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1、江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 =6 2 0 *8 ,A =1,2,3,8 =3,4,5,6,则下列结论埼送的是（）A.AcB=3 B.A 8=1,2,3,4,5,6 C.科4 =4,5,6,7,8D.=1,2,7【答案】C【解析】【分析】由交集、并集、补集的定义即可判断.【详解】解：因为集合。=6%|0%1 *=“，3 3由0 a。可推得aW。，但aK b,不可推得0 a bg/”的必要不充分条件.3 3故选：B.3.毛主席的诗句“坐地日行八万里”描
2、写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程.已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约10 50 k m,把南极附近的地球表面看7T作平面，则地球每自转y r a d,昆仑站运动的路程约为（）A.220 0 k mC.110 0 k m【答案】c【解析】【分析】利用弧长公式求解.B.1650 k mD.550 k mTT【详解】因 昆 仑 站 距 离 地 球 南 极 点 约10 50 k m,地球每自转ra d,7T所以由弧长公式得：/=10 50 x 之110 0,3故选：C4.用二分法求函数/(x)=ln(x +l)+x 1在区间 0,1上的零点,要求精确
3、度为0.0 1时，所需二分区间的次数 最 少 为()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过次操作后，区间的长度为 二，据此可得2 0.0 1,解可得的取值范围，即可得答案.【详解】解：开区间(0,1)的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，经过此操作后,区间长度变为二，2用二分法求函数/(x)=ln(x+l)+x-l在区间(0,1)上近似解，要求精确度为0.0 1，.-.0,a b力 0,/yah=-+1 2 -x|=2 ,a b 2 4 2,（当且仅当6 =2。时取等号），所 以 的 最 小 值 为2血，故 选
4、C.考 点：基本不等式【名师点 睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还 可 以 用 于 求 代 数式的最值或取值范围.如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解.TT7T6.设 函 数/（*）=8$（的 一 一）（30）.若/*）/（一）对任意的实数）都成立，则力的最小值为6 4112A.-B.-C.-D.13 2 3【答 案】C【解 析】【分 析】利用己知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可.TT TT【详 解】解：函 数f （
5、x）=c o s （t o x-）（3 0）,若f （x）W f （一）对 任 意 的 实 数X都成立，可得:6471 JI 2C D,-=2k兀,k G Z,解得 6 9 =8&H ,k Z,6 9 0 ,4 6 32则 3的最小值为：j.故 选：C.【点睛】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力.7.已知幕函数y =炉 -2，”-3（加川）的图象关于），轴对称，且 在（0,+8）上单调递减，则满足m m（4 +1）-彳（3-2 a户 的。的 取 值 范 围 为。【答案】D【解析】1【分析】由条件知“2 一 2机一 3 0，w e N*，可得，=L再利用函数V_f3的单
6、调性，分类讨论可解y-x不等式.【详解】辱函数y =x J 2 2 3 0 e N）在（0,+8）上单调递减，故机？一2加一3 0,解得一1 加3.又m G N*，故7=1 或 2.当=1时，丁 =工7的图象关于y轴对称，满足题意；当机=2时，y =x 的图象不关于y轴对称，舍去，故”=1.不等式化为（a +1/（3 2。）一，函数 =，在（y,0）和（0,+8）上单调递减，2 3故。+1 3-2。0或0。+1 3 2。或Q+1V0V3-2Q,解得a v-l 或 一。.3 2故应选：D.8.定义:正割s e c a =,余割e s c。=一.已知机为正实数，且 和e s c?x +t a n?
