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1、2022-2023学年四川省泸县高二下学期开学考试数学（理）试题一、单选题1.某校64 0名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32 人做问卷调查，将 64 0人按1,2,64 0随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间 161,380 的人数为A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【详解】使用系统抽样方法，从 64 0人中抽取32人，即从20 人抽取1 人.叽11.从编号161 380共 220人中抽取20 人.故选B.02.不等式x+4 的解集为（）Ax|-4 x2 B x|-2x4 或 x2 或 x-4【答案】A【分析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可【详解】由
2、,得（X-2）（X+4）0,解得-4 x 2,所以原不等式的解集为故选：A3.已知加 m 2 D.，一 【答案】B【分析】AD选项，举出反例即可；BC选项，利用不等式的基本性质进行判断.【详解】当川=T,=2 时，满足“此 时/、故 A 错误；因为，所以 0 -2 2,m”，B 正确；因为所以“,故如?机 C 错误；当m=-2,=1时，满足机 0 8 ,D 错误.故选：B4.某学校举办班级间篮球比赛，甲、乙两班得分情况如茎叶图所示，甲、乙两班得分的中位数分别是x尹，x乙，则下列说法正确的是（）A.间/丁 ,甲比乙成绩稳定B.*甲不x ,乙比甲成绩稳定C.“甲 乙*,甲比乙成绩稳定D.御 乙 ,
3、乙比甲成绩稳定【答案】C【分析】求出甲、乙两班得分的中位数，可比较x尹，x z 的大小，根据甲乙两班得分的分布情况,可判断其稳定性，【详解】甲班得分情况从小到大排列为：1 9,2 3,2 5,2 7,3 1,其中位数和=2 5；乙班得分情况从小到大排列为：1 8,1 9,2 4,2 9,3 5,其中位数生=2 4,所以福,又因为乙的叶呈多峰；而甲的叶呈单峰，所以乙的方差比甲的大，所以甲比乙稳定.故选：C.5.命题“玉 必2 ,/+-。4 0，为假命题，则。的取值范围为（）A.（-吃 2）B.（-8,6）C.D.S I【答案】A【分析】由于命题是假命题，可得其否定为真命题，然后可以建立关系即可求
4、解.【详解】，命题x 2+x-a 4 0 为假命题，该命题的否定 V x c ，2 ,Y+x _”0”为真命题，即/+_ 0 0 在工叩,2 1 上恒成立,y =x2+x-在口,2 单调递增，z,=2-a 0(解得2.故选：A.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围，属于中档题.6.已知圆C 过点4 2,0),8(0,2 0),且圆心C 在直线N =上，则圆C的方程为A.(x-)2+y2=9 B(X-2)2+/=1 6cU+l)2+/=9 D.(X+2)2+/=16【答案】C【分析】根据待定系数法求圆的方程.(2-。)2=一 o)上一点，且点P 到X 轴的距离比它到焦点的距离小3,则P=()
5、A.3 B.6 C.8 D.1 2【答案】B=3【解析】由抛物线的定义可知点P 到焦点的距离等于它到准线的距离，可得5 从而得出答案.y=-R【详解】由题得，抛物线的准线方程为 2,由抛物线的定义可知，点 P 到焦点的距离等于它到准线的距离，y=-P所以点尸到x 轴 的 距 离 比 它 到 准 线,2 的距离小3,=3于是得2,所以P=6.故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.-+26=29.已知实数。0,b 0,且 ab _则a的最大值为（)4-9A.立2D.1-2氏2-C3【答案】B-+2b=2-=2-2b-=b（2-2h）=2b（l-b）【解析】由。得：a,。，利用基本
