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1、必考点0 3 平面向量的应用经典必考题题型一向量在平面几何证明问题中的应用【例1】(1)四边形A8Q 9中，AD=BC，(而+丽)(而-而)=0,则这个四边形是()A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形(2)在中，AB=2 A C,动点M满 足 戒 (碇+/)=0,则直线AM 一定经过AABC的()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【解题技巧提炼】用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤：选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；把计算所得结果转化为几何问题.(2)向量的坐标运算法的四个步躲：建立适当的平面直角坐标系；把相关向量
2、坐标化；用向量的坐标运算找到相应关系；利用向量关系回答几何问题.题型二向量在物理中的应用【例2】(1)物体受到一个水平向右的力6及与它成60。角的另一个力尸2的作用.已知的大小为2 N,它们的合力F与水平方向成30。角，则用的大小为()A.3N B.V3N C.2N D.-N(2)某人在静水中游泳时速度为4 km/h,水的流向是由西向东，水流速度为2 km/h,此人必须沿与水流方向成 度角游泳，才能沿正北方向前进.【解题技巧提炼】用向量方法解决物理问题的“三步曲”题 型 三 利用正弦定理、余弦定理解三角形【例31(2021天津）在 AABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b c,且
3、sinA:sinB:sinC=2:l:&,b=l.(1)求 a 的值；(2)求cosC的值；(3)求sinQ C-?)的值.【解题技巧提炼】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.题型四面积问题【例 4】(2021新高考H)在 AABC中，角 A,B,C 所对的边长为a,b,c,b=a+,c=a+2.(I)若 2sinC=3sin
4、 A,求 AABC 的面积；(I I)是否存在正整数。，使得A4BC为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【解题技巧提炼】1.求三角形面积的方法(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积.总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.2.已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.题型五判断三角形的形状【例
5、5】(1)在 AA8c中，s in2A+sin2B 则 AABC的形状是A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不能确定sinj 至+B)(2)在 A8C中，若满足(2 J,则该三角形的形状为()b cos(2-/l)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解题技巧提炼】1.判断三角形形状的2 种常用途径-判断途径.边化角：通过正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒：等变换，求出边与边之间的关系进行判断角化边通过正弦定理、余弦定理化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断2.判断三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一
6、，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A,B,C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.题型六化简与证明【例 6】在AAHC中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c,设AABC的面积为S,且满足S=-（a2+b2-c2）.（1）求 角 C的大小；（2）求 sin A sin 6 的最大值.【解题技巧提炼】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，结合南的范围确定最值.或范围题型七解三角形的实际应用【例 7】（1）福建省宁德市2
7、021届高三毕业班第二次（5 月）质量检查考试数学理试题）如图，为了测量某湿地A,8 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从 D 点测得MDC=67.5。，从 C点测得酎8=4 5。，fiCF=75o,从 E点测得回 BEC=60。.若测得DC=2石，CE=夜（单位：百米），则 A,8两点的距 离 为（）C.3 D.2 G （2）（2021甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影A,B,C 满足ZAC=
