《2022-2023学年山东省青岛市高三年级上册学期期末数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年山东省青岛市高三年级上册学期期末数学试题含答案.pdf（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022-2023学年度第一学期期末考试高三数学试题本试题卷共6 页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.i-2I.复 数 1 +i 的虚部为()3.31A.2 B.23C.2D.22,若(。+力+(。7)的展开式中含有炉项的系数为1 8,则。=:()33_ 3A2 B.2C.2 或一2D.2 或-23已知集合6(3)x 2+V 2x=0,8 =(x/)|y =M x+l)若贝 O6 6 A.3-3 B.-8C.行 或 不 D.C 6或 小 一 后4.“阿基米德多面体”也称为
2、半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条楼的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为()也A.2 B.1 C.血 D.2&5.“小=1”是“函数 2 -加 为奇函数，的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6 .已知函数/G）=2 s i n 3 +9X 0e（兀）的部分图像如下图所示，将/（X）的图像向_ /_ y =g（x）+g j 左平移1 2个单位后得到函
3、数y =的图像，则函数 的最小值为（）A.一 4 B.4 C.4 D.07 .为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（）A.甲班众数小于乙班众数 B.乙班成绩的75百分位数为79C.甲班的中位数为74 D,甲班平均数大于乙班平均数估计值8,已知定义域为 1 的“类康托尔函数”/(“)满足：/(x,)0,点B 绕 点/沿71逆时针方向旋转3 角得到点P,则()A 网=2&B.万=（一 2,2）C.B 的坐标
4、为（4，T）D.尸的坐标为（A ）。：与 +口 =1（“0/0）I I.已知为坐标原点，离 心 率 为 3 的椭圆 a b 的左，右焦点分别为片，工，与曲线夕=c 恰有三个交点，则（）A.椭圆C 的长轴长为GB.0 的内接正方形面积等于3c.点 少 在 c上，W%，则 阳 居 的面积等于1D,曲线0 与曲线y =&x _ 4 1 n x +21 n 2-1 没有交点1 2.已知数列入和 也 满足=L y。=沁如，22%则（）A /2b 2 5 B.数列 +2 是等比数列C.数列 一 2b f是等差数列 D.勺“%三、填空题：本题共4 个小题，每小题5 分，共 20分.1 3 已知 s i n
5、a +s i M =1 c os a +c os/7=V 2 则 c os （a -0=1 4 .将 8 块完全相同的巧克力分配给4 B,C,。四人，每人至少分到1 块且最多分到3块，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）.1 5,已知。为坐标原点，抛物线：/=2*（夕 0）的焦点为尸，过 尸的直线交C 于A,8 两点，A,8 中点。在x 轴上方且其横坐标为1,=3,则直线N 8 的斜率为1 6.已知球。的半径为2,圆锥沙的顶点和底面圆周上的点均在球。上，记球心。到圆锥少底面的距离为人,圆锥沙的底面半经为.则（1）.尸的 最 大 值 为；（2）圆锥W体积的最大值为四、解答题：本题共6 小题，共
6、 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1 7,在 A B C 中，s i i i S -s i n C-c o M +2s i rb 4 -s i n C c os 5 =3 s i n 4 s i a f i -c os C,内角 A ,B,C 的对边分别记为“，b,c.+2/(1)求 的值；(2)求c os C的最小值.1 8.如 图 1 所示，在中，点、E,下在线段力6上，点。在线段8 c上，A E =E F =F B =1,C E =2 ,D F =l,C E 1 A B,将 A/CE,ABDF 分别沿 CE,D F 折起至点4 B 重合为点G,形成如图2 所示的几何体力,
