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1、2022年江西省鹰潭市普通高校对口单招高等数学二自考模拟考试（含答案及部分解析）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（30题）1.设函数在x=l 处可导，且Hm 4 1+3 3-/=A r 3则 r（i）等于AA-D J_-2R C-T D.若”（外业=工2+。,则1/（1一 工 2）占 为（）A.2（1 j,2）+CB.-2（1 -J2）2+Cc-；FT）T CD.-y（l-j-）2+C2.、3.下列定积分的值等于0 的 是（）.AJ,fbdlB/JC.|d*D j E d x4.设 函 数 2=j+笳%则 翔，等于A,e+1 R /+1C.2/+1 D.2 e+l5.设f(x)的一个原函数为
2、lu x,则?(x)等 于().1A.A.xB.71C.T1D.76.把两封信随机地投入标号为1,2,3,4 的 4 个邮筒中，贝!)1,2 号邮筒各有一封信的概率等于()A.l/16 B.l/12 C.l/8 D.1/4下列积分中，不正确的是()A.d r=arcsin(2 j-i)+CB.,2arc6in J l -工+CC,j-dr=iln(2x+Cx7 D.Jsin2j-dx-=y COS2J-C下列等式成立的是A.sinx:.r-=l,rtan x_ hm-B.-J-.sinxlim,7 J r.sinx.n hm-8 D-c 设/(x)在-1,1 上连续，则 17(-x)d x =
3、9.J TA.A.02 j；/(x)dx-/(x)d xC.J 1f/WdxD.J 设z =e,y,则 套=10.布力()oA 2x(1+x2y)exly口 2x(1+*2 蕨。r2x y(l +x 2)e yD/y(l+，)(/，11.设y=f(x)二阶可导，且 F=0,fn(l)0,则必有A.A.f(l)=O B.f(l)是极小值C f(l)是极大值D.点(1,f(l)是拐点12.设函数/(x)=G0 x2-4a、*2,在后2处连续，则。=x=21.FB-寇C志D-壶13.下列极限中，正确的是A i sinx 一A.hm-=1XB.lim当=1J-*O LXC.lim xsin l=lsi
4、n 一D.lim 1-=1X-0 114 对函数 x,y）=Jx2+y2,原点（0,0）A.是驻点，但不是极值点B.是驻点且是极值点C.不是驻点，但是极大值 点 D.不是驻点，但是极小值点15.下列函数中，是奇函数的为A.、=工一12C.y-2-B.x4n _ e +e-”D.y-g-16.设函数f(z)在区间 a,b 连续，则曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及 x 轴所围成的平面图形的面积为A.J/(j-)dxB.J/(x)d rC.J I /(x)|dxD.|J 7(xir|c.y(x)=.A.f(r)=、在下列函数中，当了一0时，函数八工)的极限存在的是x2+2 x2。x 0B./(
5、x)=.:国,“K 0,X1 x=05,x 0SIH ,z W 0,0,x=0,D./(1)=0L i1 x=0(5T*+2)ir=18.A.l B.3 C.5 D.719.设 函 数/(工)=琨，则1而六工)是XD L5A.OB.-1C.1D.不存在曲线 y=a-(x-3)3A.上凹，没有拐点2Q C.有拐点(a,b)B.下凹，没有拐点D.有拐点(b,a)21.设函数 z=x2+3y2-4x+6y-l,则 驻 点 坐 标 为()OA.(2,-1)B.(2,l)C.(-2,-l)D.(-2,1)22.设/(x)二 五，则I h23.已知/(x)=xe”,贝lj尸(x)=A.。+2熄B.(x+2
6、)e”C.(l+2x)e2xD.2e2,下列函数中，在x=0处可导的是A.厂 口26.已知曲线y=/+，-2 h点M处的切线平行于直线y=5x-1,则 点M的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.27.曲线：y=3x2-x3的凸区间为 A.(-O O91)B.(1,+8)C.(-O O,0)D.(0,+C O)28.9函 数 的 单 调 增 加 区 间 是XA.(-00,-1)B.(-1,0)C.(0.1)D.(l,+oo)29.设 八 幻=士，则A.2 B.-1 C.1 D.oo设函数f(x)=,30.4-应 9X2-4 、在m 2处连续，则a=工=2()o1B.屹1C.凝1D.动二
7、、填空题(30题)设lim(!+-)*=eJ 则 k=n32.33.设函数 y=sin 2 x,贝!I y=.34.函数/(-r)=xJsirtr 是A.奇西数 B.偶函敦 C.有界函数 D周期再效3 5.已知 P(A)=O.7 P(B|A)=0.5,U P(AB)=。Jlim fl-x Y =J ,则.36.42)37.设 y u z+k +ln x+e,则 y=.38.设 2/(x)cosjr=t/(O)=1 .则/(x)=A.cosx B.2-cosx C.1 +sinx D.1 sinx39.设 y=ln(a2+x2),贝lj Ay=，函数/(JC)=-的 驻 点x=40.n x41.
