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1、必 考 点 0 8 空 间 直 线、平 面 的 垂 经 典 必 考 题 题 型 一 线 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 例 题 1如 图 所 示，在 四 棱 锥 P-ABCZ)中，AB_L平 面 AB/DC,PD=AD,E 是 P B的 中 点，尸 是。C上 的 点 且。尸=5 8,P H为 外 中 A O边 上 的 高.求 证:平 面 A8C；(2)EF_L 平 面 PAB.例 题 2 在 正 方 体 ABCD-ABCD中，P 为 D i D 的 中 点，O 为 底 面 A B C D 的 中 心，求 证:BOVAP.【解 题 技 巧 提 炼】图 看 个 性 证 明 线 面 垂 直 的
2、问 题.(1)证 明 直 线 和 平 面 垂 直 的 常 用 方 法：判 定 定 理：垂 直 于 平 面 的 传 递 性(a b,a-La今 b-L a);面 面 平 行 的 性 质(a_La,a 6=aJL6)：面 面 垂 直 的 性 质.(2)证 明 线 面 垂 直 的 关 键 是 证 线 线 垂 直，而 证 明 线 线 垂 直 则 需 借 助 线 面 垂 直 的 性 质.因 此，判 定 定 理 与 性 质 定 理 的 合 理 转 化 是 证 明 线 面 垂 直 的 基 本 思 想.证 明 线 线 垂 直 的 问 题.证 明 线 线 垂 直 的 基 本 方 法：(1)证 明 一 条 直 线
3、 垂 直 于 经 口 诀 记 忆 过 另 一 直 线 的 平 面，称 之 为 线 线 垂 直 证 法 多，线 面 垂 直 法 常 用 线 面 垂 直 作，(2)计 算 两 条 直 线 所 成 角 等 于 异 面 直 线 计 算 角.9 0,称 之 为 计 算 角 度 法 找 共 性 证 明 直 线 与 平 面 垂 直 与 利 用 线 面 垂 直 的 性 质 证 明 线 线 垂 直 的 通 法 是 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 的 应 用，其 思 维 流 程 为：题 型 二 面 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 例 题 1 如 图，在 四 棱 锥 P-ABCC 中，ABLAC,ABPA,
4、AB/CD,AB第 一 步 找 相 交 直 线 第 二 步 证 线 线 垂 直 第 三 步 证 线 面 垂 直 第 四 步 证 线 线 垂 直 T 在 一 个 平 面 内 找 到 两 条 相 交 直 线 证 明 平 面 外 的 直 线 与 这 两 条 相 交 直 线 都 垂 直 利 用 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 得 线 面 垂 直 I 由 线 面 垂 直 的 性 质 得 到 线 线 垂 直=2CD,E,F,G,M,N 分 别 为 PB,AB,BC,PD,PC 的 中 点.求 证:(1)CE 平 面 PAD.(2)平 面 EFG_L平 面 EMN.【解 题 技 巧 提
5、炼】1.面 面 垂 直 判 定 的 2种 方 法 与 1个 转 化 2种 方 法：面 面 垂 直 的 定 义；面 面 垂 直 的 判 定 定 理(a_L，aUa=a_L).(2)1个 转 化:在 已 知 两 个 平 面 垂 直 时，一 般 要 用 性 质 定 理 进 行 转 化.在 一 个 平 面 内 作 交 线 的 垂 线，转 化 为 线 面 垂 直，然 后 进 一 步 转 化 为 线 线 垂 直.2.面 面 垂 直 性 质 的 应 用(1)两 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 是 把 面 面 垂 直 转 化 为 线 面 垂 直 的 依 据，运 用 时 要 注 意“平 面 内 的 直 线”
6、.(2)两 个 相 交 平 面 同 时 垂 直 于 第 三 个 平 面，它 们 的 交 线 也 垂 直 于 第 三 个 平 面.题 型 三 垂 直 关 系 中 的 探 索 性 问 题 例 题 1如 图，在 三 棱 台 ABC-OEF中，CF_L平 面 DEF,AB1BC.(1)设 平 面 4 C E A平 面。求 证：DF/a；(2)若 E F=C F=2 B C,试 问 在 线 段 8 E上 是 否 存 在 点 G,使 得 平 面 Q F G L平 面 C D E?若 存 在，请 确 定 G 点 的 位 置；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【解 题 技 巧 提 炼】(1)对 于 线 面