7、在几何体力中作答下面的问题.图1 图2(1)证明：平面MG J 平面C E F D：(2)求点。到平面C F G的距离.1 9.记数列 的前 项和为S”，.给出下列两个条件：条件：数列%和 数 歹+q 均为等比数列；条件：2飞+2-%+2%=%试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两间的解答：(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)(1)求数列J的通项公式；记 正 项 数 列 也 的前项和为乙，4=出，4=%,4T“=bj bf 求2nZ (T)姐+/=12 0.由?个小正方形构成长方形网格有阳行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放
8、白球的频率为，放红球的概率为q,p+q=L1_ p=q=一(1)若机=2 ,2 ,记表 示i o。轮放球实验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：n12345y7 6 56 42 30 2 6求y关于的回归方程l n y =b +a,并预测“=1 时，y的值；(精确到1)1 2p q 二一(2)若加=2,=2,3,3,记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X,求X的分布列和数学期望：(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：(1 P )+。-1k2七匕一斤歹I 5底2 A_ _ 2 Z，1”,.=53附：经验回归方程系数：I ,a=y-b x,日 ,I n
9、y =3.82 1.己知为坐标原点，动直线：区+(局A。)与双曲线O x _ 乒 _190)的D:+/=1 2渐近线交于4,8两点，与椭圆 2 交于E,尸两点.当-=1 0时，2+砺)=3 何+方)(1)求双曲线的方程；(2)若动直线/与C相切，证明：的面积为定值.2 2,已知函数”“一自的最小值和8)=山(1 +)6的最大值相等.(1)求“；I n x e x-(2)证明：e x；(3)已知加是正整数，证明:_/H +1 .11 +-e 2m+22m(加+1)2022-2023学年度第一学期期末考试高三数学试题本试题卷共6 页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、单项选择题：本
10、题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.i-21 .复 数1 +i的虚部为()3.3 3 1A.2*B,2 C.-2 D,-2【答案】B【解析】i-2【分析】根据复数的运算求得1 +i的结果，即可得答案.i-2 _(i-2)(l-i)-l +3i 1 3i-=-1-【详解】由题意复数1 +i(l +i)(】-i)2 2 2,i-2 3故复数1 +i的虚部为2,故选：B2 .若(a +x)+(%)的展开式中含有V项的系数为1 8,则。=()3A.2 B.2 C.2 或-2 D.2 或-2【答案】C【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，可列
11、出方程，即可求得a,即得答案.【详解】由题意S+X)的展开式中含有/项的系数为1 8,即C：a +C*(I)?=1 8,即4+2。2=6,_3解得a =-2或 2,故选：C3.已知集合=(/)，+-2 x =0,8=(x,y)|y =M x+l)%4 c8 N 0则()V 3,V 3A-T-T B 百 WGkk钎2 r rC.3 或 3 D.kN0 或【答案】A【解析】I-4 1【分析】根据集合表示点的含义，可得直线与圆相交或相切，然后得到,整理解出不等式即可得出答案.【详解】由已知可得，集合A表示的点(J)在圆*+/-2%=上，圆心为，),半径 厂=1,集合8表示的点为直线歹=“(+1),即
12、 丘 一 竹 上=上的点.由可知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切，包41所以圆心)到直线丘一丁+左 =的距离1介，即JA+1 ,整理可得3 K 1 4,解得3 3 .故选：A.4.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为()也A.2 B.1 C.近 D.2夜【答案】D【解析】【分析】将该多面体放在正方体中，利用空间向量的坐标运算，求
