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1、2022年江西省宜春市普通高校对口单招高等数学二自考模拟考试（含答案及部分解析）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（30题）1 函数/（x）=1+5加7 在 点 x=o 处的导数是（rA.OB.l/a C,1/2D.32.已 知 却（力壮 则/悖货）A.-2 B.-1 4*D.I3.如 果er是 的 一 个 原 函 数，则JHHC1H=A.e-x(l x)+CB.e-x(x+l)+CC.e-x(x 1)+CD.e-x(x+l)+C4 设函数/（x）=则/（x）有A.A.极 小 值 1/2 B.极小值-1/2 C.极 大 值 1/2 D.极大值-1/25.下列各对函数中相同的是A.，=#与C.广
2、 工 与y=6时B.=与 y%/xrD.y=x 与 y=si n(a rc si n x)ia,.sin(lx1-ax),rrtl.设 hm-=1.则 a=6.1 xA.A.-l B.-2 C.l D.2若事件A 发生必然导致事件8 发生，则事件A 和 8 的关系一定是A.对立事件 B.互不相容事件-7 C.Aa.B D.AnB8.函数 y=x+cosx 在(0,2兀)内 A.单调增加B.单调减少C.不 单 调 D.不连续 2x4-1 x0-()。A.OB.-l C.-3 D.-510.已知/(*)=z+lnx,0 B.x oo C.x一+oo D.x oo17.设lim/(x)存在，贝厅(x
3、)在沏处A.一定有定义 B.一定无定义C.有定义且/(沏)=lim f (x)D.可以有定义，也可以无定义H.2VCO5(x)-2e *D.2.tc o s(x*)+若./(.r)c L r=F O)(则 si ru/(C C S J 等7 ()A.F(ssi n r)1 CR 4 cC-F(CC)5CT)9.1).一 -F(CST)一C20设/(X)为奇函数且连续，又 有 尸(x)=叭。市,则F(-x)等 于().A.F(x)B.-F(x)C.O D.2F(x)21.下列变量在给定的变化过程中是无穷小量的是【】A.型XLO)B.2 r 2 Q-0)x、I21C.-(X +oo)D.r sin
4、(X*0)/r：+1工22.函数y=ax2+c在(0,+oo)上单调增加，则 a,c 应满足【】A.a 0 且 c 是任意常数C.a 0 且 c#0 D.a 0 且“wl 的常数)则/(1)=A 人 a(l+lMB a(l-lna)C.alnaIa+D.a24.设f(x)=xe2(x),则在X=1处的切线方程是0。A.3x-y+4=0 B.3x+y+4=0 C.3x+y-4=0 D.3x-y-2=025.设/(幻=詈，则f/(x)dx=A.cosxXc COSX cC.-+CX26.设函数y=/（“），M=和（外，且/与 伊 均 可 导.则 等于（）QJCA.手.学 B.乎+器 C.+立 半.