6、不等式即可求解.-+26=2-=2-2b【详解】由。得：，所以-=b(2-2b)=2b(-b)2x2b=-b a=4）的左右焦点分别是耳和鸟，点片关于渐近线近一在=的对称点恰好落在圆（X-C+/=C2上，则双曲线的离心率为（）A.正 B.2 C.2啦 D.3【答案】B【分析】首先求出B到渐近线的距离，利用巳关于渐近线的对称点恰落在圆上，可得直角三角形，利用勾股定理得到关于a c的齐次式，即可求出双曲线的离心率he.=I）【详解】由题意可设耳（-g），8（c，）,则可到渐近线云-a y =。的 距 离 为 正 寿 .设耳关于渐近线b x-即=的对称点为M BM与渐近线交于A,：.MF!=2b 为
7、 的中点.又。是B P的中点,O 4I I BM./招MF2为直角,所以军明为直角三角形，由勾股定理得：4c2=c2+4b2,所以3c,G-a-）,所以C2=4/,e，=2所以离心率。故选:B.1 2.已知抛物线C：=4 x的焦点为产，准线与x轴的交点为K,P为抛物线C上一点，且P在第 PF一象限，当俨K 取得最小值时，点q 的坐标为（）A.G勺 B.。,2）C.叱）D.GW）【答案】B【解析】过点P 作 PE垂直于抛物线C 的准线，垂足为点E,由抛物线的定义可得归同引尸 口，可PF PE=cos Z.KPE=cos Z.PKF得出尸K|修，结合图形可知，当直线P K 与抛物线相切时，NPKF
8、最幽大，则归片最小，设直线P K 的方程为“=叩 一 1（团）,将该直线方程与抛物线C 的方程联立，利用A=0,求出方程组的解，即可得出点P 的坐标.【详解】如下图所示：过点P 作尸E 垂直于抛物线C 的准线/,垂足为点E,由抛物线的定义可得归国=归人,抛物线C 的准线为/：x=-l,则点K（T，）,由题意可知，PE/&轴，则NKPE=NPKF网 网=cos ZKPE=cos ZPKF由图形可知，当直线PK 与抛物线相切时，NPKF最 大,则 户引最小，（x=my-1设直线PK的方程为x=9-1 （机 0）,将该直线方程与抛物线C的方程联立1/=4 消去x 得y+4 =0,=16掰2-16=0
9、,.？（），解得机=则/4、+4 =0,解得y=2,此时，1 1 一i,因此，点厂的坐标为OB）.故选：B.【点睛】本题考查根据抛物线上线段比的最值来求点的坐标，涉及抛物线定义的转化，解题的关键就是要抓住直线与抛物线相切这一位置关系来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题1 3 .某校高一年级有9 0 0 名学生，其中女生4 0 0 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为4 5 的样本，则 应 抽 取 的 男 生 人 数 为.【答案】2 5x 4 5 -=-.x 2 5【详解】试题分析：设应抽取的男生人数为为X,所以有9 0 0 9 0 0 +4 0 0 ,
10、应抽取2 5 人【解析】分层抽样1 4 .已知M（4,2）是直线/被椭圆N+4 产=3 6 所截得的线段N 8的中点，则直线/的方程为【答案】x+2 yH 8=0.【详解】由题意得，斜率存在，设为七则直线/的方程为歹口2=%（xD 4）,即 k x 2 口必=0,代入椭圆的方程化简得（1+4 庐）x2+（1 6 心 3 2 N）X+6 4 F D 6 4*0 2 0=0,32k2-16k i Xi+X2=1 +4 K =8,解得 AT=O 2 ,故直线/的方程为 x+2 yL 1 8=0,故答案为：x+2 j D 8=0.1 5.在定圆上随机取三点/、B、C,则“8C是 锐 角 三 角 形 的
11、 概 率 等 于.2【答案】4#0.2 5【分析】根据题意，设N 4 N 8,N C 对应的弧度数分别为x,y,7 T-x-y,得到试验的全部结果构成事件/M x M O c r O j w O v x +y”,再 根 据 记 是 锐 角 三 角 形，为事件A,兀 兀 兀4 =（x，）0 x 一,0 y x+y 兀;2 2 2 J,作图，可得其概率的值.详解】设N 4 NB,ZC对应的弧度数分别为X j,兀-x -y ,则试验的全部结果构成事件:8 =,珅-0 兀,0 兀 ,记“.BC是锐角三角形”为事件A则.zX7C 兀 兀A=(x,y)0 x,0 y,x+y =2 5（2）设直线方程为3
