2022-2023学年山东省烟台市高三年级上册学期期末数学模拟测试卷含答案.pdf

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1、山东省烟台市2022-2023学年高三期末模拟测试数学 2022.12一、单 选 题(本大题共8小题,共4 0.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.己知集合 时=(居 丫)|公+丫2 32,X GZ,y e Z),则集合M的真子集的个数为()A.29-lB.28-lC.25D.24+11 -i2.已知复数“=3+4 i,则|Z|=()22在A.5B.2 5C.5D.53.某车间生产一种圆台型纸杯,其杯底直径为R杯口直径为2R,高为N将该纸杯网装满水(水面与杯口齐平)现将一直径为2的小铁球缓慢放入杯中,待小铁球完全沉入1 h _水中并静止后,从杯口溢出水的体积为纸杯容积的7,贝*

2、=()3P 44 2平 5遍A.4 B.V C.灸 D.64.已知函数 乃=S讥(X +3)给出下列结论:/(X)的最小正周期为2兀;“2)是f(x)的最大值;n把函数y =s i n x的图象上的所有点向左平移3个单位长度,可得到函数y =/(x)的图象.其中所有正确结论的序号是()A.B,C.D.2 2c c=l(ab0)c C ,C,5.设B是椭圆C:a?M 的上顶点,若C上的任意一点P都满足|P B|W 2 b,贝I JC的离心率的取值范围是()A J”B.炉)C.(咤1 D.(叼6,若在M BC中,s i n B s i n C =c o s 2,则 力B C的形状为()A.直角三角

3、形 B,等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形7.已知a =,95 2,b=logo sO.2t c=0.52,则a,b,c的大小关系为()A.QVcvb B.abc Qb c a p,c a c o s 4 +c o s B1 0 .已知在锐角AAB C中,角力,B,C的对边分别为a,b,c,且a =l,B =2A,则下列说法正确的是()A.人 的取值范围是(0司 B.%的取值范围是(但2)C.4的取值范围是旧编D.匕 的取值范围是(隹,点)1 1 .如图,已知抛物线y 2 =2 p x(p 0)的焦点为F,过点尸且斜率为低的直线与抛物线交于两点4 B,与抛物线的准线交于点D,B F

4、 =1,则()A.|B D|=2C.点4到准线的距离为2 D.点尸为线段4 D的中点1 2.如图,正方体4 8。-力/道1。1的棱长为2,点M是其侧面4。遇1上的一个动点(含边界),点P是线段,J上的动点,则下列结论正确的是()A.存在点P,M,使得平面B/i M与平面PBD平行 小 NB.存在点P,M,使得二面角M-D C-P大小为至MC.当P为棱0,I的中点且P M =2但时,则点M的轨迹长度为可D.当“为4 1 0中点时,四棱锥M-4 B C D外接球的内接正四面体的表面积为丁三、填 空 题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知事函数/(%)=(疡-3 m+3)-”+1为奇函数,则不

5、等式/(2x-3)+/(%)。的 解 集 为.14.过点P(2,e)可以作两条直线与曲线丫=。/(。0)相切,则实数a 的取值范围是15.函数/(x)满足/(X+4)=/(X)(X6 R),且在区间(-2,2 上,/(x)=cos,0 x 2|x+|,-2 x DBC20.(本小题1 2。分)n如图,扇 形 半 径 为1,圆心角为行,过扇形弧上点C分别向04,0B作垂线,垂足为D,E,得到A C D E,当点C(与A,B不重合)在扇形弧上从4到B运动时.(1)CDE的面积是如何变化的?(2)求A CDE面积的最大值.21 .(本小题1 2。分)C,X2 V2-I =1已 知 椭 圆-4+2(I

6、 )求椭圆C的离心率和长轴长:(1 1)已知直线丁=忆+2与椭圆(;有两个不同的交点4 B,p为%轴上一点.是否存在实数k,使得P 4 B是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出k的值及点P的坐标;若不存在,说明理由.22.(本小题1 2。分)1已-1k知o函 业 数 八=,-x+alnxx.(1)讨 论-X)的单调性:-a 2(2)若/(X)存在两个极值点%1,%2,证明:.A解:集合M=(-1,O),(-1,1),(-1,-1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,1),(1,0),(1,-1),集合M中的元素个数为9,故其真子集的个数为29-1个.2.D解:v Z=::.