5、乎dx Ax dx dx du dx du ax27.函 数y=/Cr）在 点 工=工0处取得极小值，则必有（）A./V o）O B./U o）=OC J 5）=0 且/*（To）O D./V o）=O 或 f U o）不存在若事件A与B互斥，且RA)=0.5,H A U B)=0 8,则H 8)等于()28.A 0.3 B.0.4 C.0.2 D.0.1设z=yxy，则当=d x(u)A B，J C.-1 D.129.z设/l r）具有任意阶导数，且比则/七）=（）30.A，v w r B.q/（z）r c.（/u）rD.12(/Cr)r二、填 空 题(30题)设y=f(ax),且/可 导，
6、则/=32.函 数y=ex2的 极 值 点 为x=.3 3.已知 P(A)=0.7 P(B|A)=0.5,则 P(AB)=34.35.设函数:在“。处连续，则”一37.设/(幻=/，g(x)=cosx,则;f(g(x)=.ax38.曲线y=2/+3x-26上点M 处的切线斜率是15,则点M的坐标是3 9、W 数 =In(cot x),则 d=4 0.设 f(x)二 阶 可 导，y=ex)贝|Jy=041.-sin 告，JT 工 0,若函数八5 在X=0处连续，则a=a,x=0A.O B.1 C.-1 0&z=arccot(x+y)则 二=42.d y43.设 y=excosx,贝 lj y=4
7、4.(t+arc，a n，)d，=设 y=e2arccosj，贝Iy=.45.r=046.设曲线y=ax?+2x在点(1,a+2)处的切线与y=4x平行，则47.设/(x)=s i n贝ijf d)=X It48若z=ln&+*),则需=-衰-49.dx=50.设 函 数 f(x)=sin(1-x),则 f(1)=.51.当五一0时，“No+3八)/(xo h)+2h是h的高阶无穷小量，则f(xo)=5 2设函数y=34则其单调递增区间为53.设尸(x)=1arc sinfdr,贝ijF(O)=54.设/(x)=J；n(t2+l)df,则f(x)=55.曲线y=2x2+3x-26上点M处的切线
8、斜率是15,则点M的坐标是,56 设 (*)=J ln(r+J)I/+/&a2,x20).求函数y=，.麻的导数作77.设函数。=”（/-丁力）.求 翁 弟78.计算不定根分J 3含&79.求G H+力.,其中。为*,=和、=或 储 0）为边的平行四边形.求定积分:81.计算定枳分，1斤 尚 砧,求 -im r82.J 1 +s in/83.xarcsiru*.d j r。一x184.已知 y i =zlnz,求 y g.85求不定IR分j xarciaardx.86.已知函数 f(x)=-x2+2x.求曲线y=f(x)与 x 轴所围成的平面图形面积S；求的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体
9、积Vx.87.已知x=-l是函数f(x)=ax3+bx2的驻点，且曲线y=f(x)过点(1,5),求 a,b 的值.88.设函数 y=x3+sin x+3,求 y，.89.求微分方程2y*+51y 5x:-2a-1 的通解.90.若曲线由方程工 +e”=4-2 产确定.求此曲线在工=1 处的切线方程.四、综合题(10题)Q 1 证明；当工。时/n(l 十干詈y J L2(j 1)9 2金明；当1 I 时.Iru 9 3证 明:方 程 一-1-d/=0 在区间(0,D 内有唯一的实根94.证 明 方 程/-3 工。在 1 与 2 之间至少有一个实根.过点作嵬物线=2的切线,读切线。上述彼物蝶及，
10、轴阳成一平面图95.形求此图形维 箱箕*一周所成的箕转体的体根.96.过曲线y=x:（x 0）上某点A 作切线.若过点A 作的切线,曲线y=，及，轴围成的图形面积为之,求该图形绕二轴旋转一周所得旋转体体积V.已知曲线y=a G（a 0）与曲线In右 在点（工。.y）处有公切线,试求；（1）常数a 和切点（工。“）；97.（2）两曲线与I 轴图成的平面图形的面积S.98.求 曲 线 y-G T 的 凹 凸 区间及拐点.99.求由曲线y =（X-1 V和直线1=2 所圉成的图形烧/轴旋转所得旋转体体积.证明：方程4工 一 1 =丁3在（0.1）内仅有一个根.100.J 1 +，五、解答题（10题）
