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1、2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题一、单选题1.已知平面。的一个法向量=3 ）,平面尸的一个法向量 2=（2，1，6）,若则=（）9A.2 B.4 C.-1 D.1【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为a，夕，则可得,，且“1=（3,0,2）,=（21,6）,则可得6+62=0,解得2=-1故选:C2.若直角三角形三条边长组成公差为2 的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（）515A.2 B.3 C.5 D.2【答案】C【分析】根据题意，设中间的边为。，由等差数列的定义，结合勾股定理
2、即可得到。的值，从而得到结果.【详解】由题意设中间的边为“，则三边依次为”-2,a,a+2由勾股定理可得（+2）.=（a-2）-+/,解得a=8 或。=。（舍）12=5即斜边为“+2=1 0,所以外接圆的半径为2故选:Cc._ r =1,3.已 知 P 为 双 曲 线，3 3 与抛物线V=2 x 的交点，则p 点的横坐标为（）A.3 B.2 C.n D.-1【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.y2=2x x=3【详解】依题意，2x=y20j则由解得y=指,所以P点的横坐标为3.故选：A4.若直线3x+4y+m=与圆/+/-2=0相切，则实数?取值的集合为（）A.T1 B.
3、-91 C.1 D.&2【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得”=J结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由 圆*+V 2y=可得x、（y-l）2=l,表示圆心为（），半径为1的圆,则圆心到直线3x+”+?=0的距离因为直线3X+W+加=与 圆 +丁-2=0相切，|4+|所以】=，即 正+不 ,解得机=1或机=-9,即实数机取值的集合为 一91故选:B5.己知数列 ”首项为2,且0”+“=2川，则%=（）A.2 B.2-+1 C.2-2【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得“同 一%=21,4=2,则当2 2时，有D.2,+,-2
4、an-at=)+(-1-a-2)+(%)=2+2一 +-+22a=2+2B-+-+22+a.=2+2-1+-+22+2=2-2=2+1-21-2经检验当=1时也符合该式.二 =21故选：D6.如图，在直三棱柱中，CA=CB,P为4 8的中点，。为棱CG的中点，则下列结论不正确的是（）A.P Q14 B B./平面4 c.P Q Lc q D,尸。平面/8C【答案】B【分析】A选项可以利用三线合一证明垂直关系，B选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C选项先通过类似A选项的证明得到线线垂直，结合AC的结论得到线面垂直后判断，D选项可以构造平行四边形，结合线面平行的
5、判定证明，【详解】不妨设棱柱的高为2，4C=CB=X.B选项，根据棱柱性质，4 G/Z C,而4 G C平面,田2=4,若z c 平面 田。，无论怎样平移直线Z C,都不会和平面“田。只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误；A选项，计算可得，Q 4=Q B =G +h，,又尸为4 8的中点，故尸，4 8（三线合一），A选项正确；C选项，连接片,。4 片，根据平行四边形性质，,用过p,计算可得，Q4 =QB i=J x2+h 1又P为 典 的 中 点，故尸。,明（三线合一），结合A选项，P。：力，物fl48=P,平面,8旦4,故尸0 1平面48四4,由 初 u平面,故P Q J.A A、,棱柱
