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1、必考点0 9立体几何综合经典必考题题型一空间几何体的距离问题例 题 1 1.如图，正方体ABCO-A M G R 的棱长为2,尸为。的中 点.则（）AB1A.FB.直线A D与B F所成角的正切值为V2C.平面尸截正方体所得的截面面积为4D.点 c 与点。到平面 H F的距离相等例题2 如图，在四棱锥P-A B 8 中，底面四边形A8C。为菱形，点 E 为 棱 的 中 点，点。为边A 8的中点.求证：AE 平面POC；(2)若侧面PAB _L底面A B C D,T TT T且NBPA=彳，PB=4,尸 4=3,Z A B C =-,求点 B到平2 3面P O C的距离.【解题技巧提炼】空间几何
2、体的距离问题解决空间中的距离问题，常用几何法，其中等体积法作为求高，即点到平面的距离是一种常见方法，其次可以利用构造，投影，直角三角形等解三角形，解决长度问题题型二空间几何体的角度问题例题 1 如图，在三棱锥 P-A 8C 中，PAAB,PAAC,ABSBC,PA=AB=B C =2,。为线段 AC的中点，E 为线段PC上一点.求证：平面80平面以C；求二面角P2CA 的平面角的大小.例题2 已知正方体48C O-A 4G R .(1)证明:4。，平面6 8。；(2)求异面直线R A与 BD所成的角.【解题技巧提炼】空间中的角分为线线角、线面角和面面角，其中线线角可以将直线平移到同一个平面内，
3、利用正余弦定理解三角形求夹角，线面角需要将直线投影到平面上，则直线与直线投影所成的夹角就是线面角，常利用直角三角形处理，面 面 角(二面角)是往交线上作垂线,则两垂线之间的夹角就是二面角。对点变式练题型一空间几何体的距离问题1.已知三棱锥P-A 8 C 三条侧棱 2、PB、PC 两两互相垂直，S.PA=PB=PC=4,M、N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M、N 两 点 间 距 离 的 最 小 值 为.2.如图，三棱柱中，侧面B 8C C 为菱形，B C B,C =O,且 8。，AB.证明:A C=A 4；若AC1AB|,ZCBBt=60,AB=BC=,求点。到平面ABC的距离.题
4、型二空间几何体的夹角问题1.如图，在四棱锥产一A8CD中，底面A8CZ)为平行四边形，平面P C O,平面4)P_L 平面 APC,PC=PD=2,AD=4,M 为 卓 的 中点.求证:PC 上 PD；求二面角C用。-尸的正切值.【解析】证明：过。在平面PA。内作。F L R 4,垂足为点F,平面ADP_L平面A P C,平面ADPc平面APC=A P,。尸u平面ADP,.,.DF_L 平面 APC,rPC u平面 APC,W O D F1.PC,平面 P C D,。匚平面?)(7,.尸 -*irtjsvi 2 2 2、J、PC 2 75tanZC/vr=；因此，二面角c )M p 的正切值为
5、9.在21.如图 1,在等腰梯形 ABCD中，AB/CD,NC=45。，A E 1 C D,B F 1 C D.将 AADE与ABCF分别沿AE,BF折起，使得点。、C 重合(记为点尸)，形成图2,且AP耳 是等腰直角三角形.PAE_L 平面 P M；证明：平面求二面角P-A B-F 的正弦值；(3)若=求四 棱 锥 的 体 积.变式综合练1.多面体ABCDE中，3CD与CDE均为边长为2 的等边三角形，AA B C为腰长为而 的 等腰三角形，平 面 CCH平面B C Q,平面ABC0平面B C Q,尸为BC的中点.求证：AF 平面EC；(2)求多面体ABCDE的体积.2.如图，在棱长为2 的