7、关 系 中 的 存 在 性 问 题，首 先 假 设 存 D在，然 后 在 该 假 设 条 件 下，利 用 线 面 关 系 的 相 关 定 理、性 质 进 行 推 理 论 证，寻 找 假 设 满 足 的 条 件，若 满 足 则 肯 定 假 设，若 得 出 矛 盾 的 结 论 则 否 定 假 设.(2)对 于 探 索 性 问 题 用 向 量 法 比 较 容 易 入 手，一 般 先 假 设 存 在，设 出 空 间 点 的 坐 标，转 化 为 代 数 方 程 是 否 有 解 的 问 题，若 有 解 且 满 足 题 意 则 存 在，若 有 解 但 不 满 足 题 意 或 无 解 则 不 存 在.对 点
8、变 式 练 题 型 一 线 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 I.如 图 所 示，在 四 棱 锥 中，南 _1_ 底 面 ABCD,ABA,AD,AC LCD,ZABC=60,PA=ABBC,E 是 P C 的 中 点.求 证：(1)CD4E；(2)PZ)_L 平 面 ABE.2.创 新 题 型 如 图，直 三 棱 柱 48C-4B|Ci中，4C=BC=1,NACB=90。，。是 A/i 的 中 点，尸 在 BBi上.(1)求 证：GQ_L 平 面 AA/iB；(2)在 下 列 给 出 三 个 条 件 中 选 取 哪 两 个 条 件 可 使 ABi，平 面 CiDF?并 证 明 你 的 结
9、论.F 为 的 中 点；A S=小；AAi=Vi题 型 二 面 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 1.如 图，在 四 面 体 P-ABC 41,PA=PC=AB=BC=5,AC=6,PB=4巾,线 段 A C,出 的 中 点 分 别 为。，Q.求 证：平 面/MC_L平 面 ABC；(2)求 四 面 体 P-OBQ的 体 积.2.如 图，在 四 棱 锥 P-ABCD 中，AB/CD,AB1.AD,CD=2AB,平 面 底 面 ABC。，PAAD,E,尸 分 别 是 C Q,尸 C 的 中 点.求 证：BE 平 面 PAD,(2)平 面 BE/，平 面 PCD.题 型 三 垂 直 关 系 中
10、的 探 索 性 问 题 1.如 图 所 示，平 面 ABCD_L平 面 B C E,四 边 形 A B C D 为 矩 形，BC=CE,点 F 为 C E 的 中 点.(1)证 明：AE 平 面 8OF；(2)点 M 为 C D 上 任 意 一 点，在 线 段 A E 上 是 否 存 在 点 P,使 得 若 存 在，确 定 点 P 的 位 置，并 加 以 证 明；若 不 存 在，请 说 明 理 由.变 式 综 合 练 一、单 选 题 E1.已 知/,山 是 两 条 不 同 的 直 线，”，尸 为 两 个 不 同 的 平 面，则 下 面 四 个 命 题 中，正 确 的 命 题 是（）A.若 a_
11、L 6，I/p,则/_1 _。B.若，u a,则/_LaC.若?u a,I/p,l/m,贝!|a 4 D.若 加 _ 1 _夕，/夕，l/m,则。2.每 个 面 均 为 正 三 角 形 的 八 面 体 称 为 正 八 面 体，如 图.若 点 G,H、M.N 分 别 是 正 八 面 体 ABCDEF的 棱 DE、BC、AZX 3尸 的 中 点，则 下 列 结 论 正 确 的 是（）B.G”与 M N是 异 面 直 线 C.G H 平 面 EAB D.M N与 G 是 相 交 直 线 3.己 知，*，表 示 两 条 不 同 直 线，a 表 示 平 面，下 列 说 法 中 正 确 的 个 数 是（）
12、若 m/a,nlla,则 ml In 若 z_Le,u a,则 机 1_ 若/w_Ltz,m V n,则 若 旭,m n,则 _ Ltz 若“or,m L a,则 z_L A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.已 知 正 方 形 ABC。-A 4 G。，M.N 分 别 是 A Q、。声 的 中 点，贝 I（）A.直 线 A。与 直 线 R B 垂 直，直 线 M N 平 面 ABC。B.直 线 A。与 直 线 A B 平 行，直 线 MN_L平 面 B D R gC.直 线 A。与 直 线。出 相 交，直 线 M N 平 面 ABC。D.直 线 A。与 直 线。/平 行，直 线
