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1、2022-2023学年山东省德州市高一上学期期末数学试题一、单选题1.函 数N=lg2（2x-4）的定义域是（）A 2,+8）B（2,+oo）c（-oo,2 口.C）【答案】B【分析】根据对数的真数大于0,直接计算可得答案.【详解】由已知得，2X-4 0,解得X 2,故xe（2,yo）.故选：B2.若P：x0,y0,q：个则 夕 是 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分性和必要性的定义判断即可.详解由x /o可推出初o,但 孙0推不出x0,y0,如 =_ l,y=_ 2,k=2,所以p是9的充分不必要条件故选：A.3.已
2、 知 点 是 角。终边上的一点，且sm 一,则加的值为（）A.2 B.-2&C.2&或 2 D.或-2血【答案】D【分析】根据三角函数的定义计算可得.=_【详解】解：因为点尸（）是角。终边上的一点，且.“一3,11sm a=/=一所以 加2+1 3,解得m=2后或机=-2 0.故选：D14.函 数N=3，T的值域为（）A.（，+8）B.（O/）U（l,+8）c.x|x#l D.0 收）【答案】B【分析】令1“一二1,求出y=/G）的值域，结合指数函数的性质，即可求出函数y=3i 的值域.【详解】令/0）=三 L由x T*,则/（X）x ,所 以 广 3Hx3 0,所以又再0,所以函数y =31
3、的值域为（J）口（1 +少）.故选：B5.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们把“数”与 形”，”式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若函数/（x）=bg（x +6）20且a x l,6 e R）的大致图象如图，则函数g（x）=,一 人 的大致图象是【分析】根据题意，求 得 结 合 指 数 函 数 的 图 象 与 性 质 以 及 图 象 变 换，即可求解.【详解】由题意，根据函数/（x）=bg.（x +b）的图象，可得 1,0 6 1,根据指数函数y=4 7(a 0,所以 cosa cosa cos a 3,Vl-
4、cos2 a Isinal sin a 1_ J_L _=_ tan(X 当角a 在第四象限时，s in a 0,所以 cos a coset cos a 3,故选：B.7,已矢隔函数在(。*)上 单 调 递 减，设嗨*=1。&4,贝内J/大小关系为()A.B./(c)/(4)f 0)cf(a)f(c)/(c)/(a)【答案】C【分析】根据募函数的单调性以及定义，可得其函数解析式，利用对数函数和指数函数的单调性，比较大小，结合幕函数的奇偶性和单调性，可得答案.【详解】由题意，可得-7?+2 0,解得机=2,则 x)=x T,显然该函数为偶函数,由函数k晦X在其定义域上单调递增，则叫g，3 。3
5、=1,110 log5-log5434 0 i,i c f l故 3,即。（口 l c /（c）/（）.故选：C.二、多选题8.设x eR,用团表示不小于x 的最小整数，3.14=4,-2,7=-2,3=3 _已知函数J 一忌TgG)=/G)下列叙述不正确的是（A.函数/G）是奇函数B.函数/G）的值域是C.函数g（x）是奇函数D.函数8（）的值域是也)【答案】C D【分析】根据定义，函数的奇偶性及函数值域的求解方法对选项逐一分析即可.【详解】由题意得函数/G）的定义域为R关于原点对称,/（x）=-J因为2 2023,+1,z_11 2023,所以 J 2-2023-x+l 2 2 0 2 r
6、+i,且/（x）+/s）=6-所以/（r）=-/（x）,所以/（X）为奇函数，故A正确;y=f(x)=-令 一 2 2023r+l,2023、=上 亘解得：l+2 y,由2023、0,所以l+2y 2 2所以函数/（、）的值域是故B正确;因为g（x）=x）,函数所以g（x）的值域为T,/（X）的值域是,故 D 不正确;1由g(l)=F/(i)-|=-L，2 2023+1g(T)=/(-l)=2 2023-+110112024=010112024所以g（T）*-g ）,所以g（x）不是奇函数,故 C 不正确:故选：CD.sin+cos 0,cos0 0/（）=_1 1.已知函数 I 一，若/（占
7、）=/（）=）（不）（*户2，*3互不相等），则再毛的值可以 是（）A.-2 B.2 C.4 D.-1【答案】BC【分析】作出/（x）图象，由数形结合可得天的范围，由对数运算可得超毛=1,即可判断结果.【详解】/（X）图象如图所示，令 片/（再）=2）=/（覆）=，,则有-111=吟则有 Inxj+ln%=In x2x3=0 D x2x3 1又/(-1)=,.X|e(-l,0 ,故 中2迎=占 e(-l,0 故选：BC1 2.牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是。（单位：）,环境温度是a（单位：）,其中 a、则经过,分钟后物体的温度夕将满足O =/S=a+（a-a）
