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1、2022-2023学 年 四 川 省 泸 县 高 二 下 学 期 开 学 考 试 数 学（理）试 题 一、单 选 题 1.某 工 厂 生 产 甲、乙、丙、丁 四 种 不 同 型 号 的 产 品，产 量 分 别 为 200,400,300,100件，为 检 验 产 品 的 质 量，现 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 以 上 所 有 的 产 品 中 抽 取 6。件 进 行 检 验，则 应 从 丙 种 型 号 的 产 品 中 抽 取 件.A.24 B.18 C.12 D.6【答 案】B【分 析】根 据 分 层 抽 样 列 比 例 式，解 得 结 果.60 x-=18【详 解】根 据 分 层 抽
2、样 得 应 从 丙 种 型 号 的 产 品 中 抽 取 200+400+300+100，选 B.【点 睛】在 分 层 抽 样 的 过 程 中，为 了 保 证 每 个 个 体 被 抽 到 的 可 能 性 是 相 同 的，这 就 要 求 各 层 所 抽 取 的 个 体 数 与 该 层 所 包 含 的 个 体 数 之 比 等 于 样 本 容 量 与 总 体 的 个 体 数 之 比，即 2.某 汽 车 制 造 厂 分 别 从 4 5 两 类 轮 胎 中 各 随 机 抽 取 了 6 个 进 行 测 试，下 面 列 出 了 每 一 个 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程（单 位：10，k m）.Z 类 轮
3、 胎:94,96,99,99,105,107.8 类 轮 胎:95,95,98,99,104,109.根 据 以 上 数 据，下 列 说 法 正 确 的 是（）A.A 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 众 数 小 于 B 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 众 数 B.A 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 极 差 等 于 B 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 极 差 C.A 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 平 均 数 大 于 B 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 平 均 数 D.4 类 轮 胎 的 性 能 更 加 稳 定【答 案】D【
4、分 析】根 据 众 数、极 差、平 均 数 和 方 差 的 定 义 以 及 计 算 公 式 即 可 求 解.【详 解】解：对 A：/类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 众 数 为 99,8 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 众 数 为 95,选 项 A 错 误；对 B：4 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 极 差 为 13,5 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 极 差 为 14,选 项 B 错 误.-6-4-1-14-5+7100+-=100对 C：4 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 平 均 数 为 6,8 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里-