12、x-4 y +c =0,圆心为C（4,3）,半径为5,直线与圆相切，1_|3 x 4-4 x 3 +c|_ 5 圆心到直线的距离为+#.1c|=2 5,c =2 5,方程为3 x-4 y 2 5 =0【点睛】本题考查了圆的方程的确定和直线与圆的位置关系，属于基础题.1 8.某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5 天试销，每种单价试销1 天，得到如下数据：单价/元1819202122销量/册6156504 84 5由数据知，销量y 与单价x 之间呈线性相关关系.f (七-加，b=上-(1)求关于x 的回归直线方程；附：-=1 ,a=y-b x.(2)预计以后的销售中，销量
13、与单价服从(1)中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？【答案】i =-4 x+132(2)21.5 元【分析】(1)根据表中数据求得嚏和了，再求得 和I即可得到y 关于x 的回归直线方程;(2)由题意得获得的利润Z=-4/+1 7 2X-1 3 2 0,结合二次函数的性质即可求解.-18+19+20+21+22%-61+56+50+4 8+4 5 x=-=20 y=-=52【详解】(1)由表格数据得 5,5.(x,-x)(y,-y)=-4 0 (x,_ x j=10则 I ,=,1 4 0 A 人 _ 八 _则,。=歹-6%=52
14、-(-4)x20=132,则y 关于的回归直线方程为y=-+132.获 得 的 利 润 z=(x-l)(S+132)=-4 x2+1 7 2 1 3 2 0,对应抛物线开口向下，172x=21.5则当 2x(-4)时，z 取得最大值,即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为21.5元.空-2x2=119.已知双曲线C 的 方 程 为/(),离心率为(1)求双曲线C 的标准方程；（2）过 E（，l）的直线/交曲线C 于M、N 两点，求西丽的取值范围.【答案】(1)2 2(-00,-2U+8)2 2【分析】（1）根据题意，结合离心率易，知双曲线为等轴双曲线，进而可求解：（2）根据题意，分直线斜
15、率否存在两种情形讨论，结合设而不求法以及向量数量积的坐标公式,即可求解.厂 马=2【详解】（1）根据题意，由离心率为J 2,知双曲线是等轴双曲线，所以矿T-T-1/=1,故双曲线C 的标准方程为5 2.（2）当直线斜率存在时，设直线/的方程为=日+1,y=kx+则由1 2/-2/=1 消去 y,得到（2k2-2）x2+4点+1 =0,0,解得力X1.2k _ _1_设 N G，%),则有演+一 _ 公，2H-2 ,EM-EN=(xl,yl-y(x2,y2-)=(k2+)2=-=-+-因此2k-2 2 k2-,f,-;W 1 -3 0.=1,二内一1 2 1且A 1。0,故%-1 或 4一 1
16、,-1 1 1 1EM EN=+G(-co,1U(-,+00)故 2 H-1 2，2 V2,y/2-1A/(0,)N(0,-J)EM EN=_当直线/的斜率不存在时，此 时/=。，易知 2,2,故 2.-(-009 U ,+8)综上所述，所 求 的 取 值 范 围 是 2 2.2 0.如图，尸。垂直于梯形43CQ所在的平面，乙4DC=CBAD=9O。,尸为尸4 中点，PD=亚,AB=AD=CD=12.四边形尸。CE为矩形，线段PC交DE于点N.A B 求证：/C|平面。EF；（2）求二面角A-B C-P的余弦值.【答案】（1）证明见解析；722.【分析】（1）记 P C 交。E 于点N,然后证
