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1、2022-2023学年江苏省南通市通州区高一上学期期末数学试题一、单选题1 .己知角。终边经过点G-4）,则sine 的 值 为（）3 _ 3 4 _ 4A.5 B.5 c.5 D.5【答案】Dsina =【解析】根据三角函数的定义 厂计算即可.【详解】因为角。终边过点尸（3）,所以X=5,所以故选：D.【点睛】本题考查三角函数的定义，是基础题.2 .已知集合A =icDy =yll-x2 XBJ =x1 y L=I nrlJ,则 4c8等 于（）A.（M B.U，+8）C.M D.1【答案】A【分析】分别求出集合力，8,再根据交集的定义即可得解.至 版】翻 A=y =1=r|l-x2 0 =
2、-1,1【详解】解：I,B=x|y =lnx j=（0,+司所以/n 8=（o,i.故选：A.a=2kit+,ke：Z sina =一3 .“6 ，是“2，的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断.a=2kn+-,k e Z sina =sin（2 E +B =sin；=1,%Z【详解】若 6 ，则 V 6 J 6 2 成立；1 C 7 兀，r r c ,5 兀 .兀，sna=a =2 4 兀+a =2 E +,k w Z a=2k7i+,K e Z若 2,则 6 或 6 ，故 6 不一定
3、成立;a=Iku-.k e Z sinc r=综上所述：“6 ，是“2，的充分不必要条件.故选：A.4.心理学家经常用函数L（）=（l-e ）测定时间，（单位：min）内 的 记 忆 量 其 中 Z 表示需要记忆的量，”表示记忆率.已知一个学生在5min内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率上约为（）（l n 0-9 05,InO”-2.303）A.0.021 B.0.221 c.0.461 D.0.661【答案】A【分析】由题意得出2=20（l-e 3），再取对数得出4 的值【详解】由题意可得：=7001 p-5*e-K=0.9 k=9 x 0.021人 则 10,
4、取对数整理得 5.故选：A.5.已知 tan%-sin2a=2,则 tan2asin%的 值 为（）11A.3 B.3 C.2 D.2【答案】C【分析】结合同角三角函数的基本关系式，先求得t a n a,然后求得s in?c,进而求得tan%sin2a 详解由于 tan%-sin2a=2,2sin2a 2 tan2a-tan a-：-；-=tan a-；-=2所以 sina+cos-a tan-a+l两边乘以taT a+l 并化简得tana-2tan2a-2=0,由于tan2 a 0,所以解得tan2a =6+1,所 以 sin2 a =tan2a-2 =V 3-l)tan2asin26r=A
5、/3+1卜/-1)=2f/故选：C兀6.将函数夕=$1 2 的图象向右平移个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数=/（）的图象，则/a）的解析式为（）sinA.2%-yB.sinf 2 x-D.【答案】D【分析】根据三角函数图象变换以及诱导公式求得正确答案.y =sin（x一 四【详解】函数N =sinx的图象向右平移3个长度单位得到 I 3）,产 sin（J再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到.-3.故选：D7.己知函数/（X）的 定 义 域 为 为 偶 函 数，/G）在 上 单 调 递 增，则不等式/（x +l）/（T）的解
6、集为（）A.（-2,+0 ）B（-oo,-2）c.（-8,-2）U（l,+8）口.（I）【答案】C小+n x=l【分析】根 据 函 数I*3）为偶函数，可得函数/（x）关 于 对 称，从而可得出函数/（“）在上单调递减，再根据函数得单调性解不等式即可.【详解】解：因 为 函 数I 2 J为偶函数，所以函数/G）关于、一5对称，则-1）=/（2）,因为/（x）在 N+0 ）上单调递增，所以函数/（X）在（叫5）上单调递减，由不等式/（X+1）/（T）,得 x +l 2 或 x +l l 或 x/（T）的解集为（一8,一 2）U（l,+8）故选：C.8,设a =log 3 4 +log 4 3,3
7、+4 =5“，则（）A.a b 2 B.a 2 bC.b a 2D.b 2 a【答案】A【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性侦进行判断即可.详解因为唾340，唾 4 3 0,且 log34Klog43,log34+log43 27log34-log43=我 =2所以Yig3 1g4,即 八 2,因为函数V=3,y=4 是单调递增函数，所以函数V=3+4 是单调递增函数，所以当。2 时,有 3+4 3?+42=25,因为 3“+4=5,所以有525=52,3+4=5八=（|）+图 =5h-因为函数 是单调递减函数，/（x所以函数.）=f-Y+f-Y【J 是单调递减函数，f