13、MN，平 面 以 比 百 二、多 选 题 5.重 庆 市 第 十 一 中 学 校 高 三 年 级 某 班 组 织 了 诵 经 典，获 新 知 的 演 讲 比 赛，本 次 比 赛 的 冠 军 奖 杯 由 一 个 铜 球 和 一 个 托 盘 组 成，如 图，已 知 球 的 体 积 为 半，托 盘 由 边 长 为 4 的 正 三 角 形 铜 片 沿 各 边 中 点 的 连 线 向 上 折 叠 成 直 二 面 角 而 成，如 图.则 下 列 结 论 正 确 的 是()经 过 三 个 顶 点 A、B、C 的 球 的 截 面 圆 的 面 积 为？B.平 面 8CF 平 面 ADEC.直 线 A。与 平 面
14、。所 所 成 的 角 为 2D.球 面 上 的 点 离 球 托 底 面 OE尸 的 最 大 距 离 为 渔+136.如 图，棱 长 为 2 的 正 方 体 A B C Q-A g G P的 内 切 球 球 心 为 O,E、尸 分 别 是 棱 A8、C G的 中 点，G 在 棱 8 C上 移 动，则(A.对 于 任 意 点 G,。4 平 面 EFGB.存 在 点 G,使 前 _L平 面 EFGC.直 线 E F的 被 球 0 截 得 的 弦 长 为 旧 D.过 直 线 E F的 平 面 截 球。所 得 截 面 圆 面 积 的 最 小 值 为 三、填 空 题 7.a,4 是 两 个 平 面，m,是
15、 两 条 直 线，则 下 列 命 题 正 确 的 是.如 果?m A.a,/尸，那 么 C/?；如 果 机 _Le,n l la,那 么 加 L；如 果 a,m a a,那 么 加”；如 果 机 J _ c,加，夕，那 么 a 夕.8.如 图，点 尸 在 正 方 体 A B S-A A G R 的 面 对 角 线 B G上 运 动(尸 点 异 于 8,a 点)，则 下 列 四 个 结 论：三 棱 锥 A-R P C 的 体 积 不 变；A P I平 面 A C R；。尸 人 8 G；平 面 P D B J 平 面 A C R.其 中 说 法 正 确 的 序 号 有.(1)证 明：田 工 底 面
16、”。；(2)若 三 棱 锥 力-3 D M 的 体 积 是 四 棱 锥 P-A B C。体 积 的 J,设 P M n M C,试 确 定 f的 值.10.如 图，正 方 体 A B C O-A B C R中，点 E,F 分 别 为 棱。A，8 c 的 中 点.证 明:4。，平 面 48(；。1；(2)证 明：E F”平 面 ABCR.11.如 图，在 几 何 体 ABCDE尸 中，平 面 ABC0JL平 面 A B F E.正 方 形 A 8FE的 边 长 为 2,在 矩 形 ABC。中，BC=2AB.(1)证 明：A F L C E；(2)求 点 B 到 平 面 ACF的 距 离.12.如
17、 图，在 四 棱 锥 P ABC。中，底 面 A8C。为 平 行 四 边 形，平 面 尸 回 底 面 A 8C Z),且 BC=2,AB=4,BD=2y5.(1)证 明：BCA.PD.若 P C=P D=g 求 四 棱 锥 P-A B C O的 体 积.13.如 图 甲，直 角 梯 形 ABCZ)中，AB1AD,AD/BC,/为 A 的 中 点，E 在 BC上，且 EF/AB,现 沿 E F把 四 边 形 CW芯 折 起 得 到 空 间 几 何 体，如 图 乙.在 图 乙 中 求 证：平 面 A8CJ_平 面 BCE.14.如 图，在 棱 长 都 相 等 的 正 三 棱 柱 ABCA/8/G中
18、，D,E 分 别 为 AA/,8/C的 中 点.求 证：QE 平 面 A8C；求 证：B/O3平 面 BOE.1 5.已 知 正 方 体 A B C D-的 棱 长 为 2.求 三 棱 锥 的 体 积;(2)证 明：A Q 1 B D.必 考 点 0 8 空 间 直 线、平 面 的 垂 题 型 一 线 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 例 题 1如 图 所 示，在 四 棱 锥 P-ABCZ）中，AB_L平 面 AB/DC,PD=AD,E 是 P B的 中 点，尸 是。C上 的 点 且=5 8,PH为 外。中 AO边 上 的 高.求 证：平 面 A8CO；（2）EF_L 平 面 PAB.【解
