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1、2022年河南省安阳市普通高校对口单招高等数学二自考模拟考试（含答案及部分解析）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（3 0题）1.当x-2时，下列函数中不是无穷小量的是（）。A.?-8B.sin（x2-4）C，D.In（3-x）2/（Xo）=（）./（不）。，是函数y=f（x）在点x=处有极值的A.A.必要条件B.充要条件C.充分条件D.无关条件3.函数/）=|2x-1 I在点处的导数是（）.A.0 B-Y C.2 D.不 存 在4已 知 却 停1 4 则呜）等型）,A.-2 B.-l C.l/2 D.1当x-0 时,丁？与s ia r比较始()A.较高阶的无穷小量B.等价的无穷小量C.同阶的
2、无穷小量5.D.较低阶的无穷小量设函数/(#)=(，-I)市,则/(X)有().A.极大值与 B.极大值C.极小但！D.极小值设，（htr）=l+i,则/（外等-F（）A.lrw+-1n，j十CC.r+e-+CD.c+y+C8.下列函数中，在工=0 处可导的是A.y=|x|C.1y=2 fxB.y=xD y已知函数/(x)在 X=2处可导，且 lim 八2+2 3 力 2)；，则尸(2)=10.则+2A)，二/(?)等于巳知函数网在场沏处可导，且其沏尸2,即 四 h 学,()A.思B.9C.-exD.11.已知 f(x)=xe?x,则 F(x)=()oA.(x+2)e2xB.(x+2)exC.
3、(l+2x)e2xD.2e2x12.设函数f(x)在点xO处连续，则下列结论肯定正确的是().1 加 笈 把“必存在AA x fR lim/(at)=OC.当 x-xO 时,f(x)-f(xO)不是无穷小量D.当 x-xO 时,f(x)-f(XO)必为无穷小量当上一0 时下列变量与X 为等价无穷小量的是s i r t rA.Gs i n jB.二 T1c.JS,n713.D.14.设函数y=/（口的导函数y=/G）的图像如图4-1 所示,鸵二列结论肯定正确的是（）.;-1 是驻点，但不是极值点 B.x=-l 不是驻点C.x=-1 为极小值点 0.*=-1为极大值点图4-I设 仆 3）=山（l+
4、）,则/，（1）=（）A.I n 2R 4C -l n 2)-115.216.若f(u)可导，且y=，(/),则dy=A./，(eJt)dx B.f*(ex)exdxC.，S)d z D./(eD 设函敷TA.A.O B.l C.2 D.3(x#I)、(x=D,则 吧/()=母 设 函数”一，则 导()oA.TC.p-i+-4D.I O 设函数 f（x）在（-8 ,+8 ）内可导，且/（x）=e，+3 l i m/U）,则.（z）等于（）.乂 /-nA.-2e-2*+31 -2 B.TeC r 2，D.-2e-2,设函数/Q)在点工,处连续，则下列结论肯定正确的是()A.l i m也三区小必存
5、在J i.、r -JfnB.l i m/(x)=OL%C.当时，Cr)一人八)不是无穷小20.【工当时,/()一 /(看)必为无穷小21.设函数f(x)在点即处连续，则下列结论肯定正确的是()lim 幻一 /)必存在A.x-xnBJ嗯/=小)C.曾小)=。D.W*。）22.若下列各极限都存在，其中不成立的是A.3-一八)=小。)*-0 XB.l i n/（G _f（H ）=/（H o）L%X-X0C.5+4?一X工。）=/5）L O nD.“02-*。力）=小）LO AZ23.设 呵 华=4，则 呵 号 等 于（,A.10/3 B.5/3 C.l/3 D.2/1524./(x)=k-2|在点X
6、 =2的导数为A.1 B.0 C.-1 D.不存在25 对函数x,y）=Jx2+y2,原点（0,0）（）A.是驻点，但不是极值点B.是驻点且是极值点C.不是驻点，但是极大值 点 D.不是驻点，但是极小值点27.曲线y=xex的拐点坐标是A.A.(0,1)B.(l,e)C.(-2,-2e-2)D.(-2,-2e2)设相是常数，则lim吟 区 等 于 八28.l。犬()。A.0B.1C.m1 2的设z=8s(xy),H!l =29.avA.sin(x2y)B.x2sin(x2y)C.-sin(x2y)D.-x2sin(x2y)/(z)d/=W 1 3f(石)d i 0/0 A!T30.若 71 等
