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1、2022-2023学 年 山 东 省 青 岛 市 青 岛 高 一 上 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题=T。/和 N=,+2”。关 系 的 是（)【答 案】A【分 析】求 出 集 合 N,再 求 出 c N 即 可 得 答 案.【详 解】解=W+2 x=H-2”故 n N=。故 选：A4sin a=2.若 5,a 是 第 二 象 限 的 角，贝 ijta n a的 值 等 于（）4 3 4A.石 B.4 C.3【答 案】C_3D.4【分 析】先 求 得 cos a,然 后 求 得 tan a.4sin a=一【详 解】由 于 5,a 是 第 二 象 限 的 角,cosa=-VI-
2、sin a=所 以 5,sin a 4tan a=-=所 以 C O S a 3.故 选：C3.半 径 为 1,圆 心 角 为 2 弧 度 的 扇 形 的 面 积 是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】A【解 析】根 据 题 中 条 件，由 扇 形 的 面 积 公 式，可 直 接 得 出 结 果S=lr=一 r a【详 解】半 径 为 1,圆 心 角 为 2 弧 度 的 扇 形 的 面 积 是 2 2对 应 的 弧 长，为 半 径，。为 扇 形 所 对 应 的 圆 心 角).故 选：A.-xl2x2=l2(其 中/为 扇 形 所 a=log,=I T|,4.己 知 一 2,U J,c=
3、2 2,则 a,b,c 的 大 小 关 系 是()A.hca B.hacC.acb D.a bc【答 案】C【解 析】根 据 对 数 函 数 与 指 数 函 数 的 性 质，分 别 判 断。，bc的 范 围，即 可 得 出 结 果.a=log,log,1=0 b=【详 解】因 为 2=2?=4Ilc=22=V24,所 以 c 2j|、T，x2/3)-/(无 2),满 足 对 任 意 的 实 数 占*与 都 有 士 一 2 2所 以 函 数 是 定 义 在 R 上 的 减 函 数，故 选：B【点 睛】本 题 考 查 利 用 分 段 函 数 的 单 调 性 求 参 数 范 围，关 健 点 是 数
4、形 结 合.6.Zogis机 模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一，可 应 用 于 流 行 病 学 领 域.有 学 者 根 据 公 布 数 据 建 立 了 某 地 区 新 冠 肺 炎 累 计 确 诊 病 例 数/。的 单 位：天）的 g i s比 模 型：l+e23（，-5 3）,其 中 K 为 最 大 确 诊 病 例 数.当/（，）=0.95K时，标 志 着 已 初 步 遏 制 疫 情，贝 A.60 B.63 C.66【答 案】C【分 析】将 一,代 入 函 数“）一 1+6一”（5 3）结 合/（）=【详 解】,O l+e），所 以 J+产（）30.23（/,-5 3）=ln l9
5、3 a7+5 3 a：6 6所 以，、）,解 得。23.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 对 数 的 运 算，考 查 指 数 与 对 数 的 互 化 7.在 同 一 直 角 坐 标 系 中，二 次 函 数 夕=依 2+反 与 寻 函 娄 M-1 o）图 像 的 关 系 可 能 为（）7 KD.【答 案】A【分 析】根 据 题 意，结 合 二 次 函 数 和 幕 函 数 的 性 质 依 次 分 析 选 项，即 可 得 到 答 案.b b【详 解】对 于 A,二 次 函 数 卜=+版 开 口 向 上，则 其 对 称 轴 2a,则“，即 b辕 函 数 V=x（x0）为 减 函 数，符 合 题 意
6、；2,X-.0 _ 0对 于 B,二 次 函 数 了=砂+取 开 口 向 下，则 a）为 减 函 数，不 符 合 题 意；b.b、2 i x=-=-1=2对 于 C,二 次 函 数 y=+反 开 口 向 上，则。0,其 对 称 轴 2a,则“，即 幕 函 数 by=x（xo）为 增 函 数，且 其 增 加 的 越 来 越 快，不 符 合 题 意；2.X=-0 一 0）为 增 函 数，且 其 增 加 的 越 来 越 慢 快，不 符 合 题 意；故 选：A【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 考 查 函 数 图 像 的 分 析，在 同 一 个 坐 标 系 中 同 时 考 查 二 次 函 数 和 基