8、设函数，(2 工-1)=/,则/(x)=A.ye-+C B.2e+i+CC.4-C D.2 e+-”4-CP U,则全微分dz=.59.若lim包巴=5,则人_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.TO kx60.若w=ln（z+/），则;,dxdy-三、计算题（30题）6求sin（lnx）djr.62.设 z 为由方程f（z+y，y+z）=0 所确定的函数，求偏导数zt.人,计算不定积分|工64.已知函数y=arcsinx后探.求招一.z计算定积分1，2+2cos27dz.65.Jo66.设曲线y=4-x2（x20）与 x 轴，y 轴及直线x=4所围成的平面图形为D（如图中阴影部
9、分所示).求D的 面 积S；求 图 中x轴上方的阴影部分绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.6 7求函数z=arctan(x:y)的全微分.68设尸=，(*)由方程y=(所确定，求条设/(力69.e,，dr,jx/(x)dx.求极限lim-r-x?ln/1 +70.71.求做分方程xlnj-dy+lnx)dr=0濡足”=1的特 解.7 2计算定根分r,计 算 定 积 分 In(I+D d r73.J。74.求 微 分 方 程2y+5y-5xf-2x-1的通解.计算J r：业dy,其 中D为 国 环 区 域,(/+/&配76.计算二重积分/=+/+3y)(Lrdy其中 D=I x:+y*01.T
10、 设D是由曲线y*/()与真线y=O.ye 3圈成的K域,其中rz*.x 2./277.求。境.输旋乱膨成的旋转体的体积.计 算 定 积 分r4 c,出.78.J 求,J;Q o).79.J，T +a80.求函数f(x)=x3-3x+l的单调区间和极值.81 设 z=MV+smr.|fij u=e#.v=COM求 82.设函数y=y（z）由方程y=（Inx）”痛定求/.计算生,ydLrdy.其中。由双曲线=）S A n.v=O.,-1所圉成的平面区域.83.o.设函数,=可微,求空.空 亭.84.dJC ay aOU设/（幻是连续函数,且 八，）也=7.求人7）.o5.J。86.求 函 数f（
11、x）=xl3x-2的单调区间和极值.8 7求 微 分 方 程2y 3y=He，的通解.88.求*分方程37+5工-5y=0的通解.89.设 函 数 八 幻=工（1 一/尸+/（工）山,求/（x）.90 求 Ik分方程 y=，I 1 级足.v(o r 2.(0)=O./(O)=1 的特解.四、综 合 题（10题）c,证明，当 工 0时，l n(l 1)/一.91.1+工92.一房地产公司有5 0 套公寓要出租,当月租金定为2 0 0 0 元时.公寓会全部租出去，当月租金用增加1 0 0 元时就会多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花费2 0 0 元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入？最
12、大收入是多少？93.过曲线y=/(工。0)上某点A作切线若过点A作的切线曲线N=及/轴用成的图形面积为之,求该图形烧，轴旋转一周所得旋转体体积上04求由曲线 =r 4与 y=g/所圉成的平面图形的面枳.95.设/(x)在区间 a.f I 上可导，且/(a)=/=0,证明：至少存在 点Q,6).使得/($)+3 /(?)=0.QA证明：方程e W：击也=。在区间(。内有唯一的实根。h U 97.过曲线.y -0)上一点M(1.1)作切线/.平面图形D由曲线y=.J .切线/及J轴围成.求：(1)平面图形。的面积：(2)平面图形。绕/轴旋转一周所形成的旋转体的体积.设廉数/(x)=x -2 r c