6、正方体A 8C D-A S G Q 中，E,F,G,求证：E,F,G,”四点共面;(2)求三棱锥D-G E F的体积.3.在如图所示的几何体中，平面_L平面ABC。，M 四边形AWM是矩形，四边形A8CD 为梯形，AB/CD,ZZMB=60,2 AB=2 AD=CD=2.求证：4V 平面MBC；已知直线AN与 BC所成角为60。，求点C 到平面M8D的距离4.如图，四棱锥S-ABCO的底面是长方形，SAI3底面ABC。，3CE=CD,SCSBE.证明：平面SBH平面SAC；若SA=&,AZ)=1,求 CO及三棱锥C-S8E的体积.5.如图，在四棱锥E-ABCZ)中，四边形ABCD为矩形，平面A
7、 B 8JL平面ABE,AB=5,BE=BC=4,AE=3,尸为棱CE的中点，P 为棱A 3上一求证：8/_1_平面4CE；当 P 到平面ACE的 距 离 为 等 时，求线段AP的长.6.如图，AABC是边长为3的等边三角形，瓦尸分别在边A3,AC上，且 4E=AF=2,M为 BC边的中点，A M 交 所 于点。，沿 E尸将AAF折到 比 的位置，使。例=叵.D若平面EFC3内的直线EN 平面D O C,且与边8 c 交于点N,R是线段。M 的中点，求三棱锥R-尸 NC的体积.7.如图，三棱锥尸-ABC的底面为直角三角形，E 为斜边A 8的中点，顶点P 在底面的投影为 ,CD/AB,E C L
8、 P B,P D =A B =2BC=2.求异面直线P A与 3 c 所成角的余弦值.8.如图，在多面体43cDE中，但 为 等边三角形，AD/BC,B C L A B,CE=2夜,AB =B C =2 A D =2,F 为 EB 的中点.(1)证明：AF 平面OEC；求多面体4?CZ)E的体积.必考点0 9立体几何综合经典必考题题型一空间几何体的距离问题例 题1 1.如图，正方体ABCO-A M G R的棱长为2,尸为。的中 点.则（）B.直线AO与8尸所成角的正切值为近C.平面A 8尸截正方体所得的截面面积为4D.点C与点。到平面A 8尸的距离相等【答案】AD对选项A,由正方体的性质知A
9、3,平面A Q R A，A/u平面A C R A，所以A B A F，故A正确；对B,因为A8 C,所以直线A D与BF所成的角即为8C与BF所成的角，连 接C凡 易得8CF是直角三角形，且8 c =2,C F =y/5 ,所以tan/CBF=正，2所以直线4）与3尸所成角的正切值为 由，故B错误；2对C,在平面A O R A内，延长A尸交A。的延长线于G,连接BG交CQ于七点，易得E为C。的中点，所以E F/A/且E尸=；4田=0,所以四边形8E码 为等腰梯形，所以四边形8EE4,的面枳S=；（a+2 0卜卜国匚*=|,所以平面A 8尸截正方体所得的截面面积为会9 故C错误；对D,由选项C知
10、，E为 S 的中点，所以点C与点。到平面4 8尸的距离相等，故D正确.故 选：AD例题2 如图，在四棱锥P-A B 8 中，底面四边形ABCQ为菱形，点 E 为棱PQ 的中点，点。为边A 8的中点.求证：AE平面POC；T T若 侧 面 底 面 ABC。，且NBPA=i，PB=4,尸 A=3,面 POC的距离.【解析】Z A B C =j,求点8 到平取线段P C 的中点尸，连。尸,EF在APCD中，E,尸分别为尸。，PC 的中点回砂8 且 EF=：C又团底面A3C是菱形，且。为A 8的中点团 4 0。且4 0 =lu平面80E,所以平面8)!3平面P A C-,由(1)得PA_L平面45C,
11、又BCu平面A 6 C,所以PAJLBC,因为AB0BC,P A A B =A,所以BCL平面P45,因为P 3 u平面所以5CJ_P8,所以NPBA即 为:面 角P-BC-A的平面角，在 中，PAAB=2,T T所以tan/PA 4=l,所以NP3A=一,4T T即二面角P-B C-A 的平面角的大小为二.4例题2 已知正方体ABC。-A 4G。.(1)证明:4平面6 8。；求异面直线R A 与 8。所成的角.【解析】证明：连接A C,交 8。于点0,在正方体A B S-A B C R 中，底面ABCD是正方形，(3A C1B D,又 回 BO LA A，A A,A C u 平面 AAC,A