8、 （a）f-l+f i 5Z 1 h-ah 2,所 以“，因此a 6 2,故选：A【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键.二、多选题9.已知事函数J=/（x）的图象经过点尸（4 2）,则（）A/（x）=（伪，B./（）的定义域为m+s）C./（x）的值域为 ，+8）D./GA /的解集为(O 1)【答案】B C D【分析】根据基函数的定义，结合基函数的性质逐一判断即可.【详解】设y=/G)=x,因为y=/G)的图象经过点PGN,1 /、_1/_4 a=2 =a =f(x)=x2=yjx所以 2 ，显然选项A 不正确；因为只有非负实数有算术平方根，所以/(X)
9、的定义域为 0 +“)，因此选项B正确;因为x 20,所以有/GV。，因此选项C正确：/(x)x2=yx x2由f x 0 f x 01 1n ，n 0 x x4 x所以选项D正确,故选：B C D1 0.下列命题正确的是()A.若同 虬则/B.若a lgc gc,则a b1 1 一C.若。6-D.若 c a b ,贝 ijc-a c-b【答案】AC【分析】根据不等式得性质即可判断A BC,再利用作差法即可判断D.【详解】解：对于A,若 例 网，则/吃 故A正确;对于B,当-I。时，吐=-1,若a lgob lgc,贝心 对于C,若则“b,故 c正确；a b a(c b)-b(c-a)c(a-
10、6)对干 D c-a c-h(c-a)(c-h)(c-a)(c-b)当 c =0 时，(c-q)(c-b),此时 c-a c-b,故 D 错误.故选：AC.1 1.关 于X的不等式“（x-l）（x-a）D 0【答案】A C D【分析】分类讨论。的值，再按照二次不等式求解集可.【详解】解：当 0时，则x e 0,当a0时，则 抬 _1）（_4）0 =（、_1）。_“）0,若时，贝 若0 a l时，则 若。=1时，则x e 0,当 a。时,则 （x-l）（x-a）0 ,故x l综上，当=0,不等式的解集为0,当。=1时，不等式的解集为0,当”1时，不等式的解集为（L a）,当0 a l时，不等式的
11、解集为（.），当0时，不等式的解集为（一8，。）（1，+8）,故选：AC D.1 2 .对于任意两个正数#（v-w 2 L（w,v）1 时，A（w,v）=L（l,v）-L（l,w）=lnv-lnw ,当 u 1 时，L(u,v)=L(u,1)-(v,1)=L(l,v)-(l,w)=ln v-lnw ,当 1 u时，(#)=(4)+(l,v)=L(l,v)-Z(l,w)=lnv-lnw ,当 v =l 或”=1 时，,v)=lnv-ln”也成立，综 卜，L(u,v)=In v -In w ,对 A,4号 卜 呜，4 n2,4,8)=ln8 一 In4=l n 2,即 心 H(”)对&y A l
12、W-l n泮JlOOdnB-lnZ),而2,3)=ln3-ln2,所以,逑)=1。叫2,3),故B正确；对 C,取 =Lv =2,则 4 W)=*,2)=l n 2 2 7 =l,故 c 错误;因为S阴 影 S梯 形L(u,v)=In v-Inn (v-)(-+)=-所以 2 v u 2 uv2Z(M,v)0,/()=j i 14.已知函数 I 若/(/(x)=l,则x的值为【答案】0或4【分析】利用换元法，结合函数的解析式进行代入求解即可.【详解】令/()=,即当，0 时，/Q)=lnlo g2f =l =f =2,即/(x)=2,当x 。时，/(x)=2 n b g23 2 n x=4 。
13、，符合题意；n/(工)=2=(?=2=x=0当x 4 0 时，符合题意；八=1=/=io当时，不符合题意，故答案为：。或415.已知c o s(75+a)=-3,且-180。-9 0。，则c o s(,15c n，a)、的值为.-迥二 友【答案】3#3【分析】由8 s(15。-上 侬 9。-(75。+协=皿 75。+叫结合已知即可求解.,v c o s(75+a)=l【详解】解：3 且-180。&-9 0。，.1.-105 a+75-15s i n(75+a)=-23,c o s(15-a)=c o s 9 0-(75+a)=s i n(75 +a)=-延则3272故答案为：-r.四、双空题1
14、6.设函数/G刎-2)x +，则/(x)在R上的最小值为；若/(X)的定义域与值域都是 句，则。+b =.-73-【答案】4-4或-2或 4【分析】将/（X）表示为分段函数的形式，画出/（X）的图象，结合二次函数的知识求得/（X）在R上的最小值.对X进行分类讨论，根据定义域与值域都是 力 列式，化简求得【详解】(-1-2)-(x +),x W -1/(x)=(|x|-2 x +l|=(-x-2)(x +1),-1 x 02x2+3x +2,x x 3x 2,1 x 0 x+29,x 04-,x -14+；,-1c x 0画出/（X）的图象如下图所示，结合图象以及二次函数的性质可知:=-2/（x