7、7 3+4/,z|1 T|_ J”+(_l)2 _ 它|3+4i|=732+42=T故选:D.3.【答案】A解:由题可得圆台型纸杯的体积为V =*伶+J善R2+R2).h=笔 士小铁球的体积为之/?丫=婴,由题可得/x噢=寿.即)=学 3 4 /16 7 12 16 R 44.【答案】B解:因为/(x)=si n(x+8油周期公式可得,外外的最小正周期7 =2%故正确:(g y(y)=si n(J +J)=si n =i,不是f(x)的最大值,故爸潘误;根据函数图象的平移法则可得,函数y=si n x的图象上的所有点向左平%个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象,故正确.故选:B.5.【答案

8、】C本题重点考查椭圆的性质,属于一般题.设P(a c o s0,b si n e)(9 e 0,2”),求 得 舐1+1 rl而,利用正弦函数的性质求得的 2,进而可求离心率的范围.【解答】解:设P(a c o se,b si n 6)(。G 0,2n)由题意,得B(0,b),则|P B|=y/a2cos20+b2(si n 0 l)2 2b:.Q2c o s2。+b2(si n 0-l)2 4 b2,当cosO =0时;不等式成立:当cosO*Q时,.a_ 3-sin2e+2sin8 _ 一(sin。-3)(sin6+l)_ 3-sinG _ .2,尼,cos20-(l-sin0)(l+si

9、n0)-l-sin6-1-sin。而1+匚 为2 2,工工与?,.=J 1-白 苧 又0 e l故椭圆离心率的取值范围是(0,芋 故选:C.6.【答案】C【解答】解:依题意,sinBsinC-I-y .即 2sin 8sin C=1+cosA=1+COST T (B+Q=1-cos(B+C)即 ZsinBsinC+cos(B+C)=2sinBsinC+cosBcosC-sinBsinC=1即 cosBcosC+sinBsinC=1,即 cos(B C)=1,B C=0,B=C,故三角形为等腰三角形,故选C.7.【答案】A【解答】解:由题意,可知:a=log52 log24=2.c=O.S0,2

10、 1,最大,Q、c都小于1.,log24=2 V2 厂二 亲.1。&5 V2:,Q V C,a c 去 即与 4 3-8 0,又y=sinx在(0,分上单调递增,所以sinA sin(y-B)=cosB,同理 sinB s in(/-4)=cos4,所以 sin4+sinB cos4+cosB,。正确.故选A D.10.【答案】CD题考查了正弦定理、二倍角公式和三角函数性质,属于中档题.由8 =2A,得si n B=si n 24 =2si n 4 c o s4,可得b =2acosA,再由锐角“BC得出角4的取值范围,进而得出角c o sA的取值范围,结合选项进行判断即可【解答】解:因为8

11、=24,所以 si n B=si n 24 =2si n 4 c o s4,所以b =2acosA,又因为a =l,所以b =2c o s4,因为 ABC为锐角三角形,所以0 4*0 B p 0 C p即 0 4去 0 2 A ,0 n-A-2 A,所以看4*,所以 C OS4(苧,所以V 2 2c o s4 6,所 以/bg.故选C D11.【答案】A B D本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用,真假命题的判断方法,属于基础题.设B的坐标,由抛物线的性质可得|BF|的值,及直线4 B的斜率可得p及点B的坐标,可得8正确,可得点。的坐标,判断/正确,求出点A的坐标,可得4到准线的