12、tAl AC=A,0 B D 1 平面AAtC,又回A C u 平面AAtC,0A.C 1B D；同理可证 A C，8 ,又I3BC|、B O u 平面8DG,BCQBD=B,ElACL平面 QB。.(2)解：团 R A G B,ElNGB。即为异面直线R A 与 8。所成的角,设正方体ABC。-A|8CR的边长为“，则易得。|8=%)=。=血 a,EUGBQ为等边三角形，故 异 面 直 线 与 8。所成的角为g.【解题技巧提炼】空间中的角分为线线角、线面角和面面角，其中线线角可以将直线平移到同一个平面内，利用正余弦定理解三角形求夹角，线面角需要将直线投影到平面上，则直线与直线投影所成的夹角就
13、是线面角，常利用直角三角形处理，面面角(二面角)是往交线上作垂线,则两垂线之间的夹角就是二面角。对点变式练I题型一空间几何体的距离问题1.已知三棱锥尸A5C三条侧棱以、P B、PC 两两互相垂直，且 PA=P3=PC=4,M、N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M、N 两 点 间 距 离 的 最 小 值 为.【答案】随-43【解析】由已知可将该二棱锥补成正方体A PB O-A C 4A，连接尸 ，如图所示.02,内切球与平面A B C的切点为G,设三棱锥P-A 8 C 的内切球球心为。|,外接球球心为易知Q、。2、G 三点均在尸。匕在正方体中，平面APBD,.钙(=平面4 依/),，
14、48_1。，因为四边形AP3D为正方形，则M _LPD,.D D Q P D =P,.他，平面尸。2，.PQ u 平面 P O R,则 P R _L A B,同理可证 LA C,;A B cA C =A,二PR 1 平面A 8 C,设内切球的半径为，外接球的半径为R,则7?=lV 42+42+42=2/3.2由等体积法可得 心+SAB C/+SAB尸+SABc)r=5,神 PC ,I X SMBP PC 8x4 2 2 g印/ACP+/BCP+ABP+/ABC 8 X 3+X(4/5y 山等体积法可得1S.x P G 二 SABP P C,得P G=逑，3 3 3M、N 两点间距离的最小值为尸
15、 6-2/=殍-(4-竽卜苧-4.故答案为：竽-4.2.如图，三棱柱A B C-A 4G 中，侧面B 8C C 为菱形，B C B,C =O,且【解析】（1）因为BBCC为菱形，故可得B C，8 G，又因为 8 0 _ L AB,A B c B C、=B,AB,BCi u 面 ABO,故可得用C L 面A B O,又AOu 面A B O,故可得4。，耳C；在13ABe中，因为。为B C 的中点，且A 0,8 C，故 AO垂直平分B。，故可得AC=48,.(2)在菱形8B C C 中，因为NCBB=60。，B C =1,故回B qC 为等边三角形，则。8=正 与。=O C =-B,C=-,2 2
16、 2 2 2山(1)可知 AC=A q,又 A C 1 A B-且 B =l,故可得 AC=,AO=；qC =g,i 3故在团4 0 8 中，A O2+O B2=-+-=l =A B2,故AO_LO3,4 4由 A。，与。，OB c B,=O,OB,u 而 B B C ,故可得 AO J.面又在三角形ACB 中，A C =,BC=1,AB=192立8又 s OCB=LOC*OB=XLXB =,ecB 2 2 2 2 8设点O 到平面ABC的距离为 ，故由匕,一 4叱=匕一。8。可得：gs/8cX =g S q sX 4 0即 且 xd=x L 解得d=叵.8 8 2 14即点。到平面ABC的距
17、离为 叵.14题型二空间几何体的夹角问题1.如图，在四棱锥P-A8CZ）中，底面ABC 为平行四边形，A）_L平面P C D,平面AZ)P_L平面 APC,P C =P D =2,AZ)=4,M 为 R4 的中点.求证:P C 上 P D ；求二面角C用。-尸的正切值.【解析】证明：过。在平面PA。内作。F L R 4,垂足为点F,平面ADP_L平面A P C,平面ADPc平面APC=A P,。尸u 平面ADP,.,.DF_L 平面 APC,rPC u平面 APC,W O D F 1.PC,平面 P C D,。匚平面?)(7,.尸 7_14),.A）c ）F=。，.PC_L平面PAD,（阳 匚
