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1、2022-2023学年四川省泸县高二下学期开学考试数学（文）试题一、单选题1.某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将 640人 按 1,2,640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间 161,380 的人数为A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【详解】使用系统抽样方法，从 640人中抽取32人，即从20人抽取1 人.220，从编号161 380共 220人 中 抽 取 而=1 1 人.故选B.2.不等式上|0 的解集为（）x+4A.x|-4 x 2 B.x|-2x 4 或 2 或xv-4【答案】A【分析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解
2、即可【详解】由 三 0,得（x-2）（x+4）0,x+4解得-4 v x 2,所以原不等式的解集为X|-4 X n2 B.一 n/2 D.J 品m n【答案】B【分析】AD选项，举出反例即可；BC选项，利用不等式的基本性质进行判断.【详解】当相=一1,=2 时，满足m v 0 0,B 正确；因为帆 v 0 v，所以加 0,mn 薪，D 错误.故选：B4.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是（）A.所有奇数的立方都不是奇数B.存在一个奇数，它的立方是偶数C.不存在一个奇数，它的立方是偶数D.不存在一个奇数，它的立方是奇数【答案】B【分析】利用全称命题的否定解答即可.【详解】由于命题“所有奇数的
3、立方是奇数 是一个全称命题，所以命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数，它的立方是偶数”.故选：B5.某学校举办班级间篮球比赛，甲、乙两班得分情况如茎叶图所示，甲、乙两班得分的中位数分别是 X ,XZ,则下列说法正确的是（）A./工 乙，甲比乙成绩稳定D.a *乙 乙比甲成绩稳定【答案】C【分析】求出甲、乙两班得分的中位数，可比较X ,x z 的大小，根据甲乙两班得分的分布情况，可判断其稳定性，【详解】甲班得分情况从小到大排列为：1 9,2 3,2 5,2 7,3 1,其中位数/=2 5；乙班得分情况从小到大排列为：1 8,1 9,2 4,2 9,3 5,其中位数9=2 4,所以帚
4、x 乙，又因为乙的叶呈多峰；而甲的叶呈单峰，所以乙的方差比甲的大，所以甲比乙稳定.故选：C.6.不等式组x-y+6 0 x+y 2 0 表示的平面区域的面积为（x 0【解析】作出不等式组,x+y N O 表示的平面区域为直角三角形ABC及其内部的部分，求得A、8、x 0【详解】不等式组T+y ZO 表示的平面区域为直角三角形ABC及其内部的部分，x 0因此，不等式组T+y ZO 表示的平面区域的面积为3 6.x0”为真命题,即f +*一”o在x 1,2 上恒成立，;炉 +x-a在 1,2 单调递增,ym i =2-a0,解得q v 2.故选：A.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围，属于中
5、档题.8 .已知圆C过点4(2,0),8(0,2立)，且圆心C在直线N=0上，则圆C的方程为A.(X-1)2+/=9 B.(X-2)2+/=1 6C.(x +l)2+y2=9 D.(x +2)2+y2=1 6【答案】C【分析】根据待定系数法求圆的方程.(2-a)2=r2 a=-【详解】设圆的方程为(x-a y +y 2 =，由题意可得 0,b 0,且1+2 b=2,则2的最大值为()aaA 4 R 1 2 加92 3 2【答案】B【解析】由+2 b=2得：-=2-2b,-=b(2-2b)=2b(-b),利用基本不等式即可求解.a a a【详解】由，+2 0=2得：-=2-2b,a ab+-b
6、1-2-J 2fb=-b a=1当 且 仅 当1 c,c 即L 1时等号成立，-+2b=2 b=-,a2所以2的最大值为:a2故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，属于中档题.1 1.已知点尸为抛物线C：=20，(2 0)上一点，且点P到x轴的距离比它到焦点的距离小3,则P=()A.3 B.6 C.8 D.1 2【答案】B【解析】由抛物线的定义可知点尸到焦点的距离等于它到准线的距离，可 得=3,从而得出答案.【详解】由题得，抛物线的准线方程为y =-当，由抛物线的定义可知，点尸到焦点的距离等于它到准线的距离，所以点尸到x轴的距离比它到准线y =4的距离小3,于 是 得 色3,所以p