13、出 平 面 和 平 面的法向量，即可求平面E尸G和平面G/7 K夹角的余弦值，进而可求解.【详解】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图,平面EFG和平面GHK为有公共顶点的两个正三角形所在平面,则 E(l,0,2)1(2,1,2),G(2,0,1),0),K(l,0,0),设平面 EFG 的法向量为?=(x/，z),EC=(1,1,0),EG=(1,0,-1),EF 应=x+y=0所 以EG拓=x z=0,令x=l,y=-l,z=l,所以2 =(1,-1,1),设平面 G7/K 的法向量为=(。，仇。)，G/=(0,1,-1),GX-=(-1,0,-1),G H n=b-c=0V所 以 G
14、K万=-c =0,令a=l,b=l,c=l,所以 =。,一1,一1),设平面平面EFG和平面GK的夹角为,-m-n 1 1cos=.=j=-j=-则 nn3cos0=Icos 1=因为平面瓦6和平面GK的夹角为锐角，所以 1 3,sin 0-V1-cos2 0=2四,tan 3=由=22所以 3 cos。故选：D5.“%=1”是 函数 2、一机为奇函数，的（）A.充分不必要条件C.充要条件【答案】A【解析】B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【分析】由“=1时，结合奇函数定义可判断 2 -为 奇 函 数，举反例说明函数2、-？为奇函数时，可能是，=-1,不能得出一定是加=1,由此可判断答
15、案.f(x)=【详解】当机=1时，2 1 ,其定义域为 x|x0 0 关于原点对称,升 +1 1+2 r 7X+1/,(-%)=-=,_ =-/(X)/(x)=-且满足 J 2-1 1-2、八，故 八 2 -1为奇函数；2X-f(x)=-当m =-I时，2、+1 ,其定义域为R关于原点对称，/./、2-r-1 1-2 ,/2 -1./(-X)=-f(x)/(x)=-且满足 2、+1 1 +2、，故 2+1为奇函数，即函数 2 为奇函数不能推出，=1,还可能是加=-1/(X)故 机=1”是 函数2X+m2 一加 为奇函数”的充分不必要条件,故选：A6,已知函数/()=2 5出(勿工+9)(0 夕
16、兀)的部分图像如下图所示，将/(x)的图像向白y=*(x)k g(x)+g g)左平移1 2个单位后得到函数)一的图像，则函数 的最小值为()A.49 _7B.4 C.4D.0【答案】B【解析】f (x)=2sin I 2x+【分析】先计算 I 3，再由平移得g（）=2cs2x,代入并配方计算即可.-T =-,T =it【详解】由图可知4 12 3，故0=2,71（p 又夕兀，故 3,故f (x)=2sinf 2x+yg(x)=2i则7T:sin 2 x+=2cos2x12g(x)+g则2 cos 2x+2 cos x=4 cos2 x+2 cos x-22cosx+-32cosx=-y=g(
17、x)+gjq-当 4时，12J的 最 小 值 为4.故选：B7.为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（）频数76543210一开 一%知 一 口-开 事 丁 丁57 58 59 67 68 69 79 87 88 89 98 分数甲班物理成绩A.甲班众数小于乙班众数B.乙班成绩的75百分位数为79C.甲班的中位数为7 4D.甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D【解析】【分析】根据已知数据图，计算甲班
18、众数和乙班众数，判断A；根据频率分布直方图计算乙班成绩的7 5百分位数，判断B；求出甲班的中位数，判断C；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为7 9,乙班众数设为x,则x e 1 7 0,8 0),由于物理成绩均为整数，故7 0 x 7 9,故甲班众数不小于乙班众数，A错误；对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(8 2 +0 8 5 +0.0 3 0)x 1 0 =0.7 5 ,故乙班成绩的7 5百分位数为8 0,B错误；由甲班物理成绩数据图可知，小于7 9分的数据有9个，7 9分的数据有6个，故甲班的中位数为7 9
19、,C错误；甲班平均数为5 7 x 2 +5 8 +5 9 +6 7 +6 8 x 2 +6 9 x 2 +7 9 x 6 +8 7 +8 8 x 2 +8 9 +9 8 x =-=7 4.81 2 0 ,乙班平均数估计值为.=1 0(5 5 x 0.0 2 +6 5 x 0.0 2 5 +7 5 x 0.0 3+8 5 x 0.0 2 +9 5 x 0.0 0 5 =7 1.5 7 4.8即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确，故选：D8,已知定义域为 的“类 康 托 尔 函 数 3 满足：一“4 1,/(x,)/(x2)；/(x)+/(l-x)=l 则泡卜()1111A.3 2 B.6 4