7、 于【】A.2 B.4 C.8 D.16二、填空题（30题）32.设 Z=，y+y 2,则 dz=.33.设区域D 为 尸+，&?/x 4-y:dj dA.jR d id y nW,C.j xR1B.J dJ rdr=xR?D.M%d r -2K/?34.+2)(+3)hm“T o/35。侬出=36.若曲线 =x*4-1上 点M处的切线与直线y=4x4-1平行,则点M的坐标为A.(2.5)B.(-2,5)C.(1.2)II(-1.2)37设 函 数/4+C O S X.u在点“。处连续，则常数l+2x38.Jx+x2dx=39.若lim三 四=5,则k三*-o kx40.设事件A与8相互独立，
8、且P(A)=0.4,P(A+5)=0.7,则P(8)=42.已知l-x?dx=E,则 J l-x 2 d x=J o 4 J-i.2工，+f 243.吧 4 Y+5 z-设函数/(r)-I f 在x-0处连续,则a=44.45.已知 y=xe,则 4=46.设 j/(x)dx=J?+C,则 xt)dx=.4 7.设 y=2x,且 x=l 时，y=2,贝I J y=48.设 Z=f(x 2 +/),则 y扛-x”=ax d y49.sinxcosx t _T-r-dx _ Jo 1+cos x设区域D由i=*上 6 6 a)3 =/(工 1 =*所写成 明【(域 )的面积为x)x(x)jd-rB
9、|j )K-r)Jtr50.口屋x)/(x)/l _ x2dx=.设 i=ln(xy),则 老 =57.-58.limz?(1-cos)=_ jr 8 X59.60.三、计算题（30题）61.设曲线y=4-x2（xK）与 x 轴，y 轴及直线x=4所围成的平面图形为D（如图中阴影部分所示）.图 131求D 的面积S；求图中x 轴上方的阴影部分绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.设下述积分在全平面上与路径无关:62.其中函数6工）具有连续导致并且6 1）=1.求函数职工）.63.已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解分别为y,=sin2r.y?=COB2Z.求相应的微分方程.求函线 在点（1
10、.-2.1）处的切线方程和法平面方程.64.1 -设函数t=e-I +当 学?+力（3-y）.其 中f为可号函数，求65.工 +、d T66.计算二重积分/=(+y+3山11回.其 中 口=(x.y)I尸+/&/.工20).求不定积分J*iitrLr.求定积分 3(68.八 nl n x)zd j r.69.已知/(0)=Z(0)-l./2)=r 2)=1 .求；r/(i)d.r.已知函畋八)处处连续.且满足方程/(，)|，=-4-+r1+j s i n 2x+-c o s 2x.7i.若曲线由方程工 +e”=4-29 一定,求此曲线在工=1处的切线方程.72.求“=t a n(xy z)的全
11、 1*分.73.求 二 元 函 数f(x,y)=x2+y2+xy在 条 件x+2y=4下 的 极 值.74.求 函 数 f(x,y)=4(x-y)-x2-y 2 的 极 值.75.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户（如图所示），其周长为12 m,为使窗户的面积A 达到最大，矩形的宽1应为多少？ra求不定枳分 X E m/76求极限lim77.XX七 sinx 7 8.求J79.计算朝7 +x 及了轴用成的图形面积为3.求该图形绕，轴旋转一周所得旋转体体枳V.9 4.讨论函数/-）h 3J 6的单词性.八二求函数y二（，一 1（，-2）山的单调区间及极值.QA求曲线y =（工一1）匕r的凹凸
12、区间及拐点7U.97.证明方程二 一3工-1 =。在1与2之间至少有一个实根.9 8求两数 岩的单区间、极值及此函数级的凹凸区间、拐点和渐近线.证明：方程=丁 鼻 在（0.1）内仅有一个根.99.J I +/100.设 函 数f i x）在 闭 区 间 0.1上 连 续,在 开 区 间（0.1）内 可 导 且/（0）=/（I）=0./（7）=1,证 明:存 在 6 （0.1）ft/（f）-I.五、解 答 题（10题）（本题满分10分）（）求曲觌y=/（*M0）,y=l与工=0所图成的平面图形的面积S;（2）求（I）中的平面图形绕y油旋转一周所密旋转体的体枳q.102.（本题满分10分）求函数2