6、的侧棱 4/C G,故PQLCC,c选项正确；D选项，取力8中点E,连接尸瓦以，结合尸为4 8的中点可知，尸 后为“8 4中位线，故总PE =_ 4,且 2 即PE/C Q,且PE=C 0,故四边形尸EC。为平行四边形，故P 0/C E,由P 0U平面NBC,C u平面/8 C,故尸0平面/8C,D选项正确.故选：B7.在数列 0 中,若存在不小于2的正整数人使得为%T且做,数 列 也 是单调递增数列，所以数列何 不是，心数列，故 A 错误；对于B,=2 ,加=2 向，b+l-b=2+,-2 =2 0）数 列 也 是单调递增数列，所以数列也 不是，人数列,，故 B 错误;对于c,对于函数小令勺
7、小）一/（）甯（西因为玉%3,所以玉一工2，西 工 2 9,*）】也 所以/G）/G）,/（x）在X G （3,+8）上为单调递增函数,0 r 丫 3 /（王）一/（）=（&一 2）空 心因为0 再 0,0 再 9&F)*。，所以/6)所以对于“，当2 4 4 3 时，有“%,当2 3 时，有勾%,存在左=3 使得数列也 是，左一数列，,，故 C正确；对于D,=7,2 2 时，因为 2-3 的单调递增数列，z”一?是单调递减数列，所以不存在不小于2的正整数出使得知 4-且）,可得 2（v+i）,再利用基本不等式可得答案【详解】设P 以。），所以+弓），yk=5 =2 1 ,b =/C,求出 2
8、 .即可判断 A、B.【详解】在正四面体/8 C。中，棱长均为1.任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1.任 取 两 个 向 量 则 忖 咽 一所 以 叩 丽xco s（词=8S（词 卜1,1 故c、D错误；取1通,片 前 设8c中点为E,连接“瓦 小因为45 c o为正四面体，所以“,8 C,ZE J.8 C因为=面 N O E ,DEu 面 A D E ,所以8c l面4 3 E.因为/Ou面40E,所以8C：。，所以石）=9 0 所以7c咋39。=。故人正确；a =A D,b=ACf 则（哂=6。a-h=c o s =c o s 6 0 =所以 2 .故B正确
9、.故选：A Br2 v2,C：r+yr=1 （b o）J L 厅 1 0.已知椭圆。b 的离心率为2,左，右焦点分别为片，鸟，尸为椭圆上一点（异于左，右顶点），且尸石工的周长为6,则下列结论正确的是（）A.椭圆0的焦距为1B.椭圆的短轴长为2百C.咫用面积的最大值为百 D.椭圆C上存在点尸，使得/耳P a =9 0【答案】B C【分析】根据5,2 a+2 c =6 解得。上。可判断人8；设（X。，）,由 同 呻=5用闾知当尸点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C;假设椭圆c上存在点尸，设仍同=同尸用=,求出力 +、m n,机，可看作方程-4X+6=0,求出判别式可判断D.
10、_ C _ 1 详解由已知得e_ q_,2 a +2 c =6,解得”=2,C =1,b2=a2-c2=3,对于A,椭圆C的焦距为2 c =2,故 A错误；对于B,椭圆C的短轴长为助=26，故B正确；对于C,设尸（x。，）,或M L/闻 闾-c 闾，当P点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时仄1=内，所以出工面积的最大值为6,故 C正确；对于D,假设椭圆C上存在点P,使 得 夕 世=9 0。，设 附|=见|%=,所以?+=2。=4,/+，/=1 6-2 机 =4 c，=4 ,mn=6 ,所以也”是方程/-4X+6=0,其判别式=1 6-2 4 ,WC Q ,所以，二面角G-/O-8的平面角
11、为/C D G=45。，口对.故选：ACD.1 2.已知数列“”的前项和S”=;数列也 是首项和公比均为2的等比数列，将数列5和也 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列&,则下列结论正确的是（）A.%=16 B.数列 匕 中与“+1之间共有2”1项C.&=%D.4=Cf【答案】AB【分析】根据题意可得：数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，则%=2-1,=2”,然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列 J的前”项和s，=/，当=1时，=5=1；当2 2时，q,=SS“T=2-l；经检验，当 =1时也满足，所以勺=2-1；又因为数列也J是首项和公比均为2的等比数列，所以