20、 C,1 2 8 D.2 5 6【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义分别赋值得到22,然后再利用/。）=2不）x）=2号）V 0 1 得 到 3 ,再次赋值，利用VU S%X 2 S I,/（）/（/）即可求解.【详解】因为（“2 1,/0）令8 =0可得：/（0）=0,又因为/（x）+/（l-x）=l,令x =0可得：/。）=1,令“2可得：”5）2 ,/（A.佃 可 得:左）=2吟*餐）2”熨令x =l，=7,则 有/=2（三）=1 2 8/（访），所 以/弓 而）=击，x =1 A.心=2 6/弓）=6”（士）=:/$）=士令 2,=6,则有 2 3 1 4 5 8 2 ,所以 1
21、4 5 8 1 2 8,!/（!）/（!）/（!）因为 2 1 8 7 2 0 2 3 1 4 5 8,所以 2 1 8 7 2 0 2 3 1 4 5 8 ,-/（-）1 0）=-概率为 2 .所以1 0 0人中汗液A指标的值1 0 0 x 1 =5 0超过1 的人数约为 2 ，故A对；同理，D选项中，随机抽检5人中汗液A指标的值恰有2人超过1。的概率为：（2八2 J 1 6,故 口对；由+cr =10 +2.5=12.5,所以10 0人中汗液A指标的值超过12.5的人数约为-12$）=1 00 x U（匕咕“空 ）10 0 X匕”竺“162=2,B 对；由+2b=10 +2.5x2=15,
22、10 0人中汗液A指标的值不超过15的人数约为10 0 x：X +2b）+p（_2b4X K +2o）=10 0 x（8954 5+0 9 5451I 2 八9 8,故c错.故选：A B D10.已知对任意平面向量8=GJ),把刀绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量力P =(xcos6-y si n e,xsi n 6+y cose),叫做把点B绕点/沿逆时针方向旋转。角得到点P.已知平面内点(，)，点(，)，网=2应,而石0,点a绕点力沿71逆时针方向旋转3角得到点P，则oA 网=2&B.万=(一2,2)C.8的坐标为-I)D.P的坐标为(3+)【答案】A C D【解析】【分析】由题意表示出8
23、=(5),结合题设可求得 2,即得8=(2,-2),(4一1),判断B，C；根据题中定义求得N坐标，可得点P坐标，判断D；再求得所=(若-1,6+1),求得其模，判断A.【详解】由题意可知点)，点8(2+，/-)，故”=(5),因为|阔=2&,故 八(_/)2=8,2=4,又 在 方 0,即。,-。(2,1)0,2-0,.0,故f =2,所 以 =()，(),故B错误，C正确；71因为点B绕点A沿逆时针方向旋转3角得到点P,A P =2cos +2si n ,2si n -2cos =(1+G,73-1)所以 1 3 3 3 3),则由(1+百，百 T)+(2,1)=(3+瓜扬，可得点P坐标为
24、(3+瓜6),故D正确；故 而=(痒1,百 +1),则 网 7 5 1)2+(6 +1)2=2 0 A 正确，故选：A C Dr2 v2、C,2 =l（QO,bO）11.已知。为坐标原点，离 心 率 为3的椭圆 cr S 的左，右焦点分别为片，鸟，C与曲线N =c恰有三个交点，则（）A.椭圆C的长轴长为百B.C的内接正方形面积等于3C.点 印 在C上，吟,吟，则 啊B的面积等于1D.曲线C与曲线y =Jx_41n x+21n 2-1没有交点【答案】B C D【解析】【分析】由椭圆与余弦函数都关于歹轴对称，可得其中一个交点为（），从而可求6=1,，2 I+V =13%2=3根据离心率求得4=百，
25、从而可判断A；联 立U=x，求出 4,从而可判断B；设 防|=私|吟|=，根据椭圆的定义可得加+=2昆又/+2=（2C）2=8,V 2,一+y=1 ,从而可判断D.C -+:-y=l（ci 0,b 0）【详解】因为椭圆 a-b-与曲线N =cosx都关于y轴对称，且c与曲线歹=c o&r恰有三个交点,所以其中一个交点的横坐标为o.又cos =1,所以该交点坐标为（0，1）,所以6=1.因为椭圆的离心率为3,所以&3,解得二百,故椭圆C的长轴长为2 G,故A错误.椭圆的方程为3 ,设0的内接正方形与C在第一象限的交点为P，设尸(x/)G ),+/=1323联 立 丁 =，可得 4,故C的内接正方