19、析】（1）：A8_L平 面 以。，A 8 U平 面 A8CO,平 面 以 QJL平 面 A8CD平 面 PAD n 平 面 ABCD=AD,PH AD,.2 4 平 面 4 8。.4IB（2）取 心 的 中 点 M,连 接 A/。，ME.；E 是 PB 的 中 点，M E AB.又,；DF B,：.ME 触 DF,：.四 边 形 M E F D 是 平 行 四 边 形，.EF/MD.：PD=AD,：.MDPA.:A B J平 面 以 O,：.MDAB.,：PAQAB=A,.ML平 面 以 8,平 面 ftW.例 题 2 在 正 方 体 ABCD-ABXCD中，P 为 D Q 的 中 点，O 为
20、 底 面 A B C D 的 中 心，求 证：BOVAP.【证 明】法 一：（线 面 垂 直 法）如 图（1）,易 证 A 5=CB|.为 i-71cl又 因 为。为 A C的 中 点，A 1Z L所 以 80_L4C.在 矩 形 B D D iB中，O,P 分 别 为 BD,D Q 的 中 点、.易 证/P O DsAOBiB,A 困 所 以 N P O D=N O B B所 以 BiOPO.又 4 C A P 0=0,所 以 8|O_L平 面 以 C.又 A P U平 面 PAC,所 以 BiO-LAP.法 二：(计 算 角 度 法)如 图(2),令 P C的 中 点 为 E,4/j/因
21、为。为 A C的 中 点，1 小 武/D J避、所 以 AP/OE.才 二 所 以 N81OE或 其 补 角 是 异 面 直 线 8。与 A P所 成 角.%设 正 方 体 棱 长 为 4,则 81c=4啦，BiP=6,PC=2季,在 S P C 中，由 三 角 形 中 线 长 公 式 可 知&序=；2(8+8 一%=29,又 8 0=2 玳，0E=y 5,所 以 BQ+OE BE,所 以 N B Q E=9 0,所 以 BQ_LAP.【解 题 技 巧 提 炼】看 个 性 证 明 线 面 垂 直 的 问 题.(1)证 明 直 线 和 平 面 垂 直 的 常 用 方 法：判 定 定 理；垂 直
22、于 平 面 的 传 递 性(a b,a a=b a);面 面 平 行 的 性 质(a_La,a/0=a6)；面 面 垂 直 的 性 质.(2)证 明 线 面 垂 直 的 关 键 是 证 线 线 垂 直，而 证 明 线 线 垂 直 则 需 借 助 线 面 垂 直 的 性 质.因 此，判 定 定 理 与 性 质 定 理 的 合 理 转 化 是 证 明 线 面 垂 直 的 基 本 思 想.证 明 线 线 垂 直 的 问 题.证 明 线 线 垂 直 的 基 本 方 法：证 明 一 条 直 线 垂 直 于 经 口 诀 记 忆 过 另 一 直 线 的 平 面，称 之 为 线 线 垂 直 证 法 多，线 面
23、 垂 直 法 常 用 线 面 垂 直 作，(2)计 算 两 条 直 线 所 成 南 等 于 异 面 直 线 计 算 角.9 0,称 之 为 计 算 角 度 法 找 共 性 证 明 直 线 与 平 面 垂 直 与 利 用 线 面 垂 直 的 性 质 证 明 线 线 垂 直 的 通 法 是线 面 垂 直 的 判 定 定 理 的 应 用，其 思 维 流 程 为：第 一 步 找 相 交 直 线 0一|在 一 个 平 面 内 找 到 两 条 相 交 直 线 证 明 平 面 外 的 直 线 与 这 两 条 相 交 直 线 都 垂 直 利 用 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 得 线 面
24、垂 直 第 二 步 证 线 线 垂 直 第 三 步 证 线 面 垂 直 0第 四 步 证 线 线 垂 直 1由 线 面 垂 直 的 性 质 得 到 线 线 垂 直 题 型 二 面 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 例 题 1 如 图，在 四 棱 锥 P-A8C。中，ABAC,ABLPA,AB/CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分 别 为 PB,AB,BC,PD,PC 的 中 点.求 证：(1)CE 平 面 PAD-.(2)平 面 EFG_L平 面 EMN.【解 析】(1)法 一：取 附 的 中 点”，连 接 EH,DH.因 为 E 为 P B的 中 点，所 以 EH A B.又 C D
25、吗 W,所 以 E H CD.所 以 四 边 形 O C E 是 平 行 四 边 形，所 以 CE OH.又 D/U 平 面 PAD,CEQ平 面 PAD,所 以 CE 平 面 PAD.因 为 F 为 A 8的 中 点,连 接 CF.所 以 A F=A 8.又 C D,A B,所 以 AF=CD.又 A F C C,所 以 四 边 形 AFCQ为 平 行 四 边 形.因 此 CF/AD,又 CF4平 面 PAD,A D U平 面 PAD,所 以 CF 平 面 PAD.因 为 E,F 分 别 为 尸 8,A B的 中 点，所 以 又 E N 平 面 以。，A 4U平 面 以，所 以 EF 平 面