15、）在R上 的 最 小 值 为.4依题意，/G）的定义域与值域都是“4，,.3（1）当-5时，/（X）在 回可上递减,所以Q?+3。+2=5即 +36+2=一两式相减并整理得a+b =-4.（2）当时，/（X）在 例 上 的 最 小 值 为,I 2）4；_3因为/（无）的值域为回回，所以 北 与”一5矛盾.3（3）当 2 a b 时，/C O 在 ”力 递增，/（）=,/0）=6,a2+3。+2 =*所 以 忻+3 6 +2 =两式相减并整理得。+6 =-2与“人-1矛盾.（4）当-24-1 6 4 2时，（x）在 心可的最大值为0,所以，=0,区间为口 ，所以/G）的最小值为/（）7,所以=-
16、2,所以。+6 =-2.（5）当T”6 0时,/（“）在 例 递减，/（。）=2 6）=a,-a1-3a-2=b-b2-3b-2=a,两式相减并整理得a+b=-2,与矛盾.（6）当/（x）在卜递减，/（UGA,a2-a-2=b（2 i _ 0&a b 4-“一。一 2=a,两式相减并整理得a+b=o 与 2 矛盾.1 ,9（7）当 5 时，/G）在回目的最小值为吗，9a=所以 4,f(a)=f9 3+4 2I2 1416 2所以/（X）的最大值为/（）=一-2=，解得。=百+1 （负根舍去）,a+b=y/3-所以 4.1 ,（8）当5 时，/G）在丁可递增，/（。）=。，/0）=6,所以廿一8
17、-2 =6,由于0 6,所以6=1 +”1-6 01 若 5,求 如 储)；从 8U(DR；n(4 8)=。这三个条件中任选一个，补充在下面横线上,并进行解答.问题：若，求实数a 的取值范围.【答案】(1)(2)1，+8)【分析】（1）解不等式可分别求得集合48,由补集和交集定义可求得结果；（2）根据条件中的交集、并集结果都可以确定”分别在。=0、和”。的情况下，根据包含关系可构造不等式求得结果.【详解】由V-6 X +5 W 0得：l x 5,即”=1，5 ；_ 1 1当”5时，由 5 得：XN2,即 8 =2,+o o）,.8=（00,2）,（2）由（1）知：“=口”；若选条件，=S，l）
18、U（5,y）,若8U（qx）=R,则 1,5仁8,即/8；当a =0时，8 =0,不合题意；B=,+J J L 0时，L ）,则a ,解得：a.八 B=-c o,5 0 a 当a 0时，I ，则a ,解得：5 （舍）；综上所述：实数。的取值范围为上位）；若选条件，/门8 =1,：,A B.当a =时，8 =0,不合题意；B=,+o o|1 0时，L ）,则。，解得：al.c 5 =1-00,1 5 0 a -当时，I ，则a ,解得：5（舍）；综上所述：实数。的取值范围为I k）；若选条件，,0（谒）=0,.-.AQB.当。=时，8 =0,不合题意；B ,+5 o I-L 时，L ）,则a ,
19、解得：al.5=-co,5 0 -当。时，则，解得：5（舍）；综上所述：实数”的取值范围为1 9.求解下列问题：COS4-6zj已知tana=2,求$皿一&)+3(2”。)的值.1 7 C 1 1sina+cosa=a it-(2)已知 3 2,求 sina c o sa的值.【答案】(1)23旧4【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）求得cos a-sin a,sin a cos a,从而求得正确答案.cos I-+aU【详解】(1)sin(-a)+cos(2)一 sin a _-tan a _-2 _ sin a +cos a -tan a+1 -2+11
20、sina+cosa=-(2)由 3 两边平方得sin2 cr+2 sin cr cos a+cos2 a=l+2sinacosa=,sin a c o sa94-971由于 2 C C 0,cosa 0,cosa-sina 0所以 cos a-sin a=-J(cosa-sina)2_胆1 1 _ cosa-sin7 _ 3 _ 3A7sina cos a sinacosa所以/一 92 0.已知函数/(x)=2:；sin(2x+；)+1（1）求函数/（“）的最小正周期、图象的对称中心及其单调减区间;n 7 i 求函数/（x）在1 4 2 上的最值及其对应的X的值.【答案】（1）答案见解析（2
21、）当 =一王或5 时，函数有最小值为1-0，当 一 京时，函数有最大值为3.【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；（2）根据三角函数在给定区间上的最值分布求解即可._ 2 兀T=7 1【详解】（1）最小正周期为 2 ,2x+=kn,k e Z x=-+,k e Z由 4 解得 8 2 ,所以对称中心为I 8 2人+2lai 2x+2kn,k&7.-+knx +kit,k e Z由 2 4 2 ，解得8 8+kn,+kn,k eZ所以函数的减区间为L8 8 J ,n i t C 兀X E ,-E ,7 1（2）因为L 4 2 ，所以L 2 ，兀 5兀-4T，c2 x+-兀 =兀 S三i r