7、=6.故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.1 2.已知抛物线C：V=4 x 的焦点为产，准线与x 轴的交点为K,尸为抛物线C 上一点，且 P 在第一象限，当 乜 取 得 最 小 值 时，点户的坐标为（）r iA.B.（1,2）C.（2,2夜）D.（4,4）【答案】B【解析】过点P 作 PE垂直于抛物线C 的准线，垂足为点E,由抛物线的定义可得|即=|心|,可得则 匕 7 最小，设直线PK 的方程为=-1（帆0）,将该直线方程与抛物线C 的方程联立，利用甲 人A=0,求出方程组的解，即可得出点P 的坐标.【详解】如下图所示：PE胎=cosNKPE=cosN P K F,结合图
8、形可知，当直线PK 与抛物线相切时，NPKF最大,过点P 作 PE垂直于抛物线C 的准线/,垂足为点E,由抛物线的定义可得|目=|尸耳,抛物线C 的 准 线 为=则点K（-l,0）,由题意可知，PE/X轴，则 ZKPE=NPKF,=S=cosZKPE=cosZPKF,r K H K由图形可知，当直线PK 与抛物线相切时，NPKF最 大,则最小,设直线P K 的方程为x=my-g 0）,将该直线方程与抛物线C 的方程联立x=my-1y2=4%消去天得）A 4 根 y+4=0,A=16m2-16=0,m0,解得机=1,则）2 4+4=0,2解得y=2,此时，X=?=l,因此，点尸的坐标为(1,2)
9、.故选：B.【点睛】本题考查根据抛物线上线段比的最值来求点的坐标，涉及抛物线定义的转化，解题的关键就是要抓住直线与抛物线相切这一位置关系来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题13.在定圆上随机取三点A、B、C,则一ABC是 锐 角 三 角 形 的 概 率 等 于.【答案】y#0.25【分析】根据题意，设对应的弧度数分别为x-y,得到试验的全部结果构成事件：fi=(x,y)|0 x7r,0K,0 x+y7t,再根据记“一 ABC是锐角三角形”为事件A,7 T TT TTA=0 x -,0 y -,-x+y 7 tk 作图，可得其概率的值.【详解】设 ZA,NB,NC对 应 的 弧
10、 度 数 分 别 为 y,则试验的全部结果构成事件：8=(x,y)|0X7t,Oy7l,OX4-y7t,TT TT TT记“乂8 c 是锐角三角形”为事件A,则 A=a,y)0 x ,0 y 2,5 x+y 2-4A=0,代入椭圆的方程化简得（1+4）x2+（1 6%-32/）X+6 4R -6 4%-2 0=0,.凶+X 2=32KT,6%=8,解 得 上-故直线/的方程为x+2 y-8=0,1 +4/2故答案为：x+2y-8=0.1 5 .已知直线y=Z（x+4）与曲线=在二7 有两个不同的交点，则 的 取 值 范 围 是.【答案】，亭）【分析】直线y=M x+4）过定点尸（-4,0）,曲
11、线y=表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分.画出图形，结合图形可得所求的范围.【详解】由题意得，直线y=Z（x+4）过定点P（T,0）,曲线y=二？表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与x 轴的交点），画出图形如下图所示.当直线y=Hx+4）,即直线依-y-4Z =0 与圆相切时，则 有 蝇 耕=2,解得二=：,k =土虫.yjl+k-3 3结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有0 4 k 正，3.实数k 的取值范围是 o,*）.故答案为 0,#）.【点睛】解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图象）求解，即利用数形结合的方法求解，考查
12、数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题.）21 6 .双曲线E:*=1（“0,。0）的左、右焦点分别为不 是 E左支上一点，且 明|=|耳闻,直线 鸟与圆/+丁=/相切，则E的离心率为.【答案】|取P耳的中点N，连接代尸2，由于|P胤=|耳胤=2 c，则NF2 J L 可,必=|附，由|明|=2|。M=2 ,则加外=力，即有|P用=4/7,由双曲线的定义可得I P用-I 尸 为 1=2%即 4人 一 2 c =2 tz,B P 2b=c+a,4。2 =(?+tz)2,gp 4(c2-6 Z2)=(c +6 Z)2,4(c-a)=c +a,即 3c =5。,则e=:故答案为申三、解答题1 7.