11、101.做一个如下图所示的角铁架子，其底为等腰三角形，底边长为6m、架子总长为5 m,试求所用角铁为最少时，三根角铁的长度各为多少？j-c-rd.r.102.求 J o103.设 z=sin(xy)+2x2+y,求 dz.104.计 算 arc sinxdx。105.已知/(x)的一个原函数为 ,试求上imr/(x)dx.计算 lim/-T/.106.一 皿-咫107.已知函数f(x)=a-bcx在区间(-8,+8)内是奇函数，且当4 1时，/(X)有极小值-,，求另一个极值及此曲线的拐点.108.(本虺满分io分)在 第 一 象 限 内 的 曲 线 上 求 一 点%(%.%),使过该点的切线
12、被两坐标轴所截线段的长度为最短.(1)求曲线y=l-与直线y-x =l所围成的平面图形的面积4(2)求(1)中的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.A U A 计算(二山.110.4+/六、单 选 题（0题）设函数/（sinr）-cos.r（A.-*inrK -2 si nr C OS Tc-/D.-111.，l r参考答案【解析）因为1.B所以2.B答应选B.提 示 先用复合函数求导因为则/叶）当x=2时.得/代卜-3.B4.B则/等于/*()=y cos y./f(0)=y.,再 求/代 卜飘却=喂)(-米1.故选B.因为/(x)=J(/-l)d/*=x-l.令/,(x)=0.解得 x
13、=l.乂/*(l)=l 0,所 以 X=1是函数/(X)的极小值点，极小值/(!)=(x-l)dx=-j(x-l)2|=-g .5.B6.A|imsinQ?-ar)X*3 X所以。=-l.7 解析 根据已知条件及少件关系的定义应选C.8.A 由 y=x+cosx,所以 y=l-sinx0(09.C因为 km/(x)=lim(x2-3)=-2.所以/啸/1 二/(-2)=(2x+D 2 =-3.10.B答 应 选B.分析本题考查的知识点是复合函数的概念及其求导计算本题的关键是正确写出复合函数/g(N)的表达式后再对X求导.根据函数橇念可知：/ff(x)=g(x)+ln 0,即 a0,且对c没有其
14、他要求，故选B.23.A/z(x)=(xa)z+(*)r+(In a)r=oxa-1+x Ina所以/(l)=a+alnu=a(l+lnu)选 A.24.D因 为 f(x)=(l+2x)e2(x-1),f(l)=3,则切线方程的斜率k=3,切线方程为y-l=3(x-l),即 3x-y-2=0,故选 D。25,B 解析 由不定枳分的性质可得.26.D答应选分 析 本题琴查的知识点是夏令函数的求导公式.根据复合函数求导公式.可知I)正确.帚婴注意的是：选 项A错误的原因走/是*的复合函数,所以必须通过对中间变量求导后才奏对.求导.27.D28.A 解析 设 =砂 则z=4dz dz du 1 1
15、1 fy&dw dx 2ju 2xy 2 x所以生=1 E|=129.B a*a J)2Y x|；：230.C-a x na-fa-x)解析y=fX ax)(a-xS=/z(a-x)In a a-*(x)*Il=-1 In a/-)32.2令因为y=2xe=0.得x=0,且在x=0两m y异号,所以x=0是极值点.33.0.3534.35.036.2/3x3/2+2xI/2In|x|+C(6-1)(1 +-)dj=-1 +x i-*T)/x+C.J G（l+z）J +产）J 1+Z263.相应的齐次方程为y-2y-3 y =0.其特征方程为 r,-2 r-3 =0.得特征根为b=3.r,=-1
16、,故齐次方程的通解为y =G e+a e*（C.G 为任意常数）.由于自由项/（工）=x e *.A =-1是特征单根.故可设原方程的轴解为y*=x（A r +B）e-*（将y代入原方程.得8 A r +2A 4H=*有-8 A =1.2 A-4 B=0得Alt B 一 看故原方程的特M为,=/（一 卜 一5卜一-三（2 1+1 W.所以原方程的通解为y-C.eu 4-C t e-（2 x +De C C,.Q 为任意常数）.相应的齐次方程为y*-2y-3y 0,其特征方程为 -2 r-3 =0.得特征根为C =3.r,=-1.故齐次方程的通解为y =G e+a e Y G C 为任意常数）.
