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1、2022-2023学年四川省泸县高二下学期开学考试数学（理）试题一、单选题I.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为2 0 0,4 0 0,3 0 0,1 0 0 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取6 0 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.A.2 4 B.1 8 C.1 2 D.6【答案】B【分析】根据分层抽样列比例式，解得结果.【详解】根据分层抽样得应从丙种型号的产品中抽取6 0 x 诟 启 怒 丽 丽=1 8,选 B.【点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于
2、样本容量与总体的个体数之比，即ni:Ni=n:N.2.某汽车制造厂分别从4,B两类轮胎中各随机抽取了 6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：1 0 k m）.A 类轮胎：9 4,9 6,9 9,9 9,1 05,1 0 7.B类轮胎:9 5,9 5,9 8,9 9,1 0 4,1 0 9.根据以上数据，下列说法正确的是（）A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数D.A类轮胎的性能更加稳定【答案】D【分析】根据众数、极差、平
3、均数和方差的定义以及计算公式即可求解.【详解】解：对 A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为9 9,B类轮胎行驶的最远里程的众数为9 5,选项A错误：对 B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为1 3,B类轮胎行驶的最远里程的极差为1 4,选项B错误.-6-4-1-1 +5+7对 C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为1 0 0 +-1 0 0,B类轮胎行驶的最远里程O-5-5-2-1 +4 +9的平均数为1 0 0+J+=1 0 0,选项C错误.6对 D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为(9 4 7 0 0 7+(9 6 7 0 0+(99700)工+0。5 7 0 0)2+0。7 7。)、空,B类轮胎行
4、驶的最远里程的6 3方差为(9 5-1 0 0 6 2+(98-100)2+(99-100)2+(104-100)2+(109700)2=7 6)6 4,故 A 类轮胎的6 3 3性能更加稳定，选项D 正确.故选：D.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014年 1 月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月D.各 年 1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月 至 12月，波动性更小，变化比较平稳
5、【答案】A【分析】观察折线图，结合选项逐一判断即可【详解】对于选项A,由图易知月接待游客量每年7,8 月份明显高于12月份，故 A 错；对于选项B,观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故 B 正确；对于选项C,观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份，故 C 正确；对于D 选项，观察折线图，各 年 1 月至6 月的月接待游客量相对7 月 至 12月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确.故选：A4.若直线x+ay+2=0 与直线x-2 y 3=0 平行，则 =()A.2 B.C.g D.2【答案】A【分析】根据给定条件列式计算，再进行验证即可作答.【详解】因直线x+“
6、y+2=0 与直线x_2y_3=0平行，则 lx（_2）_”*=0,解得a=-2,当。=一2 时，直线x-2y+2=0 与直线x-2 y 3=0 平行，所以a=-2.故选：A5.若正整数N 除以正整数机后的余数为小则记为N 三 （mod，”），如10三2（mod4）.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的，等 于（）A.7 B.10 C.13 D.16【答案】C【分析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.【详解】由题意，第一步：=2,i=4,余数不为1；第二步：w =6,i=7,余数不为1；第三步：=13,/=1 0,余数为
