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1、2022年河南省漂河市普通高校对口单招高等数学二自考模拟考试（含答案及部分解析）学校:班级:姓名:考号:一、单选题(30题)2x+l x 0()OA.连 续 的 B.可导的C.左极限声右极限D.左极限=右极限2.若 F(x)0(a 0,则在(a,b)内必有A.A.f(x)0 B.f(x)0 C.f(x)=0 D.f(x)符号不定。设二元函数zusinC ry2),则手等于3.九A A.ycos(xy2)B-x y c o s(j：yz)C y2 cosCxy2)D y2 cos(xy)m.sin(.lx2-a x),设 hm-=1,4.7 x则a=A.A.-l B.-2C.1 D.25 设 z
2、=/+siny,则 言=()A.2x+cosy B.-siny C.2 D.O已知/(x +1)=,则/(x)=A.xex B.(x-Dex C.(x+l)e*D.(x+l)e _X_D.y y215.函数J=/（J）在点1=1 0 处取得极小值，则必有（）A./V o）O B./V o）=OC./5）=0 且/V o）O D./（词=0 或/）不存在I6设函数产/（工）在点（%/（x）处的切线斜率为3，则过点（1,0）的切线方程为（）.A.y=x+1B.y=x-118.设厂（幻.口 则/2 讥旬=A.4e B.2e C.c D.119.从1,3,5,7 中任取两个不同的数，分别记作k,b,作
3、直线y=kx+b,则最多可作直线（）。A.6 条 B.8 条 C.12 条 D.24 条仔=,J2|函数y=/（由参数方程J 所确定,则一 一3 dr I f -20.1y 仪21.设 P=s i n2xd x.Q =j：c o s 2H d x,R =s i r/Nd j：,则下列选项能成立的是A.P=Q=R B.P=Q RC.P Q Q R设贝 寄=dxdyA.2x(l+x2y)eJ，C.Ixyd+x2B.2x(1D.盯(1 +乂2把*叩23.下列定积分的值等于。的 是()oA.B.J：(e-e T)d xf-,xc，d xxlna+xbdrC.J,c 1 XJCOMdxD.JT24.曲线
4、y=x 3在点(1,-2)处的切线方程为【】A.2x-y-6=0 B.4x-y-6=0 C.4x-y-2=0 D.2x-y-4=0定积分3%r=25.Ji%f(x)dxA.AB.1；/00dxj：f(x)dxC.2 6.方程 1+2-7-2=0在-3,2 内A.A.有1个 实 根B.有2个 实 根C至少有1个 实 根D.无实根0?设2=/,则 与 等 于().2/.dxdyA.(i+xy)e”B/(l+y)e”C.y(i+x)e”D.z ye 设f(x+y,即)=且，则 嗓2+也N=xy dx dyA.x+y B.+x C.+：-D.-r-yy y y y2 9.下列定积分等于零的是A.|x*
5、cosxdzC.J(xJ+sin x)dxB.产 inZdxD.P +x J d x3 0 设/(x)=x(.r l)(x 2)(x 3)(x-t).W /(4)=二、填空题(30题)31.极限的值是x-11X032.设/(x)=si nL 贝 Ij f d)三xn33 士 京1 -x7 34.曲线y=l n(l +x)的铅直渐近线是.35.设 z =a rc si n(xy).则3 6 I(/c os x+1)d x=3 7.设 J：/(0也=，则 J(2 f(6)匕=-3 8.函数y=si nj r-1在区间 0.0上的最大值是()A.4 B.0 C.一页 D.x3 9.设 Z =(s i
6、 n x)m y(o V R V 兀)，贝|J d z =.4 0.点是函数y=-p一的(e-+1A.连续点 B.可去间斯黑C.现联间断点 D.第二类间所点4 1.设函数/(工)和力外在点”处不连续,而函数人工)在点入处连续,则函数(工，处必不连续.A./(_ r)+以 幻 B./(J g(x)C./x)+A x)D./x)A(x)4 2 设/(，)=e .g(x)=,则/(g(*)=设 N=6，则上品=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _43.dxdy44.函 数 f（H）=（COSN对 在 X=0 点处连续，则 定 义/0）=45.im（l+等）=_ _ _ _ _ _ _ _ _，Xo
7、 4f 1 1 17CO S GT=J X X46.47.不定积分j2”cLr=C.j 2u+CB.-i-(ln2)2u+CwD%+C48.设函数 y=/+2 n,则 y w(l)=_49 fM-幻 VI?dr=50.若 Jf(x)dx=2sin+C,0WF(x)=51.曲线y=xe-z的拐点坐标是52.曲线y=A -+l的拐点坐标(%,%)=53.设 y=2x,且 x=1 时，y=2,贝U yx2+xhm-=-x-*2x-x +254.55.二元函数?(x,y)=2+y2+xy+x+y 的驻点是.56设,则都(0.0)设 z=arc sin(xy)则三g57.谕y5 8.函数 y=lnx,则