8、45。，4 4。=60。.由C点测得8点的仰角为15。，3 3 与CC的差为100：由3点测得A点的仰角为45。，则A,C两点到水平面A B C的高度差A 4-C C 约为（）（61.732）B_c A.346 B.373 C.446 D.473【例 8】已知岛4 南偏西38。方向，距岛A 3 海里的3 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22。方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船?（参考数据：sin38“上叵,sin22 之 叵）14 14【解题技巧提炼】1.求解距离问题，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解
9、；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.2.高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度（某线段的长度）纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.3.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.对点变式练题型一向量在平面几何证明问题中的应用1.如图，在等腰梯形ABC。中，A8=8,BC=4,CD=4.点P 在 线 段 上 运 动，
10、则|西+丽|的取值范围是.6.4+4有题型二向量在物理中的应用B.473,81C.4&,8J D.6,122.加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60。，每只胳膊的拉力大小均为5 0 0 N,则该学生的体重（单位：kg）约为）（参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s2,6=1.732）题 型 三 利 用正弦定理、余弦定理解三角形3.已知EL4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,6sin=asin8求角A；(2)若b=6,BC边 上 的 高 为 翅，求c.2题 型 四 面 积 问 题4.在AABC中，角A,B
11、,C所对的边分别为a,b,c,其中c=4,且满足acosC=csinA.求角C的大小；若2sin8+?)=c-2石c o s A,求 的面积.题 型 五 判 断 三 角 形 的 形 状5.AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若6 c =人收函+限osA),c o s(7-A)s in?+A)=Z 1则”1 sc的形状为()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.不确定题 型 六 三 角 形 的 最 值 或 范 围 问 题6.在“W C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2(。-acosC)=6 c.求4;(2)若a=2,求AA5C面积的最大值.题 型 七 解 三
12、角 形 的 实 际 应 用7.如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，己知飞机飞行的海拔高度为10000m,速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为1 5,经过420s后看山顶的俯角为4 5,则山顶的海拔高度大约为(血=1.4，/3=1.7)().7350 mB.2650mC.3650m D.4650m8.为加快推进“5G+光网 双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A,B,C,D.已知C,。两个基站建在松花江的南岸，距离为10G km；基站A,B在江的北岸，测得NACB=75。,ZACD=120,ZADC=3O,NAT8=45。，则 4,8 两个基站的距离为（）B.3
13、0（百一l）kmC.30（&-l）kmD.lOkm9.当太阳光与水平面的倾斜角为60。时，一根长为2”的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（）B.30C.45 D.60变式综合练已知5%比=3,点M是邑4 3 c内一点 且 赤+2荻=两，则 用M 3 C的面积为A.B.C.D.4334122.在水流速度lOknVh的自西向东的河中，如果要使船以106km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（）A.北偏西 30，20km/hB.北偏西60,10立km/hC.北偏东 30，1072km/hD.北偏东60。，20km/h3.在AABC中，角A,B