5、5-5-2-14-4+9100+-=100程 的 平 均 数 为 6,选 项 C 错 误.对 D：4 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程 的 方 差 为(94-100)2+(96-100)2+(99-100)2x2+(105-100)2+(107-100)2 646-3,8 类 轮 胎 行 驶 的 最 远 里 程(95-100)2x2+(98-100)2+(99-100)2+(104-100)2+(109-100)2 76 64-=-的 方 差 为 6 3 3,故 n 类 轮 胎 的 性 能 更 加 稳 定，选 项 D 正 确.故 选：D.3.某 城 市 为 了 解 游 客 人 数 的 变
6、 化 规 律，提 高 旅 游 服 务 质 量，收 集 并 整 理 了 2014年 1月 至 2016年 12月 期 间 月 接 待 游 客 量(单 位：万 人)的 数 据，绘 制 了 如 图 所 示 的 折 线 图.根 据 该 折 线 图，下 列 结 论 错 误 的 是()A.月 接 待 游 客 量 逐 月 增 加 B.年 接 待 游 客 量 逐 年 增 加 C.各 年 的 月 接 待 游 客 量 高 峰 期 大 致 在 7,8 月 D.各 年 1月 至 6 月 的 月 接 待 游 客 量 相 对 于 7 月 至 12月，波 动 性 更 小，变 化 比 较 平 稳【答 案】A【分 析】观 察
7、折 线 图，结 合 选 项 逐 一 判 断 即 可【详 解】对 于 选 项 A,由 图 易 知 月 接 待 游 客 量 每 年 7,8 月 份 明 显 高 于 12月 份，故 A 错；对 于 选 项 B,观 察 折 线 图 的 变 化 趋 势 可 知 年 接 待 游 客 量 逐 年 增 加，故 B 正 确；对 于 选 项 C,观 察 折 线 图，各 年 的 月 接 待 游 客 量 高 峰 期 大 致 在 7,8 月 份，故 C 正 确；对 于 D 选 项，观 察 折 线 图，各 年 1月 至 6 月 的 月 接 待 游 客 量 相 对 7 月 至 12月，波 动 性 更 小，变 化 比 较 平
8、 稳，故 D 正 确.故 选：A4.若 直 线 苫+即+2=与 直 线 x-2y-3=平 行，则=(),1 1A.-2 B.2 C.2 D.2【答 案】A【分 析】根 据 给 定 条 件 列 式 计 算，再 进 行 验 证 即 可 作 答.【详 解】因 直 线*+2=与 直 线 平 行，贝=解 得。=一 2,当。=一 2时，直 线 x-2y+2=0与 直 线 x-2y-3=0平 行，所 以-2.故 选：A5.若 正 整 数 N 除 以 正 整 数 机 后 的 余 数 为，则 记 为 三（mod”），如 1。三 2（mod4）如 图 所 示 的 程 序 框 图 的 算 法 源 于 我 国 古 代
9、 闻 名 中 外 的“中 国 剩 余 定 理.执 行 该 程 序 框 图，则 输 出 的，,等 于（）A.7 B.10 C.13 D.16【答 案】C【分 析】根 据“中 国 剩 余 定 理”，进 而 依 次 执 行 循 环 体，最 后 求 得 答 案.【详 解】由 题 意，第 一 步：=2/=4,余 数 不 为 1；第 二 步：=6）/=7 余 数 不 为 1；第 三 步：=13/=10,余 数 为 1,执 行 第 二 个 判 断 框，余 数 不 为 2；第 四 步：=23J=13,执 行 第 一 个 判 断 框，余 数 为 1,执 行 第 二 个 判 断 框，余 数 为 2.输 出 的 i
10、值 为 13.故 选：C.6.下 列 关 于 抛 物 线 的 图 象 描 述 正 确 的 是（）A.开 口 向 上，焦 点 为 1 打 B.开 口 向 右，焦 点 为（4）C.开 口 向 上，焦 点 为 I 2【答 案】AD.开 口 向 右，焦 点 为 _ 2 2【分 析】把 卜 二 厂 化 成 抛 物 线 标 准 方 程 x=y,依 据 抛 物 线 几 何 性 质 看 开 口 方 向，求 其 焦 点 坐 标 即 可 解 决.【详 解】即/=厕 功=1,即 P-，故 此 抛 物 线 开 口 向 上，焦 点 为 故 选：A7.某 路 口 人 行 横 道 的 信 号 灯 为 红 灯 和 绿 灯 交