8、e（%eR 且%0）.现有一杯i o o 的热红茶置于1O C的房间里,根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值l n 2 0.7,l n 3 l.l）A.若/（3）=4 0 ,则/（6）=2 0 Ck=B.若 1 0,则红茶下降到5 5 C 所需时间大约为6分钟C.5分钟后物体的温度是4 0 ,约为0.2 2D.红茶温度从8 0 C 下降到6 0 C所需的时间比从6 0 下降到4 0 C 所需的时间多【答案】AC【分析】由题知 二 /.（）=10 +9 0 仁;根据指对数运算和指数函数的性质依次讨论各选项求解.【详解】解：由题知“=/（）=l +9 0 e,。=1A 选
9、项:若 3）=4 0 ,即4 0 =10 +9 0 e&,所以 一,则/（6）=10 +9 0 e-6 t=10+9 0（e ）2=10 +9 0 x（-）2=2 0 C3,A 正确；1 r 1 1 1女=_ e io _ L/=jn_ _ =_ n2B选项：若一1。，则10 +9 0-e 玉=5 5,则-3,两边同时取对数得10 2 ,所以，=10 1n 2 w7,所以红茶下降到5 5 C 所需时间大约为7分钟，B错误；,e =5k=I n =I n 3C选项：5分钟后物体的温度是4 0 C,即10 +9 0-e-=4 0,则 3,得 3,所以A=-l n 3 0.2 25,故 C正确；D选
10、项：/为指数型函数，如图，可得红茶温度从8 0 C 下降到6 0 所需的时间（，2-4）比从6 0 下降到4 0 所需的时间（3 T2 ）少，故 D错误.故选：AC.三、填空题【答案】G+i#i+G【分析】根据三角函数的诱导公式，结合特殊角三角函数，可得答案.tanf|-2sin|=tanf +2|+2sin+2-|=tan+2sin=V3+2x =73+1【详解】U J I 6 J U J U J 3 6 2故答案为：G +1.Z P B O =-1 4.如图，直角中，2,以。为圆心，0 8 为半径作圆弧交O尸于点4 其中tana _ P 08的面积与扇形0 4 8的面积之比为3：2,记NZ
11、08=a,则a _.【答案】2#1.5【分析】设出扇形的半径，分别计算扇形面积与三角形面积代入可得结果.ar【详解】设扇形0 4 8的半径为小则扇形0 4 8的面积为2,1r xrtana直角三角形尸0 8中，PB=rtana f则aPOB的面积为21r x r tan a、2_ _ _ _ _ _ _ _ _ 2由题意知，2,tana _ 3所 以 丁 一23故答案为：2.i s.在数学中连乘符号是“n ，这个符号就是连续求积的意思，把满足“n ”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：U-2X3X.X.函 数)=io g 5 +2)(e N+),定义使I?)为整数的数(eN+)叫做企盼数，
12、则在区间L2023内，这样的企盼数共有 个.【答案】9【分析】由对数换底化简外后，根据新定义累乘后可得g/)=18式*+2),再由企盼数定义可得4+2=2,转化为求满足26 1,2023的 的个数.【详解】令8伏)=A D-2)3)f W ,/=1。&-m+2)=lg(A+2)lg(k+l),小 1g 3,4 尼(上 +2)lg(*+2),、要使g 成为企盼数，则 2 =2,e Nk e 1,2023,.-.(*+2)e 3,2025 即 2 e 3,202522=4,.,210=1024,2=2048可取”2,3,10.所以在区间口2023内，这样的企盼数共有9 个.故答案为：91 6.设/
13、(X)是定义在R 上的偶函数，且当xw 0时，/。)=优(4 1).若对任意的x e，H 2,均有/(x+6)2 x),则实数6 的最大值是._ 3【答案】一 万【分析】利用指数的运算性质易得X 2 时/(X)=/(2 x),进而根据偶函数的性质和函数在xNO上的单调性，将不等式恒成立问题转化 x+”巨2x对任意的x e 0,6+2恒成立，再分类讨论求解，【详解】当 x e 0,6+2时，/(x)/=()=ax=./Qx),若对任意的 x w ，+2,均有/(x+b)R(%)2 即为 f(x+b)f(2x),由于。1,当x 2 0 时，/(x)=。为单调递增函数,又.函数/G)为偶函数，.J(
14、x+b)N/(2x)等价于|x+6 罔 2 x|,即|x+6W 2x(xe0,Z+2)由区间的定义可知6 -2,若x +b 4,于是x +6 2 2x,即由于x的最大值为6 +2,故 显 然 不 可 能 恒 成 立；x h b+2 h b -：.b+x 0,贝 i x +6 4-2 x,即 3,3,即 2,_ 3故人的最大值为一;，_ 3故答案为：一 3.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及指数函数，函数的奇偶性，分类讨论思想，关键是x 2 0 时/(x)=/0),化归为x +6)2/(2x),再利用偶函数和单调性转化为1+昨 2x 对任意的x e 0,6 +2 恒成立，注意对x +6的符号