12、=2 则数列匕 为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,，所以q =1 6,故选项A正确；数 列 是 由 连 续 奇 数 组 成 的 数 列，“抱山都是偶数，所以，与山之间包含的奇数个数为2-,故选项B正确：因为2=2,则a”=22为偶数，但 旬=2x2 -1 =2 e-1为奇数，所以闻产知,故选项C错误；因为2=2”,前面相邻的一个奇数为2-1,令4=2 -1 =2”1,解得：k=2-,所以数列%从1到2共有2 +，也即=2”=牝 故选项D错误，故选：A B三、填空题1 3.已知等差数列 /前3项的和为6,前6项的和为2 1,则其前12项的和为.【
13、答案】78【分析】先求得等差数列J的首项和公差，然后求得前12项和.【详解】设等差数列的公差为，J 3a(+3 d=6则16q+15 =2 1,解得q=i,所以前12项的和为12%+66d=78故答案为：781 4.以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共朝双曲线.已知双曲线C的共轲双曲线的离心率为3,则双曲线C的 离 心 率 为.3【答案】丁【分析】不妨设双曲线C的实轴长为2 a,虚轴长为加，焦距为2 c,根据双曲线的离心率公式可得出6=2&a,进而可求得双曲线C的共貌双曲线的离心率.【详解】不妨设双曲线C 的实轴长为2 a,虚轴长为2 b,焦距为2 c,则 4=3,可得
14、h=2l2a,所以，双曲线C 的共轨双曲线的实轴长为处，虚轴长为2“，焦距为2 J/+b2=2cC _因此，双曲线c 的共轨双曲线的离心率为石逑故答案为：415.已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则 该 圆 锥 与 球 的 体 积 之 比 为.9【答案】32#0.28125【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案.【详解】画出轴截面如下图所示，圆锥的轴截面为正三角形/8 C,设球心为0,圆锥底面圆心为、球的半径为R,R+R=R-R则圆锥的高为 2 2,底面半径为2所以圆锥与球的体积之比为LF9故答案为：32四、双空题16.摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，
15、摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条 曲 线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点尸 运动的轨迹就得到内摆线.己知基线圆。的方程为丁+)=*点),半径为i 的动圆加内切于定圆作无滑动的滚动，切点P的初始位置为(“).若 R=4,则 忸 的 最 小 值 为；若R=2,且已知线段加尸的中点N 的轨迹为椭圆，则 该 椭 圆 的 方 程 为.”1I至T【答案】2 4 4【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案.【详解】当夫=4 时，1 叫的最小值为R-2 xl=4-2=
16、2.自。)当R=2时，N 初始位置为1 2 人-x27tx2=7 t圆的四分之一弧长为4,1x2 兀 xl=n圆的半周长为2,所以N 的 轨 迹 过 点 I 2),所以 2 2,椭圆焦点在x 轴上，-I所以椭圆方程为4 4.五、解答题1 7.如图，4是三棱锥P _/8 C 的高，线段8 c 的中点为且上ZC,AB=AC=PA=2_（1）证明：8 c/平 面P/M；（2）求A到平面尸8 c的距离.【答案】（1）证明见解析263.【分析】（1）根 据 己 知 条 件 证 明P A1 BC,由直线与平面垂直的判定定理即可证明.（2）法 一:在 平 面 中，过A点作4 ，尸拉，证明AH_L平面P 8