11、 替 出 现，红 灯 持 续 时 间 为 40秒，若 一 名 行 人 来 到 该 路 口 遇 到 红 灯，则 至 少 需 要 等 待 15秒 才 出 现 绿 灯 的 概 率 为 2 _ 5 3 2 _A.10 B.8 C.8 D.10【答 案】B【详 解】试 题 分 析：因 为 红 灯 持 续 时 间 为 40秒,所 以 这 名 行 人 至 少 需 要 等 待 15秒 才 出 现 绿 灯 的 概 40-15 _ 5率 为 4 0 8,故 选 B.【解 析】几 何 概 型【名 师 点 睛】对 于 几 何 概 型 的 概 率 公 式 中 的“测 度”要 有 正 确 的 认 识，它 只 与 大 小
12、有 关，而 与 形 状 和 位 置 无 关，在 解 题 时，要 掌 握“测 度”为 长 度、面 积、体 积、角 度 等 常 见 的 几 何 概 型 的 求 解 方 法.8.圆 G：x2+V-4x-16=0 与 圆&：,+3+1)2=5 的 位 置 关 系 是()A.相 交 B.外 切 C.内 切 D.相 离【答 案】C【分 析】根 据 两 圆 的 位 置 关 系 的 判 定 方 法，即 可 求 解.【详 解】由：/+/_4x-16=0 与 圆 G：/+3+1)2=5,可 得 圆 心 C，O)，G(O，T),半 径 K=2后&2=后,则 IGGI=(2-or+(0+1)2=石,且 7?i 7?2
13、=2 V5 5=V5,所 以 K-4=|C02,所 以 两 圆 相 内 切.故 选：c.9.在 直 三 棱 柱/8 C-4 A G 中，4=2 4 4=2 8 6，且/8 L 8 C,点 M 是 4 G 的 中 点，则 异 面 直 线 与 4 所 成 角 的 余 弦 值 为（0 0）_ 垣 3 V 2 A.3 B.3 C.4 D.2【答 案】B【分 析】以 B 为 原 点，及 1为 x 轴，8 c 为 了 轴，8餐 为 z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 得 1 1【2 4=（0,0,2）,利 用 空 间 向 量 夹 角 余 弦 公 式 能 求 出 异 面 直 线 8 与 4 4 所
14、 成 角 的 余 弦 值.【详 解】；在 直 三 棱 柱 8 C-4 4 G 中，4=2 4 与=2 8 6，且 N 8 1 8 C,点 M 是 4 G,.以 8 为 原 点，8/为 x 轴，8 c 为 V 轴，8片 为 z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 AA=2AB=2B、G=21-1则（22人 8（0,0,0）,4（1,0,0,4（1,0,21,=羽=（0,0,2）,设 异 面 直 线 M B 与 4 4 所 成 角 为 e,MB-AA 4 2V2COS 夕=j=-=-则 V 4,2 7 2，异 面 直 线 A 与 4 所 成 角 的 余 弦 值 为 亍，故 选 B.【点 睛】
15、本 题 主 要 考 查 异 面 直 线 所 成 角 的 余 弦 值 的 求 法，是 基 础 题.求 异 面 直 线 所 成 的 角 主 要 方 法 有 两 种：一 是 向 量 法，根 据 几 何 体 的 特 殊 性 质 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 后，分 别 求 出 两 直 线 的 方 向 向 量,再 利 用 空 间 向 量 夹 角 的 余 弦 公 式 求 解；二 是 传 统 法，利 用 平 行 四 边 形、三 角 形 中 位 线 等 方 法 找 出 两 直 线 成 的 角，再 利 用 平 面 几 何 性 质 求 解.10.直 线 Q 加+2户+（2?-3+5=0（?1）与 圆 0:（
16、_ 1）2+3+2）2=16相 交 于 4 8 两 点，则 M 目 的 最 小 值 为（）A.6 B.4 C.34 D.28【答 案】D【分 析】先 求 出 直 线 经 过 的 定 点 尸，再 由 弦 长 公 式“同=2/2-/可 分 析 出 当/p c 时，最 小，从 而 可 求 得 结 果.【详 解】因 为（2?+2）龙+（2加-3）y+5=0可 化 为 2（x+y）m+2 x-3 y+5=0,2（x+y）=0 J.r=-1令 1 2 x-3 y+5=0,解 得 i.V=l,所 以 直 线 力 8 恒 过 定 点 P（T/），该 点 在 圆 内，因 为=,所 以 要 求 M M的 最 小