8、 y(2O5 9 .设函数 y=xsi nx,则 y=.6 0 .设函数y=/(-2 ,则，=A./(-2 x)B.C.2/(-2X)D.-2,(-2 x)三、计算题(3 0 题)6求 si n(l na-)d j.求极限l i m6 2.(e T，)皿+工4X X63求不定积分 e”+l n(l+H)66.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户（如图所示），其周长为1 2 m,为使窗户的面积A 达到最大，矩形的宽1应为多少？67.求函数z=x2+y2+2y的极值.68.求傩分方程y -2y 3y =的通解.求不定积分69.d r1 +-“70.1求其中人 力=.l+e x+1.0 C 1.1
9、 C x z)的全微分.77.设 函 数 y=x3+sin x+3,求 y 求极限1而3!”/O.L ”7 9设函数y=（）由方程y=（Inx）1 确定.求y.80.ix=ail sin/).巳知参数方程 目力 二 什设 /（X）J 求,/0.,求0（1 一1粒.-1-,i 0.+VOC设八外是连续函数，且 /（，）&=H.求 人7）.89.J。90.求不定积分/-1=()上一点M(l.l)作切线/.平面图形D 由曲线、，=工，切线I及J轴围成.求：(1)平面图形。的面积；(2)平面图形。绕/轴旋转一周所形成的旋转体的体积.93.若/在。，工1上连续.存在m M两个京 数,且 擂 足 V 儿证
10、明，恒*m(jrt-x,)C M(x,-x,).94.证明:方程4=J：击在(0.D内仅有一个根.95.3证明：方 程1 一彳 山=0在区间(0.1)内有唯一的实根.1 +t96.求函数y=)6前一工,的单调区间和极值.9 7 .讨论函数/(.)-3.r-T1的单调性.c c i f 明 当，o 时有,I n ,98.1-199.设函数了）在闭区间 0.1上连续.在开区间（0,1）内可导且/（0）=/（I）=0,/（7）=1,证明：存在 6 （0.1）使=I.1 0 0证明方程4H=2,在 0.1上有且只有一个实根.五、解答题（10题）101.（本题满分1 0分）计 算 信.102.设抛物线）
11、，=l-x2与 x 轴的交点为A,B,在它们所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD（如图1 2-2 所示）.设梯形上底CD长为2 x,面积为S（x）.图 122写出S(x)的表达式;求S(x)的最大值.设随机变量箱分 布列 为;0 12 30.2 0.3 a 0.1(1)求常数a1 0 3(2)求融的分布函数尸(x).1 0 4 设）=m“始 +8；0,求dy.1 0 5.求函数f(x)=x3-3 x2-9x+2的单调区间和极值.1 0 6.设有5 封信及标号为1-5 的 5 个信筒，将这5 封信投入任意一个信筒是等可能的，求下列事件的概率.(D A=5 个信筒里各有一封信
12、”；(2)B=4 号信筒里只能投指定的一封信，其余信筒各一封信”.1 0 7.求下列函数的全微分：z=l n(*-3 y)；1 0 8.求曲线y=V7与直线y=x-2,y=O所围成图形的面积4及该图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积匕.1 0 9 设/(x)=x l n 2 x，且f (xo)=2,求/(X o).1 1 0.某单位有3部汽车，每天每部车需检修的概率为1/5,各部车是否需检修是相互独立的，求一天内恰有2部车需检修的概率.六、单选题(0题)1 1 1.下列函数为同一函数的是A./(x)=lnxJ,g(x)=21nxB./(x)=x,g(x)=C./(x)=x,g(x)=x(s e
13、c2x tan2x)D./(x)=|x|,g(x)=参考答案l.Dl i m /(x)=l i m (2x+1)=1,l i m f(x)=l i m (x2+1)=1.故选 D.*_ x-M)*j-fO*2.A因 为所以(x)0,所以/(x)0 x (a.b).xs (a,b).x (a b).3.D4.A而 地 空 二 也 幽 也.止 丝=-。=1所以叫T*7 X-9 X5.D此题暂无解析 解 析)用 换 元 法 求 出 f(x)后再求导用 x 1换式中的x 得/(x)=(x-l)e”,N A 所以/)=e*+(x-1 )ex=xexo.A7.B解IS指导本题考查的知识点是曲线上拐点的概念