14、,C所对的边分别为a,h,c,若f c o s A,则AABC必 为（）bA.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形4.在AABC中，若A=W，cosB=,b=2,贝l j a=（）3 7A.&B.逐 C.3 D.V75.在 中,角A,B,。所对的边分别是m b,c,已知a,b,c成等差数列，且3sin A=4sin8,则cos A的 值 为（）1A.41 1 1B.-C.D.-2 3 36.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3也,c=2&，cosB=,则AABC的面37.【多选】在AA8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知（b+c）:（
15、c+a）:（a+，）=4:5:6,则积 为（)A.473B.276 C.730 D.4指下列结论正确的是（）A.sin A:sin 2?:sin C=7:5:3B.CA AB =1 0 求 的 大 小;(2)若“A B C 的面积为356，求边AC的长.1 3.AABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 吧 七 四 =1 ,si n C a+h求角8的大小;(2)若6 =3,。为 AC边上一点，B D =2,且,求AM C的 面 积.从 8。为D B 的平分线，。为A C的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.必考点0 3 平面向量的应用经典必考题题型一向量在平面几何证明
16、问题中的应用【例1】四边形A 8 C 3中，A D =BC，（而+%万）（而-诟）=0,则这个四边形是（A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形【答案】A【解析】由题意，A D=B C即且ADBC故四边形ABC。为平行四边形 A B+A b y A i i-A D =A C D B =O故 AC_LBE即四边形ABC。为菱形故选：A（2）在AABC中，AB =2 A C,动点M满足丽7.（比+而）=0,则直线AM 一定经过AABC的（）A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【答案】B【解析】延长A C,使得AC=C,则 肥+/=配+而=而，因 为 丽 （沅+/）=0,所以4V/_L8）,因
17、为 AB=2 A C,所以 AB=A）,所以M 是 等 腰角形,所以点M在B C的中垂线上，所以A M平分ZBAC,直线A M 一定经过A ABC的内心.故选：B.【解题技巧提炼】用向量证明平面几何问题的两种基本思路（1）向量的线性运算法的四个步骤：选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；把计算所得结果转化为几何问题.(2)向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找到相应关系；利用向量关系回答几何问题.题型二向量在物理中的应用【例2】(1)物体受到一个水平向右的力及与它成60。角的另一个力工的作用.己知耳的大小为2
18、N,它们的合力F与水平方向成30。角，则 用的大小为()A.3N B.73N C.2N D.-N【答案】C【解析】由题得NAO8=60,NAOC=30。，所以 N B O C =N B C O=30。,所以 08=,所以 1 0%|=|盛|，所以尸2和 大小相等，都为2N.故选：C(2)某人在静水中游泳时速度为妹m/h,水的流向是由西向东，水流速度为2km/h,此人必须沿与水流方向成 度角游泳，才能沿正北方向前进.【答案】120【解析】设 方 表示人游泳的速度，砺 表 示 水速，由题意可知，若人能沿正北方向前进，则人游泳的速度与水速的合速 度 元 方向为正北，因为|丽 卜4,|OB|=2,所以
19、Z4OC=30。，所以 ZAQB=120。，即此人必须沿与水流方向成120度角游泳，才能沿正北方向前进.故答案为：120.OB【解题技巧提炼】用向量方法解决物理问题的“三步曲”把物理问题中的相关物用向量表示.转化为向量问题的模型，通过向量的运算使问题得以解决把结果还原为物理问题.第I 一工十：1f 士的.一宿皿-1题型二利用正弦定理、余弦定理解二角形【例3】(2021 天 津)在 AA B C 中，内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,且sin A:sin 8:sin C=2:1:0 ,6=0.(1)求。的值；(2)求cosC的值；(3)求sin(2C-令 的值.【解析】(i
20、);AABC 中，sin A:sin B:sinC=2:1:0 ,.a:b:c=2.l：42,b=y/2，a=2b=2/2,c=V2Z=2.(2)AABC中，由余弦定理可得cosC=.+”-c 2 =8+十4 J.2ab 2 x 2 0 x 0 4(3)由(2)可得 sin C=V1 -cos2 C=,4I，sin2c=2sinCcosC=-，cos2C=2cos2 C-1 =-.8 8sin(2C-)=sin 2Ccos-cos2Csin =_ L .6 6 6 16【解题技巧提炼】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、