13、=铲 在 条 件 2X+产 5 下的极值.A 1 2 3 4设随机变量岁的分布列为日a,a cia，求七代）和。）.103i yJ J J a I v/104设 z=/（2r+3y,/）求dz.105.（本题满分10分）设 Z=z（孙y）由方程ery2+sin（y+z）=0 确定，求 dz.106.设 F存 在,z=l/xf（xy）+yf（x+y）,求3107.证明双曲线y=L 上任一点处的切线与两坐标轴组成的三角形的面积为定值.求108.J1+sin2jrsinx+cos J?dz.109.(l)求由直线工=0,l=2,y=0与抛物线y=l-工z所围成的平面图形(如图所示的阴影部分)的面积S
14、.(2)求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积匕.110.设丫=/111太，求y 六、单选题(0题)e+cos工为/(工)的一个原函数，则，(l)等 于()A.six xB Y 4 six 2C.+cos.r111.D.cz-cos 彳参考答案LC【解析】根据无穷小量的定义：若l i m/(x)=O,则当彳一航时/(工)为无穷小量.因此可根据*-*0定义计算其极限值，知选C.2.C根据极值充分条件定理.3.D答 应 选 D.分析绝对值求导的关键是去绝对值符号.然后根据分段函数求导数因为/(x)=1 2 x-l2*-I,l-2 x.x 0.所以 有 极 小 值/=(-)l i m/(”)=
15、/(*)o l i m/(x)=l i m/(x)s/(x0),还有一种就是连续的分析定义(e-6语言).已t f l纲.不作要求.如果将第二个式子写成利用无穷小鼠的定义.可知：当XT%时为无穷小f i t,所以选D.这里容易出错的是：很多考生认为选项A是正确的.如果l i m,4 存在.则它等于/(%),函数/(*)在点X。处连续;但是反过来，若函数y=/(x)在点与处连续/(，)不一定在点a处可导.产生这种锚谩的原因是基本概念不清.13.D14.C答应选c.分析 本题主要考件极值的充分条件及驻点的概念.由/(*)的图像可七 三 二-：:J.；以x=-1为驻点.排除B,而当x -1时J(x)
16、-I;三i 1.可知x =-1为函数的极小值点.所以选C.本IS也可以由，(*)的图像而得y=x+I,则原函数为 =+x+C.从而很容易得知选项C是正确的.对于这种由函数导数的图像来分析和研究函数特性的方法建议考生多做练习，熟练掌握.如果本题换一种提法则可以得到另外两个选择题.(I)设函数y=/(*)的导函数=/(工)的图像如图4-I所示,则函数,=/(*)的单阐递增区间为A.(-8.1)B,(-,+)C.(-1.)D.(0.+X)(C)(2)设函数)=/(x)的 导 函 数 的 图 像 如 图4-1所示.则下列结论肯定正确的是A.在(-8 .-1)内.曲线=/(*)是凸的B.在(-X .+8
17、)内,曲线=/(*)是凹的C.在(-8 .+8 )内.曲线=/(*)是凸的D.在(-8 .+8 )内,曲线=/(*)是直线(B)由于y=*+I.则有y-=l 0.从而可以判定曲线=/(*)在(-8 ,+8 )内是凹的.所以选B.15.B16.B17.Dlim f (x)=lim(5x-2)=3.I l I I18.C19.D【解析】本题考查的知识点是:为/(，)是定值，其导数应为零20.D21.B根据函数在一点处连续的定义，极限值等于函数值，选 B.22.C【析】东H学府的知见点象画数.得 受微修存在的错念及露义23.A在 聋 乂 巴 4国 有 巴 2TL，5邛 所 以 造 人.|解析 因为/
18、(x)=|x-2|=2-x xW 2x-2 x 2xW 2x 2足 =lim/z(x)=Um(-1)=-1X T2/*(2)=lim f x)lim 1=1?W f：所 以 广(2)不存在，选D.25.D由于3 y)=/J、f；(x,y)=j J,+j 次 +y显然，/;0=f(0,0)所以，原点(0,0)不是驻点,但是极小值点.26F e27.Cy*=(2+x)ex,令 y =0,得 x=-2,则 y(-2)=-2e-2。故选 C。28.A29.D1 J C i I，=.f(/T)d j,-/(V T)2 d(y/r)=2 X x1,=16.3O.DJ ，*arc sin x-V l-x2+