7、 函 数 性 质 即 可 得 解，考 查 学 生 的 分 析 试 题 能 力，数 形 结 合 思 想，属 于 基 础 题.8.已 知 函 数 y=f2+bx+c只 有 一 个 零 点，不 等 式 一 x2+bx+c-机 0 的 解 集 为（Xo，x0+2）,则?的 值 为（）A.-4 B.-2 C.-1 D.1【答 案】C【分 析】根 据 函 数 y=-x,+6x+c只 有 一 个 零 点 可 得 A=+4c=0,又 不 等 式-/+bx+c-m 的 解 集 为（、。，。+2）,转 化 为 一 元 二 次 方 程 的 根 问 题，结 合 一 元 二 次 方 程 方 程 的 根 与 系 数 的
8、关 系 最 终 可 得/+4c-4?=4,联 合 即 可 得 切 的 值.【详 解】解：函 数 y=-+6x+c只 有 一 个 零 点，贝 必=+4=,不 等 式+bx+c-m0 的 解 集 为(x。+2),gJ x2-bx-c+m-4 玉 马=4,则 从-4(_c+?)=4,整 理 得/+4c_4 机=4,故 选：C.二、多 选 题 9.已 知 事 函 数 x)=(JL2)d的 图 象 过 点(2，则()A/(x)=dB.WC.函 数/(X)在(-8,0)上 为 减 函 数 D.函 数/(X)在(，+8)上 为 增 函 数【答 案】BC(2 3,【分 析】根 据 幕 函 数 的 定 义 以
9、及 图 象 过 点 2,可 得/(x)=x-,故 选 项 A 错 误、故 选 项 B 正 确.根 据 基 函 数/(x)=的 单 调 性 可 判 断 c 正 确、D 错 误.【详 解】M-2吁 2 v 为 基 函 数，.m2 m-2=,即 疗 _2 L 3=0,加=3或 加=-1,3(2 1)3当 加=3 时，/(x)=x：此 时 2)=8,函 数 图 象 不 过 点(5),故 x)x x,故 选 项 A 错 误:当 加=T 时，/G)=x 此 时”=5,函 数 图 象 过 点 5),故/G)=,故 选 项 B 正 确:因 为 幕 函 数，(x)=x在(-8,0)上 为 减 函 数，故 选 项
10、 c 正 确；因 为 幕 函 数/G)=一 在(0,+8)上 为 减 函 数，故 选 项 D 错 误.故 选：BC10.下 列 各 式 的 值 等 于 1的 有()A.sin2(-x)+cos2xcos 四+a(2C.cos(-5K)D sin(-3TT+a)【答 案】AD【分 析】根 据 同 角 平 方 关 系 可 判 断 A,根 据 诱 导 公 式 可 判 断 BCD.【详 解 由 不/3%;宿+加%口，选 项 A 正 确;sin5元 sin-4兀+型 I 2.3兀.sm=-12,选 项 B 错 误;COS(-5 7 t)=COS(-6 兀+71)=C O S7U=-1选 项 C 错 误:
11、sin(-3TH-sin a 1-=1一 sin a选 项 D 正 确,故 选:AD/(xi)/(x2)0 41)=211.定 义 在 R 上 的 函 数/(x)满 足：对 任 意 的 X尸 马,有 玉 一 匕 丁，集 合/=x|/(x)-r)o(若“x e/”是“x e B”的 充 分 不 必 要 条 件，则 集 合 8 可 以 是()A x|x0 B x|x0=/(x)2、在 同 一 坐 标 系 下 画 出 函 数 v=/(x)与 了=2、的 图 象，由 图 易 知 不 等 式/a)-2、的 解 集 为 即/=刈 1,因 为“xe 4”是“xC8”的 充 分 不 必 要 条 件，则 集 合
12、 A 是 集 合 B 的 真 子 集.可 以 取 8=汨、2 8=|3满 足 集 合 人 是 集 合 8 的 真 子 集.故 选：CD./（占）-/*2）12.若 函 数/（x）对 网”（1，+8）,（X产/）,不 等 式 X：-X；成 立，则 称/（X）在 0，+8）上 为“平 方 差 减 函 数”，则 下 列 函 数 中 是“平 方 差 减 函 数”的 有（）A/（x）=-2x+l B./（x）=/+2 x+lc/（x）=x2-log,x D./（v）=x x+【答 案】A C D【解 析】令 g（x）=/（x）-x 题 中 条 件 转 化 为 判 断 g（x）在（L+00）上 是 减 函