7、x2 1 5对任意的实数c o s a s m a%口/氏 乃+三 壮 ）均成立，则洲的最小值为（）A.1 B.4 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题【详解】由已知可得W.C S C2 x +t a i?X =I +2学 1 5,s i n x c o s x,4即 m 1 5 s i n2 x_ s i n xc o s xjr因为 X W b r +5(2 Z),所以 8$2 1 (0,1 ,则 1 5 s i n。-s i?1 5(l-c o s2x)-C =17-f-+1 6 c o s2xC O S-X c o s x c o
8、s X l时，/。)=3园+1=3*+1单递增，故选项A正确；x+1 0B.要使函数y=l n(x+D +l n(x-l)有意义，则有 =%!,定义域xe(l,+8)不关于(0,0)对x-l 0称.故不为偶函数，故选项B错误；C.y=x2+2,对称轴x=0,函数在(0,+8)上单调递增，且为偶函数,故选项C正确；D.y=x+-,定义域 xl xw O 关于原点对称，且/(-x)=T-L=-f(x),故不为偶函数，故选项D错误，xx故选：A C.1 1.函数/(x)=3 s i n(2 x+。)的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有()A./*)的最小正周期为兀B.(2兀、/是/(x)的最小值
9、 3 Jc.i 3 3F(X)在 区 间o,71上的值域为-5,52D.7T把函数)，=f(x)的图象上所有点向右平移一个单位长度，可得到函数y=3 s i n 2 x的图象1 2【答案】ABD【解析】、71【分析】利用图像过点仁,3，求得函数解析式为/(x)=3 s i n 1 2 x+V，利用正弦型函数的周期判断A；6利用了2万-3可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D.71【详解】函数/(x)=3 s i n(2 x+e)的图像过点-,3 1,可得3 s i n 1 2 x.+e J=3,6I 7C 71 71 TC即s i n -(p=1,则(p F2 Z zr
10、,k w Z ,即0 =+2k?i,k e Z,1 B.cib C.c t +b 1 0详解】依题意6 =3，6“=2,所以a =l o g62,b=l o g63,a+b=l o g62 +l o g63 =l o g66 =1.=l o g,3 1,A 正确.aab=l o g6 2-l o g63 l-2 x ,c 错误./4 23 1f e-tz=l o g63-l o g62 =l o g6-,=l o g661 0,乙 I u 3丫2 3 V 35 f2 j =F所 以 a ,D正确.1 0故选：A B D三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.若对任意a 0且
11、存1,函 数/（幻=4向+1的图象都过定点尸，且点P在角6的终边上，则ta n 6=_.【答案】-2【解析】【分析】利用指数函数的性质可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】令1+1=0,求得元=-1,y=2,可得函数/（工）=优+】+1 （。0,存1）的图象经过定点尸（一 1,2）,2所以点尸在角。的终边上，则t a n9=-j=-2.故答案为：一2.1 4 .已知s i n|a +=一，贝!|s i n|-a+s i n2 1 二一 a|的值为I 6；3 1 6【答案】苗【解析】【分析】由诱导公式可得s i n(-a)=s i n(a +令，c o s
12、 g-a j =s i n a +K s i n2(y-a)=l-c os2,代入可得到答案.【详解】因为(a +加片-a卜 兀,(&+总+一力4(5兀 、所以s i n-a-s i n1 6 )7T-hO=sinh?H福 四.(5兀 )./兀 11,2(兀 1 4门丫 1 1所以 s i n|-a+s i n a=-+l-c os a=-=一 I 6 )U )3 1 3 J 3 9故答案为：.9【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、凑角的应用，涉及到同角三角函数的基本关系，关键点是利用L+A+偿J兀I 6八6 J兀)(兀 兀+-+转化求值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.6八3 )21
13、 5.设函数/(x)的定义域为R,“X)为偶函数，/(X+1)为奇函数，当x e l,2 B寸，x)=a2+6,若 0)+/(1)=-4,则/闫=.【答案】4-40【解析】【分析】根据题意，结合奇、偶函数的性质，列方程组求出。和。，即可求解.【详解】根据题意，由/(%+1)为奇函数，得/(X)关于(1,0)对称,故/(1)=0,即2 a+0 =0，/(0)+/(2)=0,-/(2)=-(4。+与，又.()+/=4,./=-4,即4 a +b=4,2。+=04 a+b=4，解得。=2,b=-4,0,72故答案为：4-4 /2 ex,x 0I 4若方程/(x)=6有且仅有1个实数根，则实数6的取值