19、C=arc sinx 31.32.2xydx+(x2+2y)dy因为 z*=2xy,z*=x2+2y所以 d z =z：e t c +=2 x y d x +(A2+2 y)d y33.C34.11解 析lim(n +1)(n+n +3)=lim(1+-)(1+-)(1+-)=1“T O O 九 T8 n n n35%/(弘)-/(%)?/(%)-/(%)36.A37.函数在点X=O处连续.则/(O-O)=/(O+O)=/(O),其中/(O-O)=lim/(x)=-C-/(00)=lim/(x)=lim(1 +cos x)=2,A 0)=(I+C08 x)I“6=2,所以k=2.38.2 jx
20、 +x2+C 解析.rdx=J 7 1 i ,d(x+xJ)=2Jx+x1+C.vx+x1 J lx+x2因为 lim =-lim-=-=5 所以攵=339.3/53/5 解 析：i i kx 3x k 50.5 解析P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)0.7=0.4+P(8)-0.4 尸(8)林 得 P(8)=0.540.41.sin 142.n/2it/2解析在区间-1,1 上，-为偶函数，所以V l-x2 dx=2 f V l-x2 dx=2=J-iJo 4 243.244.245.【答案1 应埴4(z-l)e”求出y ,化简后再求)，”更简
21、捷.y*=e 1*-2x e-3*=(I -2*Je 2,y-2tu-2(1 -2x)e u=4(x-l )e-f c.46.-y(l-X2)2+C47.x2+l设 =，+?,则 z=/(”)d z d z=-=-2xd u ax d u二-d-z-d-u=d z 2巾 yd u d y d u于是=盯?=048.00 解 析：d x 办 d a du49.-i-l n 2L t-i-l n 2u50.D51.52.ar c s i n x-V l-x2+C次-&a z由53.(1,l)y,=3x2-6x+2,yJ=6x-6,令 y=0,得 x=l.则当:x l 时,y0;当 x0（料sin2
22、 x 1 .sin JC.,=lim-=(lim-)3。3/3 一0 x360.61.=(4x-y)L-(4X-T)IVy=f X2dy=TT(4 -y)dy=44y-y/)1 =8nP-|-y（x）.Q=回 工 一由枳分与路径无关,得aQ=aPtdx dy 即=3用（*）或，工）3.（工）得中（工）-e-|*g*e 2 r+C=b 卜 e-dx+(7=c -g卜*+。、-M -(xe u 卜dl+Cj=e T+W)+qH+T+Ce”.由6 1）=1得.=一!-!+。八 解 得。=祟 一,.故有j 3 y62.土一 JL+CJ”3 9 T 9P=1y61r)Q 飙 力 由积分与路径无关，得ao
23、=ap3x dy 即，(力 工),=3用 G)或/(z)3a(工)得F(j)-e-rM,川&+Ce-“卜/出+Ce，,-l Pe U+C-j(x e-u-je-1*dx)+C-f-f +C eU-由中(1)-1 得,1 =-9-9+C e L 解程 C=/e-.故有F(x)+*.63.由于v =sin2_r.x=COS2J为二阶线性常系数齐次微分方程的特解.可知a=0.6=2.即原方程有一对共姬复根r,(r-2 i)(r +2i)=2i,r,0,2 i,因此对应的特征方程为即从而可知相应的微分方程为y+4y=0由于M=sin2_r.”=COS2J为二阶线性常系数齐次微分方程的特解可知a=0,6
24、=2,即原方程有一对共腕复根n=2i,r,=2i.因此对应的特征方程/(r-2 i)(r +2i)=0,即r*+4=0从而可知相应的微分方程为V +4y=0.64.曲线方程可化为在(1,一2,1)点处曲线切线的方向向度为i (x*(1).yz(1)!：(1)=/1 一 1 2因此.曲线在点(1 .-2.1)处的切线方程为工-1 =一 +2=l!1_ 2 2 法平面方程为 +2)4-2(t-l)=0.21-31y+4=-12=0.65.d r令 盯=c*x.)Are，T(_3)令 耳 二 小田/(“)一 2/【a n(j (，+yT+y3 n 2，(3”-y)由对称性知43*L r d y =0