12、距离,判断C不正确,并求出4。的中点坐标,可得。正确.【解答】解:由题意设直线4 B的方程为x =9+*设4岸,月),B(,y2).y?所以 4 正确:X =3y +4,整理可得:y2-V 3 y-j=0,D中,所 以-%以=?,可 得 以=蔡,代入y2=3x 4 2 4 2 抛物线的方程可得(白)3=3 4,解得/=*,即4的坐标(I苧),所以4。的中点坐标为9 3 3V3 3V3 o(n-2即(弓,0),所以40的中点恰好为焦点F,所以。正确;。中,由抛物线的性质可得点4到准线的距离为:7+1=3,所以C不正确.4 4故选:A B D.12.【答案】A CD本题考查面面平行的判定,二面角的

13、大小,几何体的外接球问题,属于较难题.当M为A a中点,P为CQ中点时,即可判断4选项:由二面角M-D C-P的平面角为/M D D i即可判断B选项;取DDi中点E,先求出点M在侧面44山1。内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧,即可判断C选项;先求出四棱维M-4BC D外接球的半径,再将外接球的内接正四面体补成正方体即可判断D选项.【解答】解:对于4选项,当M为441中点,P为CCi中点时,易得又B D u 平面PBD,B1D1 C平面PBD.则 平 面P 8 D,同理可得M 8/平面P 8 D,又MB】nBiD i=B i,则平面历小时与平面PBD平行,故/正确;对于B选项,因为CD J

14、 平 面 4DDp4i,D M u平面4DD14,PJlCD D M,又CD 1 DDi,可知二面角M-D C-P 的平面角为/M DDi,显然其范围为O,皆,故 8 错误:对于C选项,取。小 中点E,连接PE,M E,PM,则PE L平面(l/iO P E J.M E,则ME=y/PM2-PE2=J(2x/2)2-22=2则点M在侧面4/1WW内运动轨迹为以E为圆心半径为2 的劣弧,分别交加),41。1于用2,%,则MlED1=Z.M2ED=p则4M1EM2吗 劣弧M M的长 为 立 2=手 故 C 正确:对于。选项,当M为4 D 中点时,易知“AMD为等腰直角三角形,AM LDM,乂4B

15、_L 平面ADDMi,DM u 平面4DD遇1,则 4B 1 DM.又u 平面4BM,ABnAM=A,则DM _ 1 _平面48”,又BM u 平面4BM,则D M J.B M,又DCJLBC,可知四棱锥M-4BCD外接球的球心即为8D的中点,所以四棱锥M-48CD外接球的半径为北,设四棱锥M-48C D外接球的内接正四面体的棱长为X,将四面体拓展成正方体,其中正四面体棱为正方体的面对角线,故正方体的棱长为李X,正方体的体对角线为外接球的直径,所以3(苧J=(2注)2,得 必=拼 所以正四面体的表面积为4 x”2.苧=苧,所以。正确.故选ACD.13.【答案】(L+8)本题主要考查了塞函数的性

16、质,函数的单调性与奇偶性的综合应用,属于中档题:根据题意得到/(幻=3为奇函数,为R上的增函数,即可得解.【解答】解:依题意有:m2 3m+3=l=*m =2=1 若m=1,则/1(x)=丁2,不是奇函数,若m=2,则八 幻=炉,其定义域为R,它关于原点对称,且/(-X)=(-x)3=-X3=-/(X),故/幻=炉 为奇函数,满足题意,又f G)=3x2 0.故f(x)=#3为R上的增函数,f(2x-3)+f(X)0=f(2x-3)-f(x)=f(2x-3)f(-x)=2x-3 -x=x 1,所以不等式f(2x-3)4-f(x)0的解集为(1,+oo).故答案为(1,+8).14.【答案】(;