17、值，即 求 圆 心 C 到 直 线 N 5的 最 大 距 离 d,显 然 当“8 1/时，=归 0 最 大，|,却 最 小，又 因 为 圆 C：（l+3+2=1 6,所 以 圆 心,（I T）,=6,则|PC|=J（T T）2+（l+2）=岳,故 此 时|阳=2ylr2-P C 2=2 x 71613=2 K故 选：D.T T口 二/F、PF,=-1 1.已 知 椭 圆 和 双 曲 线 有 共 同 的 焦 点 片，心，尸 是 它 们 的 一 个 交 点，且 一 3,记 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 为 弓，%则 仁 的 最 小 值 为（）V 5 V 3 A.2 B.2 C.1
18、 D.2【答 案】BZFtPF2=-【分 析】利 用 椭 圆 和 双 曲 线 的 定 义 及 3 可 以 列 出 关 于 9,的 方 程，再 利 用 均 值 定 理 即 可 得 到 的 最 小 值【详 解】设 椭 圆 长 轴 长 为 2。，双 曲 线 实 轴 长 为 2储，附 卜 加 尸 闾=，（加），由 用=2。m+n=2a m=a+a,则 解 之 得 2 2 A 2 tn 4c 1cos=-=又 3 2m几 2则（。+）2+（。-，）2-4/=（。+a）（a-a）+=4贝 l j a2+3a,2-4c2=0,贝 ij e e则 W 3-_ 273?22的，则 一 2V2 V6=-,4=-(
19、当 且 仅 当 2-2 时 等 号 成 立)昱 则 乌,62的 最 小 值 为 2故 选：B12.已 知 抛 物 线 C：V=8 x的 焦 点 为 尸，准 线 与 x 轴 的 交 点 为 K,点 A在 C 上 且 M K|=0|/|,则&4F K的 面 积 为()A.4 B.8 C.16 D.32【答 案】B【详 解】F(2,0),K(-2,0),过 A 作 A M I准 线,则|AM|=|AF|,.-.|A K|=V 2|A M|,三 角 形 A PM为 等 腰 直 角 三 角 形，设 A(a?,2 2 m)(m 0),AM-MK2s/2m=m2+2 f 解 得 i=2则 AAFK的 面 积
20、=4 X 2 0 m 5=4播 m=8,故 选 B.二、填 空 题 13.一 组 样 本 数 据 为?，0,1,2,3,若 该 样 本 的 平 均 数 为 1,则 样 本 方 差 为.【答 案】2加+0+1+2+3-=1【分 析】根 据 样 本 平 均 数 为 1，得 到 5，求 出 及=T,再 利 用 方 差 计 算 公 式 解 出 方 差 即 可.加+0+1+2+3 1-=1【详 解】因 为 加，0,1,2,3 的 平 均 数 为 1,即 5,解 得,“=-1,s2=1(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2 故 方 差 为 5=1(4+1+0+1+4)=2故
21、 答 案 为：22兀 14.若 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 半 径 为 3,圆 心 角 为 丁 的 扇 形，则 该 圆 锥 的 体 积 为 2向【答 案】丁【分 析】根 据 题 意，求 得 圆 锥 的 底 面 圆 的 半 径 和 高，结 合 体 积 公 式，即 可 求 解.【详 解】由 题 意，圆 锥 侧 面 展 开 图 的 半 径 为 3,所 以 圆 锥 的 母 线 长 为/=3,_ r 24=3X 设 圆 锥 的 底 面 半 径 为，高 为 3 则 3，解 得 厂=1,可 得 圆 锥 的 高 为 h=a2-r2=/2-F=2V2,/=1万 x/x 2 五=如 红 所 以 圆 锥 的
22、 体 积 3 3.2 兀 故 答 案 为：丁.15.过 抛 物 线=2 5 0)的 焦 点 厂 作 直 线 交 抛 物 线 于 4,3 两 点，为 坐 标 原 点，记 直 线 4 B 的 斜 率 分 别 为 尢,网,则=【答 案】-4【分 析】过 焦 点 尸 作 直 线 要 分 为 有 斜 率 和 斜 率 不 存 在 两 种 情 况 进 行 分 类 讨 论.【详 解】抛 物 线 V=2 p x(p 0)的 焦 点”万 x-E-?4(,p),当 过 焦 点 尸 的 直 线 斜 率 不 存 在 时，直 线 方 程 可 设 为 一 2,不 妨 令 2 2左=K=2,左 2=4=-2E.E则 2 2,