17、由于自由项/（G =1 e 以=一】是特征单根.故可设原方程的特M为y 03 x（A r +B）e-*将y代人原方程.得-8 A r +2 A 4B x 有-8 A =1.2 A 4 B=0得A -故原方程的特筋为，=，（_*_ 5广-云（2 1+De”.所以原方程的通解为y=Ce+a e 三（2一+De G C 为任意常数）.令I=则 dr=d 当工 6 0.2 时.W 1.1.于是原式=1/(x 1)(Lr=J fiu)du=J/(M)d+J/(tt)dw64=ln(1 +e).令 I=“，则 dr=d“当 0.2 时“1.1.于是原式二1/(x -1 )clr=j f(u)du=j /(
18、)du 4-j/(u)dw=L备&+1 圭公=ln(1 +e).dz =dz du -y.-d z d u dx du dx dv dx=门./.(小,子)+，.厂,子).女 _ 女 du id z dudy du dy dv dy65.=、,：).8z S S dz du，dz du一dx du 3工 dv 3x=/广 宁)b,+/()”一 厂/./,寸)+，.卜,子).dz dz du yt d z1 d vdy du dy dv dy=/f 引F+/W)揖=L，./.(亨 八 卜 ，4).设 l=Ja-工,则”=3 _ r ,dj r =_ 2 r d/.7 T备 也=-2(，-In|1
19、 +/|)+C66.再将t=VT=T代人,整理后得J 1 +=_ 2(/3-x-In|1 4-，3|)+C.设 t=/3 -X，则 _r =3 _ I.dr =_ 2tdl.J7 T备 市T 号 斗“2 j(l 击 尸/In|1 +/I)+C再将t=再 二 N 代人,整理后得1 仃嗡与 一 2k F T n|1 +k?|)+c.67.f(x)的定义域为(-oo,0),(0,+oo),且/,(X)=2*+4J*(*)=2-4.X X令/(%)=0.得 x=-l：令/(*)=().得 x=苏.列表如下：X(-B.-1)-1(-U 0)(0.(我,.B )/（X）-0广（W.-0A*)极小值3/拐点
20、(5.0)由上表可知,函数/（x）的单调减少区间为（-81 ）.单调墙加区间为（-I,0）和（0,+8）;/（-1）=3 为极小值；函数/（动的凹区间为（-8 Q）和（苏，+8）,凸区间为（0,万）；拐点坐标为（/.0）.令 L*+1 =即 x =l)A r =”于是68.=J-y(U3-1)“-=*W 7)d“=Q，-/T C(2J+1)-(2J4-1)+C.4 0IO令 y/2x+1 =即 1 =y(u1 D.dr =1/!,于是Jx /Zx+Idr =1 -(uJ-1 )i -|w duHyf(M 4“，)d =奈 u；+c型.(2 +DJ.(2I+D+C4 0IO69.=2 x=0.a
21、%由 A 得驻点(O.-D，=2y+2 0,I d r因为 4ss彗 I =2-B-TT=0,C =4 I =2,dx I(o.-ij dxdy I.-1)dy I(o.-i)所以B：-4 C =-4 0.从而可知M O.-l)=-l 为极小值.f x f(x)cL r =f x d/，(x)=f xAxJo Jo L J Jo=2/(2)-f(z)：=2-2 =0.|xf(x)dr =J 1r dy=J f(x)dj=2/(2)-八力1=2-2=0.原方程变形为分离变it得积分得5 半=3x*+5xoLr5dy=(3x2 4-5j)d r.5 =h+-j-x:+G 故通解为72.y=+#+c
22、原方程变形为分离变it得积分得故通解为5 翌=3x*+5才,ajr5dy=(3/+5jr)dx.51y=工，+C1.73.m /(*).令 a=.z=xyf(u),空 ”()+x y f(u)=0X O JC”(“)+”/()(j)二 ”(M)一亍/()鉴-jrf(u)+“”)盥dydy=i/(“)+rW 7 y =x/(u)+/*()因此 i 翌+y”x y f(.u)-y:f，(u)+x y f(u)+yff/(u)ox oy=2xy/(=2xyf().z=令 u=j.z =jryftuK票 二”(“)+(u)宴=y f(u)+jry/*()(一步)=”(必)一Y ，生=x/(w)+*W