13、己知圆心为C(4,3)的圆经过原点O.(1)求圆C 的方程；(2)求与直线3x-4y+1 5 =0 平行，且与圆C 相切的直线方程.【答案】G)(x-4)2+6-3)2 =2 5 (2)3x-4y2 5 =0【分析】(1)由题意求出半径l oc i 后即可得解；(2)设直线方程为3x-4y+c =0,利用直线与圆相切的性质d =r列出方程即可得解.【详解】(1)圆的半径为|。0=出=5从而圆C的方程为(x-4)2+(y-3)2 =2 5(2)设直线方程为3 x-4 y +c =0,圆心为C(4,3),半径为5,直线与圆相切,圆心到直线的距离为d|3 x 4-4 x 3 +c|J 3 2+4 2
14、=5|c|=2 5,c =2 5,方程为3 x-4 y 2 5 =0【点睛】本题考查了圆的方程的确定和直线与圆的位置关系，属于基础题.1 8.某 校 1 0 0 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是:5 0,6 0),6 0,7 0),7 0,8 0),8 0,9 0),9 0,1 0 0.(1)求图中a 的值;(2)根据频率分布直方图，估计这1 0 0 名学生语文成绩的平均数与中位数.2【答案】(1)=0.0 0 5 (2)平均数为7 3,中位数为：7 1-.【解析】(1)由频率和为1 求解即可；(2)以各区间中点值代表各组的取值，进而求得平均数；求出从左边开始
15、小矩形的面积的和为0.5 对应的横轴的值即为中位数【详解】(1)由频率分布直方图知(2 +0.0 2 +0.0 3 +0.0 4)x 1 0 =1,解得 a=0.0 0 5(2)估计这1 0 0 名学生语文成绩的平均分为：5 5 x 0.0 0 5 x 1 0 +6 5 x 0.0 4 x 1 0 +7 5 x 0.0 3 x 1 0 +8 5 x 0.0 2 x 1 0 +9 5 x 0.0 0 5 x 1 0 -7 3由(1)，设中位数为x,贝 i J 0.0 0 5 x l0+0.0 4 x l0+0.0 3(x-7 0)=0.5解得x =7 号2 故估计中位数为：7 1 j2.【点睛】
16、本题考查频率的性质，考查利用频率分布直方图求平均数和中位数，考查数据处理能力1 9.已知函数/(%)=/-2,aw R.(1)若函数/(x)的图象关于直线x=-l对称，求实数。的值，并写出函数)，=/丽 的 单 调 区 间：解关于x的不等式 x)4 x-l.【答案】单 调 递 增 区 间 为 单 调 递 减 区 间 为(T O,-3(2)答案见解析.【分析】(1)利用二次函数的对称轴可求得a=T;利用复合函数的单调性可求得y =的单调区间；(2)将/(x)W x-l化简为一元二次不等式，确定其对应方程的两根，并讨论两根的大小，从而确定不等式解集.【详解】(1)由题意函数/(x)：%2(a l)
17、x+a 2,ae R,由函数 x)的图象关于直线4 1 对称，可得 1=T，则a=T，此时 y =&+2X-3，定义域为,y=x?+2 x-3 在-l,+o)单调递增，y =d+2 x-3 在(一 ,-1 单调递减，故y =4 2+2 x-3 的递增区间为 1，+)，单调递减区间为：(2)不等式/(x)4x 1 即 x?(a l)x+a 2 4x 1 化简为：x (a 1)W 0 ,对于y =x (a-l)(x l),其图象抛物线开口向上，且 x (a-I)(x l)=O 有两根1 和a 1,a=2 时，此时两根相等，则 x-(a-l)(x-l)W O 的解集为.2 时，此时a-l l,则综上
