,1上连续,且Jo I 十，IU/（0）一=V 0，=J：生 力 古=市一卷=（1+出）&一卷=我1）1+1 水 1+此 一 上工 In2 一卷.o又 In2=ln（l+D-1-J+；-g Z 3 4 0 o故/（1-1 +;_+=一 !厂 春 0-6167-0.6=0.0167 0.,-由零点定理知,/a）在（o.D 内至少有一零点,即方程I 怎&=上 在（。，1）内至少有一实根.又，（I）=三 0.T （0.D .故/（X）在（0 1）内单调递增.于是函数丫=
48、/（力 与 4轴至多有一个交点,即方程/（工）=0也是J：；&=古在（）内至多有一个实根.所以，方程在区间内只有一个实根。100.平面图般D如图所示.取1 为积分变景.且上w 0.1.（1）平面图形/）的面积为(e-e*)cLr=(er-e*)(2)平面图形D 绕y 轴旋转周所生成的旋转体的体积为2xJ：jr(e-e，)dr2xeJ xdr-2nJ xe/(Lrrd(c)ire-2irxer +2xectr*e-2xe+2nex(e-2).或靠 y(lny)；L 一久 j 21nydyxe 2xJ Inydyxc-2irln1+2KJice-2ne+2*e-1)n(e 2).dy平面图形D 如
49、图所示.取为枳分变St 且1 W 0.1.(1)平面图形/)的面积为Ae*)ljr=(u -c)(2)平面图形D绕y轴旋转周所生成的旋转体的体积为V,=2 x|x(e e*)(ln);|-KJ 21nydy=xe-2xJ Inydy=ire-2nln|+2KJ dy-xe-2itu+2*(e-1)=n(e 2).r)=xsin x-J sin xdxQ V4c，v=_ 一Xy叶 红.亚,红+工 红：9x 3 y dv.红dy静尸6慧 十，|f)d x+a兑 一*|f)dy解设 u=xy,v=y则”=红.红十红.包=红+工红3x du dx dv dx 8u y 9v3z_ i f x d f
50、d z=%十 翱=Q裴+蜷)dz+(H第一产.篇)心103.解法一 设，=Jx +1,则 x=*-1,dx=2tdtx023于 是 fodx47T+Ja+i)35 2/-7d，=2-rd/I t+t3 J 1+产104._ 3 z北 兀、K=2arc tanr|l=2(=解讨：_ f2 dx _ f2 dx J dVTTT0 6荷+J(x+l)3 J0 T441+7(X+1)2。1+(Vx+T)2=2arctan-Jx+ll 2=2()=yI。3 4 6105.本题考查的知识点是“8 8”型不定式极限的计算.【解析】本题中的“8-8”型不定式为两个根式之差.一般需要先“有理化”,再根据具体情况