26、形面积为2W.2忖=以 一 =3,故B正确设网”网=，因为点用在G上 所 以 网+网=加+=2 6因 为 他，吟，所以苏+J(2C)2=8所以(帆+a 7-2机 =12 2机 =8,解得相 =2.S=L 2 =JX2=1所 以 的 面 积 为 2 2,故c正确.设直线，：y =_x+2,(x2 2 1+=1,3联立 J =-x+2,可得x+3(-x+2)=3,即4/-12X+9=0,=(一 12)4x4x9 =。,所以直线/与椭圆c相切，且直线/在椭圆的右上方.设/(x)=y/2 x-41n x+2 In 2-1 -(-x+2)=(s/2+l)x-41n x+21n 2-3(x 0)J(x)=
27、0 +1 “(x)=o 可得 x=高=4 6-1)当(4(3-1)时，r(x)0 ,函数/(x)单调递增所以 心力)=(s/2+1 n A-L o64 64,即即正 一41 n x+2 1 n 2-l一x +2 ,故函数 二 血 刀-41 n x+2 1 n 2 l的图象在y =x +2的上方，所以曲线C与曲线=四 一4山+2 1 n 2-1没有交点，故D正确.故选:B C D.【点睛】关键点睛：(1)由椭圆与余弦函数都关于了轴对称，可得其中一个交点为()；(2)取直线，：N=-X+2,根据直线/与椭圆的位置关系及直线/与曲线y =届一 41 n x +2 1 n 2-l的位置关系求解.、z/
28、3 -1 _ 1 2=3 卜 一 11 2.已 知 数 列 也 和 色 满足q=1,4=,4 2 ,2(，4厕()1a2-2 b2=-(+2 b A.2 B.数 列 是 等 比 数 列C.数列 -2 4 是等差数列 口.a【答案】B C D【解析】【分析】通过合理赋值即可判断A,对B两式作和即可判断，对C两式作差即可判断，对(1 Y,+1.a+i a=T +D,通过B C选项求出 J ,则可判断D正确.a-,=t z +1 =2 b-,b -1 =【详解】对A选项，令 =1,则-4 2 4,2 4 4,b2=-_2 h a2-2b2=-则-8,则4一“2-则 4,则A错误,a +2b =a+b
29、=(a+2b)对B选项，由题意中两式相加得 2 2。故B正确,对C选项，由 题 意 中 两 式 作 差 得 一2bli+1=an-2bn+2,即 Q+i-2&J-Q -22)=2,则 c 正确，对D选 项,由B得。I),a-2bn=l+2(n-i)=2n-l2%=以+(2一1)两式相加得,/I-+0若 Nl,eN,显然I 2),则%+1%成立，故选：BCD.三、填空题：本题共4 个小题，每小题5 分，共 20分.13 已知sina+sin/=1 cosa+cos=V2 则一)=【答案】2#0.5【解析】【分析】将已知两式平方相加，结合两角差的余弦公式，即可求得答案.详解因为 sina+sin/
30、?=1,cosa+cos=J故(sina+sin/?)2=sin2a+sin2/+2sinasin4=1(cos6Z+cos/7)2=cos2a+cos2/7+2cosacos 万=2以上两式相力口可得 2+2sinasin尸+2cosacos/7=3,即 2(sinasin/y+cosacosfi)=1c o s(a-)=-故 2 ,故答案为：21 4.将 8 块完全相同的巧克力分配给Z,B,C,。四人，每人至少分到1 块且最多分到3块，则不同的分配方案共有 种(用数字作答).【答案】1 9【解析】【分析】将分配方案分为3 类，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理解决即可.【详解】满足条件
31、的分配方案可分为3 类，第一类每人2 块，第二类有两人3 块，两 人 1块，第三类，一人3 块，一人一块，2人 2块，属于第一类的分配方案有1 个，属于第二类的分配方案有C；个，即 6 个，属 于 第 三 类 的 分 配 方 案 有 个，即 1 2 个，故满足条件的分配方案的总数为1 9个，故答案为：1 9.1 5.已知0 为坐标原点，抛物线C：=2 P X(P O)的焦点为尸，过口的直线交C于A,8 两点，A,8 中点。在x 轴上方且其横坐标为1,卜 却=3,则直线力8 的斜率为【答案】6【解析】y=k(x-0)【分析】设 出 直 线 的 方 程 为：2 ，将直线方程与抛物线方程联立,利用韦