21、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.题型四面积问题【例 4】(2021新高考II)在 AABC中，角 A,B,C 所对的边长为a,b,c,b=a+,c=a+2.(I)若 2sinC=3sinA,求 AA8c 的面积；(I D 是否存在正整数，使得AABC为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【解析】(Z)v2sinC =3sin A,根据正弦定理可得2c=3a,：b=a+,c=a+2,.,.a=4 i b=5 t c
22、=6.2 i 2 2在A 4 B C 中，运用余弦定理可得c os。=匕 生 二 三=2 x 4 x 5 8,/s in2 C +c os2 C =1 ,s in C =d-cos2 c=J l -而 in C x 4 x 5 工皿8 4(/),c b a.A A B C 为钝角三角形时，角C必为钝角,.,.0 6 7 c 即 a +a +l a +2,即 a l,l a j o 为正整数，.1a =2.【解题技巧提炼】1.求三角形面积的方法(1)若已知三角形的一个角(南的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，
23、代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积.总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.2 .已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.题型五判断三角形的形状【例5】(1)在AABC中，若$诒%+$皿28$皿2(7,则AABC的形状是A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不能确定【答案】A【解析】因为在A A B C 中,满 足 s i n?A+s i n*s i n?C,由正弦定理知s i nA =W，s i nB =,s i nC =三，代入上式得标+,2,
24、2A 2A 2A又由余弦定理可得c o s C =-c。因为C是三角形的内角，所以C e(g,;r),2ab2所以A 4 8 c 为钝角三角形，故选A.s i n(+B)(2)在回A 8C中，若满足(2 则该三角形的形状为()b c o s(2 乃 一 4)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理可得sin A=a=sm(+B)osB,sin B b cos(2-A)cos A所以 sin Acos A=sin Bcos B,所以 sin 2A-sin 23=0,所以 sin 2A-sin 24=2cos(A+3)sin(A-B)=0
25、,所以 cos(A+8)=0 或 sin(A-8)=0,因为A+3W(0,4),A3 c(一肛乃)，所以 A+B=1 或 A B=0,2所以。=1 或 4 =3，2所以AA8 c 是直角三角形或等腰三角形，故选：D【解题技巧提炼】1.判断三角形形状的2 种常用途径判断途径百 方 就J通过正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒七 巴 上 力 等 变 换，求出边与边之间的关系进行判断通过正弦定理、余弦定理化边为角，利用三角变倭出厂换得出三角形内角之间的关系进行判断_ _2.判断三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A,B,C 的
26、范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.题型六化简与证明【例6】在a A H C中，角4 B,C的对边分别为a,b,c,设AABC的面积为S,且满足S=曰(/+/一。2).(1)求角c的大小；(2)求sin4sin 3的最大值.【解析】(1)由题意可知！。/?5111。=*2。6(：05。.2 4所以 tanC=J9.因为0 C ,T T所以C=4：3(2)由已知 sin Asin 827r=sin A sin(4-C-A)=sin A-sin(-A)3.4/G 人.1 1/0人%J=sin A(cos A+sm A)=sin 2 A cos
27、2 A+-=sin(2A-)4-2 2 4 4 4 2 6 4因为0 A 2A-,故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.【解题技巧提炼】1.求解距离问题，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.2.高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度（某线段的长度）纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.3.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的