17、C,再求值即可：法二：A到平面P8C的距离，是三棱锥”一 尸8（7的高，利用等体积法求解.【详解】（1）因为/8 =/C,线段8 c的 中 点 为，所以8 d M.因为尸/是三棱锥尸-N 8C的高，所 以 平 面N8C,因为8 C u平面4 8 C,所以尸Z_L 8c.因为P/u平面P/M,4W u平面尸4W,P4 r14 M =4,所以8 C 1平面尸/M（2）法一：（综合法）在平面尸/M中，过A点作如图所示，因为8 c 1平面平面尸/M,所以因为 N，_LPA/,8C u 平面 P8C,/W u 平面 P8C,P MCBC=M,所以 AH_L 平面 P8C在RME4C中,AM=-B C=V
18、A B2 4-A C2=-x14+4=y/22 2 2所以在 中，P M=vPA2+A M2=J 4+2=V 6,/“=”=亚 巫所以 P M J 6 3,所以A到平面P 8 C的 距 离 为3.法二：（等体积法）A M =-B C =-yjAB2+AC2=-xV 4+4=/2设A到平面P 8 C的距离为d,则在R M瓦IC中，2 2 2在 RtPAM 中，P M =yPA2+A M2=44+2=近V-1S因为P/是三棱锥产一Z 8 C的高，所以 3 xP/4=-xlx2x2x2=-P-ABC=A-PBC=1 S 4PBe=T X T X 2/2 X-76 X(/=33 2 3,解得3 2,2
19、百a=-33,2/所以A到平面P 8 C的 距 离 为3.18.己知等比数列&的首项为2,前项和为S ,且2s3邑+S =。.求“；己知数列也 满足：4=叫,求数列也，的前项和9.【答案】（1产=7（一1）2 +2【分析】（1）根据题意，由2 s 2-3 5 3 +$4=可得公比,再由等比数列的通项公式即可得到结果;（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等比数列 J的公比为q,因为2S?-3$3 +S 4=0 ,所以 2（$2 _$3）+$4 _$3 =0 ,所以=2%,所以g=2,所以a“=a0i=2.由得，b“=nx2,所以=1x2+2x22+x2.所以 27；=1X2
20、2+2X23+（”-1）X2+X2+2x（l-2）-T=2+22+-+2n-nx2=-nx2,+l=（1-n）x2n+l-2-，得 1-2所以 7(-1)”+22 2C：-=l(a 0,Z 0)x=-119.己知双曲线 b 的实轴长为2,右焦点尸到 2的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线N =X7与双曲线C交于，N两 点,求AM N尸的面积./-1【答案】33 5x=【分析】(1)由双曲线实轴长为2可得。=1,再利用右焦点尸到 2的距离为2可得c =2,即可求得双曲线C的方程；(2)联立直线和双曲线方程容易解出，两点坐标即可求得AM A下的面积【详解】(1)设双曲线C的焦距为2c(
21、c),因为双曲线C的实轴长为2,所以2。=2,解得。=1.3,3 1X=-_ c=一因 为 右 焦 点 尸 到.2的距离为万，所以 2 2,解得c =l或。=2.因为ca,所以C=2.可得b-2=47=3,/上=1所以双曲线C的方程为 3.(2)设MG，),N GZ,%),;二联立直线和双曲线H 一丁一可得#-(X-1)2-3=O,g p x2+x 2=0,x =l 或 x =-2不妨设七=-2,所以乂=0,%=-3=；|皿 X|切=X 1%|=；X 1X 3=1所以 2 2 2 2.3即/N 5的面积为520.已知数列J的首项为1,前项和为S ,且满足.。2 =2,%+2=2.2，=(+1)
22、勺；S”M=(+2)5,从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题:求“叮(2)求 数 列 的 前 项 和【答案】%=【分析】(1)当选时，分为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选时，根据S”与%的关系，即可得到结果；当选时，根 据 条 件 得 到+是常数数列，从而得到结果；(2)根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】(1)选,n-_ o a”=+2 x-=n因 为.2-,=2,所以当为奇数时，2.r 一 2Q =。)+2 x-=n同理，当为偶数时，2.所以选因为 2S”=(+l)a,，(*)所 以 当 时，2 s l=*,(*)(*).(*),得(1，=%,即n-,所以数列i