17、,+8)本题考查利用导数的几何意义求参数,属于中档题.【解答】解:由y =Qe,设切点为Qo,QeX。),则切线的斜率 =y 匕=碇 必 0,切线方程为y=aeoa-%o+l),又P(2,e)在切线上,ae&(3-O)=e,即=二?知(3-劭)有两个不同的解,令*(%)=e*(3%),则9 (%)=(2 x)ex当(-8,2)时,(%)0:当xE(2,+8)时,0(无)0,二3(乃 在(-8,2)上单调递增,在(2,+8)上单调递减,Q)max=0(2)=,又X T-8时,WQ)TO:第 t+8时,(p(x)oo,A 0 -,e即实数Q的取值范围是弓,+8),15.【答 案】苧本题主要考查函数

18、值的计算,根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键.根据函数的周期性,进行转化求解即可.【解 答】解:由f(x +4)=f(x)得 函 数 是周 期 为4的周期函数,财(15)=/(16-1)=/(-1)=|-1+|=1,/(1)=cos(5 X 1)=cos.=苧 即 f(f(1 5)=孝,故答案为,芋.16.【答 案】竽H本题考查三棱锥外接球的体积,属于较难题.根据三棱锥的结构特征把三棱锥补成直三棱柱,利用直三棱柱的性质求其外接球的半径,即可求出外接球的体积,【解 答】解:J,.以二由题意可知,因为PB_L平面4 B C,乙4BC=120。,且B4=BC,AC=6,P

19、B=4,我们可以将三棱锥P-4BC补成直三棱柱,该直三棱柱的外接球就是三棱锥P-4BC的外接球,而直三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圆圆心连线的中点上,设ABC外接圆半径为r,直三棱锥P-48c的外接球半径为R,由正弦定理可得:2厂=施=4 6,所以r=2V5,R2=r2+(学 产=12+4=16,R=4,所以直三棱锥P-4BC外接球的体积为V=我R3=竽7 r.故答案为争7 T.17.【答案】解:(1)因为+2a3a5+。2。8=25,所以,城+2a3a5+城=25,又a”,。,a3+as=5 又的与的等比中项为2,所以,a3a5=4,而q (O,l),所以,。3。5,所以,。3=4,。5

20、=1,9=5%=16,所以%=16 x 1=25-n 5 分(2加=log2%=5-n,所以,bn+1-bn=-1,所以,4 是以4为首项,-1为公差的等差数列所以,Sn=%2 io分18.【答案】解:(1)由正弦定理知,=刍=白,、sinA sinB sinC,(V2b-a)cosC=ccosA,(V2sinB-sinA)cosC=sinCcosAV2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(4+C)=sinB,mv sinB 0,cosC=第 9页,共 13页v C G(0,7 T),:C=6 分(2)由余弦定理知,c2=a2+b2-2ab-cosCfA c2=3 2

21、4-2 c2-2 -4/2 -V 2 c -cosC,即c 2 -8&c+3 2 =0,解得C =4y13b=2c=8,4 8 c 的面积S =absinC=:x 4 或 x 8 Xy=1 6.1 2 分1 9.【答案】(I )证明:A Q C D 中,CD =A D =2,Q D =场,QC=3,所以 C D?+Q 0 2 =所以C D 1 Q D;又 CD LA D,A D CtQ D =D,4。u 平面 Q 4 D,Q D u 平面 Q 4 D,所以 C D 1 平面 Q 4 D:又C D u 平面A B C。,所以平面Q A D J 平 面 A B C D.6分(H)解:取4 D 的中

22、点。,在平面4 B C D 内作0 x _L 4 D,以。为y 轴,O Q 为z 轴,建立空间直角坐标系。一x y z,如图所示:则0(0,0,。),8(2,-1,0),D(0,l,0),2(0,0,2),因为Ox 1 平面A D Q,所以平面4 D Q 的一个法向量为五=(1,0,0),设平面B D Q 的一个法向量为/=(x,y,z).由 前=(-2,2,0).D Q =(0,-1,2).得 伫%=。,即为”,瓜.D Q =0(-y +2 z 一 令z=l,得y =2,x =2,所以己=(2,2,1):m i”,、O p 2+0+0 2所以cos =丽=:5赤 春r=?所以二面角B Q D