15、的分类讨论.四、解答题17.在平面直角坐标系x y 中，单位圆/+/=1 与x轴的正半轴及负半轴分别交于点N、B,角a 的 始 边 为 终 边 与 单 位 圆 交 于 x轴下方一点P.如图，若N P 0 8 =120。，求点尸的坐标；若点P的 横 坐 标 为 2,求s i n2N Z P +2s i nN/l 尸-c o s N/尸的值.己，当【答案】(2 2)4 2【分析】(1)由条件可知 尸的旋转角为18。+120 ，利用三角函数定义求8 s(18 0 0+120),s i n(18 0。+1 2 0)%任 日 口 ru山 上/人 人q )的值即可与出点尸的坐标；_ 2 _（2）由点尸的横
16、坐标为2,可知N P O/=120。，结 合 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 知 30。,Z A P O =30,代入计算即可求出结果.t 详解】设点尸的坐标为尸G M,且 0 3 =120,所以x =c o s（18 0 +120 ）=5,G f l 石）y =s i n（18 0 +120 ）=-W7 2,所以尸的坐标为U A（2）因为点尸的横坐标为-5,所以/尸。/=120。，且OP=O 4,所 以/力。=30。，s i n2 Z A P O+2 s i n Z.APO-c o s Z.OAP=+A A P O =30 ,则 4 2f（a）=18.已知函数兀s i n(a+27c)s
17、 i n|三+a2c o s (-a)t an(兀+a)化简”咽（2）若锐角a 满足小）邛,s i n2 a+及 s i nac o s a-c o s?a+-求t ana的值:若 八 叨兀a+一22571,且 471 a 2,求/()+/a+的值.【答案】（l）/（a）=8 s。1 +35【分析】（1）依据诱导公式化简即可；（2）由 第（1）问化简结果可知c o s a的值，结合。为锐角，求出s i na的值代入所求即可求出结果;2c o s a s i n a=二 （“_ 4诂 ”Y（3）由条件可知 5,求（c o s a-s m a）的值再根据角的范围判断正负可得出结果.;i n(a+2
18、兀)s i ns i n a c o s a【详解】解-7 X-7-=-=C O S ac o s (-a)t an(兀+a)c o s a t an a 因 为/邛,V 3 .瓜c o s a=s i na=所以 3,且a 为锐角，所以 3,则sin2 a+Vasina cos cr-cos2+-=+V2x x-+=1 +72tana 3 3 3 3 V2/(a)/。+7)=一 二 cosasincz=(cos a-sin a)2=l-2cosasina=-(3)I 2J 5,即 5,5,因为7 1 兀 a 一4 2,所以cosa-sinac。，/(a)+=cosa-sintz=-1 9.已
19、知函数，(x)是定义在(T )上的奇函数，当 x l时，/(x)=e+ln(x+l),其中e是自然对数的底，e=2.71828.当T x 4 0时，求函数/(X)的解析式；求不等式/(-)+/G-3 2)0的解集.“x)J-e T-ln(-x +l),-lx0【答案】0,x=0ObgA)(2)L 3)【分析】(1)利用函数为奇函数，结合 x l时，/(X)的解析式求出当-1 X4 0 时的解析式即可；(2)利用函数的奇偶性及单调性等价出不等式组解出不等式组即可.【详解】(1)因为函数/(X)是定义在(T )上的奇函数，所以“0)=0,/(-x)=-/(x),当-l x 0时，则0-x l,由
20、0 x/(x)=-ex-In(-x+1)(/(x)/e I n(-x +l)，T x。所以当-1 X40 时，1o,x=当x=0时，不等式/(4、T)+/(3-3-2)0化为：/（。）+/（。）4。成立，当x*0 时，由x T，l）,所以0V x 在（0,1）上单调递增，由函数为奇函数，所以当时，由/（”）=-b-皿-+1）在（-1,0）上单调递增,所以/G）在（一覃）上单调递增,-132X-34v-l 3-2r-31x 224410g2-x ox log2-0 x l故有:综上所述：不等式/（43,2）4 0 的解集为：“联 泪 2 0.已知函数/（x）=x“+”（m eZ）为奇函数，且/（