28、图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.对点变式练题型一向量在平面几何证明问题中的应用1.如图，在等腰梯形ABCD中，48=8,8C=4,CO=4.点/在线段AO上运动，则|雨+而|的取值范围是D.f 6,4 +4 x/3 B.4 /3,8 C.4及,8 J D.6,12【答案】B【解析】如图，以48中点为原点，A 8所在直线为x轴建立直角坐标系,则 A(-4,0),8(4,0),C(2,26),D(-2,2),易知，Z DA O =60 ,故 A D方程为：y =g(x+4),故设尸(X,G(X+4),-4 X-2.则=(7_兑
29、_ 石(工+4),P B =(4-x,-V 3(x+4)j,诩+P*=(_ 2x,26(x+4),|S 4+PB|2=4X2+12(X+4)2=16 (X+3)2+3,-4 x-2,0|RW+P g f 最小值为 16 x 3=4 8 ,最大值为I6X(-4+3)2+3=16X4 =6 4,|丽+得团 4 6,8 故选：B.yt i工D_ C“,题型二向量在物理中的应用2.加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为6 0。，每只胳膊的拉力大小均为50 0 N,则该学生的体重（单位：k g）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为
30、g=10m/s 2,V 31.7 32）87C.89D.9 1【解析】设两只胳膊的拉力分别为 耳,豆，因=|同=5 0 0,解用=6 0。,；.|耳 +讣+耳）2=田+工+2R.瓦=250 0 0 0+25 0000+2 x 5 00 x 5 00 x 1=5 00g =8 6 6 ,=8 6 6，解得 m=8 6.6 8 7（版）.,学生的体重约为8 7 版.故选：B.题 型 三 利用正弦定理、余弦定理解三角形3.已知姐8c的内角A,B,C 所对的边分别为m b,c,s i n =s i n B求角A;若X，B C 边 上 的 高 为 半，求 c.【解析】由己知条件得b s i n =a s
31、 i n B,A由正弦定理得s i n B c o s=s i n As i n B ,2A _ A 1团 s i n B w O,0c o s=s i n A,Hs i n =-,22 2又用O八 v A4 兀，口 八0 A /3 cos A -sin A+5/3 cos A=22sin(A+)=2 U|J sin(A+)=1 ,/.A 4-=4-2k 冗,k wZ 又A w(0,万)%冗、a c 1 J2 A=:由,sin A=,c=4,sinC=6 sin A sinC 2 2代入可得：a=2 0n 4 7 1.门 /乃 乃、万 冗 冗.兀 J5 +巡B=TT-A-C =,sin n=s
32、in(+)=sin cos +cos sin=-12 4 3 4 3 4 3 4 s-2 4ABe=L esin B=-x2/2x 4 x+娓2 2 42+2 0题型五判断三角形的形状5.AABC 的内角 A,B,C 的对边分别为“，b,c,3c=Z(sinA+V3cosA),C 0S(j-A)S in?+A)=l ,则 4A se 的形状为()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.不确定【答案】C【解析】因为右c=b(sinA+G cosA),所以 6 sin C=sin B(sin A+G cos A)5/3 sin C=G sin(4 一 A-B)=JJsin(A+3)=5/
33、3 sin Acos B+G eos Asin B,所以百 sin A cos B+G cos Asin B=sin 8 sin A+石 sin 8 cos A则 sin B=73 cos B,即 tan B=G ,故 8=g.当sin(A+工=二 时，所以A=J 或 A=g.若A=g,则。=1.若A=g,则。=彳.(6)2 6 2 6 2 2 6当 sin(A+2)=-时,A+=A=(舍去)，6)2 6 3 6因此 A5C的形状为直角三角形.故选：C题型六三角形的最值或范围问题6.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,且2 0-a c o s C)=gc.求A；(2)若a=2,
34、求AABC面积的最大值.【解析】由正弦定理得2(s in B -s in A co s C)=若s in C,乂 团 s in 5 =s in(A +C)=s in A co s C+co s A s in C ,团2 co s A s inC=G s i n C,又团s i n C w O,团2 co s A =百，0 co sA=-故在A B C 中，A =3 0。；(2)由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosAy0 4=fe2+c2-2bccos 3 0 =b2+c2-芈1bc (2-y/3)bc,0-=BCsin45=10500（-&）x拳=10500（K-1）=7350,所以山