13、 数，再 逐 项 构 造 函 数，进 行 判 断 即 可.【详 解】若 函 数 X）满 足 对“，2（1,+8）,当 时，不 等 式 恒 成 立，/（占）-/（%）/（X,）-X,2-/（X2）-V-2-2-1=-2,贝|J x,-x2,YX,Z a,+）且 X|WX2 恒 成 立，g（x）=/（x）-V 在（1，田）上 是 减 函 数，对 于 A 选 项，/（x）=-2x+l,则 g（x）=/（x）rJ-x 2-2 x+l,对 称 轴 是 产 一 1,开 口 向 下，所 以 g（x）在（1,+00）递 减,故 A 正 确；对 于 B 选 项，x）=x2+2x+l,则 g（x）=/（x）-x2
14、=2x+l在（l,+oo）上 单 调 递 增，故 B 错；对 于 C 选 项，/（x）=-log2x,则 8（幻=/（幻 一/=一 睢 炉 在（1,内）上 显 然 单 调 递 减，故 c 正 确；对 于 D 选 项 r+嚏,则 g-因 为 V=T 与 在（L+00）都 是 减 函 数，所 以 g（x）在（1，+8）递 减，故 D 正 确；故 选：A C D【点 睛】关 键 点 点 睛:求 解 本 题 的 关 键 在 于 将 恒 成 立 转 化 为 新 函 数 g（x）=/（x）-/满 足 g G J-g G）:0玉 一 遍 上 恒 成 立，根 据 单 调 性 的 定 义，判 断 新 函 数 的
15、 单 调 性，即 可 求 解.三、填 空 题 13.若 s in a 0,则 a 是 第 象 限 角.【答 案】第 三 象 限 角【详 解】试 题 分 析：当 s in a 0,可 知 a 是 第 一 或 第 三 象 限 角，所 以 当 s in a 0,则 a 是 第 三 象 限 角.【解 析】三 角 函 数 值 的 象 限 符 号.14.已 知 基 函 数 卜=/口）的 图 象 经 过 点（2,4）,则-2）=.【答 案】4【分 析】由 基 函 数 图 象 所 过 点 求 出 幕 函 数 解 析 式，然 后 计 算 函 数 值.详 解 设/（）=，则 2=4,a=2,即/（x）=V,所 以
16、-2）=4.故 答 案 为：415.十 六、十 七 世 纪 之 交，随 着 天 文、航 海、工 程、贸 易 及 军 事 的 发 展，改 进 数 字 计 算 方 法 成 了 当 务 之 急，数 学 家 约 翰 纳 皮 尔 正 是 在 研 究 天 文 学 的 过 程 中，为 了 简 化 其 中 的 计 算 而 发 明 了 对 数，后 来 数 学 家 欧 拉 发 现 了 对 数 与 指 数 的 关 系，即/=N=6=lo g N,现 已 知=log?6,2=36则【答 案】2 61 2-+勺 3b【解 析】由 题 6=bg236=2 b g 2 6,分 别 化 简。b”的 值 代 入 即 可.【详
17、解】因 为 2=3 6,所 以 6=晦 36=2噫 6,1 2 1 2,，所 以 一。+工 b=l-o-g-+-=6 3+log6 2=136 210g2 6In 6jn 3 _a 啕 6 21n6 In 2 1 13万=32iog26=3一/=3而=32s,=32 x3logj2=7 3 x 2=2 所 以 1 2+a bax3=1x273=273故 答 案 为：2百.【点 睛】本 题 考 查 对 数 的 运 算，熟 练 掌 握 换 底 公 式、对 数 运 算 公 式 是 解 决 问 题 的 关 键.16.设 函 数 夕=/（幻 是 定 义 在 T 上 的 偶 函 数，且“X）在 同 上 单
18、 调 递 减，若 则 实 数。的 取 值 范 围 是.【答 案】叼）【详 解】函 数，=/（）是 定 义 在 一 1 上 的 偶 函 数，且/（X）在，”上 单 调 递 减，若-ll-al-167同，解 得:0a21a 20a 2故 答 案 为 四、解 答 题 17.求 值:2 u,1 83+2k,fe3-lg-21g2(1)2.25K 10Ksin-cos-+tan13K 6 3 4【答 案】（1）6(2)0【分 析】（1）根 据 指 数 运 算 公 式 和 对 数 运 算 公 式 求 解 即 可;（2）根 据 诱 导 公 式 化 简 求 值 即 可.【详 解】（1）8S+2l08：3-lg