18、 平 面 弘/）,；./5。，/7。.解：过点P在平面PAD内作PN _L/W,垂足为点N,连接CN,由（1）知PCJ平面A P P,。加2+PZ2=2 6,.M为上4的中点，所以，D M=；PA=&由 S g D M=g P D S A D =:M D-P N =4=PN=PN=t，2 Z Z 75PC 2 75tan Z C/vr=；因此，二面角c )例p的正切值为9.在21.如图 1,在等腰梯形 A B C D 中，AB/CD,N C =4 5。，A E 1 C D,B F 1 C D.将 A A D E与A B C F 分别沿A E,B F 折起，使得点。、C重合(记为点尸)，形成图2
19、,且A P 耳 是等腰直角三角形.P A E _ L 平面 PM；证明：平面求二面角P-45-F的正弦值;(3)若=求四棱锥的体积.【解析】由题意得：A E L P F,又 P E _ L P F,AEc P E =E，故 尸 产 J _ 平面E 4 E ；又P F u平面PBF,故平面PAE 1.平面PBF-.(2)如图，连接P C、CD、DP,C、。分别为A B、EF的中点，由(1)知 外 =依,故P C L 4 3,又所以C )，A 5,故/P C D即为二面角P-A B-F的平面角，由(1)知，A E J.平面P E F,又AEu 平 面 故 平 面 A 5 F E _ L 平面P E
20、 E,又平面ABFE 0平面PFE=EE/J L 阱，所以PD_ L 平面ABEF,设EF =2 a，则 PE=EA=,P A =-JPE2+EA2=2a,PC=-JPA2-AC2=6 a，PD=ED=a,故二面角P-A B-尸 的正弦值为：sin N P C D =啰 邛.p由(2)得，PZ5_L平面又 AB=下，所以 AE=1,P=2故四棱锥P-ABFE 的体积为1 x l x 0 x =L3 2 3变式综合练1.多面体ABCQE中，3 8 与口)均为边长为2 的等边三角形，AA3C为腰长为加的等腰三角形，平面CZ5E&平面8C,平面平面BC,尸为BC的中点.(1)求证：AF 平面EC。；
21、(2)求多面体A B C D E的体积.【解析】证明：因为AABC为等腰三角形，尸为8 c 的中点，所以A碓8C,又平面A3C0平面B C D,平面ABCn平面B C D=B C.A Fu 平面ABC.所 以 平 面 8C,取 C的中点G,连接E G,因为COE是等边三角形，所以EG3CC,因为平面CDfiSl平面BC。，交线为C D,且 EG u平 面 C Q E,所以EG2平面B C D,所以A F /EG,又A Fa平面EC,E G u 平面E C C,所以A F平面ECDA设多面体A B C D E的体积为V,则V=VE_B C D+VE_A B C,连接D F,因为BCD与(?)均为
22、边长为2 的等边三角形，ABC为腰长为 旧 的 等腰三角形，所以EG=QF=6，A F =2yi,所 以/c-oSCCD/=-3 5AoBiC.LDf-3 G 4=-X x 4 x =l,因为A尸 E G,又EGcz平面48C,A F u 平面A B C,所以EG 平面ABC,所以 VE_A B C=VG_A B C=g VD_A B C=g VA_B C D=X|SA S C DA F=1X-X4X 2/3=1故 V=VE-BCD+E-A B C=2.2.如图，在棱长为2 的正方体ABC。-A 4 G A 中，E,F,G,分别是所在棱的中点.(2)求三棱锥D-G E F的体积.(1)求证：E