13、 t anj.(1)求随数八八的单蹲区间和 极 值 98.R曲，k ./)ex vd%dyll.B 解析 因 为 l im-=-上，L 二T_._2 X2-4 X-2(X-2)(X+2)(VX+V2)8V212.B13.C14.D由于3 y)=,J ,，f&x,y)=/,显然，/；(0,0)、4(0,0)均不存在.在原点的某邻域内，当(x,y)w(0,0)时,总有f 3 j)=+八0 =f(0,0)所以，原点(0,0)不是驻点,但是极小值点.15.C16.C17.C18.B19.D 解析 函数的定义域为：(，+8).当x=b时，)，”不存在.因为函数f(x)在x=b点处连续，且当x b时，)，
14、“b时，y”0,曲线y上凹.所以x=b是曲线y的拐点横坐标.y(b)=a.20.D故曲线的拐点为：仍，21.A令电=()与生=0.可得x=2,y=-.故选A.dx ay22.A 解 析：根据函数在一点处的导数定义可知“1 -2)-/，1 号 2lim-=2r(1)=2x x J=3 h 3 ,3X=123.C 解 析：尸(x)=(x e2 x/=e2 x+2 x e2 x=(1 +2 x)e2 x24.2/325.B26.M(24)27.By=3x2-x3,y，=6x-3x2,y”=6-6x=6(l-x),显然当 xl 时，y”0;而当x 0.故在(1,+8)内曲线为凸弧.28.D解析:?因
15、为/(x)=2 x-5,使1(x)0的区间是x lX所以函数的单调增加区间为(1,+8).29.A30.B因 为-=lim-尸=1=XT2 x-4 -2(X_2)(X+2)(JX+J2)8V231.-(3/2)32.16 解析 利用变上限枳分的定义，当上限取某一定值时，其值就唯一确定.Jk/2,4因为 7(0(1/=y 所以 当 X取 b或 2 时有 J；/a)df=E，Ji/(/)d r=y设&=t s 贝ijx=，dx=2rd/x|1|4t i_ c4于是 J|-y=/(V x)d x =2 j/(x/x)d(/x)=2 j|2/(z)d/=2 =1633.-4sin 2x.y,=2cos
16、 2x.y =4sin 2x.34.B35.0.3536.2er ex*2+/+ex*i 十/+工37.彳 彳38.C39.应 填 守7dza+x2 乂 2%先求复合函数的导数，再求d y.因 为 所 以d片二7以x=e 解析 因为 f(x)=0 得 x=eIn x40.所 以x=e是函数/(x)的驻点.41.D42.1因为 积分区间 4,工 关于原点对称2 2且/(-x)=sin?(-x)cos2(-x)=-sin3 xcos1 x=-/(x)即被积函数是奇函数 所 以fsin3zcos2xdx=043.00 解 析：244.(-22)45.-cosxo因为 y,=cosx,yn=-sinx
17、,y*=-cosx,46.(-co,+co)47.(-oo2)48.149.148738555O.F(lnx)+C51.k0ed(丘)(RO)=1|+=-(0-1)(当HO 时)k 10 k1-152.叵1 8731 853.因为，(0)=(2 x+l)|=1,从 而/（彳）|=2,故填2.54.应填2.本题考查的知识点是二阶导数值的计因为 y（x）=x+-,iiiijX1 2/,（x）=1-4，/（）=彳,X X算.55.2arc tan x+T1 +x2因为 f（x）=2xarc tan x+I2x所以 f x）=2 arc lan x+-r568 J）明（，）57.1/31+-5-+J.