25、,所以66.(y +y2)d x d yH d r由对称性知43 y d j r d y =0,所以(xz+y*)d x d y?d r 孑/.|j r s i n r d/=|xzd(-C O S T)=-1?C O S T+c o s j-d r=j r2 c o s.r +2x c o s x d xJT2 c o s x +2 x d s i n jjr2COSJ:+2j-s i n x 2 s i n r&r67.=Z2C O S J*+2/s i n z +2c o s/+C.|，s i n r d rY d(C O S T)x2 c o k r +2x c o s x d xJT
26、2 c o s x +2 x d s i n j rxzc o s x +2x s i n-r -2 s i n x d/x2 C O S J+2/s i n z +2 C O S T+C.l n-r)2d r z j (l n x):d(/x)=2(1皿)!一|我I n x cl r=8 e -s j l n j r d(/x)=8188 e 1 6 e +1 6|68.8 e 1 68(e-2)./y=.(lru-)zcLr 2J(lnj-),d(/x)2尸21;f38e-s j lnjrd(/x)Irurdj-8e-8严间J决8e 16e+16 G|8e 168(e 2).J工（T）d
27、r69.=J xdfx)=1/(“)-J=2/(2)-八 )：=2-2 =0.J xf9(x)cLr=J xd/Cx)=卜)J f(=2/(2)-八 叫:=2-2 =0.(x)d r方程两边关于 求导,得/(j)-21+sin2x+x cos2x 2+-y(-sin2x)2=2x+2JTCOS2JT.f(工、=2+2cos2x+2”(2sin2jr)=2(1+co2x)-4xsin2x.70.所以,/(手)=2(1+cos-y)-4 X Y X sin-2-a.方程两边关于 求导,陶/(,r)2*+sin 2 i+1 cos2x 2+(-sin2x)2=21+2JTCOS2J,.f 工、=2+
28、2cos2x+21 (-2sin2x)=2(1+cos2x)-4xsin2x.所 以/(:广 2(1 +cos y)-4 X Y X sin 色 2-ir.71.两边对 1 求导.得 l+2 e ,=-2 e”（+“）于 是=_2 dg注意到与=1时有1 +?*=9-2+“）于是炉=-5号 吉a 注意到当=1时.有l+cf，=1一2 .可求得、=0.即 曲 线 工=1处的切线斜率为1k=-5.切线方程为:N=一。（上一 D.即 r+ly-1 =0.4 4因 为“r=yz secx(xyz).w,=x?sec:r)ut 工 xy5ec(ry z)72.所以 d“=yzsei.iyz)dx+jzs
29、ec2(x y r)d +(x y r)d s.因 为“r=ysec1()9Uy=jrzsec:(jryz)ut=xy5ec2(xyz)所以 du=.ysecCjyzJdr+x?sec2(jy2)dy4-.iyscc;(jrt)iz.73.解设 F(x,y,k)=f(x,y)+X(x+2y-4)=x24-y24-xy+X(x+2y-4),=2x+y+A=0.dx令,=2y+x+2A=O,J=*+2J-4=0.由与消去A,得*=0,代入得y=2,所以/(0.2)=4为极侑.=S4.更dx曳的=0令工令二L2*-2-4解得:二2即驻点”（2.-2）,在点M处行=-2.8=0.C=-2.tt1-AC
30、=-40./t=-20.所以f（2,-2）=8为极大值.75.窗户的面积/1=!+./和/满足2/.+3/=12,得八=6-告/,代人4,则有4=6、尹+亨 氏步6-3/+争 金=0,得/=出 守.由于实际问题只有唯一的驻点，可 知 修 普 乌（m）为所求吃式=yj nrctarLrd(J*)-ja rc ta76.犷arctau 一打(I 一备)dxy x:arctanj-arctaru)4-C.77.除式工tan.rd(x,):j-arctanxm7业一 外（一出产arctanxyx*arctanxy(x -arctarw)+C.由于当h-0时.工 是无穷小量且卜in|4 1 ,故可知li