32、达定理和弦长公式，以及中点坐标即可求解.【详解】由题意可知：直线N8 的斜率存在且大于零，则设直线4 5 的方程为：，一贴2)(“),4&，%)*(%2，%),y2=2 PxI y =k(x-)k2x2-(k2p+2p)x+-0联立方程组1 2,整理可得：4,X +修=p（l+则4,又因为4 3中点。的横坐标为1,c 八 2、2 k2药+吃=2=。（1 +/）P=7 T F所以，则 k+2 ,由弦长公式可得:|/1S|=Jl+%一%|=Jl+%Ja +%）-4%1=J1+左 4 p又因为1 9=（1 +公）（4）=（1 +公）阿=3,则有4-,22 k22+吃化简整理可得：2/+左2 10=,
33、即（斤2-2）（2卜+5）=,解得：攵2 =2,因为左0,所以k=6,故答案为：母16.已知球。的半径为2,圆锥沙的顶点和底面圆周上的点均在球。上，记球心。到圆锥少底面的距离为，圆锥沙的底面半经为.则（1）.尸的 最 大 值 为:（2）圆锥W体 积 的 最 大 值 为.256兀 256-7T【答案】.2.81#81【解析】【分析】讨论球心与圆锥的位置关系，确定力 的关系，结合基本不等式求r的最大值,由锥体体积公式表示圆锥序体积，利用导数求其最值.【详解】当球心在圆锥内或圆锥的底面上时，过圆锥的轴作截面可得:B则/0|=r,O A=O B=2,O Oi=h oh2所以/+川=4,rh 所以r2+
34、h2当且仅当 =h=五时等号成立,故汕的最大值为2,V圆锥的体积=；兀 2（2+0）=；兀8一02）（2+右）其中0。2,所以1-713V=(8+4A-2A2-/23)=-7i(3A2+4/7-4)=-1K(3A-2)(A+2)所以 3 I )2o/?0,函数=-n(8+4h-2 h2-h33单调递增,2-h 2 V当3 时，P 0,函数=-7t(8+4/?-2A2-/3)3单调递减,h=Z 256K当 3时，体积厂取最大值，最 大 值 为81当球心在圆锥外时，过圆锥的轴作截面可得:D则 0。2=八 O C =O D =2,O 02=h,o A 2所以/+川=4,公李=2 r所以 2,当且仅当
35、厂=力=1 2时等号成立，故泌的最大值为2,V -m2(2-A)=-7t(4-/22Y 2-/)圆锥的体积 3 3 ,其中/2,V=-7i(8-4h-2 h2+h3)所以3 7P，=,兀(3/?2 _ 4 -4)=1 兀(3 +2)(一 2)所以 3 3,0 V（h）当力2时，V 0,函数（刀 单调递减，所以 3256无综上所述，尸的最大值为2,圆锥力体积的最大值为81256兀故答案为：2；81.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在 ABC 中，sinB-s i n C c o s J +2s i r U s i n C c o s 5=3s
36、 i i v l -s i n f i c o s C,内角 A,B,0的对边分别记为J b,c.a2+2 b22（1）求 c 的值；（2）求c o s C的最小值.【答案】（1）3；72(2)3【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理化简计算可得/+2=3c 2,从而a2+2 b2代入 c?,即可求解出答案：（2）根据余弦定理，结 合（1）的结论化简表示得a bc o s C-1-3b 6 a,再利用基本不等式即可求解c o s C的最小值.【小 问1详解】由正弦定理边角互化可得,b c-c o s J +la c-c osB=3a b-c o s C,b e-由余弦定理得，
37、餐士2.立X=3奶三2 hc2 a c2 a b化简得 2+/+,2一 心3任+-。2)2从而得 3c 2 -。2-2=0,即/+2 =3c 2,a2+2 h2 3c之2-Fc c【小问2详解】由余弦定理得，c cr-c2 3/+3-3c2 3/+3/-d+2)2/+/a bcosC=-=-=-=-=+2ab 6ab 6ab 6ab 3b 6a因 为 在&4 8 c中a,b均 大 于0,.COs Cdj J q3b 6a N 3b 6a 3a _ b当 且 仅 当 弘 6 a,即=2/时 取 等 号，也所 以cosC的 最 小 值 为3.【点 睛】思路点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部
38、化为角的关系，或全部化为边 的 关 系.题 中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定 理.应 用 正、余弦定理时，注 意 公 式 变 式 的 应 用.解 决 三 角 形 问 题 时，注意角的限制范围.18.如 图1所 示，在ANBC中，点E,F在 线 段 上，点 力 在 线 段8C上，AE=EF=FB=T,CE=2,DF=1,CE 1 AB _ACE,ABDF 分别?g CE,。尸折起 至 点4 8重 合 为 点G,形 成 如 图2所 示 的 几 何 体 力,在 几 何 体 力 中 作 答 下 面 的 问 题.(1)证明：平面平面CEFD；(2)求 点。到 平 面C