14、范围是【答案】.-.Z?0 ng-0时，y =-x2+%+-=-x+,-4 I 2；21画出函数y =/(x)的图象，由图可知当y =5与y =/(x)只有1个交点时，匕 0或;8 4 14 2【点睛】本题考查求分段函数的函数值，以及分段函数的图象，由分段函数的图象和方程的根的个数求参数的范围，属于中档题.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知集合人=却0 82(兀-1)2 ,B =lax+a2-1 O.(1)若。=1,求A uB:(2)求实数。的取值范围，使_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 成立.从A c条A,(Q A)
15、I 3 =0中选择一个填入横线处求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)%|0 x 5；(2)选*1,a W 0或a 6选*2,a W O或。2 6；选*3,2W a 4.【解析】【分析】(1)根据对数函数的单调性求出集合4,根据一元二次不等式的解法求出集合8,结合并集的概念和运算即可得出结果；(1)根据(1)和补集的概念和运算求出 人 和 8,利用集合间的包含关系和交并补的运算即可求出对应条件的参数.【小 问1详解】A =x|log2(x-l)2 =x|0 x-l 4 =x l x 5,B=x2-2ax+a2-1 0 =R x-(a-l)x-(a +l)=x|a-
16、l x a +l,当 a =l 时，3 =乂0%2 ,所以 AD3=x 0 x 5；【小问2详解】由(1)知，A =x l x 5,B-a-x aJt-,所以务A =x|x W l或*3 5,。8 =乂。-1 或x N a +1,若选，A g,则a +1 41或。一125,解得a W O或a 2 6,所以的取值范围为a W 0或a 2 6；若选，Bq4 A,则。+1 1或。一125,解得a W O或。2 6，所以。的取值范围为a W 0或a 2 6；若选，洗)/8 =0,则 二,a +l 0)在区间。上恒成立.【答案】(1)/(x)=-%2+2%+3(2)可取D =l,3(答案不唯一)【解析】
17、7(-0=o【分析】(1)根据题意，得到方程组(/(3)=0,求得a/,c的值，即可求解；J=4(2)由(1)得到函数/(力 的单调区间，把不等式转化为/(m+2)x-3K o在区间。上恒成立，求得不等式的解集为-L机+3 ,结合题意，得到答案.小 问1详解】解：由函数/(力=公2+反+。，且-1和3是函数/(x)的两个零点，/(X)最大值为4,f=a-b+c=0可得，f(3)=9a+3b+c=0,解得a =1,8 =2,c =3 ,/(l)=a +0+c =4所 以 函 数 的 解 析 式 为/(x)=-丁+2x+3.【小问2详解】解：由函数/(%)=-产+2+3表示开口向下，对称轴为x =
18、l,所以函数/(x)在区间(8。,1上单调递增，在区间口,”)上单调递减,又由不等式/(x)2-mx一机(加 0)在区间D上恒成立，即一必+3 -m x-加 在区间。上恒成立，即 X2-(m+2)x-m-3-(x +l)x-(m+3)0在区间。上恒成立，又由不等式意+1)%一(加+3)0,结合不等式的解法，可得一l x K m +3,即不等式的解集为-1,?+3 ,要使得/(力在区间。内单调递减，且不等式/(x)之加在区间。上恒成立，则满足无e 1,m+3 ,可取区间口,3 .1、/219.已知a,/为 锐 角，t a na=,c os(+/J)=-.2、,10(1)求c os 2 a的值；(
19、2)求。一万的值.371【答案】(1)c os 2a =；(2)a (3=-.5 4【解析】【分析】(1)由于c os 2a =cs：a sin：c =l tan：c ,所以代值求解即可；c os a+s in a 1 +t a n a(2)由c os(a +)=带 求 出s in(a+的值，从而可求出t a n(a +4)的值，而/、厂/t a n 2a-t a n(a+J3t a n(-/?)=t a n2a-(a +尸)=-,进而可求得结果L 1 +t a n 2a t a n(a +y 5)【详解】(1)c os 2a=c os2 c r-s in2 a2 2c os a +s m a
20、1 -t a n2a 4 _ 31+t a n2 a 54(2)因为a，/为 锐 角，所以a +尸e(0,)，a-又 c os (a +B)=一，所以s in(a+)=J l-c os 2(a +/?)=772772t a n +/?in(a+)_，(/_ 7uin u-r p)-；-,、c os(a +/?)垃10又 t a n 2a2 t a n a 41-t a n2 a 3/小 一 /八 -1 t a n 2a t a n(a+小)所以 t a n(a _ 0=t a n 2a-(a +0 =+t a n 2a-t a n(a +-+7X-1-x 73因为a-夕6兀 TI7T 所以a_
21、/?=.42。.设b 为 实 数,己知定义在R上的函数/食)=-篇为奇函数 且其图象经过点，!L(1)求/(x)的解析式;(2)用定义证明/(x)为R上的增函数，并求“X)在(一 1,2 上的值域.【答案】(1)=5+1/、/2 12-【解析】【分析】(1)根据“X)为奇函数，可得/(0)=0,可得a-g=o,又过点(1,1)，代入，可求得“，b的值，经检验符合题意，即可得答案.(2)利用定义法取值、作差、变形、定号，得结论，即可证明/(x)的单调性，根据单调性，代入数据，即可得值域.【小 问1详解】因为/(X)为 R上的奇函数，所以/(0)=0,即a !=().又因为函数“X)图象经过点(1