31、m jsin 上=0.L。X当/-0时,1 e-J3”?,故(1 e-v)sin2xlim-j-/-o x.3sm2x clim-：-=3.LO JC所以吐二*I也+工*出X3.由于当Hf 0时,三是无穷小址,且卜in J m/l一im。-X-7-所以x3sin2x、3(1 e-3/：)sin2j被积函数分子分做同乘(I-s im r)得 警疝_ k a n-d r1 -sin x J cos4x J工_ f 如丝 (secx D d jJ cosr J+-JcLr=l/cosx-tanx+x+C被积函数分子分母同乘(l-s iu)得21 二 萍2d x=吗 必 一 s n-d x1 -sin
32、zx J co5*x JL j d-D 业J co、*J二 -卜 r d r 1 必 Y,ccou J =l/cosx-tanx+x+C79.根据题意先做出积分区域.如图所示,然后在极坐标系下进行计算.dyf+J d x =d tff r rd rJo Jo Jo Jo根据题意，先做出积分区域如图所示,然后在极坐标系下进行计算.j d_yj/r/r?+&原式=11 *业+f +1J l+c J。I+4/=ln(l+l)|：+r=In2-ln(1 4-e 1)+.-ydxJ o】+41-ln2 ln(1 +?1)+yarctan2x|80.In2 ln(1 +c:)+-y.o原式=母乙+业J-i
33、 1 +c Jo I +4*”=l n(1 +“+1 r-1-j d-T=l n 2-l n(1 +e 1)+I 1 rd iJo I 4-4xT l n 2 l n(1 +e 1)+Jar c t an 21|Z I=l n 2-l n(l +：T)+3os i n xi,t A r u r J*J COSX8 2.设 F(z,y,z)=j r +J?xyz1,则F,=2ar-yz2.F,=3y 1 x zz.F,=2xyz.dz _ F,_ 2z y z?dz _ _ F,_ 31y：-J Z?dr F,2xyz dy Ft 2xyz设 F(H,y,z)=j-2+jJ xyz2 则F,=2
34、.r yz1,F,=3 yl x zz,F,=-2xyz.dzdrF,_ 2。一.y d dz _F.2xyzdy2xyz_ f z =3/一 x z匕8 3.,化为卡-熨)imx(eT-l ).“eT.e -1 济必达法则=hmX或第 二 种 方 法 利 用 了 结 论：当 了 T 8 时.；一0,则 e-18 4.函数的定义域为(-8,+o o),且r(x尸3x 2-3.令(x)=0,得驻点x i=-L X 2=l.列表如下：X(-8 .T)-1(-1 J)1(1.)/0-0/U)Z为极大值 1)=7 为极小值Z由上表可知，函数f(X)的单调增区间为(-00,川和 1,+00),单调减区间
35、为-1,1；f(-I)=3为极大值f(l)=-l为极小值.注意：如果将(-8,川写成(-00,-1),1,+00)写成(1,+00),-1,1 写成(-1,1)也正确.，一 nx xlnx(j-1)j+lu85.1litn(：i Inx(x-1 -Inx黑 lfir(x-1)1-1+jrlnx呵 1 +lru-4-1 -7,令 u uxyz=u则/(w)=/(x.u.v).迦axd u+虹axd v+d ud j嚼噜+为，+%au_d au-*d u=十 包.包=头.工+冬.dv 3v du dvxz.*令=uxyz=T/.则/(w)=/(x.w.v).翁+翦嚏+空嚼噜+为 为 2duf d.
36、u 9 du*du duu y i.du，du 3y dv dy du dvdu.du Z Z 8u,*dv dz dvQ.87.由题意.知 P(J-)=j.Q(x)=1 e 4=e 开,=c =r *.=*=e“=如jQ J cL r=(er xAx-y cr Lrl=.该微分方程的通解v-i ie：+所以由题意.知P(j)cLr：e fw,=e f-u.a扪J-Q.eJFd*Lr.该微分方程的通解V+CT88.令一*=人则当1-8时 有，-8,所以89.设 I=j3 -X,则才=3 一1(1 =-2tdt.=-2(1 一 击 产，=-2(r-In|1 +，|)+C再将t=v -x代人.整理