18、所述，当a 2 时，不等式的解集为2 0.已知点 4-2,0),8(3,0),动点 P(x,y)满足：PA PB=x2-6.(1)求动点P的轨迹；(2)已 知 点 喑，。)，若曲线E上一点M到 x 轴的距离为果 求1“1 的值.【答案】(1)焦点在x 轴，开口向右的抛物线；(2)1【分析】(1)计算得至I J P 4 P 8 =d-x-6+y 2=x 2-6,化简得到答案.(2)计算得到加=；,再计算I M可得到答案.详解(1)PA=(-2-x,-y),P B =(3 x,_y),PA-PB=x2-x-6+y2=x2-6,即：2=x,点p的轨迹为焦点在x轴，开口向右的抛物线.(2)由题意可得：
19、加=g代入方程求得xM=；.WFI=XM+|=1+1=1.【点睛】本题考查了轨迹方程，抛物线焦半径公式的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.21.如图，在三棱锥P-A 8 C中，已知B C和 均 为 正 三 角 形，。为B C的中点.(2)若A B=2,PA=+,求三棱锥P-A B C的体积.【答案】(1)证明见解析；巨【详2解】(1)因为a A BC和A P BC为正三角形，。为8 c的中点,所以 A J _BC,尸。_L 8C,又A O I PD=D,所以8 C/平 面 皿)(2)因为B C和8 C为正三角形，且A B=2,所以 A=PO=NAB=百，2又尸4 =5所以正三角形,皿*的
20、面积为5=乂(&=苧，所 以 展 BC=2 x g x lx =卓2 2.已知动圆M过点6（-2,0）,且动圆内切于定圆工：（8-2）2+炉=32,记动圆M圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）若A、B是曲线上两点，点尸（04满足P G +P A +P B=0,求直线A8的方程.2 2【答案】（1）+=1；（2）x-2 y +3=0.8 4【解析】（1）根据两圆内切，以及圆过定点斗-2,0）,列式求轨迹方程；（2）利用重心坐标公式可知士+与=-2,%+%=2,再设直线A3的方程为丫=米+八与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解直线方程.MFS=r【详解】（1）由己知可得.尸卜4&_ J两式
21、相加可得|M用+|M用=4夜 恒 用=4,则点M的轨迹是 以 月、居为焦点，长轴长为4 0的椭圆，则a =2 c=2,因此曲线的方程是号+=1.o 4因为P 5+P A+P B =0,则点尸（0,|）是*居A8的重心，易得直线A8的斜率存在，设直线A3的方程为=履+加，A（占,y j,B（x2,y2）,x+x.4-2 v.+y+O 2-=0 -y-=-X,+X2=-2,yt+y2=2y=kx-m联 立x2 V2，消y得：（2公+1）犬+4 6依+2m2-8=08 4.-.A =l 6k2m2-4（2 公 +l）（2w2-8）=8（8公-m2+4）0,:.Sk2-m2+4 0n 4km c G且“药7.+y2 kx+tn+kx+m =+%)+2m=2k+2tn=2 由解得k=；,w=|,则直线AB的 方 程 为y =；x+|，即x-2y+3=0.【点睛】本题考查直线与椭圆的问题关系，本题的关键是根据 马+小+28=0,求 得%+%=-2,y+y?=2.