23、盥dydy因此上翌+y 段=x y/(w)-y:f，(u)+x y/(n)+y，(“O-T oy2xy/()=2 ty/(因为=l i m x si n -，-0 r-O JC0 =/(O),所 以/(z)在 工=0处连续.但/二/。2=。=出 山上,JT -0 X X JT而l i m si n -不存在，即l i m/y)二，(,)不存在.,7 X LO X-074.所 以/(1)在.r =O处不可号.因为l i m/(r)=l i m x si n =0 =/(O)才-0 T所 以 八 外 在1 =0处连续.但人 工)-0)=公=二=JT -0 X X X而l i m si n -不存在
24、,即l i m八二一，()不存在.,7 X L。X-0所以/(z)在1 =0处不可导.由对称性知3 y L r dy =0所 以u/=*工,+y)(L r dy =2 1 cW j r adr =75.由对称性知j j 3 y L r dy =0,所 以DI=1(+/)cl r dy =2 1 )+x,y(2 x/1/+/：1).器=xz fQx1 J +，W i (2 y)+J x=x2 fix2 /,“+2y/J).第。2xyf(xl +/”2i+yox=2xyf(xl y1.x y)+jr2y(2xf/+”J).生=/y.x y )+“Wi -2y)+xlyft，x=x2 fix2 y
25、Liy)+x2y(xft，2y/).78.=2卜r c s iar c K/I+才)2 7 1+ar c s iiv r -=2/I+x ar c s ir u-f ；/1+jr ar c s in x +2-*+C.叱c Lr =2 f ar c s in.r d(+JT)/T+7 J12 v l +r c s in x 一X/T-KX.djr2，l +/ar e iikr -52 y r+T ar c s in x +2/I-1 +C.7 9.首先画出积分区域D.把它看做y型.则4-)dt f =J dj|(z?+y?)c t r=f +y z)d =14u2.J /x)+J l n d(
26、2 G、2 T x l n j-1 l+|%dr +2 d nxi：r 380.9 +4.f+4e 4 G|=8(1 号谭+f门h-j ：l n x d(2 /x)+j l n x d(2 /x)=一2 6同:T+,原山+2G l u|：J2公-+4/r|.f+4 e-4矶=8(】一 力81.令eri i m,则z=T n H in/.dr -黑山.且当工=。时“会当i=l n 2In(2 瓜、一噂，令 er=sin/则 r=-Insin/cLr=一 健必出且当工=。时=当”=In2sin/Z=-ln（2 一瓜）82.被积函数分子分母同乘（l-*i u）得 皿1*红 匕=f竽 必-tnlxcL
27、rJ I-Min X J CO5 X J工_ J/.工|（sec2x l）dx=-I sec2 xdx+LrCOST J J=l/cosx-tanx+x+C被积函数分子分母同乘（l-s i u）,得sin xd-M in x）=警h a n id rI-Hin X J CO5 X Jn-f f（s e ci j -1 ）dxJ cos J J=一 I see2 r d j I d r ,/一C O D J =l/cosx-tanx+x+C工?曰吗&=一 a rcsirvrd4T J y/1-x2arcsinx+/I -M83.vl-ri arcsinx+Jd-rx-v l-x1 arcsinx
28、+C.v/1-x2 a rcsi nx+x/1-x*arcsinx+C.=y*丁 =(j|n x)z=In ar +x =1 +In z.84.=y”了 =(1 l n x)r=.JT,(L”=y(T)y =(/1M)，=|n x +工 +=1 +|皿.)，=y”了 =(1 l n x)z=l x!a r c t a n x-l j(l_ arctanx 41r+7)；r、rctanx-arctatir)4-C.85.d(x*)=4-j!flrctanj-；1业=p a r c t.n x-l J(l-rF)cLr=-x2arctanj y (x arctanx)+C.86.由F=7+2 x,