23、故 K%=2 X(-2)=-4当 过 焦 点 尸 的 直 线 斜 率 存 在 时，直 线 方 程 可 设 为 5),令&,乂),8(乙,力)y=k(x-)由(y=2 p x 4 k2x2-4 p(k2+2)x+k2p2=0 x+丫 _ P*2+2),Z贝 广 l k2 2 4,yty2=(%夕 乂 一 9=%冷 2 _与(再+)+-p k 2(X I A-1 I p 2 k 2 p k2/耐+2)p2k2-(X+X)J H-X-1-3&=以 匹=些+2-2 1 4=-+匕-=-4玉 X2 玉 2 X/2 _4综 上，故 答 案 为：-41 6.如 图，在 四 棱 锥 尸 一/8 8 中，4。是
24、 边 长 为 4 的 等 边 三 角 形，四 边 形 Z 8C O是 等 腰 梯 形，AD/BC,NABC=60。,AB=AD,若 四 棱 锥 尸-4 8 8 的 体 积 为 2 4,则 四 棱 锥 P-N 8C Z）外 接 球 的 表 面 积 是.【答 案】3#3【分 析】根 据 球 的 截 面 圆 圆 心 与 球 心 的 连 线 垂 直 截 面 可 确 定 垂 直 平 面 构 造 直 角 三 角 形 求 解 球 的 半 径 即 可 得 解.【详 解】如 图，分 别 取 8 C,力。的 中 点 E,连 接 PE,OE,OA,OD.因 为 AP/。是 边 长 为 4 的 等 边 三 角 形，所
25、 以 尸 E=2 G因 为 四 边 形 4 8 8 是 等 腰 梯 形，4B=4D=4,A D/BC,乙 4BC=60。,所 以。名=2 5 BC=8.因 为 四 棱 锥 P 一 4 8 C Q的 体 积 为 24,l x（4+8）、2 石 所 以 3 2,所 以=2力 因 为 E 是/。的 中 点，所 以 PE/4D.因 为 PE=h=2 6,所 以 P E 1平 面 4 8CD因 为。/=OB OC=OD=4,所 以 四 边 形 N B 8 外 接 圆 的 圆 心 为 半 径=4.设 四 棱 锥 P-4 8 c o 外 接 球 的 球 心 为 0,连 接。，OP,O B,过 点。作 O F
26、 P E,垂 足 为 反 易 证 四 边 形 EF。是 矩 形，则 EF=O。，尸=。=2百 设 四 棱 锥 P-48CZ)外 接 球 的 半 径 为 R,则 R=2+。郎=O F1+PF2=OE2+(哈 OO)2,即 52R2=+4?=(2+(2 G-。t 解 得/?J H,4兀 R。*故 四 棱 锥 P-N 8 8 外 接 球 的 表 面 积 是 3.2084故 答 案 为：3三、解 答 题/(x)=lg a x 2-x+2 x+-a(Q 1 7.设 乙 函 数 I 3 6 J的 定 义 域 为 R；q：不 等 式 x 对 任 意 的 x e U+叼 恒 成 立.(1)如 果 P 是 真
27、命 题，求 实 数。的 取 值 范 围；(2)如 果“P v g”为 真 命 题,“。八 1”为 假 命 题，求 实 数 a 的 取 值 范 围.【答 案】(1)(+8)(,2)3 3,+8)ax-x H-0【分 析】(1)由 对 数 函 数 的 性 质，转 化 为 36 对 任 意 的 x e R 恒 成 立，结 合 二 次 函 数 的 性 质，即 可 求 解；(2)利 用 基 本 不 等 式，求 得 当 命 题 勺 是 真 命 题，得 至 此 0【详 解】(1)解：因 为?是 真 命 题，所 以 36 对 任 意 的 x e R 恒 成 立，当=时，不 等 式 r。，显 然 在 火 不 能
28、 恒 成 立；a 0,a 八 1 4a 3,故 实 数”的 取 值 范 围 为 G*0).x 4-1 2 o2 _Jx 1=2r（2）解：因 为 x,所 以 x,x,当 且 仅 当 x=l时，等 号 成 立.若“是 真 命 题，则。3,当 P 真 9假 时，所 以 a 3；3,当 P 假 q真 时，1。2,所 以。2,综 上，实 数。的 取 值 范 围 为（-8,2卜（3，+8）.18.某 地 区 2013年 至 2019年 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 六 单 位：千 元）的 数 据 如 下 表:年 份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019年 份