19、|-21g22=(2 7+2,ogj3-(lg5-lg2)-21g2=22+3-lg5+lg2-21g2=7-(lg5+lg2)=7-1=6.=i-12 2=018.已 知 全 集。=R,集 合/=集 合 8=x|*14x，m+l(1)当 机=4 时，求(2)若 求 实 数 加 的 取 值 范 围.【答 案】*4 或 x5；(2)用 5.【分 析】(1)确 定 集 合 H B,求 出 集 合 8 的 补 集，根 据 集 合 的 并 集 运 算，即 可 求 得 答 案.(2)求 出 集 合 力 的 补 集，根 据 列 出 相 应 不 等 式，求 得 答 案.【详 解】集 合/=，-1 2 4 0
20、=+34x44,当 2=4 时，8=X|3 4 X 4 5,贝 乐 8=X|X 5,故 U(08)=X|X，4 或 工 5；(2)由 题 意 可 知 1乂=小 4,8=/加 一 1 4 机+1*0,由 3 d 4,则 加+1 4,解 得 加 5./(x)=-x19.已 知 函 数%,（1）判 断/G）的 奇 偶 性;（2）用 定 义 证 明/（X）在（,+8）上 为 减 函 数.【答 案】（1）奇 函 数；（2）证 明 见 解 析.【详 解】试 题 分 析：（1）首 先 确 定 函 数 的 定 义 域 关 于 坐 标 原 点 对 称，然 后 利 用 可 说 明/（）是 奇 函 数.（2）利 用
21、 函 数 单 调 性 的 定 义 设 设 再，Z 是（，+8）上 的 任 意 两 数，且 用%,讨 论/（阳）一/8）的 符 号 即 可 证 明 函 数“X）在（，的）上 为 减 函 数.试 题 解 析：/（x）=-X,（1）函 数 X 的 定 义 域 为 x|x*O,/（X）是 奇 函 数（2）证 明：设 再 应 是（，+8）上 的 任 意 两 数，且 王 2 f（-X.-+X,=22-X+（X,-X,）=（x2-xl）fl+-则/（王）-/H）=X,9 g I 2）.石 0,x2 0且 芭%2,/J 2 1一 再）1 I-.XX2）即/（再）/（“2）./（X）在（，+8）上 为 减 函
22、数 点 睛：判 断 函 数 的 奇 偶 性 之 前 务 必 先 考 查 函 数 的 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称，若 不 对 称，则 该 函 数 一 定 是 非 奇 非 偶 函 数，对 于 给 出 具 体 解 析 式 的 函 数，证 明 或 判 断 其 在 某 区 间 上 的 单 调 性 有 两 种 方 法：可 以 利 用 定 义（基 本 步 骤 为 取 值、作 差 或 作 商、变 形、定 号、下 结 论）求 解；可 导 函 数 则 可 以 利 用 导 数 解 之.20.如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，以、轴 为 始 边 作 两 个 锐 角 a,P,它 们 的 终 边
23、 分 别 与 单 位(1)求 s i n a的 值;（2）求 a+夕.3 71【答 案】（1）5；（2）5.【解 析】（1）由 三 角 函 数 的 定 义 即 可 求 解:（2）由 三 角 函 数 的 定 义 分 别 求 出 c o s a、s in/8 s 6 的 值，再 计 算 cs（a+）的 值 即 可 出 a+尸 的 值.3【详 解】（1）因 为 点 尸 的 为 角。终 边 与 单 位 圆 的 交 点，且 纵 坐 标 为 v.3 x-4 P仕 口 将,5代 入 厂+广=1,因 为 a 是 锐 角，x,所 以 5,15 5）3sm a=一 由 三 角 函 数 的 定 义 可 得：5,3
24、4sin o,可 得 m4 3sin/?=cos B=所 以 5,5,i cos(a+4)=c o s a c o s/-s in a s i n=g x-q x g=0因 为 0 a 2,0 2,所 以 A0。+尸 Q兀,a p=-所 以 2.2 1.设 函 数/(x)=s iM+C cosx+l,若 实 数”,6,c使 得 G)+(x _ c)=l对 任 意 x e R 恒 成 立，求 hcosca 的 值.【答 案】-1【分 析】整 理 得,/(x)=s in x+V3cosx+l=2M e2 2cosx 4-1=2sin x+1I 3 J则 a f(x)+b f(x-c)=1 可 整