23、,F,G,四点共面;【解析】(1)证明：连接”E,A 4,G F团46 B尸 且A G =B尸国在正方体ABCO-A B C R中，GF分别是棱A R、8 c的中点回四边形AGF8是平行四边形AB/G F又在AAAB中，H,E分别是4A-AB的中点SHE/AB,0 H E G F0E,F,G.”四点共面在底面A8C。中,S&D E F =SA B C D -SA A D E -SAC DF-S6BKF=2 X 2 一 /X 2 X 1 一 耳 X 1 X 1 -X 2 X 1 =.1 1 3又由点G到平面D E F的距离为2,所以VG_D E F=-SA D fx2=-x 1 x 2 =l.所
24、以 VD-GEF=G-D E F=1 3.在如图所示的几何体中，平面ALWM J平面ABCD,M四边形ADMW是矩形，四边形A8CD 为梯形，AB/CD,ZDAB=O),2AB=2AD=CD=2.(1)求证：4V 平面MBC；(2)已知直线AN与BC所成角为60。，求点C到平面MBD的距离【解析】(1)由题意得，取C。的中点E,连接8E、N E,则 钙/E C且?W=EC,故 四 边 形 是 平 行 四 边 形，所以A E/B C,又3 C u平面M B C,所以A E/平面MBC,又 AD/BERAD=BE,ADUMN RAD=MN,则MN B E且MN=B E,故四边形MNEB是平行四边形
25、，所以NE/BM,又5/Wu平面所以NE 平面M3C,由A E n N =E得，平面4VE/平面M8C,因为4 N u平面4 V E,所以AN平面MBC：因为矩形ADNM 平面ABCD，所以4W _L平面ABCD,又 A3=A=1,ZDAB=60 DEI IAB，所以四边形 ABED 为菱形，则AE=6，直线AN与AE所成角为600,设 4M 的长为 x,则 4V=Ji+V NE=ll+x2 在口中，由余弦定理，得cos60。=A*八七=府2AN-AE呜=1+x2+3-(l+x2)2J1+L.拒由x 0解得=拒,所以 S B C D=-x 2x,得 V B C D=1 S B C D AM=X
26、 6 =,6bL iJ 2 2 2 3 b tii-D 3 2 6在 AM8 中，MB=也,MD=B BD=,所以AMBD的高为 _i .v n _ v nn/SM B o=X l x-=-设点C到平面MBD的距离为h,贝U Z-M B O =SBDh=Xh=Th，由乙-8 8 =匕-皿。，得 骼=普人解得/!=当即点C到平面MBD的距离为 名 匝.114.如图，四棱锥S-ABCO的底面是长方形，SA回(2)若 SA=&，A=1,求 C。及三棱锥GSBE的体积.【解析】(1)因为S 4,平面ABCD,又5 E u 平面ABCD,所以&4 _L BE.又 S C L B E,且 S4cSC=S,
27、所以BE，平面SAC,又3 E u 平面SBE,所以平面S8_L平面SAC.连接AC交BE于H,因为AHBsACHE,d ri,AH HB AB 5所以一=3CH HE CEs故 AZ/=3C设C E=x,则在RtSBCE中,HB=3HE,BH=-BE=-Jx2+l,4 4 ABBC 3x在 RtMBC 中，BH=,AC V9x2+1所以1 J，+13xV9x2+1解得=且，故CD=63所以勿=v-L s .SA=-x-B C CE SA=-xlx-xy/2=.c-J O C o oct 3 z-z cc 3 2 6 3.185.如图，在四棱锥E-4?C 3中,四边形ABC。为矩形，平面ABC
28、_L平面ABE,AB=5,BE=BC=4,AE=3,5为棱CE的中点，P为棱A 8上一点.求证：B/_L平面ACE；当P到平面ACE的距离为午时，求线段AP的长.【解析】回 平面他CJ_平面平面A3Cn平面43E=4 3,BC u 平面 ABCD,回 8C _L 平面 ABE.又 13Au平面ABE,0B C 1 AE.在AABE中，AE2+BE2AB2,根据勾股定理逆定理可得：A E 1 B E,又BCCBE=B,回隹，平面8位，而8尸u 平面B C E,所以A E L M,在 ABCE 中，BE=CB,F为CE的中点，0B FC E,又ElAEI CE=E,回8尸J平面ACE.(2)根据题