29、 代 号/1 2 3 4 5 6 7人 均 纯 收 入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（1）求 y 关 于/的 线 性 回 归 方 程：（2）利 用（1）中 的 回 归 方 程，分 析 2013年 至 2019年 该 地 区 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 的 变 化 情 况,并 预 测 该 地 区 2021年 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入.n n歹）力，必-.，76=乂-=!-Z C,-D2 力-产 附：回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为：-=1 I,a=y-bT【答 案】（1）i=0&
30、+2.3；（2）2013年 至 2019年 该 地 区 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 逐 年 增 加，平 均 每 年 增 加 0.5千 元；6.8千 元.【分 析】（1）根 据 所 给 的 数 据，计 算 出 才 和 V 的 值，将 表 格 中 的 数 据 代 入 最 小 二 乘 法 公 式 求 出 5 和 的 值，即 可 得 出 了 关 于 的 线 性 回 归 方 程；（2）根 据 回 归 直 线 方 程 可 分 析 出 2013年 至 2019年 该 地 区 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 的 变 化 情 况，将，=9代 入 回 归 直 线 方 程 可 计 算 出 该 地
31、 区 2021年 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 的 估 计 值.-1r=-（1+24-3+4+5+6+7）=4【详 解】（1）由 所 给 数 据 计 算 得 7,1y=y(2.9+33+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3=9+4+1+0+1+4+9=28 一)(匕 一 亍)=(-3)X(-L4)+(-2)X(-1)+(-1)X(-O.7)+OX O.1+1X O.5+2X 0 9+3X 6 7 4.一)()14b=-=0.5仆次 4 28“),a=y-4=4 3-0.5 x 4=2.3,所 求 线 性 回 归 方 程 为=-5z+23；（2）由（1）知，b=0,50,故 2
32、013年 至 2019年 该 地 区 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 逐 年 增 加，平 均 每 年 增 加 0 5万 元，将 2021年 的 年 份 代 号 3 9 代 入（1）中 的 线 性 回 归 方 程，得 3=0.5x9+2.3=6.8,故 预 测 该 地 区 2021年 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 为 6.8万 元.【点 睛】本 题 考 查 线 性 回 归 方 程 的 应 用，本 题 解 题 的 关 键 是 利 用 最 小 二 乘 法 计 算 出 线 性 回 归 方 程 的 系 数，考 查 计 算 能 力，是 一 个 基 础 题.1 9.已 知 以 点“（T 2）为 圆
33、 心 的 圆 与 直 线 4：+2 7=相 切，过 点（）的 直 线/与 圆 月 相 交 于 M,N 两 点，。是 的 中 点，l Z|=2 j历.（1）求 圆/的 标 准 方 程；（2）求 直 线/的 方 程.【答 案】G+l）2+（）2=20（2/=-2 或 3尸 4+6=0【分 析】（1）由 圆 与 直 线 相 切 结 合 点 线 距 离 公 式 可 得 半 径，即 可 求 得 标 准 方 程；（2）分 别 讨 论 直 线/与 x 轴 垂 直 与 否，设 出 直 线 方 程，结 合 垂 径 定 理、点 线 距 离 公 式 列 方 程 即 可 解 得 参 数.【详 解】（1）设 圆 N 半