25、理 得，(2a+2bcosc)sin x+-26sinccos x+=-a-bl I 3 J,据 此，列 出 方 程 组，2a+2bcosc=0 2bsinc=0 一 0一 6=0,解 方 程 组，可 得 答 案.v/(x)=siruc+A/3 COSX+1=2 sinx+-c o sx+1=2sinfx+1+1 详 解 解：(2 2 J I 3 J:.a f(x)+b f(x-c)=a 2sin x+I 3+1+b 2sinf x+y-c j+1=1即 2 sin I x+3)+2Asin I x+-3-c J=-a-h化 为:(2a+2bcosc)sin 一 2加 inccos x+I 3
26、-a-b依 题 意,(2a+26cosc 2/?sinccos x+I 3=a b对 任 意 x e R 恒 成 立,2a+2bcosc=0/.2加 inc=0-a-b=Oi,bcosc-=-I由 2a+2bcosc=0得：a故 答 案 为：T2 2.若 函 数 对 定 义 域 内 的 每 一 个 值%,在 其 定 义 域 内 都 存 在 唯 一 的 X 2,使/(x 62)=1成 立，则 称 该 函 数 为“依 赖 函 数”.(1)判 断 函 数 g G)=sinx是 否 为，依 赖 函 数，,，并 说 明 理 由；(2)若 函 数/(x)=2 在 定 义 域 7，()上 为“依 赖 函 数
27、，求 机 的 取 值 范 围；h(x)=(x-a Y f,4 x e g,4(3)已 知 函 数 I 3 J在 定 义 域|_ 3 上 为“依 赖 函 数”，若 存 在 实 数：L3 J,使 得 对 任 意 的 小 火，不 等 式 M x)2-/+(s-)x+4 都 成 立，求 实 数 s的 最 大 值.41【答 案】(1)不 是“依 赖 函 数”，理 由 见 解 析；(2)()；(3)最 大 值 为 12.【解 析】(1)由“依 赖 函 数 的 定 义 进 行 判 断 即 可；(2)先 根 据 题 意 得 到/()=，解 得：机+=2,再 由 解 出 根 据”的 范 围 即 可 求 出 如?
28、的 取 值 范 围；4 4 1 4 7 4,考 虑 在 1 3 上 单 调 性，再 根 据“依 赖 函 数”的 定 义 即 可 求,2,2，26、133、八 t+X/+X 5 H-X H-之 0得。的 值，代 入 得 I 3 J 9 恒 成 立，由 判 别 式 AW。，即 可 得 到 4(s+当 W3x+y=3x+-re,4I 3 J 9x,再 令 函 数.9 x 在 L 3 的 单 调 性，求 得 其 最 值，可 求 得 实 数 s的 最 大 值.【详 解】(1)对 于 函 数 g(x)=sin x的 定 义 域 R 内 存 在 一 不，则 g&)=2 无 解，故 g(x)=sin x不 是
29、，依 赖 函 数,，.(2)因 为/()=2、在 M 上 递 增，故，5)/()=1,即 2 2 i=l,m+n=2,由 加 0,故=2-得 从 而 扰=加(2-W 在 加 0,1)上 单 调 递 增，故 加 0,1)4 4；a 4,故，(x)=G-a)2在 15 1上 单 调 递 减，停|.(4)=1 6 7=从 而,解 得 a=1(舍)或 3,X G-,4从 而 存 在 L3.使 得 对 任 意 的，的 有 不 等 勺-t2+(5-r)x+4都 成 立,22(26 133、八 t+xZ+x-5 H-x-N 0即 I 3 J 9 恒 成 立，-卜 J s+竺 1 到 40 4(s+竺 卜 3人 笆 由 1 1 3 J 9，得 I 3 J 9X G由 P4,可 得 4 v s+3 y 3x+9x尸 3x+必 又 9 x 在 1,43单 调 递 减,4X 故 当 3 时,从 而 等 s 4,解 得 1241综 上，故 实 数 s的 最 大 值 为 石.【点 睛】方 法 点 睛：不 等 式 恒 成 立 问 题 常 见 方 法:分 离 参 数/（x）恒 成 立（2/（*）max即 可）或 a/（x）恒 成 立（“入 即 可）;数 形 结 合 d=/（x）图 象 在=g（x）上 方 即 可）；讨 论 最 值 2 或/G L 4 恒 成 立.