29、得交点(0 0)与(2.0)|y =0.87.f(x)=3ax2+2bx,f(-l)=3a-2b=0,再由 f(l)=5 得 a+b=5,联立解得a=2,b=3.88.y,=(x3)+(sinx)+(3)=3X2+COSX.89.与原方程对应的齐次线性方程为2y+5y=0,特征方程为2rl 4-5r=二0,故r,=。=5F于是y=C|+C2e为齐次线性方程的通解.而中的入=0为单一特征根.故可设y =jtiAx1 4-Br-F C)为21y+5y=5x*2x 1的一个特解,于是有、=3AP+2Hr+C.(y)*=6Ar+2 8.知2(6Ar+2 8)+5(3A r+2R r+C)=-2x-1,
30、即15Ar2 4-(12A+1OB)J+4B+5C=-2 x-1,故15A=5.12A+10B=-2.4 B +5C=-1.于是所以A lxy=T _ _ 5+25为2y*+by 5?2JT 1的一个特解,因此原方程的通耕为y=G+G e +4 弩 +,0为任意常数）.与原方程对应的齐次线性方程为2y+5 *=0.特征方程为2r*4-5 r =0,故rt=0,=,于是y =G+C：e q为齐次线性方程的通解.而 5 一2工一 1 中的A =0为单一特征根.故可设y=x(A r,4-B r 4-C)为Zy+5 y=5 xl 2x 1的一个特解,于是有.()=3A rl+2H r +C,(-)*=
31、6A r 4-2B.知2(6A r-b 2B)4-5(3A r,+2H r 4-C)=5 xl-2x -1,即IS A r1 4-(12A +10 B)x 4-4B +5 C 5-2J-1.故15 A =5.12A +10 B =-2.4 B +5 C =-1.于是A人-_-13BBT3-Cc =275所以为 _ 3、,7xy=T-5+252y+5 z=5 xs 2x 1的一个特解,因此原方程的通解为y =C,+C,e T +4 一 挈+g +“）于 是=-,注意到1，=1 时有l +c =A -2e 3可求得y=0.即曲线x =1 处的切线斜率为:6=!.切 线 方程 为 仆=一 4。-1）
32、.即，+4，-1 =0.41两边对.r 求导.得 l+2e ,=-2 e”（+“）于是注意到与=1 时有1+?*=3-20时 F(i)0,所以F(x)单调增加,则 当 工 0口八尸(工)尸(0)=0.即(1+x)l n(l +E)ar c t ar u*l n(l +x)ar c t aar当 i=。时.l n U+力=o ar c t an x=0.9 1所以当上 0时.有l n(l +x)ar c t aarT+T故设 F(x)=(1+x)l n(1+x)ar c t an r,则F(x)=l n(1+x)+1-7-r =l n(l +x)+4-r.1 4-x 1+x当 1 0时.F(z)
33、0.所以F(x)单调增加,则 当 工 0时,F(i)F(0)=0.即(1 4-x)l n(l 4-x)ar c t an x.故l n(i+x)ar c t an jT+T当 才=0 时.l n(l+z)=0,半 詈 H 0.所以当了2。时.有l n(l +x)ar c t an r1 +x92.将不等式变形为(x +D io r 2(x-1).设 F(T)=(x +1 )l n r 2(JT 1).则 F(J-)=In x +，+12=In x +-1.xx因 为 当 工=1 时*=0,所以当上 1 时,只要证明r(z)F(D N 0.即证F(_r)为单词增加函数即叽由于 F*(x)=-斗=