26、 PAD.因 为 C F C E F=F,故 平 面 CEF 平 面 PAD.又 C E U 平 面 C E F,所 以 CE 平 面 B4D(2)因 为 E,尸 分 别 为 P8,4 8 的 中 点，所 以 又 因 为 A8JLB4,所 以 E F _L A B,同 理 可 证 AB_LFG.又 因 为 EFCIFG：/7,EF,F G U 平 面 EFG,所 以 ABJ平 面 EFG.又 因 为 例，N 分 别 为 PO,P C的 中 点，所 以 MN C D,又 A 8 C,所 以 M N/W,所 以 MNJ平 面 EFG.又 因 为 M N U 平 面 E M N,所 以 平 面 EF
27、G工 平 面 EMN.【解 题 技 巧 提 炼】1.面 面 垂 直 判 定 的 2种 方 法 与 1个 转 化(1)2种 方 法：面 面 垂 直 的 定 义；面 面 垂 直 的 判 定 定 理(。1夕，a U a 0 a 邛).(2)1个 转 化：在 已 知 两 个 平 面 垂 直 时，一 般 要 用 性 质 定 理 进 行 转 化.在 一 个 平 面 内 作 交 线 的 垂 线，转 化 为 线 面 垂 直，然 后 进 一 步 转 化 为 线 线 垂 直.2.面 面 垂 直 性 质 的 应 用(1)两 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 是 把 面 面 垂 直 转 化 为 线 面 垂 直 的
28、依 据，运 用 时 要 注 意“平 面 内 的 直 线”.(2)两 个 相 交 平 面 同 时 垂 直 于 第 三 个 平 面，它 们 的 交 线 也 垂 直 于 第 三 个 平 面.题 型 三 垂 直 关 系 中 的 探 索 性 问 题 例 题 1如 图，在 三 棱 台 A8C-DE尸 中，CF_L平 面。EF,AB1BC.(1)设 平 面 ACEC1平 面 Q E F=a,求 证：DF/a；(2)若 E F=C F=2 B C,试 问 在 线 段 5 E 上 是 否 存 在 点 G,使 得 平 面 O F G,平 面 C D E?若 存 在，请 确 定 G 点 的 位 置；若 不 存 在，
29、请 说 明 理 由.【解 析】(1)证 明：在 三 棱 台 A8C-DEF中，AC/DF,A C U平 面 A C E,力 网 平 面 A C E,二。尸 平 面 4CE.又,.)/=平 面。E F,平 面 ACEC1 平 面。EF=a,：.DF/a.(2)线 段 B E 上 存 在 忌 G,且 B G=，E 时，使 得 平 面。尸 G_L平 面 CDE.证 明 如 下：取 C E 的 中 点 0,连 接 F O 并 延 长 交 B E 于 点 G,交 C B 的 延 长 线 于 点 H,连 接 G，,:CF=EF,：.GFCE.在 三 棱 台 ABC-OEF 中，ABLBCDEYEF.由 C
30、F_L 平 面 DEFCFLDE.又 CF D E F=凡，QE_L 平 面 CBEF,：G F U 平 面 CBEF,.DEIGF.:CECDE=E,CEU 平 面 CDE,DEU 平 面 CDE,；.GF_L 平 面 CDE.又 G F U 平 面 D F G,：.平 面 DFG.L平 面 CDE.：0 为 CE 的 中 点，EF=CF=2BC,由 平 面 几 何 知 识 易 证“OCg/XFOE,:.HB=BC=gEF.BG HB 1由”G 8 s 产 G E,可 知 L尺 rn=石 tLr石=彳 Z，即 BG=qJBE.【解 题 技 巧 提 炼】(1)对 于 线 面 关 系 中 的 存
31、 在 性 问 题，首 先 假 设 存 在，然 后 在 该 假 设 条 件 下，利 用 线 面 关 系 的 相 关 定 理、性 质 进 行 推 理 论 证，寻 找 假 设 满 足 的 条 件，若 满 足 则 肯 定 假 设，若 得 出 矛 盾 的 结 论 则 否 定 假 设.(2)对 于 探 索 性 问 题 用 向 量 法 比 较 容 易 入 手，一 般 先 假 设 存 在，设 出 空 间 点 的 坐 标，转 化 为 代 数 方 程 是 否 有 解 的 问 题，若 有 解 且 满 足 题 意 则 存 在，若 有 解 但 不 满 足 题 意 或 无 解 则 不 存 在.对 点 变 式 练 I题 型