35、顶的海拔高度大约为10000-7350=2650（m）.故选：B.为加快推进“5G+光网 双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个 5G基站A,B,C,D.已知C,。两个基站建在松花江的南岸，距离为lO bkm；基站A,B在江的北岸，测得 NACB=75。，ZACD=120,NMC=30。，ZADB=45,则 A,B 两个基站的距离为()106 kmB.30（6-l）kmC.30（7 2-l）km D.10瓜 m【答案】D【解析】在/XACD 中，ZADC=30,ZACD=75+45=120,所以 NC4=3 0 ,有 N 4）C=N C 4 D,所以 AC=CD=10J5,在 ABDC 中
36、，NCBO=180-(75+45)=60,由正弦定理，得 8。=如 叵 包 巴=5&+5指，sin 60在AABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2 AC-BCcos ZBCA=(1 ON/3)2+(5/2+5X/6)2-2X1 OQX(5四 +5向COS75=500,所以AB=106，即两个基站A、B之间的距离为106%?.故选：D9.当太阳光与水平面的倾斜角为60。时，一根长为2机的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是()2mA.1 5 0 B.3 0 C.45 D.60/6 0。/【答案】B【解析】设竹竿与地面所成的角是。，影子长为m?，由正弦定理得2 _
37、 xs in60-s in(1 2 0-a)?所以x=W s in(1 2(T-a),因为 3()。1 2 0。一。1 2()。，所以当1 2 0。一 =9 0。，即a =3 0。时所以竹竿与地面所成的角为3 0 时，故选：B,x 取得最大值,影子最长，标 宝女1 ,已知 SAABC=3 ,()1 1A.-B.一43【答案】C【解析】取 AC 的中点。，因 为 标+2 砺:砺=丽，因为因此A故选：C./DB-C2.在水流速度1 0 km/h 的自西向东的河中，出发时行驶速度的方向和大小为()A.北偏西 3 0、2 0 k m/hC.北偏东3 0 ，1 0&k m/h【答案】A点 M 是0 A
38、3 C 内一点且砺+2 砺=两，则0 M 3 C 的面积为-3 1C.-D.一4 2=CM 所 以 初+祝=-2 耐，故2 诙=一 2 丽，所以 一，_ 3yDBC-W 一“如果要使船以1 0 0 k m/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船B.北偏西6 0,1 0 a k m/hD.北偏东6 0 ,2 0 k m/h【解析】如图，船从点0 出发，沿 反 方 向行驶才能垂直到达对岸,|(?B|=10A/3,则 瓯 卜 J 俘 +国=2 0,则8 S/8 =,第=等,因为ZBOC为锐角，故 NBOC=30,故船以20km/h的速度，以北偏西30。的方向行驶，才能垂直到达对岸.故 选:A.3.在中
39、，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若fv c o s A,则“U3C必 为(bA.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形【答案】A【解析】因为fc co sA,由正弦定理可得s一in CcosA,BP sin C cos AsinS,b sin B又因为 sin C=sin(A+8)=sin A cos B+cos AsinB,所以 sin Acos cos Asin B cos Asin 8,即 sin Acos 8 0,cosB/l-cos2 B=7由正弦定理可得，号=上，sin A sin B力 sin Aa=-sin B G2 x 叵故选：D.5.在“W
40、C中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知，b,c 成等差数列，且3sin A=4sin8,则cos A 的 值 为（A-4B-Ic.31 D.3【答案】A【解析】因为3sinA=4 s in 3,故可得3a=4),又因为“，b,c 成等差数列，即26=a+c,故可得,_ 2a2b=a,c=由余弦定理可得cos 4=之：=-：,4 2 2bc 3 4-C I4故选：A.6.在AABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,h,c,若a=3 G，c=2&，cosB=.则ZBC的面3积 为()A.4 G B.2瓜 C.730 D.4底【答案】BR 2【解析】因为在AABC中，cosB=椀,
41、所以sin8=：,3 3因为。=3/3,c=2 2，所以A48C的面积为5=,$亩8=!*3 月 x2及X2=2卡.2 2 3故选：B7.【多选】在“U3C中，角A,B,C 所对的边分别为。，b,c,己知(+c):(c+a):(a+0)=4:5:6,则下列结论正确的是（）A.sin A:sin B:sin C=7:5:3B.CA ABB：AB-AC=bccosA=bcx-=-=-k=-k 0,故选项B错误；8C：若 c=6,则4=4,所以=14,/?=10,所以 cos A=10 之 6,2x10 x6 2所以sin A=苴，故 ABC的面积是：fecsin A=x 6 x l0 x -=15