14、及拐点坐标的求法.令由于是单项选择题，所以当求得/=6*工0得工=0时，可知y=0,此时无需验证当戈0时y”0时y0,即可确定正确选项必为B.8.A函数f(x)在 X 0处有定义不一定在该点连续，故选A。9.C 用基本初等函数的导数公式.10.A11.D2因为r(x)=2x-彳，使/(x)0的区间是X1,X所以函数的单调增加区间为(1,+8).12.D因z=(3:+1)“可看作是z =/,“=3+炉,。=zy复合而成，蚤=图 +1*=dx du dx av div “I.6z+广 l n y=z y (3/+/)1 3 H.62+(3+炉产 l n(3 z +力 y=y (3 x2+力1 (3
15、 x!+y)l n(3 x*+y)+6 j2.解析 根据导数的定义式可知13.A/T1 4.D设 x+y=w x y=v,则/3,y)=,即/(r,y)=,所以yydf(x,y)df(x,y)_ 1 x1 +=*.dx dy y y1 5.D1 6.B本题考查的知识点是：函数y=?(x)在点(x,?(x)处导数的几何意义是 表 示 该 函 数 对 应 曲 线 过 点(x,?(x)的 切 线 的 斜 率.由y=/y)=/，得1)=1可知 切线过点(1,0),贝I J切线方程为y=x-1,所以选B.17.sin t/(l-c ost)18 .A 解 析：因为2)(创=)(外所以/5 D(x)=2e
16、2x+1,f(n)(x)=4e2x+1则/(”)(0)=4e19 .C由于直线丫=1+15与k,b取数时的顺序有关，所以归结为简单的排列问题.Pi-4 X3=123b 3620.存 4 721.A 解析 因 为 唉=产2个dx所 以 照=)；=(2x+2 x y x2)，=2x(1+x2 y)产，22.B a方23.C24.B因y=N -3,所以，=于是曲线左点(1,-2)处的切线的鼾率k=y=4,从而得知1-1线方程:y+2 =4(1 1),用 4 i-y-6 =0.25.AJ：1：，)d x=/(Inx)dlnx 一”y(w)dw=/(x)dx26.C/(X)=X3+2X2-X-2,x e
17、 -3,2 因为 f(x)在区间43,2 上连续且/(-3)=-8 0由闭区间上连续函数的性质可知，至少存在一点fc(-3,2),使f(G=O所以方程在-3,2 上至少有1 个实根.【提示】先求要，再求停)dx dy dx)”.因为 1=y e 目豹=e f y e ,所以选A.27.A a%dy ax)28.D 解析 设 x+y=u,xy=v,则/(u,v)=,即 /(x,y)=土，所以vyaf(x,y),af(x,y)i x-1-=-J-ax ay y y29.C30.4!31.C32.兀 27 l2由=C O S (y)所以 f，()-.YCOSJ=7C2X X R d)2 1n n33
18、.7tT 解析 因为 J dx=J|/L_j A-drJ4 v T7=21 -7=!=(根据奇、偶函数在对称区间上的积分性质)=2arcsinx|；=2 x-=34.x=-l因为函数的定义域是：元-1.而 lim ln(l+x)=-8所以X =-1是曲线的铅直渐近线.36.237.利用变上限积分的定义，当上限取某一定值时，其值就唯一确定.因为 7(0 d z=所以 当x 取人或 2 时有=J/(z)d/=y设 /x-t,贝”x=/2,d x=2 f t J fx I 1 I 4t i 2-于是 J：9/(&)d x=2 j；/(Q d(a)=2 d r =2.g =1 638.B39.cosx
19、cosy(sinx)cosy-1 dx-siny(sinx)cosy-1 -Insinxdy由.=cosy (sior)M.COSJ,色=(sinx严 Insinx (-sinv)所以 dz=ax dycosjcos(siar)ray 1 dz-siny(sinz)叫 nsinidy.40.C41.C4 2.应填 2xex2.【解析】本题考查的知识点是函数概念及第合函数求导.注意到/(x)=e.的结构式是/(变量)=/,因此所以 1/(8(*)=2*e#.43.-l/y2e2x/y(l+x/y)由z=ey则 匡=ef ,t t,九Jax y M y-4ef+-efy y(-7)=ef(7 +7
20、)=-l/y2e2x/y(l+x/y)44.145.e*e+46.47.A48.n先求出函数)，=x+2的阶导数，再将工=1代入，注意：2是常数因为 yf=nxnly*=n(n-l)x-2y)=n(n l)(n-2)-l=n!所以 y(,(l)=!49.71/250.cos-2r 9 上上 Y/()=(2sin)=2cos()=cos22 2 251.52.(周53.由),=J2xdx=x2+C又 由 初 值 条 件,有y(l)=l+C=2得 C=1 lAi y=x2+154.2保 析 阳总T四三看.X X255应填 x=-l/3,y1/3.本题考查的知识点是多元函数驻点的概念和求法.因为 =