34、-t.X X*X1当H 1 时.F*(工)0,所以尸(才)为单调增加函数.即当 1 1 时.F G)F d)0.由于r(x o.i F(X)为单两增加函数.所以当上 】时.FU F(D-0,即当,1 B4，(x+l)lnj-2(x-D 0.所以当上 1 B4.1nj 2(J.n-J+1将不等式变形为(x+Dlnx 2(x-1).设 F(x)=(x+1 )lrtr 2(x 1).则 FCx)lor+工十1 2 liur 4-1.xx因为当工=1 -0.所以当上 i 时.只要证明r(x)r o)=o,即证产(工)为单调增加函数即叽由于 F 0,所 以 r(j)为单调增加函数.即当工 1 时.F U
35、)Fd)0.由于F#0.傅F 5)为单蠲增加雨数.所吸当上 1 时.FQ F(l)-0,即当1 1 B4.(x+-1)0.所以当上 】时.Inx 2 Hr+193.令/-e-4 -(士7 .显 然/在 011上连续.4 J。1 十，又/(o)=e1-1-r-l7d/=1-|e 3一】二 e-.()乙 JO j F l 乙 乙:.由零点定理知./(工)在(0.1)内至少有一个零点即方程/(X)=0 至少有一实根.又=e-7-p7 0(0).1+X)在0.1 上单调递增,即/(X)在(0.D 内与二轴至多有个交点.所 以 又 上 述 可 知 在(0 1)内 方 程 只 有 唯 一 的 实 根。令/
36、-e*-4 -r匚3山显然人工)ftEo.l上连续.4 J 0 1-r 又/(0)=-1-1/-1-A-1 0.Hl r T 7d/-y -1=c-5 0.M Jo 1 -i*.由零点定理知./(H)在(O.l)内至少有一个零点,即方程/(Z)=0至少有一实根.又/(x)=e*r 0(r 0).,/(x)在 o,l上单调递增.即人工)在(0.1)内与1轴至多有一个交点.所以，又上述可知，在(0,1)内，方程只有唯一的实根。94.令人工)=V-3工-1.知/G)在口.21上连续.又/1)=-3 0,/0.即/(I)./(2)一3一 1.知/(x)在口.21上连续.又 八1)=-3 0.即/(I)
37、./(2)一1iy k(.x-I)JR 立 1 _ _ 招公 (2 A+】)*+A+20y.-2.由于直线知融物线相切,所以分 4农-0.即(2 r+1 1一 *+2)=0.化筒将=1 .联系实际解得上 去又4=、=-J二=.1 3,代入y-一 2 m y二1 即切点*f t 徐为(3/).2/x 2 zn.所以 v=J x 2 x*x f *a-2)d/f.95.3b设切线的斜率为h则切线方程为y-*一】)(y o k(.JT-I 联立，_ _ _ _将 公/一(2/+】)工+必+20y.2.由于直线网抛物线相切所以y 43=0.即(2必+1)-(公 2)-0.化愉樽4公=I.联系实际解得*
38、-y.JU=y=4=-J,解 用.代 入y J7:I.flfy n 1.即切点坐标为(3.D.2 x 2 Z所以 V=J X 2 X.X P-x j(x-2)d j-i.96.设 A 点坐标（八 元）由”=2，得切线方程为y M=2八（”一*一 1 =0 切线与】轴交点为工=9.于是V n|x*Ar-nf（2x-1 ）:d j=7-x J*=装（立方单位）.Jo JI 3 b SU设 A 点坐标（八,尤 由y=2,得切线方程为y 尤=2 n N0ay/x.In/j7 t求解,得a=%切 点为 J）.(In y/xY（2）两曲线与工轴闱成的平面图形如图所示：于是所求的面积为：c _ S=f /7
39、 I 1”（1）由巳知条件知.Inl 2 3 4 5 6 7 e Jr，求解,得a=T.切点为SD.2）两曲线与I 轴阐成的平面图形如图所示；于是所求的面积为：S=j 1 6 d.rJ In vGcir=一 （平方单位）.98.函数的定义域是（-Q O.+8）.且y （工+一工+），=2(5z+D _ 2(5j+I)当q=一 9 时./=0|当 工=0 时./不存在.故以口=-1 和 Q=0 将定义域分成三个部分区间.并列表讨论如F：(8.；)5（;,。）0(0.+8).y0+不存在+y-/x)n有拐点U无拐点U所以在（一 8.一 ）内 曲 线 是 凸 的.在（一看.+8）内曲线是凹的.曲线的