29、意，CE=JBC2 +BE?=4收，I3AEJ_ 平面 BCE,SAE IC E,回 SJCE=gx3x4&=6&,向“1 8忘公632 K f C =X-y-x 6 j2 =父 回 P-ACE=C-AEP i i Q 320KC._p=-x4x-x3-A P sinZBAE=-A P =,-AEP 3 2 5 50AP=4.6.如图，AM C 是边长为3的等边三角形，瓦尸分别在边A8,AC上，且 AE=AF=2,M为 8 c 边的中点，A M交EF于点0,沿 E尸将AA尸折到 尸的位置，使。M=巫.2证明：平面EFCB；(2)若平面EFCB内的直线EN 平面D O C,且与边BC交于点N,R
30、是线段6 0 的中点,求三棱锥R-FN C 的体积.【解析】ABC为等边三角形，M 为8 c 中点，.AA/_L3C,;.AM=2 2 2 AE=AF=2,即 4E=-A B,AF=-A C,EF/BC,AO=-A M .3 3 3则在OOM 中，DO=AO=ZAM=B OM=-A M =,DM=,3 3 2 2:.D M2=DO2+OM2,即。O_LQW；QEFBC,:.O 为 EF 中点,又 DE=D F,：.DOLEF-：OM CEF=O,O M,M u 平面EFCB,DO_L平面 EFCB.(2)连接OC,过 E 在平面EBCF上作ENHOC交BC于点N,DN(z 平面。O C,.ET
31、V平面OOC,此时四边形OCNE为平行四边形，CN=OE=L EF=BC=1,2 3TZ1,11。.1 1 1 ,石 6 1 YR-F NC =D F NC=乂 X S.“，X/X 1 X 1 X 方 X。3=-即二棱锥R -F N C的体枳为:.O7.如图，三棱锥P-A B C 的底面为直角三角形，为斜边A 8的中点，顶点尸在底面的投影为 ,C D/A B,E C 1 P B,P D=A B =2B C =2.求CD的长;(2)求异面直线P A与 8 c 所成角的余弦值.【解析】解：如图所示:连接8。交EC于点F,由题意知，PD_L平面ABC。，所以/D，EC,又因为EC_LPB,P D c
32、 P B =P,所以EC_L平面?8。，则EC_LB),因 为 叨=A3=28C=2,E为斜边A 8的中点,所以 BE=BC=EC=1,则/BO=NC3。，因为 C A B,所以 N E B D =N C D B,则 N C Q B =N C B ),所以 C D=3 C =1 ：如图所示：连接A O,因为A B =2,BC=1,A 3为斜边，所以 N A 8 C =6 0。.因为 C=8 C =1,所以 4)=1,Z Z MB =6 0 ,过点A作B C的平行线交C O的延长线于点M ,则 A M =1,D M =,PA=有,P M =非，所以 cosN P A M=2-PA-PM10所以异
33、面直线R 4与8 C所成角的余弦值为.108.如图，在多面体4 3 C Z)E中，“3为等边三角形，AD/BC,B C 1 A B,CE=2 0，A B=B C =2 A D =2,F 为 EB 的中点.(1)证明：A尸平面O E C；求多面体A B C D E的体积.【解析】取E C中点M,连结。因为F是比?的中点，所 以 迥BC,SAD/BC/F M ,A D =-B C =M F ,团四边形 AFMO2为平行四边形回AFISZW.又AFz平面QEC,DWu平面DEC,4F回 平面。EC.EB-+C B2=E C2.C B L B E,又13cB_LAB,A B C B E =B,(3CB_L平面ABE,8C u平面ABC。回平面A B C D 平面ABE,过E作AB的垂线，垂足为H,则 为四棱锥-4?8的高.由题知印=6.底面四边形A8CE为直角梯形，其面积5=止 至 乌=3,2回忆-8=；S-E =g x 3 x 6 =6.