39、FG的距离.【答 案】(1)证明过程见详解V57(2)19【解 析】【分析】（1）根 据 题 意 可 证 平 面E F G,利用面面垂直的判定即可证明;（2）点D到平面C G F的距离为/?,利用体积相等VD-CGF=%-CDF,计算即可求解.【小 问1详解】由题意知：D F L E F ,D F 1 F G,因为E F c F G =F ,且 即F G u平面“E G,所以O/7人平面EEG,又因为。尸u平面C E E D,所以平面EEG_L平面CEFZ）【小问2详解】由题意可知：AEFG是边长为1的正三角形，取 的 中 点 尸，连接G P,则有GP_LEb,由（1）知平面ERG _L平面C
40、EFD,且平面EFG c平面CEFD=E77,所以GPJ平面CFZ),由（1）知：。/工 平 面K E G,因为C E H D F ,所以CL平 面 瓦G,又因为 E=EG=1,C E =2,所以 C F =C G =也，在CGE中，过点C作C 0_LG R,则0为Gf1的中点,c I d c 1口 c 1 i V19 VT9C Q =Q C G -G Q =-sC C F=-G F-CQ=-x l x-=-所以 2,所以 2 2 2 4s CDF=LDF.E F =H XT =L又因为 2 2 2,设点。到平面CG厂的距离为我则 D-CGFyvG-CDF,也即 3A=-3 SACCZDZ/F
41、,G P,所以3 4 3 2 2h:5 屈所以 19,即点D到平面CGR的 距 离 为19.19.记数列1%的前项和为5，6=1,.给出下列两个条件：条件 ：数列%和数列R *%均为等比数列；条件 ：2飞+2-a?+2a“=叫+,.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）（1）求数列%的通项公式；（2）记正项数列 的前项和为北，4=%,b2=ai,47；=bn-bn+i,求i=l【答案】（1），=2（2）4/72+I2n【解析】【分析】（1）选择条件：先由 乂+4 为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列%
42、的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；选择条件：先由24+%+2/=用得出2%+2-&+2?%=2（1）勺（之2）,两式做减即可得出勺+=2%（A2）,再验证 =1时即可利用等比数列通项公式得出答案；（2）通过4 1=也+|得出4%=%也（22）,两式相减结合已知即可得出b,+i _ b“_ i=4 g 2）,即数列 的奇数项、偶数项分别都成公差为2的等差数列，将I 转化即可得出答案.【小 问1详解】选条件：.数列况+4 为等比数列，（$2+%）2=（S+q）区 +%）f即（2i+。2）=2 q（2q+a?+%）；%=i,且设等比数列 4 的公比为九.（2+1）2=2（2+夕2）解得4
43、=2或1=0（舍），=4=2T选条件：,*2 4+2/,_|a2 4-卜 2 an=nan+l，2T q+2 一2%+2。_ =（1）。（2 2）即24+2&+2?%T=2（一l）a,（22）由两式相减得：2%=+】-2（-1）%（22）,即4+1=2%（？2）,令 2q+2 -a2+-+2 a =na+l 中 =1 得出 的=2%也符合上式，故数列加 为首项q=i,公比夕=2的等比数列，则=a闻 =2,【小问2详解】由第一问可知，不论条件为还是，都有数列%为首项q=L公比4=2的等比数歹ij,即，=21,则 4=。2=2,a=。3=4,隹=*%,，4射=如 也,（22）由两式相减得：4（T“
44、-T“_i）=b“.b“+i -b吁I也g 2）,即4 =力（%。_1）（N2）,数列也 为正项数列,则%-%=4(2 2),则数列 的奇数项、偶数项分别都成公差为2的等差数列,2nIn2(T)(1)2 =4 (7；+乙 一 7；+7；+一T2 n_+)(-1)她+=402+4+%)即 I（拉一1）7八必 14HH -x2 =+3 数列出J 前 2 项中的全部偶数项之和为：2X (-1)A+1 =4 2+1 2 则 =2 0.由“个小正方形构成长方形网格有加行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内,放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为,放红球的概率为4,p+q=L1_ p=q=一Q）若机=2