18、r /+3工+1.x /1蚓 环 万2=如 二-2=T-3+丁+丁58.因为 lim -=-n m -=-=5 所以攵=259.3/53/5 解 析：依 k，w 3K k 560.（j+ey）2（x+ey）2sin(lnx)dxCxsin(lnjr)|J xdsin(lnx)-J cos(ln.r)dT=esinl-xcos(lnx)+jrdcosdrtr)esinl-ecosl+1-J sin(lnz)d.r.sin(lnj*)dr=e(sinl-cosl)+11.sin(lnx)d.rCxsin(lrtr)|xdsin(Inx)esinl-J cos(lrkr)d.resinl-jcos(
19、lnjr)J+jrdcos(lrur)esinl-ecosl+1-J sin(lnx)d.rJ sin(lnj-)tLr=-e(sinl-cosl)+162.由息函数求导公式知由隐函数求导公式知.z，一华若得祸.令/2JT+1 =即 r=y (uJ 1)dr=du,于是J/v2x+IcLr=1-y(uJ-1 )a y tt2d/2x 4 1 =即1=-1)td-r=”于是J i y/Zx+IcLr=J 一1)“二,j 3)d=#_*C(2x4-1)T 1)4-C.60 I o64.该题若求出导函数后再将1=0 代人计算比较麻烦，下面利用导数定义计算./m Ti.yZ(O)=lim 3中=|im
20、=i.该题若求出导函数后再将z=0 代人计算比较麻烦，下面利用导数定义计算.1 -silLTr(O)=lim 9 一 俨?3 lim 7n=lim 后叵=1./*o x-U j-o x,-o、1 +siru*因 2 +2 cos 2才=2(1+cos 2 x)=4 cos。所以，2 +2 cos 2 1dz =j0=r/4 cos2x dj-2|C O S J T I d.r=2 cos x dx -2 cos j-dj=2 s i r vr-2 s i njro=2 +2 =4.因 2 +2 cos 2 x =2(1+C O S2J T)=4 cos Z;r所以，2 +2 cos 2 r&r
21、v4 cos r dj-=J21cos x I d.r=2 s i njr -2 s i nxo=2 +2 =4.66.5=(4-x2)dx-J(4-xJ)dx=(4 x-y)L (4X T)L=,6,匕=TTJ xAy=IT(4 -y)Ay=44y-1=际 67.68.设所以则f(*,y)=y3-*-arcco(xy),SF.1 a f-1=l+y ,=3y+x.-a*ay 4 -X-dFdy _ dx _ /一/尸 _y s/y r iy+x ay69.因为/(J)=j：L,d，.于是 x/(x)ir =/(x)R：/#.2xck=j c (x1)dj,-ye|=-1-(c 1-1).因
22、为/Q)=j。-也，于是jj/(x)d x -“Gr d(#)=/=C|+C:e g为齐次线性方程的通解.而5，一2工一1中的入=0为单一特征根.故可设y*=jr(A r+Hr+C)为2/4-5/=5xl-2x-1的一个特解,于是有.(/)=3 A r+2 H r+a(y)”=6A r+2B.知2(6Ar 4-2B)+5(3Ar,+2Rr 4-C)=Sx1-2x-1,即15Arz 4-(124+!0B)x+4B4-5C=5-2x-1,故15A=5.12A+10B=-2.4B-b5C =-1.于是所以2y+5y=5x*2x 1的一个特制.因此原方程的通M为y=G+Ge/+（+C|.Cj 为任意常
23、数）.与原方程对应的齐次线性方程为2y+5y=0.特征方程为2rl+5/=O.故c5于是y=G+C：e 学为齐次线性方程的通解.而5二 一2工一1中的A =0为笊一特征根.故可设y k-r(Ar，+Hr+C)为2/4-5/=5xl-2x-1的一个特解,于是有,=3Ar,+2ftr 4-C,(y*)*=6Ar+2 8.知2(6Ar-t-2B)+5(3Ar,+2Rr 4-C)=Sx1-2x-1,即15Arz+(12A+10B)x+4B4-5C=5-2x-1,故15A=5.12A+10B=-2.4B-b5C =-1.于是AA=1 u 3 r,7T，B=_T-C=25-所以为.x*3,lx,3 5 2