32、 一 线 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 I.如 图 所 示，在 四 棱 锥 P-ABCD 中，布，底 面 ABCD,AB1.AD,AC LCD,ZABC=60,PA=ABBC,E 是 PC 的 中 点.求 证：(1)C)_LAE；(2)PO_L 平 面 4BE.【证 明】(1)：必 JL底 面 ABC。，C C U 平 面 A8CQ,：.PACD.AC-LCD,B4nAe=4,CZ)_L平 面 附 C.又 A E U 平 面 以 C,：.CDAE.(2)由 以=48=BC,ZABC=60,可 得 AC=R1.是 P C 的 中 点，：.AEPC.由(1)知，AE CD,且 P C C C
33、 Q=C,平 面 尸 CD又 P D U平 面 PCD,：.AEPD.以!底 面 ABCD,在 底 面 4 8 C D内 的 射 影 是 A),又：.ABPD.又 A 8C A E=A,.PO-L 平 面 A8E.2.创 新 题 型 如 图，直 三 棱 柱 A 8C-A 1B Q中，A C=B C=1,/A C 8=90,9 是 A山 i 的 中 点,9 在 上.(1)求 证：G O 1平 面 A A B iB；(2)在 下 列 给 出 三 个 条 件 中 选 取 哪 两 个 条 件 可 使 421，平 面 G D F?并 证 明 你 的 结 论.F 为 B B i的 中 点；AB尸 小；【解
34、 析】(1)证 明：.,A 8 C A 4 1 G是 直 三 棱 柱，：.AiCi=BiCt=l,且 N 4 G B i=9 0.又。是 A 8 的 中 点，CD-AB.：A4|J平 面 A山 C i,G O U平 面 A B iC i,AA|X CD,又 4 山 1 C AA|=A,.C Q 1平 面 AAtBtB.连 接。F,AB,：.DF/AB,在 ABC 中，A C=8 C=1,N 4 C B=9 0,则 A 3=g,又 4 4=小，则：.DF-LABt：G)J平 面 AA由 I,A 8|U平 面 AAiSB,，CiDABt.：DFrCtD=D,平 面 GOF.题 型 二 面 面 垂
35、直 的 判 定 与 性 质 1.如 图，在 四 面 体 P-ABC 中，PA=PC=AB=BC=5,A C=6,PB=4小,线 段 A C,出 的 中 点 分 别 为。，Q.(1)求 证：平 面 B 4C L平 面 A8C；(2)求 四 面 体 P-OBQ的 体 积.【解 析】(1)证 明：.R4=P C,。是 A C的 中 点，.PO-LAC.在 Rt 粗。中，=5,0 4=3,由 勾 股 定 理，得 尸 0=4.：A B=B C,。是 AC 的 中 点，：.B0AC.在 RtZiBA。中，；A 8=5,。4=3,由 勾 股 定 理，得 80=4.：PO=4,8 0=4,PB=4小,PO2+
36、BO2=PB2,:.PO BO.,：B O H A C=O,平 面 ABC；POU平 面 C,平 面 B4CJ平 面 48c.(2)由(1),可 知 平 面 以 CJ平 面 A8c.平 面 A8CA 平 面 C=AC,BO-LAC,8 0 U平 面 ABC,平 面 PAC,VB-POQ=2SPQOBO=X 1 S A/?4O X 4=；X 3X 4=4.,/VP-OBQ=V B-POQ,四 面 体 P-OBQ 的 体 积 为 4.2.如 图，在 四 棱 锥 P-ABCD 中，AB/CD,ABLAD,C D=2 A B,平 面 P物 底 面 ABC。，PAA.AD,E,尸 分 别 是 CD,PC
37、的 中 点.求 证：(1)BE 平 面 以；,伊(2)平 面 BF_L平 面 PCD.【解 析】(1)：AB CQ,CD=2AB,E是 C。的 中 点，：.AB/DEJHABDE,.四 边 形 A B E D 为 平 行 四 边 形，J.AD/BE,又 BEQ平 面 H D,A D U平 面 以),；.8E 平 面 PAD.(2)：AH AD,二 四 边 形 A8EO 为 矩 形，J.BE1.CD,ADCD,丫 平 面 以。_L底 面 A 8 C D,平 面 以 底 面 A8C)=A),PAAD,底 面 ABCD.:C D U 底 面 ABCD,：.PACD,又 RICA力=A,%u 平 面