42、73 2 2 2 2故选项c错误；c2,o2 _ iD：若。+c=8,则=2,所以。=7,b=5,c=3,所以 cos A=-=,2x5x3 2所以sin4=正，则利用正弦定理得：AABC的外接圆半径是：2 一=2叵，2 2 sin A 3故选项D正确.故选：AD8.【多选】已知点。为AA8C外接圆的圆心，|AC|=6,ZOAC=30,则()A.OC=拒 B.OC=2y/3C.OA OC=6 D.OA OC=-6【答案】BD【解析】令OC=2 r,则)2=r+(|J,所以t=-囱(舍)或 公 用，所以0 c =2 6,所以 0Z 0C=|丽|反 cos ZAOC=x x cos(180-60)
43、=-6,故选：BD.9.在酎BC中，角月，B,C所对的边分别为m b,c,设财BC的面积为S,其中a=2石，b2+c2=24,则S的 最 大 值 为.【答案】3石【解析】由余弦定理知：cosA=b+Ca=0,而0 4 乃，2bc be所以sin 4 36,而后+/=2422历，b c 2,当且仅当b=c=2 6时等号成立，heX S=-feCs in A=?V-3 6/3,当且仅当b=c=2 6时等号成立.2 2故答案为：3 g1 0.校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15。的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。和30。，第一排和最后一排
44、的距离为1 0 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌时长为50 s,升旗手应以 m/s的速度匀速升旗.3【答案】0.6#-【解析】ZAC=30+15=45,Z4CE=1800-60o-15o=105,故NE4C=30,A CFC A J O卡根据正弦定理：-即 正 一 一n,sin Z A E C sin Z E A C 2 2=AC=x20V3=3 0.故v=1=0.6(m/s).2 2 50 A C =20#，故答案为:0.6.11.己知轮船A和轮船2同时离开C岛，A船沿北偏东30。的方向航行，B船沿正北方向航行(如图).若A船的航行速度为40nmile/h,lh后，B船
45、测得A船位于8船的北偏东45。的方向上，则此时A,8两船相距nmile.【答案】2()72【解析】由题意 NBC4=30,ZCBA=180-45=135,AC=40 xl=40,由正弦定理 sin/BCA 一 sin ZABC 即 sin 30 sin 135故答案为：20近.解得 AB =2072.12.如 图，在 AA8C中，点 是边 BC上一点，AB =14,B D =6,AD =I O求NAO C的大小;(2)若AABC的面积为35石，求边A C的长.【解析】，因为A 3 =14,3 O =6,AO =10,g、i/D2+B D2-A B2 100+3 6-19 6所以 c o s /
46、A O B =-=-=2 A DBD2x10 x62c o s N A D C=c o s(万 一 N AD B)=一 c o s N A D B =-Z A D C =-23(2)由正弦定理可知:A DAB10s i n Z A B D s i n Z A D B s i n Z A B D14 _ 5Gs i n /A B D -6 14,T因为 43 C的面枳为3 5 6,所以，xl 4 8C 述=35/=B C =1 4,于是C O =3C 3 4 =14 6 =8,由余弦定理可知:214A C =y/AD2+D C2-2A D-DC-c o sZ A D C=100+6 4-2xl
47、0 x8 x1=2/21.13.ABC的内角A,B,C的对边分别是，J且s i n A-s i n B a-cs i n Ca+b(1)求角B的大小;(2)若0=3,。为A C边上一点，BD=2,且，求AA B C的面积.从 8。为D 8的平分线，。为A C的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.【解析】A A 8 C中，由正弦定 理 号=3=三;及s i n A s m B s i n Cs i n i A-s i n Ba-cs i n C a+b知a+b，所以。2+2-从=，由余弦定理知标+片一=2 CCOSB，所以2o c c o s 8 =ac,所以c o s B=:，
48、乂 8 e(0,万)，所以8 =g2 3(2)选TTQ8D 为 EB 的平分线，h=3,所以 N A B O =NBZ)C=w，6因为 ABC SgB D +SM O C，所以 ac=x 2a x I x 2c x,即 yfcic=2a +2c 422 223由余弦定理得，b2=a2+c2-ac f 所以 9 =(a +c)-3 4c =：(Q C)3 c ,4解得改=6或4=2(舍)，所以A A B C的面积S =ac=空；4 2选3因为。为A C的中点，b=3,则A。、，因为Z WC*C,所以 c o s Z.AD C=c o s(乃-NB D C)=-c o s Z.B D C ,由余弦定理可得2xAD xB DDU 叩(I+2-C)+2 72xD C xB D c c 3 r r 3整 壬 电得。2 +2=25,7由余弦定理得，从=/+，一 ac=9,所以。=彳,2所以八 43。的面积5=无 时=迪.4 8