17、明尸NIINC,进而通过线面平行的判定定理证明问题;（2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量夹角公式求得答案.【详解】（1）因为四边形尸QCE为矩形，线段尸C 交。E 于点N,所以N 为 P C 的中点.连接FM 在中，F,N 分别为PA,P C 的中点，所以FNIINC,因为F N u 平面。ER 4 Cz平面。ER 所以ZCII平面。EE（2）因为尸。垂直于梯形/8 C D 所在的平面，乙 4。=4%。=90。，所以。Z,D C,。尸两两垂直,如图以。为原点，分别以D C,。尸所在直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系.则尸（0,0,四），川,0,0）,8（1,1,0）,C（0,2,0
18、）,所 以 法=（1,1,-血），5C=（-l,l,0）m PB=0 x+y V2z=0设平面尸BC的法向量为机=（尤叱），则 而 面=I-x +y=0,令E,则?=（1，1，&）.因为尸。垂直于梯形48 8 所在的平面，所以。二!0&）是平面N 8 C 的一个法向量，所以8s 0）的焦点为尸，过点F且斜率为/的直线/交C于尸,0 两点.当左=1 时，|尸。|=1 6（1）求C的方程；（2）若P关于x 轴的对称点为7,当左变化时，求证：直线7。过定点，并求该定点坐标.【答案】（2）证明见解析，（一 2，）【分析】（1）当时，直线/的方程一、5,将其与抛物线方程联立，求出再+%=3p,再利用焦点
19、弦长公式求得尸，确定抛物线方程；产（今 ）。（今,居）T（萼,-乃）（2）设出 8 -8 ，利用对称得到 8 ，联立直线7 Q 与抛物线方程，根据韦达定理解得力乂=T 6,即可确定直线加过定点.尸（2,0）y=k（x-）【详解】（1）直线/的斜率为左且过焦点 2 ，则直线/的方程为 2 ,y=x 当时，直线/的方程为 2 ,y2=2 p x,y=x-,x2-3 p x +-=0,a 、c,、联立方程组I 2 消 去 外 得 4 设PQ，必），。（乙，%），则 X|+Z=3 p,所以，1 尸 0 1=%+、2+?=4。=1 6,解得p =4,所以抛物线C的方程为=8 x尸 冉%），0（，M）凡
20、或（2）设8 力 上 8,4,直线PQ的斜率存在，8 8 ,因为P,T关于x轴对称，则k r%+必 _ 8 一 外 L所以二百8 ,y+%=-a-直线 70的方程为 乂一%,即 8 x -（乂-必）y -必乂=0,y2=8 x,工+匕=1 12 2.已知C：/b2 的上顶点到右顶点的距离为，离心率为5,过椭圆左焦点产作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于A/、N 两点，直线机的方程为：x=-2 a,过点”作M E垂直于直线m交直线m于点E.（1）求桶圆C的标准方程：（2）若线段EN必过定点P,求定点P的坐标；点 O 为坐标原点，求面积的最大值.【答案】（1）4 3小式消c ：-H =r-_L【分析
21、】（1）椭圆 a-b-的上顶点到右顶点的距离为1 7,离 心 率 为 2,列出方程，求解,得到椭圆的标准方程.设 直 线M N方程：=叼-1,历（不弘）,联立直线与椭圆方程，利用韦达定 理 求 解 直 线 硒 方 程，然后得到定点坐标.由（1）中利用弦长公式，求解三角形的面积表达式，然后求解最大值即可.【详解】（1）由题意可得:ja2+b2=V 7工 _!a 2所以a=2,b=6.2X-F故椭圆的标准方程为4（2）证明:由题意知,F（T。）,设 直 线M N方程：*=吵-1，河（西,乂）0（匕,%），石（-4,必）,联 立 方 程 序 P,得好+力-6 吁9 =。,6m 9所 以 必+%=彳
22、用,%力=藐 彳，所 以-2 啊|%=3（乂+%）,y-y1-（x +4）所 以 直 线EN方程为：+4x =-4 一%（+4 ）=_4 一孙%+3 凹=_4 +2 二 =-4 +之=一 令 y =o,则%必%一乂%一%2 2所以直线EN过定点 由 中=1 4 4（/+1）0,所 以机 吨又比一对=而广嬴=呼亨所 以“眄 f 党1 5,加 2+1 _ 1 5，/+13 5+4 3（川+）+1、1 5/（0=f令 t =y/m2+,t 则 tg（33,+；,g，（/）=3q=i令,t G ,当 t 21时故 g（，）-3/+在 1,+）卜单调递增，则 t在 0，+）上单调递减，15/15 的 一 赤 7 一 二 J即，在 十 ）上单调递减，所 以 =时，刖）M-Ig（英0