37、后得f J 1 +y/3 -X二一 2 73-X In|14-/3 1r|)+C.设，=y 3-jr,则/=3 .djr H-2rd/.T(i 一 出 尸,=-2(/ln|1 4-/|)4-C再将t=存。代入，整理后得J 7 T 与=-2/x)+J inrd(2 G=-2 码二+,/+2 6lrw|-j 2&-彳+4 7+4e-4|=8(1 曲线y=J与直线工=l.k=2 及 y=0 围成的平面图形如图所示.所求面积:S=1/&r =jXJ|*=g(平方单位八所求旋转体的体枳：V=KJ(x*)：Lr=K 工：|=誓 立 方 单 位).91.曲线1y 一n,与直线工n 1=2及y=成的平面图形如
38、图所示.所求面积iS =J/d r =导工J=孑（平方单位八所求旋转体的体积：V=J （x*）:dx =x ,工：为 （立方单位）.92.V Fz(x)=/(幻(才 a)-/)一/(a)(.r -a)2由定理，5 f(a)-f-a)e 二八工）一 f JT-a在&/上 人 E)应用l uiR Hin gc定 理 X a 0(f JF /(f)x-a)/(/M x -a)/()(”一a)(jr -a)2(u f o(e j x)./.F（.r）在（a.+o o）内单调递增.93.设A点坐标（*d =?大 一 Tn=我（立方单位工J9 J|0 O U设 A 点 坐 标 尤）.由 J -2.将切线方
39、程为一 幻=2x0 x-x#）或工=5，+会由已知=1；晨，+者-9力=成.所以工,=切线方程为2i y 1 =0 切线与/轴交点为1=.于是294.（】）函数/（X）的定义域为（-8.+8）.（2）/（x）=3-3/=3（1 +x）（l-x）.令/（X）=。.得X|=-1 .Xj=1 .函数/j）无不可导点.3）以=一 1 和 八 n 1 为分界点划分定义域.列表讨论如下:所以.函数人力在（-8,-1）与（1.+8）内是递减的在（一1.1）内是递增的.X(-8.-1 )-1(-1.1)1(1.4-QO)八八一0+0一单调通腕单渭递增单调递减（1）函数八）的定义域为-8.+8）.（2）/（x）
40、=3-3/=3（l+x）（l-j r）.令 人 ）=0,得 =-l.x,=1,函数/（r）无不可导点.（3）以 q=-1 和 4-1 为分界点划分定义域,列表讨论如下：所以.函数/（工）在（一8,-1）与（l.+o o）内是递减的.在（一1.1）内是递增的.X(-8一1 )-1(-1.1)1(l.+o o)r（x）0+0/(x)单调递发单刊递增单一通减95.函数的定义域为（-8.+8）.因为，=（x-lX x-Z）1,令J =o 得驻点为=l.T=2.函数的单谒性列表讨论如下，X(-8.1 )1(U2)2(2.+)/y一十+y/由上述付论可知.函数的单调递增区间为（12）与（2.+8）：函数的
41、单调递减区间为（一 8.1）且函数在=1处取得板小值f（l）=j （1-l）（r-2）!dz=一日.函数的定义域为（-8.+8）.因为丁=（x-lX x-Z）1.令 y=。得驻点为=1 =2.函数的单调性列表讨论如下，X(-o o|)1(1.2)2(2+)y一+y、由上述讨论可知.函数的单调递增区间为（1.2）与（2.+8）,函数的单调递M 区间为（一 8.1）且函数在1=1处取得极小值f（l）=f（r-l）（r-2）!d t=-7 j.J1496.函数的定义域是（-B.+8）,且y=（j T -j+）,=T,5J/=?如+n但十！2、9 9 9 9犷 *当心 一1时./=0,当4=0 时 不
42、 存 在 故 以 =和 4 =0 将定义域分成三个部分区间.并列表讨论如F,T（T）0,0+口).y一0+不存在+y-/“n行拐点u无拐点u所以在（一 8 一内 曲 线 是 凸 的.在（一:，+8）内曲线是凹的曲线的拐点为（一 9 一 卷 J S）在工二 0 处曲线无拐点.函数的定义域是(一 8+8).且y=(x-)/=y j i -yX T .入吗 T+ZJ=2电+i)=2/Dy 9 9 9 疗 9扬,当q 时./=0,当4=0 时./不存在.故以=1 和 工：=0 将定义域分成三个部分区间.并列表讨论如F：J(8，1)15(卜。)0(0,+8)y0+不存在+y-，(*)n有拐点U无拐点U所
43、以.在(一8内曲线是凸的在(一+8)内曲线是凹的.曲线的拐点为(-1 -y)在工=0 处曲线无拐点.97.令/(T)-X*-3 1-1.知/(X)在 1.2上连续.又 八 1)=-3 0.即/(I)./(2)0.由零点存在定理知，/(在(1,2)内至少有一点自使/(?)=0.即/外 在 1 与2 之间至少有一实根.令/(J)7 3 x-1.知/(x)ftC l.2 上连续.又 八 1)=-3 0.即/(I)./(2)0.所以单调增加；当j r e 时V 0,所 以 y 单调减少.由极值的第一充分条件可知y|=工为极大值.ICv 21 mr-3。八 4H Xy p-令 y=0/时./0,曲线y