38、阴),ALu平 面 用。，平 面 PAD,又 POU平 面 出),:.CDLPD.；E,尸 分 别 是 CD,PC的 中 点，：.PD/EF,：.CDEF,又 EFCBE=E,.C O,平 面 BEF,：Cu 平 面 P C D,；.平 面 BEF 平 面 PCD.题 型 三 垂 直 关 系 中 的 探 索 性 问 题 1.如 图 所 示，平 面 ABC)_L平 面 B C E,四 边 形 ABC。为 矩 形，BC=CE,点 F 为 C E的 中 点.(1)证 明：AE 平 面 8。尸;(2)点 M 为 C。上 任 意 一 点，在 线 段 A E上 是 否 存 在 点 P,使 得 PM L8E
39、?若 存 在，确 定 点 P 的 位 置，并 加 以 证 明；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【解 析】(1)证 明：连 接 A C 交 B D 于 点。，连 接 OF.四 边 形 ABC。是 矩 形，为 A C的 中 点.又 尸 为 E C的 中 点，OF/AE.又 O F U平 面 BDF,AEQ平 面 BDF,平 面 HDF.(2)当 点 P 为 A E的 中 点 时，有 P M L B E,证 明 如 下:取 B E的 中 点，连 接 OP,PH,CH.V P 为 A E的 中 点，”为 B E的 中 点，PH/AB.又 AB/CD,.,.PH/CD,：.P,H,C,。四 点 共
40、面.MDDM:平 面 48CD J平 面 B C E,且 平 面 A 8C Q C平 面 BCE=BC,CDBC,C O U平 面 ABCD,平 面 BCE.又 BEU 平 面 BCE,：.CD A.BE,：BC=C E,且 为 BE 的 中 点，CHBE.又 CHC C D=C,且 CH,COU 平 面 DPHC,BE-L 平 面 DPHC.又 PMU 平 面 DPHC,：.PMBE.变 式 综 合 练 一、单 选 题 1.已 知/,俄 是 两 条 不 同 的 直 线，a,夕 为 两 个 不 同 的 平 面，则 下 面 四 个 命 题 中，正 确 的 命 题 是()A.若 a _ L,1/P
41、，则/_L。B.若/_!_，m u a,则/J_aC.若?u a,I/,l/m,则 a/D.若 加，a,l/p,l/m,则【答 案】D【解 析】对 于 A：若 a_L夕，/回 尸，则/a 或/u a 或/与 a 相 交，故 A错 误;时 于 B：要 得 到/_ L a,则 需 要/与 平 面 a 内 两 条 相 交 宜 线 垂 宜，只 有/，加，机 u a 得 不 到I l a,故 B错 误；对 于 C：若 初 u a,1/3,l/m,则 a/或 a 与 夕 相 交，故 C错 误；对 于 D：因 为 m，a,l/m,所 以/L a,又/户，则 在 厂 内 存 在 直 线“，使 得 团 m,则
42、n l a,故 由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 a J夕，即 D选 项 正 确.故 选：D2.每 个 面 均 为 正 三 角 形 的 八 面 体 称 为 正 八 面 体，如 图.若 点 G、H、M、N分 别 是 正 八 面 体 ABCDEF的 棱。E、BC、AD.B尸 的 中 点，则 下 列 结 论 正 确 的 是（）EA%Z/必 二 二 CA.GV_L平 面 FBC B.G”与 M N是 异 面 直 线 FC.G”平 面 E4B D.M N与 G H是 相 交 直 线【答 案】C【解 析】连 接 AC、EF,B D,则 它 们 相 交 且 相 互 平 分，故 四 边 形 AE
43、C尸 为 平 行 四 边 形，则 AE回 C F.又 G、H、M.N 分 别 是 正 八 面 体 A8CDEF的 棱 E、BC、AD.的 中 点，所 以 G M/AE,NH/CF,S.GM=-EA,NH=-CF,0 G M N H,且 GM=N”,所 以 四 边 形 2 2是 平 行 四 边 形，排 除 B、D选 项，易 证 平 面 GM”平 面 E 4 B,又 G，u 平 面 GM”,回 6 平 面 七 4 5，C 正 确；因 为 EHBBC,MM38C,E H c M H=H,所 以 平 面 EMH,而 GHZ平 面 EM“，而 G“nE”=“，所 以 G”与 BC不 垂 直，故 G H与
44、 平 面 FBC不 垂 直,A错 误；3.已 知 如”表 示 两 条 不 同 直 线，a 表 示 平 面，下 列 说 法 中 正 确 的 个 数 是（)若 ml I a,nlla,则,/若“u a,则,_L 若 加 _La,m L n,则 a 若 m/a,m n,则 _ L a 若 a,tnLa,则 m _L A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答 案】B【解 析】对 于 若 应/a,nlla,则 阳 与 可 能 平 行，相 交 或 异 面，故 错 误：对 于 若 桃 _La,“u a,根 据 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 得 m_L，故 正 确；对 于 若 桃 _ L