21、二=0.冏式相O.从而可将”=厂-；56.01J(l-X2y2)3 解析57.(-1)(-1)!58.x x59.2cos x-xsinxoy=sin x+xcosx,y=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx60.Dsin(lnx)dxj-sin(lnjr)|J xdsin(lnx)esinl-J cos(ln.r)dT=esinl-xcos(lnjr)+jrdcos(lrLr)esinl-ecosl+1-J sin(loz)d.r.61.sin(lnj-)dx=e(sinl-cosl)+1|J sin(lnx)dx=xsin(lrLr)|J xdsin(lnx)=esinl
22、-J cos(lnx)dx=esinl-xcos(lnjr)J+|jrdcos(ln.r)esinl-ecosl+1-J sin(Inx)d.rsin(liLr)djr=y e(sinl-cosl)+162.由于当工-0时,金是无穷小量,且卜n 5|4 1,故可知lim dsin 士=0.xr3sin2x 与lim-：-=3.4-*0 x所以 阴产 一；：西 工+3吗=3.由 于 当 0 时,三是无穷小量，且卜in =C|+C:e g为齐次线性方程的通解.而5，一2工一1中的入=0为单一特征根.故可设y*=jr(A r+Hr+C)为2/4-5/=5xl-2x-1的一个特解,于是有.(/)=3
23、A r+2 H r+a(y)”=6A r+2B.知2(6Ar 4-2B)+5(3Ar,+2Rr 4-C)=Sx1-2x-1,即15Arz 4-(124+!0B)x+4B4-5C=5-2x-1,故15A=5.12A+10B=-2.4B-b5C =-1.于是所以2y+5y=5x*2x 1的一个特制.因此原方程的通M为y=G+Ge/+（+=0,rt=-于是y=C1+Qe q为齐次线性方程的通解.而5x*-2x-1中的A =0为维一特征根.故可设y=jtiAx1 4-Hr 4-C)为Zy+5y=5x*2x 1的一个特解,于是有(Y=3Ar1+2Hr+C.(y*)*=6Ar+2B.知2(6Ar+2B)+
24、5(3Ar+2BLr+C)=5尸-21 1 即15Axz 4-(2A4-10B)j 4-4B+5C-5xl-2x-1,故5A=5,124 4-10B=-2.4 B +5C=-1.于是所以为2y+5yr 5/2x 1的一个特斜,因此原方程的通解为y=G+C,e-+1 一 誓+祟G C 为任意常数）.lim/1 4-)1 e r=1加*“人I=c 1bm ,Ion 令，=，则原式=e厂 =dy所以8：-AC=-40.从 而 可 知 为 极 小 侑.68.与原方程对应的齐次线性方程为特征方程为r1 2r 3=0.故3.于是y =G e-，+G e”为齐次线性方程的通解.而 e 中的A -1 为单一特
25、征根，故可设y*=xAe-*为y”-2y-3y=c,的一个特解,于是有()=Ae-,-Are*.(y*)=-Ae r-Ae J+A re知Are,2Ae*2(Ae Axe*)3Are-*=c-*.即T A e：=于是由 4A=】.知 A=-y,所以的一个特解,因此原方程的通解为y=G e +a e 一手e （GC为任意常数）.4与原方程对应的齐次线性方程为特征方程为 r -2 r-3 =0,故3.于是y=Ci+G e为齐次线性方程的通解.而e，中的A -1为单一特征根，故可设y*=xAe-*为y*2y-3y 工 e*,的一个特解,于是有(,)=Ac-*-A x e-A y)*-Ae：Ae：+A
26、re知Are -2Ae7-2(Ae-,-Are-3Are-*=e-*.即-4Ae：=,于是由-4A=1,知 A 一十所以的一个特解,因此原方程的通解为y=Ge一与e (G C 为任意常数).4设/=J 3-工则工=3-i djr 0 -2tdt.卜%7 7-上市=2(/-!n|1 +/I)+C69.再将，U /厂：代入，整理后得I nrf e _ 2(7f l i+)+c设，=，3 ,则 xdjr1 +，3-.3-.(r 0=T备 出-2rd/.J由小:f(1-r h)d/2(/In|1 4-/|)4-C再将l=AG代入.修理后得f I+=-2dx=f r r rf e：d z+(x 4-Dc
27、Lr加+(#+，)I70.=arctane,|+-|-=arctane+1 一 彳.。必H fLr 4-(x+1 )dr(l+e)加+(#+)l:=arctanearctane+A?x f9(x)c Lr=|x d f x =一 f (xidjc=2/(2)-p(z)：=2-2=0.工(x)(Lrr d f(.x)2/(x)+Cj=e T+W)+qH+T+Ce”.由 6 1）=1 得.=一!-!+。八 解 得。=祟 一,.故有j 3 y72.王+”1)3 9 T 9P=-|-y*y(x)*Q=哪)v.由积分与路径无关得aQ=apdx dy 即得（，工）=3用（JT）或，（外 一3.（工）=了.