22、x=-兀 兀所以当 4 4或 4 ,即 4 或 2时，函数有最小值为 应，兀2 x +G4当 兀 兀2x+-=-7 1X=4 2,即 8 时,函数有最大值为1 +2 =3.2 1.已知函数/。）=优+机 （1）是奇函数.（1）求实数加的值;（2）已知不等式-(/?+2)x +2)%一“对任意x e|?2,2 都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）=T-,4 +2 5/3 2【分析】（1）根据函数的奇偶性求得正确答案.ffnx1-（A 7 4-2）x +2 -a（2）根 据 的 单 调 性 化 简 不 等 式 a，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】（1）依题意可知,（X
23、）是定义在R上的奇函数,所 以/（。）=1 +?=0,机=T经检验满足题意.（2）由（1）得，）=一靛，由于。0对任意xe-2,2 都成立,当=o时,当 0时,3-2 x +3 0,x 0解得 4 +26.当0时，要 使 后-（+2）x +3 N 0对任意x e -2,2 都成立,则需n 04+2(+2)+3 N O4M-2(+2)+3 0(此不等式组无解.当函数一（+2）x+3的开口向上，对称轴要使加一（+2）+3 2。对任意乂-2,2 都成立，+2 1 1 1x=-=-+2/7 2 n 2 ,w 0A 01 1。fI 2 0 2 n则 需 卜40或 4-2(+2)+3 2 0,解得4-2
24、6 4 4 4 +2/或1,4 +2 百综上所述，的取值范围是L2 .【点睛】根据函数的奇偶性求参数，如果函数是奇函数，可以用/（一 二）二 一/,。）来求解，如果函数是定义在R上的奇函数，则可用/（）=来求解.如果函数是偶函数，可以用/（一 ）=/（X）来求解.一元二次不等式在某区间上恒成立问题，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.2 2.已知指数函数“X）满足/（/（）=2.求/（x）的解析式；设函数g（x）=2x）+0（x）,若方程g（x）+g（r）+l=有 4个不相等的实数解演 2，不，匕.（i）求实数的取值范围：（i i）证明：+闯+同+闯 4 .【答案】/=3 +1）
25、（i）（工一2）；）证明详见解析【分析】（1）根据指数函数的知识求得/（“）的解析式.（2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得人的取值范围.结合图象、对称性以及放缩法证得同+同+k3 1 +昆|0 且1）,由于1）一 一1）=2,所以=由于”0 且0*1,所以解得=&+1,所 以 小）=（&+1）.（2）（i）gG）=f（2 x）+切（）=6+1*+无（也 +1）,方程g（x）+g（-x）+1 0=0有 4个 不 相 等 的 实 数 解 再,即（0 +,+曲+小3+1）（应+0 =0 有 4个不相等的实数解3，.令/=S+i）+3+i）：则”=3+|7+|r+2,/=（7
26、2 +1）+（/2 +1 2 （7 2+1 J-（7 2+1 JX=2当且仅当V +l）=3 +1）户=时等号成立.所以化为产-2 +股 +1 0=2+k +8 =0,对于函数（x）=（&+l）+伊+1）A（-x）=（V 2 +l J +（0 +1）=（x）,所以“x）是偶函数，图象关于V轴对称，当x 。时，令”（五+v l,心）力+；任取吗,（匕）-加匕）=匕+二 匕=心生迨9匕 匕 冲2其中巧一%1,匕匕一1 ，7（匕）一加（匕）0k _ 22所 以 归+28 0,解得一6 左 O,Z 0,所 以 要 证 明 +同+同+同 4,即证明2&+%）4,即证明与+4 0）整理得 3+JT-S+I
27、）+I=（X）,解得,7 2 （对应当，匕，所以 2 舍去），x=l o g a所以f +-4、2.向+而-4 什,+J f 4 W+Z-l o g&M y+b g M ,8 +&*J 1 9 2-4 公+J 1 4 4-4 公=唾 回-工-出工-6%/1 9 2-4 左 2 +，1 4 4-4 4 2 1 Fs +7 2 x/1 9 2-4 x32 +1 4 4-4 x32l g a -7-嘎 a-；-所以 L L=噬&=唯&+1 0+2&)=*+|伊 +J=2 /即天+玉2 ,所 以 冈+|引+闯+闯 4.【点睛】本题的主要难点有两个，一个是根据方程的根的个数求参数的取值范围，涉及到了二次函数的性质、指数型复合函数以及函数的奇偶性.第二个难点是不等式的证明，首先根据奇偶性将所证明的不等式简化，然后通过解复杂的指数方程，再结合基本不等式、放缩法等知识来证得结论成ab 立.基本不等式的变形：a+b 2,右侧部分还可变形为a +b V 正,济 次