24、52y+5y=5x*2x 1的一个特制,因此原方程的通M为y=C 1+Ce +(0 为任意常数75.积分区域D如图所示，D的边界1+y =4用极坐标表示分别为r系下为1r(厂 I 0&6 4 2冗，1 44 2),故r2 cos2 6k dr2,故积分区域D在极坐标cosBd引 rJdrcos2 Oddcos Oddis r,2 cos2 Odd(1+cos2G 此=(6+-sin2)A=15Ko T积分区域D如图所示，D的边界J+y =k x2+y=4用极坐标表示分别为r=l.r=2,故枳分区域D在极坐标系下为(r,0)I 0&G 4 27t.i&2),故x2dxdyr2 cos2 dr=j
25、2cos?r4dr=小曲=-y j COS2 060=2cos2Odd=J：(1 +CO62GM15 1=3 in26)o L2=15,K一o 4由对称性知3yLrdy=0.所以u76.(x:+y：)J t a n2Z 1=a s ec/.由辅助三角形，如图所示，则s ecz =+.t a nr =二a a于是dxs ec/d/=I n|sect+t a n/|+C同代&|二 十企 士:I a a+Gl n(x +1 f+a?)+(：I ndl n(x +a?)+C(C =Ci I na).示.则令I=a t a n/（一 手 V 作辅助三角形,如图所dr =u s er/dz.x 4 r +
26、了 =y a2t a n2/+a*=a V t a n2/+1=a s ec/.由辅助三角形，如图所示,则s ec/=+a 2.t a =土.a a于是空Qd,a s ec/=I n|s ec/+t a n/I+C建1叱+Z|+GJ s ec/d/=l n(x +，/，4 a?)+G I nd=l n(x +，2 +a?)+C(C=Ci I na).80.函数的定义域为（oo,+oo）,且（X）=3X23.令（x）=0,得驻点x产L X 2=l.列表如下:X(-8 )-1(-1 J)1(I,*)/,（X）0-0/U)Z-1）=3 为极大值为极小值Z由上表可知，函数f（x）的单调增区间为（00,
27、1 和 1,+0 0）,单调减区间为-1,为f(l)=3为极大值f(l)=-l为极小值.注意：如果将(-8,-1 写成(心，-1),口，+00)写成(1,+00),-1,1 写成(-1,1)也正确.dz dz du t dz dv.dzd/d u d f d v d/dt=vef-w s i n/+co s/=e*co s/e s i n f +c o C8 L=er(co s/s i n/)+co s/.dzd7d g d i/,8g d v dzdu d f d v d/dt=v e 1 “s i n/+co s/=efco s/-ezs i n/+co s/=er(co s/s i n/
28、)4-co s/.82.y =(I r u r)*#jr+(l n x)r (x1*),=了.+(l i L r)r (e”=e-K:l n f,I n d r u*)+x 士 7 j*工+才2 +(l n x)r (if二 小了 +D，e”=e f e I n(l n x)*i J)工 忆 十(l a r)J eb，J 2l r u r二(I r u*)4 I n(l r w)+丁-*+2(l r u)r*1 xl a r,.83.炉加打=1间笫加=-1-1 y(l+/V d y =(4 i/2-1).产加打=对、业=-|-y(l +V d y =(4/2-1).令 x y =uxyz=，则
29、/(w)=/(J.M.V).d u，*a 7dw：a w84.第=+”.且+.电=攵+红y +”丹3x du dx dv dx dx du dv=也.也+跑.包=闻 工+冬 尔du dy dv dy du dv=d-u-*-d-v =du1 x y,dv dt dv令=uxyz=，则/(w)=/(x.tttv).迦=亚+亚.更+.电=亚+虹 y+翌 丹dx dx du dx dv dx dx du dv电=电.如+茎.即=冬工+包.卬Sy du dy dv dy du dv跑=电.也=也.Q.dz dv dz dv85.等式两边对,求导得/(j1 1)3jr:=1 .即 八 1)=令 H=2.