34、 径 为 R,R/T+4+7|由 圆 与 直 线 小*+2户 7=0相 切 得 V5=2后 圆 A 的 标 准 方 程 为（X+1）-+。-2）-=2 0.i.当 直 线/与 X轴 垂 直 时，即 x=-2,此 时 也 7（2-（-1+2）=2-,符 合 题 意;i i.当 直 线/不 与 x 轴 垂 直 时，设 方 程 为 夕=耳+2),即 丘-y+2 A=0,l _ _ 2+2%|=k=20 是 MN 的 中 点，1加=2如，.”O=J 2 0 7 9=1,即 V+l,解 得.直 线/为：3 x-4 y+6=0.直 线/的 方 程 为=-2或 3 x-4 y+6=02 0.某 学 校 为
35、了 调 查 学 校 学 生 在 一 周 零 食 方 面 的 支 出 情 况，抽 出 了 一 个 容 量 为 的 样 本，分 成 四 组 20,30）,30,40）,40,50）,50,60.其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示，其 中 支 出 在 50,60 元 的 学 生 有 180人.（1）求 的 值；（2）请 以 样 本 估 计 全 校 学 生 的 平 均 支 出 为 多 少 元（同 一 组 的 数 据 用 该 区 间 的 中 点 值 作 代 表）；（3）如 果 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 30,40）,40,50）共 抽 取 5 人，然 后 从 中 选 取 2 人
36、 参 加 学 校 进 一 步 的 座 谈 会，求 在 30,40）,40,50）中 正 好 各 抽 取 一 人 的 概 率 为 多 少.3【答 案】（1）600 人；（2）43.6 元；（3）S.【分 析】（1）求 出 50,60 的 频 率，利 用 人 数 为 180人，求 出 总 人 数：（2）利 用 频 率 分 布 直 方 图 求 出 样 本 平 均 数，即 可 估 计 全 校 的 平 均 支 出;（3）结 合 分 层 抽 样，先 求 出 5 人 中 选 2 人 一 共 有 多 少 种 情 况，再 看 满 足 题 目 要 求 的 有 几 种 情 况,就 可 得 到 概 率.【详 解】（1
37、）由 图 可 知，支 出 在 50,60 元 的 学 生 频 率 为 l-g l+024+0.036）xl0=0.3,所 以=180+0.3=600 人；（2）样 本 平 均 数 为 0.01x10 x25+0.024x10 x35+0.036x10 x45+0.03x10 x55=43.6 元 那 么 估 计 全 校 学 生 的 平 均 支 出 为 43.6元；（3）用 分 层 抽 样 的 方 法 从 30,40）,40,50）共 抽 取 5 人，因 为 30,40）,40,50）中 人 数 比 例 为 2:3,那 么 30,40）抽 取 2 人 记 为,d 40,50）中 抽 取 3 人
38、记 为 48,C,5 人 中 选 取 2 人 有 a。4 a 此/8 c 共 io种 情 况，30,40),40,50)中 各 抽 取 1人 有 04 a b M c 力 465,6C,共 6 种 情 况,6_=3故 概 率 为 历.21.如 图，在 四 棱 锥 P-Z S C O 中，底 面，8CZ）,PA=A B,尸 是 P C 的 中 点,B(1)证 明：PB1AF.（2）求 直 线 PB与 平 面 AFD所 成 角 的 正 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析 572 丁【分 析】（1）建 立 空 间 直 角 坐 标 系，分 别 求 出 向 量 而 和 万，证 明 而 万=。即
39、可;卜 0S（P 8,，二（2）先 求 出 方 和 平 面 力 产。的 法 向 量 然 后 利 用 公 式 直 线 尸 8 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 即 为 辰（尸 PB-n阿 同 求 出 卜 冏 腮 州，则 TTZ.ACB=ZACD=-【详 解】证 明：Y BCMCD,3,:.ACB A C D,，AB=A D.AC=2BC=2CD=4a,在 A ZC。中，由 余 弦 定 理 得/a=4/+1 6/-8/=1 2/,即 NO=2/ia,AD2+CD2=AC 即 N 8 1 8 C,AD L D C,连 接 8。交 4 C 于 点,分 别 以 04,0 8 为 x 轴、了 轴，过