45、 ,2 ,记表 示 i o。轮放球实验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：n12345y76 5 6 423 0 2 6求y关于的回归方程l n.=M +j 并预测=1 0 时，y的值；（精确到1）1 2p =q=（2）若m=2,=2,3 ,3 ,记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X,求 X 的分布列和数学期望;（3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：0-p ）+Q1附：经验回归方程系数:z 一反歹I 5底 2 I n yt.=5 3/=!,。=歹 一 反，/=1I n y =3.8【答案】（I）l n y =1 0.4 +5；3.3 2（2）分布列
46、见解析；2 5 .（3）1一（1一 ）；证明见解析.【解析】【分析】（1）根据所给数据，结合经验回归方程系数公式，即可求得回归方程，继而求得预测值；（2）确定X的取值可能为 ，2,根据条件概率的概率公式求得每一个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望；（3）求得每一列都至少一个红球的概率，根据对立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一个红球,发生的概率，再求得“每一行都至少一个白球”的概率，结合两事件的关系可得其概率大小关系，即可证明结论.【小 问1详解】-1+2+3+4+5 、“=-=3由题意知 5 ,5 _ _Y n.I n y.-5 x w-I m?,5 3-5 x3 x3.8 4
47、.b=-=-=-0.4S 2,一2 5 5-45 1 0Z4.-5 x故 I，所以。=3.8 +.4x3 =5 ,所以线性回归方程为：1标 二-0.4 +5 ,所以，估计=1 0时，1明=1,.尸m3【小问2详解】1 2p=q=由题意知：机=2,=2,3,3 ,则X的取值可能为 ，2,记“含红球的行数为人”为事件4，伏=1，2）,记，每列都有白球”为事件&所以P(X=O)=尸(4|8)=P(4,8)P(B)I”T25P(X=1)=P(4|8)=P(4B)P(B)C；p，+C；p V1-力21625P(X=2)=P(4|B)=今潦Q(pq.o-12825所以X的分布列为:X012P1251625
48、825、八八 1 ,16 c 8 32E(X)=0 x F1 x-F 2 x =所以数学期望为 25 25 25 25.【小问3详解】证明：因为每一列至少一个红球的概率为（I，），记“不是每一列都至少一个红球”为事件4所以尸（）=1一（1一P），记“每一行都至少一个白球”为事件8,所以（）=（1 ）,显然，A=B,所以（）（8）,即 1-5）（1-行,所以（5+（1-小1.【点睛】关键点点睛：解答要首先能正确的理解题意，弄清楚题目的要求是什么，比如第二文中的条件概率的计算，要弄清每种情况的含义，第三问难点在于正确计算出“不是每一列都至少一个红球”以 及“每一行都至少一个白球”的概率，并能进行判
49、断二者之间的关系，从而比较概率大小，证明结论.21.已知为坐标原点，动直线,：广区与双曲线I S的丫2Z）:-+y2=1 之渐近线交于4 8两点，与椭圆 2 交于E,尸两点.当仁=1时，2 +砺）=3售+砺）(1)求双曲线c的方程；(2)若动直线/与C相切，证明：的面积为定值./匕1【答案】(1)3(2)AO N B的面积为定值百，证明见解析【解析】【分析】设 血 卬 必)BHM 凤 匕)由题意有3,、x,+x2=-(x3+x4)2 ,直线/与双曲线的渐近线联立方程组，求 得 西+，直线/与椭圆联立方程组，利用韦达定理求得七+z,根据方程解出力，得双曲线的方程.(2)根 据(1)中解得的48两
50、点坐标，表示出AO/B的面积，由直线/与C相切，联立方程组消元后判别式为0,化简后得定值.【小 问1详解】设4(1),B(x2,y2)E(X3 y3)F(x4 y4)因为2(厉+砺)=3(砺+砺)，所以玉+“2=/(X 3+XJ 丁=+机 m m 2km1 M=Xj-X,+Xj=-z 7由U =，得 b-%；同 理 可 得-b+左，所以-b-k-,y=kx-it-m 0,6 0)y=x【点睛】思路点睛：1.双曲线。b 的渐近线方程为 ，而双曲彳 一”=l(a 0,b 0)y=+x x-y线”b-的渐近线方程为 b(即/),应注意其区别与联系.2.解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立