40、拐点为（-9 一 3 J S）在 i 一 0 处曲线无拐点.所以.在（一8.-内 曲 线 是 凸 的.在（一函数的定义域是（8.+8）且y 1+了 =-y Xr 10 L,2 T 2（5-r+l）y=工 十+工=Vk =当上i=-1-时y=0,当 心=0时/不存在故以xi三个部分区间.并列表讨论如F,25”+l9工*,=-g和4=0将定义域分成j*_ JL(-T-0)0(0.+8)Hy0+不存在+y -/n有拐点u无拐点U,十 8）内曲线是凹的.曲线的拐点为（一1,-,在L 0处曲线无拐点.99.显然曲线式=（工一】尸关于1轴对称，则它和直线7 =2围成图形也关于H轴对称.又曲线和了轴交点为（
41、1,0）.因此V=n（H 1尸ctr=孑 （立方单位）.显然曲线丁=（x-1）1关于工轴对称，则它和直线1=2围成图形也关于工轴对称.又曲线和彳轴交点为（1,0）,因此丫=Ji（工一】）d _ r=孑（立方单位）.100.令/（H）=4上1 J .则 /（x）=4x 1 arctan,r.且 /（x）的定义域为（-8.+8）.因为 0）=-1 0.所以.由零点存在定理,可知函数人1）在（01）内至少存在一个零点.又，（公=4-Tf =法 与 0,所以./（工）在（0.1）上是单调递增的,即函数八1）在（0 J）内有且仅有一个根.令/(x)4JT 1-/1 如?则=4x 1 arctan.且/(
42、x)的定义J 0 l 十/域为(-8.4-00).因为八0)=-l 0.所以.由零点存在定理.可知函 数/g在(0.1)内至少存在一个零点.又，(公=4 一号=咨 竽 0,所以./(工)在(0.1)上是单调递增的,即函数人)在(0.1)内有且仅有一个根.101.解 设等腰三角形的高为儿 则8力=QC=jM+32三根角铁的总长/=5 +2厢 有/=-!+2h =0 得 4M=后9J +9解得h=m由于只有唯一的驻点，所以/=石 为 所 求，即三根角铁的长度分别为BD=DC=2,3m,AD=5-/3m.102.e 业=lim jre dx=litn jrde-JJ 0.一 I RJ 0 a J 0
43、=lim(ae)4 lim I dx4fn ac Q 1t_*x J 0a lim(ae)十 lim(e)tf-*4 3 oc c=lim(1 eTa)=1.103.解法1因为 1=ycos(xy)+4x,=xcos(xy)+l,所以 dz=dz+dy=4x+yco(xy)dx+l+xcos(xy)dy.dx dy解法2直接对等式两边求微分,得dz=dsin(xy)+d(2x，y)=cos(xy)(ydx+xdy)+4xdx+dy=(4x+ycos(xr)dx+I xcoi(xy)dy.104.sinxdx=xarcsinx-T；X dxW l-x22(1-x)=-lim(l+xX/3Zx+V
44、F+x)=-2/22 1=xarcSinx+，f-j=L=d(l-x2)2J7T7=xarcsinx+V l-x2+C.105.解 由题意有从而/(x)=C=/，于是=02 2/(1)=E P i+c=八 1)=0 得 3a+c=0解得此时/(幻=3，-3/1)=Y=#_I)2O得x=L 冶 七T=02 2g B P d +c=八 1)=0 得 +c=0解得c=T此时八幻=g”_i)2o得又=1./*(-D=x|=0所以/(-1)=g+：=，为极大值令广(幻才得尸0可知4=0左右的/“异号，所以(0.0)为拐点108.本题的关键是求出切线与坐标轴的交点.【解 析)如 图2-5-2所示，因 为
45、八-马，所以切线方程为y-y.=-4(Ax。),设切线与两*%坐标轴的交点分别为(*0)(0.6),由切线方程可得所截线段长度的平方为L=F=Q*+62=-j-xJ+多 4%上式两边对求导得9 1L1 S-XQ-4X9 丁 N%o令Z/=0,得 品=2+(小=2+舍去).由于只有唯一的驻点，所以X=&必 为 所 求.所 以 点 外 的 坐 标 为 卜109.解（1）所围图形的面积如右图阴影部分所示.A=J-(x+l)J dx=_ j 02+x)dx=-(y +y)=1-1 6(2)=?i j (l-y)dy-K(y-l)2dy=n (y-y2)dy=C 177“b-田k-w+即 C+&=G-rfhk 斗-w+说0.=1 -ln(l*r)-f-ln2.lll.D=1-ln(l+e)+ln2.