28、由 职】）=1得,1 =-4一4 +0,解 得c=马 厂 故有0/tr73.=_ 1 _+4工 +3 2 (x +1 工 +3)y =如-1)(工+1)1-(-1)(x 4-3)-*,y=4-l)C-2)(x 4-I L，一(-2)(Z+3)-，=-j-(-l)(-2)(x 4-l)-3-(x-|-3)J,C ty=l)(-2)(-3)(x +l)4-(-3)(x 4-3),=-J-(-l)(-2)(-3)(x 4-l)-4-(J-+3)-1,*故 y*=4(-1)”！(z一(工+3尸11=_y l 2+4工 +3 2 (x 4-1 z +3)y=-y -1)2-(-l)(j r +3)*.,
29、/=4(-1)(-2)Q+1)-(-2)(z +3)7 y =l)(-2)(-3)(x+l)一(-3)(h +3)-=y(-l)(-2)(-3)(x-|-l)-4-(X4-3)-1,*故 y-=1(-l)n!(j-4-l)-n-(x 4-3)-,n.7 4.求/(X)的导数得I n 5:令/=0.得脏点”=看.此外点l =0是八)不存在的点.它们将区间分成3个部分区间.列表讨论如下I T0T2(告2.+8)/（X）+不存在一0+/*)然，遵增微大第四通诚极小单调递增由上表可知.函数在区间（一 8.0 和 卷.+8）上 联 调 增 加 在 区 间 上 单 调 递 减.当上=5时,有微小值/（,）
30、-?,当1 .0时函数的9数不存在但1 。是函数的根大值点.极大值f -0.求/（“）的 导 数 得/工）=+,（I l）r 1 n 5、Z：i 令 小 ）=0.得驻点i =卷此外点l =0是八 G不存在的点.它们将区间分成3个部分区间列表讨论如 下 F0T2(告2.+8)/（X）+不存在一0+/时函效的学数不存在,但l。是函数的极大值点.极大值0-0.75.根据题意，先做出枳分区域,如图所示,然后在极坐标系下进行计算.,d y j;+J d z =I d r rdrK I2 3n?根据题意，先做出积分区域如图所示,然后在极坐标系下进行计算.J dyJv/F+y2 d工T C -12 3因 为
31、“二yzsc1(xyz)=n sec”内之)，ut xysec2(xyr)76.所以 d“一+J2rsec因为 ur yzsec2(xyz)=jrz sec1 z)u,jrysec1 ix y z)所以 d”一(jz)dr+jzsecr(jyz)dr+jyscc,(.tyx)ck.77.y,=(x3)5+(sinx)+(3),=3x2+cosx.78.minxilim-t-a-n-x-=vhm-c-o-w-=liBm-s-i-n-x-h1m-1-=1 X.1=1.X“3 J C L0 X-cosxsinxt lam t cosjr siruz*1 _*_ lim-=lim-=hm-lim-=1
32、 X 1 =1.j 7 X-M J-*0 X*7 COSJT79.y=(Inj/了 产+(Ina(工)=if 4-(lnx)r (e f=e*-口n(lnx)+I 亡,T+(lnr)r eh，1 21nx 1=(Iru尸 pn(lor)+p 1r+2(lnx)，+。3),(1)=d1-,rIn(lnx)工+(lor)e1 2lnx =(Inx),pndnx)+亡 x*,u+2(lrur)j r .d业d7-asinl _ sinfa(1 cosr)1 costd:，工v c,o s/-(1-c.o.s./.).-.s.in.2.z ，一1/Zx 4-I d,r =J y(t tj-1)”y t