30、得/(7)-上.等式两边对才求导得/(jrJ-1)3J:=1即/(-r1-1)=令 I=2.得/=台86.函数的定义域为(-8,+8)./(x)=3/-3&0,得*=1.列表如下:J(-,-!)-!(7,1)1(1 )/40一0/(X)为极大值为极小值函数f(x)的单调增区间为(-8,-1),(1,-to)；单调减区间为(-1,1)0 极大值为f(-D=O,极小值为f(l)=-4.87.相应的齐次方程为y-2y-3 y -Q,其特征方程为 r*-2r 3=0.得特征根为C=3.r,=-1.故齐次方程的通解为y=C e“+G e G.G 为任意常数).由于自由项/(r)=re 以=-1 是特征单
31、根.故可设原方程的特解为y=x(Ar+B)e*,将 y,代人原方程,得8 Ar+2 A 4fi x有-8 A =1.2 A-4 B =0故原方程的特解为，=，(一卜白产-i(2 x+l)e 所以原方程的通解为y=0 十仁 一三(2 I+De X G C 为任意常数).1 n相应的齐次方程为其特征方程为 rx-2 r-3 =0.得特征根为n=3,r,=-1.故齐次方程的通解为y=Ge+c?e C.G 为任意常数).由于自由项工)=xe f.A=-1 是特征单根.故可设原方程的特解为y,=H(A r+8)，将 y 代入原方程,得-8 Ar+2A 4B=”有-8A=1 2A 4B=0故原方程的特制为
32、力=(一；工一5 产 一(2 x+l)e 所以原方程的通解为y=C e +Q e，一三(21+De F G C 为任意常数).原方程变形为88.分离变景得积分得故通解为5半=3 r2+d r5d=(3xJ+5x)dx.51y=4-C|,y y-r,+y x2+C.原方程变形为分离变H得积分得故通解为5翌=3/+5工d r5dy=(3J4+5x)dx.5y-x*+-|-x,+Ct.y=+#+C.89.等式两边从。到1积分得j /(x)d x =J JT(1 x)d r+/(j)d x.即，/G)LrJoL故/=*(1 +5等式两边从0到1积分得0g d r=即 jf(x)d r =2 j-(l-
33、x)*i rJti411r(1 -/)cLr+/(x)故/=jr(l xJ+=.90.该题属于fix)型的微分方程.可通过连续积分求得通解.对y,=z+l两边积分.得/=：/+工+仁.将初始条件y”(0)-1代人,得G =1.即/=y 4-x +1.两边再枳分.得y=标+斤+工+0.将y(0)=。代人得G 。即两边再积分.得y =工,+#+#+。将y(0)=2代人.得C,-2.故所求特解为、=%+*+甘+?该 题 属 于=/(工)型的微分方程,可通过连续积分求得通解.对、,=N+1两边积分.得/=/+h+(；.将初始条件y(0)-1代人,得G =1.即y y x1+1+I.两边再枳分,得y=标
34、+#+i +C：.将/(0)=0代人.得G -0 .即两 边 再 积 分.得 一 拉 +*+g将 (0)=2代 入,得 仁=2.故所求特的为、=吉/+#+犷+2.91.设函数/(x)=l n(l +x)-j；(x 0),/(0)=。.由八=T T 7 -(；工_ =(1+J)1*在0,+00).，(1)0.故fix)在(0,+8)内严格单调增加.从而当上 0时./(工)/(0+0),又函数/G)在 0.+8)连续，故八0+0)=/(0),但/0)=0.故当工 0时./(x)0.即l n(1 4.x)r_(J 0).设函数/(x)=l n(l+x)-j-J-p(x 0),/(0)=。.由=T T
35、 7-(1=(1+X)1*在 0.+8 ./(工)0.故/(x)在(0.+8)内严格单调增加，从而当1 0 时,人)八0+0),又函数八)在 0,+8)连续.故/(0+0)=八0)，但/(0)=0.故当工 0 时./(x)0.即In(14-x)r-T 0.1+工设每套公寓租金定为”所获收人为 则y=50 工7.吗(才-200),假理得y=+7200J-1400000),知V=志(-2 1 +7200),令，=0 得,工=3600.而/=-J V 0,即工=3600是使y 达到最大值的点.故租金定为辟套3600元时获得收入最大,最大收入为y=50-：2-(3600-2 0 0)10092.-34