45、a，m_L”,则 a 或 u a,故 错 误；对 于 若 加 a，m L n,则 _La或 u a 或。或 与 a 相 交，故 错 误.对 于 若 a，根 据 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 得 m_L，故 正 确；故 选：B4.已 知 正 方 形 ABCQ-A B C。，M、N 分 别 是 A。、。田 的 中 点，贝 I J()直 线 MNII平 面 ABCDB.直 线 4。与 直 线。石 平 行，直 线 M N,平 面 司 C.直 线 A Q与 直 线 相 交，直 线 MN 平 面 ABC。D.直 线 与 直 线 R 8 平 行，直 线 M VL平 面 8。耳【答 案】A【解 析】
46、如 图，连 接 4。，则 M 为 A R 的 中 点，又 因 为 N 为 B R的 中 点，则 MN AB,.W 平 面 ABCD,AB 平 面 ABC),.施 V 平 面 ABC。，5平 面 内 不 垂 直,因 为 Z 4 B力=45,则 与 B O所 成 角 为 45。，故 M N与 由 图 可 知，6。与 异 面，因 为 四 边 形 明 2。为 正 方 形，则 又 因 为 A 3 _L平 面 明。，A O u 平 面 44,。，则 A O A B,Q A 8 1 A A=A,.4。，平 面 4 8。，.B R u 平 面 A 8 R,则 A O L B R,故 选：A.二、多 选 题 5
47、.重 庆 市 第 十 一 中 学 校 高 三 年 级 某 班 组 织 了 诵 经 典，获 新 知 的 演 讲 比 赛，本 次 比 赛 的 冠 军 奖 杯 由 一 个 铜 球 和 一 个 托 盘 组 成，如 图，已 知 球 的 体 积 为 野，托 盘 由 边 长 为 4 的 正 三 角 形 铜 片 沿 各 边 中 点 的 连 线 向 上 折 叠 成 直 二 面 角 而 成，如 图.则 下 列 结 论 正 确 的 是 A.经 过 三 个 顶 点 A、B、C 的 球 的 截 面 圆 的 面 积 为？B.平 面 3 C F 平 面 ADE7TC.直 线 A O与 平 面。所 所 成 的 角 为 gD.
48、球 面 上 的 点 离 球 托 底 面 OEr 的 最 大 距 离 为 迈+13【答 案】AC【解 析】对 于 A 选 项，分 别 取 O E、E F、下 的 中 点 M、N、P,连 接 A M,B N、C P、A B、A C、B C、N M、N P、PM,易 知 AAE、AB E F、AQ)F均 为 等 边 三 角 形,因 为 M 为 OE的 中 点，则 AM_L)E,因 为 平 面 4历 _1平 面。，平 面 4。0 平 面 力/=上，A M u平 面 ADE,所 以，AM_L 平 面 D E F,且 AM=AZ)sin5=K,同 理 可 知 3N_L平 面 D M,CP_L平 面 O E
49、 F,凫 BN=CP=5故 AM/BN/CP&A M=BN=CP=6,所 以，四 边 形 AMNB为 平 行 四 边 形，则 AB=MN,因 为 M、N 分 别 为 D E、E F的 中 点，则 AB=MN=1z)F=l,2同 理 可 得 AC=BC=1,AA3C是 边 长 为 1的 等 边 三 角 形，1 上 所 以，AABC的 外 接 圆 半 径 为=：=二?，2 sin 3jr经 过 三 个 顶 点 A、B、C的 球 的 截 面 圆 的 面 积 为,A对：对 于 B选 项，因 为 CP/8N且 C P=B N,故 四 边 形 BCPN为 平 行 四 边 形，故 BC/PN,因 为 P、N
50、 分 别 为。尸、E F的 中 点，则 PN DE,WBCHDE,3C(Z 平 面 ADE,Eu 平 面 ADE,Z.ADE,：BN/AM,BN N 平 面 ADE,A M u 平 面 ADE,BN/平 面 A D E,;BCCBN=B,所 以，平 面 BC/W 平 面 AOE,因 为 过 直 线 BC有 且 只 有 一 个 平 面 与 平 面 A D E 平 行，显 然 平 面 8 b 与 平 面 BCPN不 重 合，故 平 面 8 b 与 平 面 ADE不 平 行，B错；TT对 于 C选 项，因 为 AM_L平 面。E F,则 AD与 平 面 DEF所 成 的 角 为 C对；4 4对 于