7、I,执行第二个判断框，余数不为2；第四步：=23=1 3,执行第一个判断框，余数为1,执行第二个判断框，余数为2.输出的i 值 为 13.故选：C.6.下列关于抛物线y=Y 的图象描述正确的是（）A.开口向上，焦点为（0,；）B.开口向右，焦点为C.开口向上，焦点为（0，；）D.开口向右，焦点为【答案】A【分析】把 y =r化成抛物线标准方程*2 =,依据抛物线几何性质看开口方向，求其焦点坐标即可解决.【详解】y-X2,即*2=y .则2 P =1,即 p故此抛物线开口向上，焦点为（0,；）故选：A7 .某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为4 0 秒，若一名行人来到该路口
8、遇到红灯，则至少需要等待1 5 秒才出现绿灯的概率为AB-i【答案】B【详解】试题分析：因为红灯持续时间为4 0 秒,所以这名行人至少需要等待1 5 秒才出现绿灯的概率v 4 0-1 5 5 *正口为F二故选【解析】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法.8 .圆G ：J+4 x 1 6=o 与圆G：r+（y+1）-=5 的位置关系是（）A.相交 B.外切C.内切 D.相离【答案】C【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】由0 :/+丫
9、2-1 6 =0 与圆C?:f+(y +l)2=5,可得圆心G（2,o）c（o,-1）,半径4 =2 6，4=,则|C G|=（2-0）2+（0+1）2 =亚,旦Rr 4=2小 _ 亚=区,所以凡E=|CC|,所以两圆相内切.故选：C.9 .在直三棱柱4BC-A4G中，AA=2AA=2B,且 43L3C,点 M 是AG的中点，则异面直线M B与4A所成角的余弦值为（)【答案】B【分析】以8为原点，3 4为x轴，BC为 了 轴，B耳为z轴，建立空间直角坐标系，求得=/见=（0,?0?,利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线M B与4 A所成角的余弦值.【详解】在直三棱柱4 B C-A 4 G中，
10、4 4=2 4田=2 8 6，且A B L 8 C,点M是A G，以8为原点，8 4为x轴，BC为 丁 轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，设 例=2 A 4 =2gG =2,则用B(0,0,0),A(1,O,O),A(l，2),=州=(),0,2),设异面直线MB与A A所成角为e，MB-AA 4 2 夜则8、/16-13=2 G.故选：D.1 1.己知椭圆和双曲线有共同的焦点6,尸是它们的一个交点，且/耳 尸玛=三，记椭圆和双曲线的离心率分别为G，e2）则勺仁的最小值为（）A.此2B-TC.1D-I【答案】B【分析】利用椭圆和双曲线的定义及/月产工=方可以列出关于G，g 的方程，再利用均
11、值定理即可得到4 勺的最小值【详解】设椭圆长轴长为加，双曲线实轴长为为PFt=m,PF=n,(m n)，忻 闾=2c则m+n=2aC ,解之得m n=2aX cos=32 2,2m+n-4c2mnm=a+an=a-a2则(+4)2-J -4 c2+1 3)则2+36/2-4c2=0,则F+F=4e e?则4=+3:2e 4 则 e1-e2 日（当且仅当I 孝心当 时等号成立）则的最小值 为 当故选：B1 2 .已知抛物线C：V=8 x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|A K|=0|A尸I，则ZW*的面积为()A.4 B.8 C.1 6 D.3 2【答案】B【详解】F (2,0),
12、K (-2,0),过 A 作 A M _ L准 线,则|A M|=|A F|,；.|A K|=&|A M|,三角形A P M为等腰直角三角形，设 A (m2,2 x/2 m)(m 0),由得20m=加+2,解得机=2则4 A F K的面积=4 x 2应m4=4 0 m=8,故选B.二、填空题1 3 .一组样本数据为?，0,1,2,3,若该样本的平均数为1,则样本方差为【答案】2【分析】根据样本平均数为1,得到加 +0+1+2 +3=1,求出，=-1,再利用方差计算公式解出方差5即可.【详解】因为3 0,1,2,3的平均数为1,即 z +0 +1 +2 +3 1-:-=1 ,5解得m=-1故方差
13、为?=1 (-1 -1)2+(0 -1)2+(1 -1)2+(2 -1)2+(3 -1)?=1(4 +1 +0+1 +4)=2 .故答案为：21 4 .若圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为夸的扇形，则该圆锥的体积为【答案】豆 生3【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径和高，结合体积公式，即可求解.【详解】由题意，圆锥侧面展开图的半径为3,所以圆锥的母线长为/=3,设圆锥的底面半径为，高为，贝I2 m =3 x g ,解得=1,可得圆锥的高为3 r z p=2 也，所以圆锥的体积短=;T X12X2&=名 红.33故答案为：迤E.31 5.过抛物线V=2 p x(p 0)的焦点P作直线交抛物