36、 3400-115600(Tt).设诲套公寓租金定为八所获收人为y 则y-5 O-(x-2 O O),整理得y=j (-4-7200T-1400000).知y =焉(-21+7200).令 y=0 得,1=3600.而 H一)V 0.即工=3600是使y 达到最大值的点.故租金定为每套3600元时获得收入最大，最大收人为=50 3 ：2-(3600-2 0 0)34 X 3400=115600(元).93.设A点坐标由y =2，得切线方程为y M =2八（1 MJ 或所以I。=1*（1.1）,切线方程为21-y一 1 =0切线与1 轴交点为=:.于是V =KJ,*C1X K,（2JT 1 尸d
37、 i =yx-K=卧 立 方 单 位）.设A点坐标（工。,1力 由，=2，得切线方程为y M =2八（1 MJ 或所以工，=1*（1.1）,切线方程为2工 一,-1 =0切线与上轴交点为1:.于是V =n J x c l r n ,2J-l）rd x =-x yx=芸 立 方 单 位）.94.画出曲线y =_ r +4与=的图形.得所围成的平面图形如图所示的阴影 =x +4 部分.并解方程组J 1 2得交点（一 2.2）与（4.8）.从而知所围成的图形的面枳为，工 彳，S=I Q +4 1 业J-i Z=/+4T）|:=18.画出曲线yr +4 与尸的图形.得所围成的平面图形如图所示的阴影y=
38、1+4 部分.并解方程组.1 2得交点(-2.2)与(4,8),从而知所圉成的图形的面枳为y=y-r S=j (上 +4)-F(6)=/(6)e*=0.因为F()=F ).所以F U)=/(l)/在 a.幻匕满足罗尔定理的条件,于是在(a,*)内至少存在一点久 使F(S)=0.即r t f)=4-/(9)5 3?-0.即eC/CfJ+a /t f)=0.而e工。.故/(e+3/-o.e e96.令/-e*-4 -f匚 二 出,显 然/(力 在 0.门 上连续.4 J n l i*又/(0)=eB-|-r-l7(k-1-f =-1 e 4 1 4 J 9 I i I w 4由零点定理知./(工)
39、在(0.1)内至少有一个零点即方程/(J-)=0至少有一实根.又/(x)=e*-0(r 0).,./(x)在 0.1上单调递增.即/(工)在(0.D内与I轴 至 多 有 一个交点.所 以 又 上 述 可 知 在(0 1)内 方 程 只 有 唯 一 的 实 根。令/-e-4 -r 7力.显然f i x)在 0.1 1上连续.4 Jo 1 -T/又/(0)77777 1 =1 一.N ；V 0B7L r+7k e 怖 一1=e-y 0.4 J。1 T i C t a由零点定理知,/(H)在(0.1)内至少有一个零点即方 程/(X)=0至少有一实根.又/(x)=e r-rr 0(x 0),1 4-x
40、A/(x)在 0上单调递增即/“)在(01)内与,轴至多有一个交点.所以，又上述可知，在(0,1)内，方程只有唯一的实根。97.曲线y=工”工 0)在点M(l.l)处切线斜率为2.过M点的切线方程为y=2工一】.切线与J轴的交点为)(如图所示).c(1)平面图形D 的面积为A=L r-|.1.l3-1 -14 12(2)平面图形D 绕/轴旋转周而成的旋转体的体积f K（x2）2cLr-K I1 4,Jo 3 42L _三行一7一工30曲线y=xJ 0)在点M(1.D 处切线斜率为2.过M点的切线方程为、=2一】.切线与丁轴的交点为4(如图所示).Cr(1)平面图形。的面积为3w1 S S 14
41、 12(2)平面图形D 绕/轴旋转周而成的旋转体的体积K（X2）2cLr 1丁n，P L-f三_ H至一7X30,98.(1)因为函数/(x)=1 一2a r c t a n.r.则令/=0.得驻点x=1.当1 V 一 1 时.，（工）0：当一】V*V I 时V0,当 工 1 时/（工）0.故函数/（x）在（-8.-D与（1.+8）上单调增加；函数在（一 1.1）上单调减少.因 此 函 数 人 外 在 I=一 1 处取得极大值/（一 1）=左-1.在工=I 处取得极小值/=1-f I）（2）因为/G）=所以八 0时./（0.故曲线y =/（外 在（0.+3）上是凹的.且（0.0）是曲线的拐点.