23、n J是首项为i 的常数列，所以见=.选s,.S,S,1因 为 咯“=(+2应，所以(+2)(+1)(+1)，所 以 数 列+是首项为5的常数歹I J,S=3 巴 =S_S产 也 旦 创 叽 所以2,所以当 2 2 时，2 2当 =1 时，也符合上式.所以1 1 =1（1 1 由（1）得，“+2 （+2）2（+2人2 1.三棱柱 Z 8C-44cl 中，4B=4B=44=AC=2,/A 4c=120,线段,圈的中点为“，且BC1 AM 求证：工平面/8 C；2八 B.P=-B,C.（2）点户在线段4G上，且 3【答案】（1）证明见解析求二面角P-与-4的余弦值.3万13【分析】（1）由8 d
24、M根据线面垂直的判定定理可得“A/1平面力8C；（2）以A为原点，以4N、AC所在的直线为x、z建立空间直角坐标系，求出平面8/4、平面P R 的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.【详解】三 棱 柱8C-4 8 c中，,在 4 4中，破=四,线段/蜴的中点为“，所以4玛1/，所以因为 BCu 平面为8C,/8 u 平面 48C,4BcBC=B,AB、8Cu 平面/8 C,所以AM上平面48C；（2）救4N LA C交BC于N悬,以A为原点，以NN、AC 所在的直线为x、x z建立空间直角坐标系，则“（0,0,0）,2侬,-1,。），（2,（0,2,0）,M（0,0,y/3）A B 1=所以
25、1冷T，-2，V3j 而=2,3,0)而=(0,0,百)_ 2 _ 2 _印F瓯=*=因为等。P人 所 以A P=所以-小设平面8/4 的一个法向量=(.加 4),则 晨 福=等 再 一；必+百 4=0n,AM=yfiz、=0解得4=。，令 乂=百，则再=1,所以=G ),n2-A P=_ V 36W+g为+岳 2 =0设平面P8/的一个法向量2 =(%,%,Z?),则,4 B 1=彳 -5 力+=0令%=百，则 =3,Z2=!所以2=0，石，T),设二面角尸-4 一4 的平面角为(W 1 8 0),则c o s 0=c o s/n,%=%=6 3 g闻 时 2 x V 1 3 1 3由图知二
26、面角尸一8/-4 的平面角为锐角,3V 1 3所以二面角尸一8/-4 的平面角的余弦值为1 3.且/+=5 60)上一点，上、下顶点分别为A、,右顶点为c,求椭圆E 的方程；（2）点尸为椭圆E 上异于顶点的一动点，直线N C 与8 P 交于点,直线。尸交夕轴于点R.求证：直线火。过定点.X2 2 1+V =1【答案】（1）4（2）证明见解析【分析】（1）根 据 已 知 条 件 求 得 从 而 求 得 椭 圆 E 的方程.（2）设 出 直 线 的 方 程，求得点。的坐标，联立直线8尸的方程和椭圆E 的方程，求得尸点坐标,进而求得直线尸。的方程，从而求得R 点的坐标，由此求得直线及。的方程并确定定
27、点坐标.【详解】（1）因 为 I 1为椭圆E:4 =l（a 6 0）二+-=l/b2 上一点，所以皿2-+=1 b =因为。？+=5,所以5-/4，整理得4/-19 +15=0,解得=1或 4.,15 2 5b=a=、）当 4 时，4,与ab矛盾.所以#=1,4=4.-F y=1椭圆E 的方程为4（2）设直线8尸的斜率为人,则L：好 心-1因为,1 .L：y=_X+iy=kx-1 1 4y=-x +xo=-由 l 2 解 得。2k+,2k 1），Q 2k+y=kx-l*x2 2 _ i /因为 4+,所以丁+4（米-1）2-4=0,整理得（1 +4 F.-弧=08k 4k2-1所以一 4+1,力-4A2+i4公-1k=4k2+1 =4-1=p c 弘。一 一8公+反2 一-5-乙所以 4公+12k+以一2/：夕=_ 1 1。_2)，所以 4 2、),_2k+令x=0,得力=后12A+1 _ 2k-I（2%+叶-（2-1）2 3kI,_ 2%-1_2%+1 _ 4AI _ 4-1KRQ-4 4 42k2k-所以 24+12左+1 2攵+1,2k 24+1所 以 也）lRO:2yk =-1-2-k x+I.-2k4k2k所以-X H-=-2k-2k-2k-lG 2）所以直线R0过 定 点i).