33、 t d t t=Y J(u=/“:-+C(2X4-D T-1(2J4-1)1+C.40 IO82.由 厂 r+2、得交点(0,0)与(2.0).|y=0.(D s=J(-X1+2*)dx=(-y +X1)|o=y-匕:f i r(-x2+2 x)2d x s|(*4-4/+4 x*)d xJ A J。由于2二 s i n，.里=cost cost+/s i n/=/s i n/,d r d r83.由于因此dvdrdjd;-gCLr s i n rU=s i n，./=c o x/c o s/+/s i n/=I n i n/.dt d rs&-ir-d/-亚CLr s i n/此因dzdd
34、z=工、/(j),令 u=jryf(uK/()=xf()+”(“)因此 N 券+3 取=*y/u)一比/(1 4)+xyf(u)y:/(u)84.=2xy f(u)=2 i y/(1au_d/I-J,u/IJ LXZ=1/()令 u=W.2 =jcy 八X X翥=y/+”/(”)生=x/(K)+/()oy=x f(i 4)+r y/，(“:=xf(u)+”，(“).因此斐+3翌=jryf(u)/(“)+xyf(u)+yxf()OJC oy=2xyf(u)=Zxyf(),J/(x-2)c Lr =j /(t)c k=J /(/)d z 4 j fit)dt.-I(卜 P)d z 卜 e d 4一
35、1.人85.令 x-2=t 那 么：,令，x-2=t,那 么：/(x-2)r =j /(/)d z=/(/)!/+j 7(t)两端微分有：)+(J+2 y)警号.所以 dz=(2x f y)(ln(2 x +)+2 +2ln(2x+)+d y*y方程两边取对数,得Iru-=(jr+2y)ln(2r+y)两端微分有du,=(i r +2dy)ln(2*+y)+(J+2y).x2r-y所以 dz=(2x 4-)-F2.i )0;当z 1时.，(幻 v o所 以/(I)=e-1 为函数/(X)的最大值.C又因为lim/(.r)=lim=oojlim/(x)=lim xc =lim 二=lim-=0.
36、91.于是.函数/(在R 定义域内无最小值.函数/(X)=1广 的 定 交 域 加 1(18+8),且函数/(X)处处可导I因为f(jr)=e4 xe-*=e*(1 x).令/(x =0.程驻点 1=1.且 r V I 时.r(工)0：当工 1 时./(z)V 0,所 以/(I)=e -L 为 函 数 f(x)的最大值.C又因为lim/(x)=lim=-coglim/(x)=lim xe*=lim=lim=0.-*ee于是.函数/(x)在其定义域内无最小值.92.曲线y=工”工 0)在点M(l.l)处切线斜率为2.过M 点的切线方程为y=2工一】.切线与J轴的交点为)(如图所示).c(1)平面
37、图形D 的面积为A=L r-|.1.l31 1-4 12(2)平面图形D 绕/轴旋转周而成的旋转体的体积f K（x2）2cLr-K I1 4,Jo 3 42L _三行一7一工30曲线y=xJ 0)在点M(1.D 处切线斜率为2.过M 点的切线方程为、=2一】.切线与丁轴的交点为4(如图所示).C r(1)平面图形。的面积为3w1 S S 14 12(2)平面图形D 绕/轴旋转周而成的旋转体的体积K（X2）2cLr 1丁93.n，P L-f三_ H至一7X30,因X(x)在:a.6 上连续,根据连续函数在用区间上最值定理知.，(/)在 !.*内K有最大值又有最小值.记E.M分财是最小值和 大值.