22、,父，所以/=,即。k 3 7 3 6 3a=1 2解得/。，故/*)=1 一/，b=2 5+12 7 7 7 7 Sv当/(x)=l-：时，/(x)+/(-x)=l-+1-=2-=0,5+1 5 +1 5 +1 5 +1 5 +12即/(X)为奇函数，故/(x)=l-二 一符合条件.5+1【小问2详解】任取芯,G R ,且王 工2，则/(x,)-/(x2)=l _ -_(1 _ )=-=3)12 5 为+1 5+1 5&+1 5J1 (5*+1)(5 怒+1)因为无|，所以5*,5*0,所 以/(%)一 /(2)0 .即/00/(工 2)，故 X)为 R上的增函数.因为Ax)在(-1,2 上
23、也递增，2 12所以当x e(-l,2 时，/(-1)/(%)0且(1)根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；(2)若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为5 0 和 9 8,请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过5 0 0.【答案】(1)函数模型y=3 f -3 x +8,函数模型y=3-2，+2(2)函数模型更合适，从第8 天开始该微生物的群落单位数量超过5 0 0【解析】【分析】(1)可通过已知条件给到的数据，分别带入函数模型和函数模型，列出方程组求解出参数即可完成求解；（2）将第4天和第5天得到的数据与第（1）问计算出的函数模型和函
24、数模型的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比，即可做出判断并计算.【小 问1详解】a+b+c=S,对于函数模型：把x=L2,3及相应y值代入得 4a+28+c=14,9a+3b+c-26,解得。=3/=-3,c=8,所以y=3 f 3x+8.pq+r=8,对于函数模型：把X=1,2,3及相应y值代入得/+7=14,pqy+r-26,解得 p=3,q=2,r=2,所以 y=3-2*+2.【小问2详解】对于模型，当x=4时，y=4 4,当x=5时，y=6 8,故模型不符合观测数据；对于模型，当x=4时，y=5 0,当x=5时，y=9 8,符合观测数据，所以函数模型更合适.要使3 2*+2 5
25、 0 0,则4之8,即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.22.若函数/（x）在定义域内存在实数x满足/（x）=-h/（x）,k w Z,则称函数/（力 为定义域上的“阶局部奇函数”.（1）若函数x）=ta n x-2 s in x,判 断 x）是否为（0,%）上“二阶局部奇函数”，并说明理由；（2）若函数 x）=lg（L X）是-2,2上的“一阶局部奇函数”，求实数机的取值范围；（3）对于任意的实数r e（Yo,2,函数x）=x 2-2 x+/恒为R上的“上阶局部奇函数”，求上的取值集合.【答案】/（X）是（0,乃）上的“二阶局部奇函数”，理由见解析；（2,75；（3）-5 T-3
26、,-2,-1.【解析】【分析】（1）当x 0,%）时,解 方 程 f）+2 x）=0,即可得出结论；（2）由/。）+/（一 月=0可得出m2=%2+1在 工 2,2 上有解，再结合对数的真数恒为正数可得出关于 实 数 的 不 等 式 组，由此可解得实数机的取值范围；（3）由/（一x）+h/（x）=O可得出（%+1）/+（2-2 Z）x+（A+l*=0在/?上有解，然后分&+=0和斤+1工0两种情况讨论，在攵+1 =0时验证即可，在左+1工0时可得出A 2O,综合可解得实数%的取值范围，再由攵e Z可得出结果.【详解】（1）由题意得，/（-x）+2/（x）=0 =t an（-x）-2 s in（
27、-x）=-2 t anx+4 s inx,即 t anx =2 s inx,s in x j由次（0,4），可得s inx w O且t anx =-,得cos x =一,cos x 2X G（0,7T）,X =y.所以，龙）是（o,乃）上的“二阶局部奇函数”；（2）由题意得，/（-%）+/（%）=0=lg（m +x）+lg（m-x）=lg（m2-%2）=0,所 以,m1 x1=1 可得=x?+1在x e 2,2 时有解,当2,2 时，i +i 4 5，BP 1 W20,可得相（一%）皿=2 ；V x e-2,2 ,m-x 0,可得机（可.=2.nr 5-所以，解得2 九 2综上所述，实数加的取
28、值范围是（2,逐 ;（3）由题意得，/（x）+h,f（x）=0在R上有解，可知（一x）2（x）+/+人-2 x+f）=0 有解，即（左 +（2 2 k）x+（左 +1）/=。有解，当上=1时，x =0e R,满足题意；当k H 1时，对于任意的实数r w（9,2 ,A =（2 2左）2 4（左+1）2/2 0,=4（攵 +1）2（2 2%y W O =/+6 z +io=左 e 3 2后,一3 +2 0 ,由&wZ,故人 5,4,3,2,1.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“上阶局部奇函数”，解本题的关键就是利用新定义将问题转化为方程在对应区间上有解的问题来处理，解决本题的第（2）问时要注意对数的真数在所给区间上恒成立,第（3）问在求解时要注意对变系数的二次方程的首项系数进行分类讨论，结合进行求解.