42、(1)因为函数/G)=工-2a r c t a n j .则令 Z 0;当一 1 V 工V 1 时.，（）V0:当H 1 时.，（力 0.故函数/（x）在（一8一 D与（1.+8）上单调增加函数八外 在（一1.1）上单调减少.因 此 函 数/在 H=-1 处取御极大值八一1）=半 1在 H=1 处取得极小值/1）=1-f（2）因为/Q）=f 三;,所以人工）（1匕尸令/*0时.广（力 0.故曲线y =/（i）在（0.+8）上是凹的.且（0.0）是曲线的拐点.99.因为抛物线V-o r1+&r 4-r过原点.有c=0,又1 时 y 2 0 故该抛物线与轴及1=1 所用图形的面积为J(a r:+h
43、r Jdx=；于是 2a+36=2.该平面图形绕1 轴旋转一周形成的立体体枳为V=K|(a.rl+fcr)d”什,+1 必+)-=(6“：+】52 +106s)30=.6a：+10a(1-)+.(1 -a).(/,=3 )=匍“+%+叫H匍(+打+垮 卜要使V 最小令a 一%此 时 微.于是a=一,=0 时.此图形绕工轴旋转一周而成的体积最小.因为抛物线V=a r1+Air+要使V 最小令a 一牛此时6=于是a=0 时.此图形绕了轴旋转一周而成的体积殿小.100.原方程可化为T-d t -=0.Jo 1 十1 IV令/（工）=-山-士.则/（）在 o.i上连续，且J 0 1十，1U/0)一=V
44、 0./(1、)J=Jr-I P r -l +L.1or Hd/-T o=J.n Hn r （I +!i l）一卷 0.6167 0.6=0.0167 0.:.由零点定理知./（力 在（0.】）内至少有一零点即方程生&=在（0）内至少有实根.又，（_r）=p 0.j e（0.1）.故 人工）在（0.D 内单调递增于是函数 y=/（X）与 轴至多有一个交点,即方程fix）=0也是=今 在仙】）内至多有一个实根.所以方程在区间内只有一个实根。原方程可化为/；&一 白=0.J 9 1 -r IV()/I5,则八H）在 0.1 1 上连续.且O =1-!+4+4-|4 3 4 0 o故/*（1）（I-
45、:+/）一?0,6167 0.6=0.0167 0.由零点定理知./（力 在（0.D 内至少有一零点即方程广 生 也=忘 在 0，】）内至少有一实根.又，=W-0.”0.1）,故/（X）在（0,1）内单调递增于是由】十J T数丫=/（幻 与，轴至多有一个交点,即方程/Gr）=0.也是生出=上在=2.直接对等式两边求微分(构造辅助函数，用公式法求导请读者自行练习).d(z)=d.F+de”.Zxzdx+fdz-lydylcdz.108.所以出二 辞 了 出 五 乡 丁 心直接对等式两边求微分(构造辅助函数，用公式法求导请读者自行练习).d(fz)=d./+de”Ixzdx+fdz=2jxiH2e
46、2jdz.所以dr=109.函数定义域为(-8,DU(1.+8),V*=1-r.y=-rO(x-1)2(x-l令 y，=0 得 X=0,x2=2.列表得X0)0(a 1)(1.2)2(Z -)0-0-.y/y(0)-1为极大值尸二3为极小值附数y=x+1 的单调增加区间为(-8,0)U(21+8),x-1里调减少区间为(0,D U(1,2).y(O)=-l为极大值，y(2)=3为极小值,凸区间为(-8,D,凹区间为(1,+-).110.解 样 本 空 间 的 样 本 点 应 该 是 甲、乙两袋中的样本点之积，也就是从甲袋中取一个球再从乙袋中取一球的所有取法，即ck C o.两球颜色相同的情况有三种，因此其样本点共有c；C o+C C；+C!c：.所以两球颜色相同的概率为C；Clo+Cj-CI+CJ C _23了 Cis 0。75解 样 本 空 间 的 样 本 点 应 该 是 甲、乙两袋中的样本点之积，也就是从甲袋中取一个球再从乙袋中取一球的所有取法，即CL 0 .两球颜色相同的情况有三种，因此其样本点共有C；C；0+C -C+C J C：.所以两球颜色相同的概率为C；C；0 +C C；+C C；_23C!s Co 75lll.Dln(1-r)dr如JlnG+岬s?忡 5