38、划x (a.b)时有m /(x)&M.又因为r(,)在j上有意义,从而函数/a)在a,.小 上连续尽可导.即函数人工)在 马 门 门 上稠足拉格朗口中值定理的条件故存在S W -x()C /5)/(x i C M(X|X|)因/(X)在 a6上连续.根据连续函数在闭区间上最值定理知，/)在 叫打内既有最大值又有最小值,记mM分别是最小值和大值.则r E(a.b)时有m /*(x)(M.又 因 为 在 q.A上有意义,从而函数/U)在 4,4 上连蝮且可导即函数人力在0,4 1上满足拉格朗口中值定理的条件,故存在se(n.八).使得3=八包.而E&r)&M,所以恒有m(xj-X|)ftjT i)
39、/(x i)C M(jrt-x).94.令/(x)r 4 -I-f,则 f(工)=4 一 1 一 arctaru，且/(x)的定义域为(-8.+8).因为八0)=1 0.所以由零点存在定理,可知函数八外在(0.D内至少存在一个零点.又/(x)=4一 号 =咨当0,所以J G)在(0.1)上是单调递增的,即函数/(x)在(0.D内有且仅有一个根.令/)4J-1 f:乎.则/(x)=4 x 1 arctanj.且/(x)的定义Jo I+f域为(8+8)因为八0)=-1 0.所以,由零点存在定理,可知函数/(J)在(0.1)内至少存在一个零点.又/(x)=4一方，=咨苧0.所以.人工)在(0.D上是
40、单调递增的,即函数/(x)在(0.1)内有且仅有一个根.95.令/(x)=e，一 1一 岛7市.显然f i x)在 0.1 1上连续.又/0)=*e-p-pdz=1 -y e-1 =0 Jo 1 十 4 4由零点定理知/(在(0.1)内至少有一个零点.即方程/(T)=0至少有一实根.又/(x)=e*-0(T 0)./()在 0.1上单冏递增,即/(丁)在(0.D内与1轴 至 多 有 一个交点.所 以 又 上 述 可 知 在(0 1)内 方 程 只 有 唯 一 的 实 根。令 人=e*-4 -*7水.显然/”)在 0.1 1上连续.又/(o)=en-1-r-fTd/-1-1 -1 e-A -1
41、=已 一,0.4 Jo 1 十 t M 4:.由零点定理知./(H)在(0.1)内至少有一个零点即方程/0(x 0).1 +J T.,./(x)在 0.1 J上单调递增,即/G)在(0.D内与I轴至多有 个交点所以，又上述可知，在(0,1)内，方程只有唯一的实根。96.该函数的定义域为-8.+8)._ 工(4-h)_ 4 jv(6x:x*):vx(6-x),二 令y=0得驻点x=4.另有不可导点工=0及1=6.函数的单调性列表讨论如下,JT 一8.00(0.4)4(4.6)6(6+8)y+y、由上述讨论可知.函数的单调递增区间为(0.4)；单调递减区间为(-8.0)与e.+8).且函数在1=0
42、处取得极小值八0)=0,在I=4处取得极大值，/(4)=2 X该函数的定义域为(-8.+8).y 二(6/x1)(12x-3x*)=4工.一工 _3：(6工，一工了 “(4 工)_ 4 ，r(6 一“令，=0得驻点I =4另有不可导点工=0及1=6,函数的单调性列表讨论如下jr(-oo.O)0(0.4)4(4.6)6(6+g)y+一y/、由匕述讨论可知函数的单调递增区间为(0.4)；单调递减区间为(一 8.0)与(4.+oo).且函数在1=0处取得极小值/(0)=0.在X=4处取得极大值，/(4)=24.97.(1)函数/(X)的定义域为(-8.+8).(2)/(x)=3-3/=3(1+J)(
43、1-X).令/x)=。.得 力=-l,x,=I,函数/(x)无不可导点.(3)以 4=-1 和 4=I为分界点划分定义域,列表讨论如下所以，函数八工)在(一8 一I)与(l.+o o)内是递减的.在 一1)内是递增的.(-8.-1)一 1(-1.1)1(1.4-Q O)r 0+0单调递W单洲递增单调递减(1)函数八外的定义域为(-8,+8).(2)/(x)=3-3 xJ=3(1+1)(1-X).令/(x)=。.得 不=-1.x,=1,函数/(T)无不可导点.(3)以 勾=-1 和工：工 1 为分界点划分定义域,列表讨论如下:所以.函数/(力 在(-8,1)与(1.+8)内是递减的.在(一1.1