14、线于48 两点，。为坐标原点，记直线。A,08 的斜率分别为勺，&2,贝 U =.【答案】-4【分析】过焦点下作直线要分为有斜率和斜率不存在两种情况进行分类讨论.【详解】抛物线y 2 =2 p x(p 0)的焦点F(g 0)当过焦点厂的直线斜率不存在时;直线方程可设为*=会 不 妨 令 A,P),B,-p)k=B =2 k=-2则 勺 _ _/,勺 K z,故K=2x(2)=42 2当过焦点F的直线斜率存在时，直线方程可设为 =令&冷 y J B Q z，必)由,y =-y)-4p(k2+2)x+k2p2=0y2=2 px贝(I xt+x2=P，不=?,M%=小为 一 g(X2 9 =心 一
15、勺(X|+*2 )+-*x +r)+爪 pk2yp(k2+2)p2k2 +2-2一;彩y =_4X|x2 xtx2 xtx2 p4综上，k、K=_ 4故答案为：-41 6.如图，在四棱锥尸-M C D 中，是边长为4的等边三角形，四边形4 8 c o 是等腰梯形，AD/BC,Z A B C =M,AB=A D,若四棱锥尸ABC。的体积为2 4,则四棱锥尸一438 外接球的表面积是.P/.x/AZ f、/-/-*X、C2081 208【答案】【分析】根据球的截面圆圆心与球心的连线垂直截面可确定。垂直平面ABCQ,构造直角三角形求解球的半径即可得解.【详解】如图，分别取BC,AO的中点O,E,连接
16、PE,OE,OA OD.因为 皿 是边长为4 的等边三角形，所以PE=2 G.因为四边形ABC。是等腰梯形，A B =A D=4,A D/B C,Z A B C =60 ,所以OE=2X/L BC=8.因为四棱锥P-ABC。的体积为24,所以 1X(4+8)2 3=2 4,所以/z=26.3 2因为E 是 AO的中点，所以P E q A D.因为尸E=2 6,所以PE_L平面ABCD因为。A=0 3 =0C =0 0 =4,所以四边形ABC。外接圆的圆心为O，半径r=4.设四棱锥P-ABC。外接球的球心为O,连接0 0,OP,O B,过点。作O F J.P E,垂足为E易 证 四 边 形 是
17、矩 形，则 EF=OO,O F =OE=2y/3.设四棱锥 P A5CD外接球的半径为 R,则 R2=OO-+OB-=O F2+P F2=OE2+(PE-OO,即R?=OO+42=0 6 丫+(2 6-O O，y,解得 A，=y ,故四棱锥P-A B C D 外接球的表面积是4 乃 店=晔.故答案为:208T T3三、解答题1 7.设 P：函数力=吆（加-苫+白 的定义域为R；q：不等式x +a 对任意的x e（O,e）恒成k JOJ x立.（1）如果。是真命题，求实数的取值范围;如果“P v q”为真命题，P 八 4”为假命题，求实数。的取值范围.【答案】（3,M）(2)(-0对任意的xe
18、R恒成立，结合二次函数的性3 6质，即可求解；（2）利用基本不等式，求得当命题。是真命题，得到“0,显然在xeR不能恒成立；a 0,当a w O 时，则满足L八解得。3,1-4（7 0,所以+工2 2、%-=2,当且仅当x =l 时，等号成立.X X若q 是真命题，则。32,所以。3；f t z 0,故2 01 3年至2 01 9年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元,将 2021年的年份代号f=9 代 入(1)中的线性回归方程，得,y=0.5x9+2.3=6.8,故预测该地区2021年居民家庭人均纯收入为6.8万元.【点睛】本题考查线性回归方程的应用，本题解题的关键是利用
19、最小二乘法计算出线性回归方程的系数，考查计算能力，是一个基础题.1 9.已知以点A(T2)为圆心的圆与直线小x+2)，+7=0 相切，过点8(-2,0)的直线/与圆A 相交于M,N 两点，Q 是 的 中 点，求圆A 的标准方程；(2)求直线/的方程.【答案】(l)(x+iy+(y-2)2 =20(2)x=-2 或3x-4y+6=0【分析】(1)由圆与直线相切结合点线距离公式可得半径，即可求得标准方程;(2)分别讨论直线/与x 轴垂直与否，设出直线方程，结合垂径定理、点线距离公式列方程即可解得参数.【详解】(1)设圆A 半径为七由圆与直线4：x+2y+7=0 相切得/?=/+7|=2后,.圆4
20、的标准方程为(x+ly+(y-2)2=20.(2)i.当直线/与 x 轴垂直时，即x=-2,此时|MN|=2，(2司-(-1+2=2晒,符合题意;i i.当直线/不与x 轴垂直时，设方程为y=M x+2),即米y+2A=0,。是 MN的中点，|N|=2 M,-k-2 +2k 3*AQ=V20-19=1,即 AQ=/1,解得A=一,；直线/V F+i 4为：3x-4y+6=0.直线/的方程为x=-2 或3x-4y+6=0.2 0.某学校为了调查学校学生在一周零食方面的支出情况，抽出了一个容量为”的样本，分成四组20,30),30,40),40,50),50,60.其频率分布直方图如图所示，其中支
21、出在50,60元的学生有180 人.t 频率组距0.0360.0240.01020 30 40 50 60支出金额/元(1)求”的值；(2)请以样本估计全校学生的平均支出为多少元(同一组的数据用该区间的中点值作代表)；(3)如果采用分层抽样的方法从 3 0,4 0),4 0,5 0)共抽取5人，然后从中选取2人参加学校进一步的座谈会，求在 3 0,4 0),4 0,5 0)中正好各抽取一人的概率为多少.3【答案】(1)6 0 0 人；(2)4 3.6 元；(3)|.【分析】(1)求出 5 0,6 0 的频率，利用人数为1 8 0 人，求出总人数；(2)利用频率分布直方图求出样本平均数，即可估计