21、3）0 且 在 区 间 区 3 上为增函数，求实数的取值范围.【答案】x）=P。，4【分析】（1）根据基函数的性质，求出?，即可求函数/（X）的解析式；（2）根据复合函数单调性之间的关系，然后再利用分类讨论，即可求出结果.【详解】（1）由条件塞函数/（x）=x 3 机6Z）,在（0,+O 上为增函数，,3 1？0且a w l）在区间 2,3上为增函数.u（x）=x2-ax y=a.当“1时，y=a为增函数，只需 G）=*-a x在区间 2,3上为增函数.-2即：2,解得：a 4,所以14 4；当0 a 3即：2,解得：a 6,此时无解；综上可知：。的取值范围为：（L4.2 1.某医药研究所研发
22、一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服 药1小时后血液中含药量达到峰值8Hg,7小时后血液中含药量为iRg，服药后每毫升血液中的含药量（由）与服药后的时间（h）之间，近似满足如图所示的连续曲线，其中曲线段0 4是函数C（）=4bgC +l）的图象,曲 线 段 是 函 数C（）=Coe 2 1,人 为吸收常数，品为常数，e为自然对数的底）的图象.（1）写出服药后每毫升血液中含药量C关于时间t的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（圈）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上8点，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若 按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次
23、服药后再过3 h,该病人每毫升血液中含药量为多少阳？（精确到 呢）410g及。+1）,（0 4 f l）【答案】（2）第二次服药最迟是当天下午13：00服药 4.7g【分析】(1)根据函数图象求解函数解析式；(2)根据题意列出不等式，求解出答案；(3)分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.【详解】当 04f 1时，CQ)=41og“Q+l),把(1,8)代入可得8=410g.2,解得：”灰,所以当0 4 r1 时，CQ)=41ogoC+l),当f 21时,把“(1,8)、8(7,1)代入C(f)=C O.e4 金,是常数),C0=8V2得/二 哼所，府4 (/+
24、1),(0/8x j=2(2)设第一次服药后最迟过f 小时服第二次药，则 2 ,解得：，=5,即第一次服药后幼后服第二次药，也即下午13：00服药；双(3)第二次服药34 后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为:=Agy2=8 及 x44g每毫升血液中含第二次服药后剩余量为:+44.7/g所以此时两次服药剩余的量为2故该病人每毫升血液中的含药量为47 g2 2.已知函数/0)=183(，+1)+优1 0且6 )的图像都恒过同一个定点.求人和c 的值；设函数g G)=(3“3-4吸R),若方程/(x)=g(x)+k 有且只有一个实数解，求实数的取值范围.【答案】（I）c=9,/=T-3 2（1
25、，+8）【分析】先 找 出 3恒过的点，代入当=时/G）中，求出*然后，利用函数奇偶性建立方程求解后：由 题 意 方 程/（X）4）+有且只有一个实数解等价出关于3*的方程有且只有一个实数解，令3 =/0,则问题转化为关于，方程只有一个正实数解，对最高次系数进行讨论分析即可.详解（1）因为函数，（）=6 1 _ 1 +1。&10（6 0且6 x 1）的图像恒过定点（L l o g l。），当力=0时，函数/（X）图像与“（X）图像过同一定点（L bg 3 1 0）,所以 Io g 3 l 0 =bg 3（c+l）nc =9又函数/（x）为偶函数，所以/（T）=/G）,即 l o g s+1）-
26、H =1 0 g,（9r+l）+A x9r+1即 b 4.+1+2 h=0 n l o g3 9*+2kx=Q）所以2x +2米=O=x（l +%）=o,对xe R恒成立，所以1 +左=0=左=一1,故 c=9,%=-l（2）由题意方程/（.一名介升 有且只有一个实数解等价于：即 方 程 晦（9 +=晦（3 -4 4有且只有一个实数解，化 简 得:（33）（3,户4 2-3 =。有唯一的实数解，令3、=，0,则问题转化为方程：（3 _3）/2_4-3 =0只有一个正实数解，则：当3 a-3 =0 =1时，方程化为一华2七 三 不 合 题 意，当33*0=1时，（33片-4皿-3 =0为一元二次方程，(i)若两正根相等则：=(4)2-4(3”3)(-3)=0,_ 3解得：“一 1或。=一3,=3当”4时，代入方程0 3)-4 皿-3 =0 得:+今+4 =0 =,=一 2 不满足题意，当Q=-3 时,代 入 方 程.-3*-4 成-3 =0 得:4/2-4/+1 =0 =/=-2 满足题意，(i i)若方程有一正根一负根时，由韦达定理有两根之积小于0：31-0 0-6 71即3 3 a-1 满足题意，综上所述，实数。的取值范围是：-3 (1,位).