44、)内是递增的.(-o o.-1)一1(-1.1)1(l.+o o)r 一0十0/0 时.函数人 外 在0+工 上满足拉格朗日中值定理的条件,于是在(上.1+工)内至少存在一点&使l n(1 +x)l o r =，().春又工vsv i+h.于是有T-V?vL结合上式,有7 l n(1 +x)I n x V 上,即-l_inL 0 时.函数八工)在 九 1+工 上满足拉格朗日中值定理的条件，于是在(工+工)内至少存在一点&使l n(1+x)-I n j r -/()1.又工+工.于 是 有 壬 !J结合上式,有z-7 ln(1+x)lor】十 工 X即1/.1+“-1.,In .1-r x x
45、x构造函数F(x)/0.F(D l =0.所以满足罗尔定理的条件.故 存 在 一 点=0.即f(V-1=0.99.所以存在f e e.i)使r(e-1成立.构造函数户(工)/(X)工 在 01上连蟆且喂尸 y 0.F(D -I 0.由 零 点 定 理 知 在 内 存 在 点 八 使F(x)=0.乂因为南数F(x)ftCO.x.上连续.在(0.4,内可导且F(0)=F(J)=0,所以满足罗尔定理的条件.故存在一点EW C 使/(?)-】成立.设 八 公=4工一 2 L则此函数在 0,1上连续且可导.因为/(0)=-1./(1)=2,根据零点定理可知，必存在S G (0,1).使 八 r=0.即
46、41-2 =0.又因为 Z(x)=4-2!n 2,当 0 V T V I 时.I n 2 2*l n 2 2l n 2 O(Ox 1),100.即/r)是单调增加的函数,所以/(X)=0-2*=0 有且只有一个实根.设/(x)=4 H-2 3 则此函数在 0,1上连续且可导.因为/(O)=-=2,根据零点定理可知必存在(0.D使/ln2 0(0 x .|lo 1.102.由J 解得x=*l,则有4,8 两点的坐标分别为4(-1,0),8(1,0),故|网=2,且ly=u,S(*)=y(2+2x).(I-XJ)=(l+z)(l-X2).S(x)=-3*J-2x+l=0,得，匕=-1(舍去).S(
47、%)=-64一 2s(如-40.所以S(/)若为极大而根据实际问题可知$若亦为最大面解(1)由 O.2+O.3+a+O.l=l得 a=0.4(2)当 x0 时，F(x)=00 x0当 0Wxl 时，尸(x)=0.20.2 0W xl当 lWx2 时，F(x)=0.5所以尸。)=,0.5 lW x 20.9 2W x3当 2Wx3 时,F(x)=0.91 x 2 3103.当 xN3 时，F(x)=1104.解 y=-(cos x-sin x)sinx+cosxdy=cos x-sin x.-drsinx+cosx105.f(x)的定义域为(-8,+o o).A/*(*)=3X2-6X-9=3(
48、X+1)(X-3)=0,得阳=-I,x,=3.列表如下：Jt(.-1)-1(-L 3)3(3.*)0-0/极大值7、极小值-25z函数发f(x)的单调增加区间为G8,4)，(3,+00)；单调减少区间为(-1,3).极大值发f(-l)=7,极小值f(3)=-25。106.解(1)5 封信投入5 个不同的信筒，即每一封信有5种投法，共 有 5 5 5 5 5 =5$种投法，也即样本空间的样本点总数为5s,5个信筒里各有一封信的投法为5!种.所以Q/A、5!24P(A)=F=6 25(2)样本空间的样本点总数仍为5 由于规定4 号信简里投指定的一封信,其余四个信筒各有一封信的投法是4!种，所以PB
49、)55 3 125解（1）5封信投入5个不同的信筒，即每一封信有5种投法，共 有5 5 5 5 5=5$种投法，也即样本空间的样本点总数为55,5个信筒里各有一封信的投法为5!种.所以尸哼噫（2）样本空间的样本点总数仍为5s.由于规定4号信简里投指定的一封信，其余四个信筒各有一封信的投法是4!种，所以107.好 3 5奇=台7（-3）108.解所围面积如右图阴影部分.解方程求交点.由卜二正 解得交点(4,2)y=Jt-2r y=r-2由J 解得交点(2,0)5=()3 4 44=J xd x-j (x-2)d x-l(x-2)2 二g，0 Z 0 32 4 4Vx=7i C(J 7)2d x-x，(x-2)2d x=7 i 一 兀.1(x-2)322 G 3 5.109.解 由/a)=(l n 2x+x -2)|1 +l n 2x)=2得 XQ=-于是 f(xo)=xl n 2xL.=-l n 2=-21 2 2 2 2110.需检修的车数为随机变量.设其为X,依题意X B(3,)，则 PX=2=Ci X(y )X(l-y)3=0.096.令，2z+1 =t,则/=1)=tdt.r所以 i dr=e 1 *tdtJ=te eck=te1 e/+C=，2 z+l-1)H-C.lll.D