22、全校的平均支出；(3)结合分层抽样，先求出5人中选2人一共有多少种情况，再看满足题目要求的有几种情况，就可得到概率.【详解】(1)由图可知，支出在 5 0,6 0 元的学生频率为l-(0.0 1 +0.0 2 4 +0.0 3 6)xl 0 =Q 3 ,所以“=1 8 0+0.3 =6 0 0 人；(2)样本平均数为 0.()1 x 1 0 x 2 5+0.0 2 4 x 1 0 x 3 5 X).0 3 6 x 1()x 4 5 X).()3 x 1 0 x 5 5=4 3.6 元，那么估计全校学生的平均支出为4 3.6 元；(3)用分层抽样的方法从 3 0,4 0),4 0,5 0)共抽取
23、5人，因为 3 0,4 0),4 0,5 0)中人数比例为2:3,那么 3 0,4 0)抽取2人记为。力，4 0,5 0)中抽取3人记为A,8,C,5 人中选取 2 人有 ab,a A,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC 共 1 0 种情况，3 0,4 0),4 0,5 0)中各抽取1 人有防力C,共 6种情况，故概率为奈=|.2 1.如图，在四棱锥 P-A B C D 中，P A _ L 底面 A B C。，PA=AB,F 是 P C 的中点，A C =2BC=2CD,B(1)证明：PBLAF-.(2)求直线依 与平面4歪所成角的正弦值.【答案】证明见解析 逑8【分析】(1)建立
24、空间直角坐标系，分别求出向量P B 和 AF，证明P B-A F =O即可；(2)先求出P 月和平面血(的法向量.，然后利用公式k o s P B，N=j，求出卜o s(P B,)|,则直线 P B 与平面A f D 所成角的正弦值即为k o s(P B,).【详解】(1)证明：,：BC =CD,Z ACB=Z A C D =,：./ACB A C D,：.A B=A D,设 A C =2 8 C =2 C Z)=4 a,在 AGO中，由余弦定理得A )2=4/+1 6/-8/=1 2 a 2,即A D =2 A,则 4 O 2+C C 2 =4 C 2,即 A 3 1 3 C,A D Y D
25、 C,连接8。交AC于点O,分别以Q 4,0B为x 轴、y 轴，过。作z轴P A,建立如图空间直角坐标系,则。(0,0,0),A(3 a,0,0),B(0,&,0),C(-“,0,0),D(0,-V 3 a,0),P(3 a,0,2 岛)，P C 的中点F(a,0,6 a),zpy/则 PB=(-3 a,G a,-2 后)，AF=(-2 a,0,岛)，V PB AF=6a2+O-6a2=0，,PBA.AF.(2)由(1)可知，A D =(-3 a,-y/3 a,O),A F =(-2 a,0,怎)，PB=(-3 a,a,-2 a),设平面4D的法向量为 =(x,z),n l n l A D -
26、3 ax-j3 ay=0则|,广，即 r，n AF-2 ax+J3 az=0令x=5,则 y=-3,z=2,即“=(6,-3,2),则|c o s (PB,nPB|3 /3 6(4-/3 6/|5y/2HR-2 面 a x 4记直线P 8 与平面4D所成角为e,s i n 6 0)的左、右焦点 分 别 是，尸 2，点尸为W的上顶点，点。在a bW上，PF2=1 F2Q,S.PFt PQ=.(1)求卬的方程；(2)已知过原点的直线4 与椭圆W交于C,D 两点、,垂直于4 的直线4 过耳且与椭圆W交于M,N两点，若|c q2=6|M N|,求【答案】(1)+/=1;(2)7 2.4【解析】设 耳(
27、-。，0)，鸟90),由 已 知 瞋=7 月。，求得。的 坐 标 为 与 ，代入椭圆方程，得 二=士；再由尸耳.。=一；，求得0 2_/=2,结 合/=从+C 2,求 出 值，即可求得结论；c-A/(2)先讨论直线“斜率不存在和斜率为0 的情况，验证不满足条件，设直线乙的方程为y =k（x+石）（片0）,与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出|M N|；再将直线4 方程y =-：x 与椭圆联立，求出|C f,由|C Z）f=6|M N|求出火的值，进而求出I C OI,再K求出点工到直线C。的距离，即可求解.【详解】（1）设椭圆W的焦距为2 c,：也=7 6。,；2的坐标为（与，
28、-扑；Q在W上,1 6Tc2-b2=2.X V a2=/?2+c2,./=4,b2=,W的方程为土+y 2=l.4（2）当直线4的斜率不存在时，I C O|=2,|MN|=4,不符合题意;当直线4的斜率为0 时，I C D|=4,MN=l,也不符合题意.可设直线4的方程为丫=%1+百）（人 工 0），联立y =A(x+百)，犬2 (4)t2+l)x2+82x+1 2 A:2-4-0,一+)2=1，4f f l l l-8 回 1 2 k 2-4则占+2=GT中小赤广|M N|=2+1 -J(X 1+/)2-4X/2=彳：)|8|2=1 6 俨+1)公+4又.6|M N RC C|2,.2 4(/+1)6 代+1),4 r+4 k2+4CD|=2 x/2 .V F2到直线C D的距离d=SAF、ct=L X 1 X 2V2=y/2.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设直线方程时要注意特殊情况,要熟练掌握求相交弦长的方法，考查计算能力，属于较难题.