40、。作 z轴 尸 Z,建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系，则。(0,0,0),力(3。,0,0),8(0,百 a,0),C(-a,0,0),D(0,-区,0),P(3a,0,26 a),PC 的 中 点 尸(a,0,Jia),则 PB=(-3a,V3a,-25/3a),AF-(-2a,0,f3a),.PB-JF=6a2+0-6a2=0,.PB 1 AF _(2)由(1)可 知，-3a,-43a,0)；Af=(-2a,0,s/3a)P8=(-3a,百 a,-2月 a),设 平 面/尸。的 法 向 量 为 1=(x/,z),M AD 卜 3ax-Gay=0则 万，不，即-2ax+&z=0,令
41、 x=G,则 y=-3,z=2,即=(石,-3,2),|c o s/p5 一 臼 卜 3品-3总-4瓦|=5/则)|方|卡|2限 ix 4 8sin=lcos(PS,/7)|=记 直 线 班 与 平 面 4心 所 成 角 为。，8.%:土+匕=12 2.己 知 椭 圆./b2(3Z?0)的 左、右 焦 点 分 别 是 片，用，点 尸 为 的 上 顶 点，点-16Q 在 忆 上,隹=7啊 且 叫 尸。=(1)求 少 的 方 程；（2）已 知 过 原 点 的 直 线 乙 与 椭 圆 少 交 于 C,D 两 点,垂 直 于 4的 直 线 12过 耳 且 与 椭 圆 交 于,N 两 点,若|阿=6阚,
42、求 知 co.x2 2.+y=1/-【答 案】（1）4.；（2）J2.【解 析】设 E（-a 5 9）,由 已 知%=7 6。，求 得。的 坐 标 为 7”代 入 椭 圆 方 程,1=2 PE PQ=得/4；再 由 7,求 得/-=2,结 合/=6 2+0 2,求 出“力 值，即 可 求 得 结 论；（2）先 讨 论 直 线 4 斜 率 不 存 在 和 斜 率 为 0 的 情 况，验 证 不 满 足 条 件，设 直 线 4 的 方 程 为 j=（x+百）*0）,与 椭 圆 方 程 联 立，消 元，由 韦 达 定 理 和 相 交 弦 长 公 式，求 出|MN|；=_lx再 将 直 线 4方 程
43、一”与 椭 圆 联 立，求 出 C D,由 巾=6|MN|求 出 的 值，进 而 求 出 IC0,再 求 出 点 名 到 直 线 C。的 距 离，即 可 求 解.【详 解】（I）设 椭 圆 少 的 焦 距 为 2c,V PF=7F,件,二。的 坐 标 为 I 7 7人；。在 形 上，c2 _3将 L，I 代 人:正 一,得/工 又 严 也 十 一 卜 传 用 16T.C2-b2=2 又。2=+。2.人 f9 n y2=1=4,=1,%的 方 程 为 4.（2）当 直 线 4 的 斜 率 不 存 在 时，18 卜 2,MN=4t不 符 合 题 意;当 直 线 12的 斜 率 为 0 时，Q 0=
44、4,1 用 N|=l,也 不 符 合 题 意.,可 设 直 线 右 的 方 程 为（灼）,y=%+百）X2 2 _ 1 厂 联+了+V=L/曰（4/+1 卜 2+8辰 2+12左 24=0-8回 贝 广+2=正 日，312k2-44+i,16（A2+1）2 4 6+1）16（A2+1）又.6 1 MN|=|O f,4k2+4 k2+4,.-,k2=2 t.|C O|=2&.乙 到 直 线 c o 的 距 离 J l+公 S 外 co=Q x 1 x 2 V2=5/2=1【点 睛】本 题 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程，考 查 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，设 直 线 方 程 时 要 注 意 特 殊 情 况,要 熟 练 掌 握 求 相 交 弦 长 的 方 法，考 查 计 算 能 力，属 于 较 难 题.