23、 4 的平面角的余弦值为半12分2 0.【答案】解:(1)如图所示,建立平面直角坐标系,则4(1,0),B(1,y).设“04=8,0 6 p 则C(c o sdsin(9),D(c o s6,0),直线0B的方程为y =百次二直线C E 的方程为y -sind=-y(X-C O S。),即y =-yX +y C O S 0+sin。,(y=V 3x联立方程 国 仃,解得(y =-x+c o s0+sindE(-cos3+手sinO,?cosO+1sin。),1S/iC D E =2|C D|C 一 EIoc14c组43-4D A x11 sinO cosO (/c o s。+fsin)|13

24、 sinG -cos0-2 4V3,-sind3 V 3 1 cos20=S l n 20 _-一3 V 3 7=-sindcosd-g-sinz03 V 3 V 3=s/n 20+_cos 20-4+泽 皿 2 9+办6 分.q 1),即ec(0 1)时,的面积越来越大;当2 9+/怎 片),即9 C (居)时,C D E 的面积越来越小.10分(2)由可知当2 9+合?即。屋 时,卜 in(2 9+罚 =1,此时(?)面积的最大值为一名+=.12 分16 8 162 1.【答案】解:(I)由题意:a2=4,b2=2,所以a =2.因为a Z=/)2 +c 2,所以c?=2,c =V 2.所

25、以e=a 2所以椭圆C 离心率为苧,长轴长为4.4 分y=kx+2,(I I)联立“2 y 2 消y 整理得:(2 k2+l)x2+8/c x +4=0.5 分(T+T=1因为直线与椭圆交于4 B 两点,故4 0,解得第 11页,共 13页设AQ i,yD,B(42,y2),则/+必=遥 7,6 分设 4B 中点 G(xo,yo),则 殉=空=湍%=与+2=品假设存在k和点P(m,O),使得PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形,则P G 1 A B,故kpG ICAB=-1,所 以 笨】八 一 1,解 得 血=瑞,故(技I,)-2M+1又因为乙4PB=宏 所 以 万 丽=0.整理得(fc2+

26、1)必为2+(2k-m)(4i+42)+巾2 +4=0.所以(幺+D 方 磊 一(2左一讥)费 i +m?+4=0,当X 件克,丝 亨4时J(外 0,所以f(x)在(0,匕号)和(空 尹,+8)上是减函数,在(-H,哼三)上是增函数.综上:当a4 2时,f(%)在(0,+8)上是减函数,当a 2时,f(x)在(0,匕 容i)和(丝 竽1,+8)上是减函数,在(纥 亨 三,竺 尹)上是增函数.6分(2)证明:若f(x)存在两个极值点小,也,由(1)知a 2,且是好一+1=o的两根,则%62 =1,不妨设0 V%】V 1 V%2,则f。1)一 f(.x2)=(%2 -町)(1+-)+a(,nx 一 加2)=2(X2-%!)+a(Znxx-(九 盯),则/(勺)一/。2)=_ 2 +X1-X2a(/nx-/nx 2)xi-x2-可知:要 证 制 吃”2,即证皿匚H%i-%2 则证 In -4,X1 Xi即证In%I+lnx1%1 -7-,1*1即证21nxi M一3(0,1)上恒成立,*1设h(x)=2,nx-x+;,(0 x 1),其中h(l)=0,七日俎 L/,、2 y 1 x2 2x+l(%1)2求导符/l (x)=-1 一逞=-N =x2 h(l),BP 2 Znx-x+i 0,故 2 1 nx x-Xf则f(X l)-f(X 2)a_2 成立.1 2 分

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