44、为凹的.根据拐点的充分条件可知点（e+.弓ef 为拐点.现列我如下：X(O.e)e(C.CT)ei(e*.+8)，y+0一一.一一一0十根据上表可知：函 数,=苧的单调增加区间为（0，c）;函数y=苧的单网减少区间为（e,+8）;函数y=苧 的 极 大 值 为 y（e）=函数曲线、=皆 的 凸 区 间 为（0.由；函 数 曲 线 苧 的凹区间为（e九+8）：函数曲线y=也 的 拐 点 为（e）.春c b.X4因为lim 也=0.所以曲线y=叵有水平渐近线y=0,垂直渐近线N=0.XX函数的定义域为（0.+8）,且/=L乎E.令，=0得驻点工=已当OV hV e时.=三 空 0.所以单调增加；当
45、 工 时 V。，所以y单调减少.由极值的第一 充分条件可知1为极大值.y*辿，-令 1y”=0,得 z=e+.当0 V 1 V e,时.y V O.曲线y为凸的；当工 时./0,曲线y为凹的.根据拐点的充分条件可知点（e+.*e T）为拐点.现列表如下：X(O.e)c(c.cT)el(ei.+8)9y+0一y一一0十根据上表可知函数,=苧的第调增加区间为（O.e）;函数y=苧的单谓减少区间为（e+g）;函数y=苧 的 极 大 值 为y（ef 函数曲线、=岩 的 凸 区间为（0.由；函数曲线、=乎 的网区间为（+8）,函数曲线y 二 匣 的 拐 点 为（e+,袅 b.X4因为lim 匣 =0.所
46、以曲线y=叵有水平渐近线y=0,垂直渐近线I=0.*X X99.令/（x）=4工一1 -f,则 f（工）=4工一1 arctanx*且/（i）的定义J。1 4-1域为（-8.+8）.因为/（0）=-1 =3 一 半 0.所以.由零点存在定理可知函数/G）在（0.1）内至少存在一个零点.又，Q）=4-=若告0,所以./（工）在（0.1）上是单调递增的,即函数人力&（0.1）内有且仅有一个根.令/(公=4 1 一】-J 则/(x)=4 i 1 arctanxt 0./(x)的定义域为(-8.4-oo).因为八0)=-1 V 0，l)=3 一 字 0.所以由零点存在定理,可知函数/(J)在(0.1)
47、内至少存在一个零点.又 r(x)=4 一丁，=法与0,所以./(外在(0.D 上是单调递增的,即函数义工)在(0.1)内有且仅有一个根.构造函数F(a -/(z)-x.则曲数F G)在 0.1上连续且F(y j-y O.F=0.所以确足罗尔定理的条件.故存在一点(O.x.)CZ(O.l)使F*(e-0.即Z(e-i-o.100.所以存在FW(0.1)使/)-1成.构造成数F(x)-/x.明的数F(z)在 0.1上连续且y O,F(l)=-1 使r(e-1成立.101.n：(i)由已知条件出平面图形如图阴影所示=和打倒一生S2.10分102.本题考查的知识点是条件极值的计算.计算条件极值的关键是
48、构造拉格朗日函数.在求驻点的过程中通常都将参数消去.解 设 F(x,y,A)=+A(2 x+y-5)，则令a，=厅yX铲+2A=0.吊y+A=0.yx2+y21 y=2 x+y-5=0.由 与 消 去 人 得 工=2力代入得4y+y-5=0,解 得y=l,则工=2,所 以z(2,l)=/2 2 +J =为极值.注意：不能用二元函数无条件极值的充分条件来判定乃是极大值还是极小值但是根据极值是局部性质且只有一个驻点，因此可在约束条件2 x+y=5中任取另一点，如取点(1,3),则得z(1,3)=/诃石,从而可以判定6是极小值(此方法知道即可)解()=I xO.2+2xO.3+3xO.1 +4x0.4=2.7103.0()=(1-2.7)0.2+(2-2.7)0.3+(3-2.7)2.1+(4-2.7)0.4=1.41104.令 =+，则加-ardu一砂 -0=-(x-X o)与坐标轴的交点坐标A(%+x02y 0),B(Q,+y0)i2注意到九=，则 A(2x0.0),B(0,)玉)而A皿=:0=,则 4(2X(,0),S(0,)飞 飞A皿=:=(eJ)lnx+eJ(lnx/=eTlnx+X解 v=(e)lnx+elnx)=eTlnx+xlll.D