新高考数学一轮复习讲义：数列.pdf

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1、新高考数学一轮复习讲义：数列 6.1 数列的概念与简单表示法【考试要求】1 .了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2 .了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.【知识梳理】1 .数列的有关概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列的通项公式如果数列&的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5|7 7=1 ,若已知数列 4 的前项和为$,则 a=t _s /?2(3)数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式

2、.2 .数列与函数数列 a,是从正整数集W(或它的有限子集(1,2,，)到实数集R 的函数，其自变量是序号 ，对应的函数值是数列的第项为,记 为 a=/().也就是说，当自变量从1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时、对应的一列函数值f(l),(2),，f()，就是数列 a,).3.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列8什1 2为其中递减数列常数列a+1 =3 f t4 .数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.【思考】1 .数列的项与项数是一个概念吗？提示不是.数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对

3、应的位置序号.2 .数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？提示 体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N*(或它的有限子集 1,2,3,，).【基础自测】题 组 一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)(1)数列的通项公式是唯一的.(X )(2)所有数列的第 项都能使用公式表达.(X )(3)2,2,2,2,，不能构成一个数列.(X )(4)如果数列 a 的前力项和为$,则对任意G N*,都有a/尸 S,+LS“(V )题 组 二 教材改编2.1-87 7，9A9宏，的通项公式是品=_ _ _ _ _ _ _,10 30答 案&尸4*3 .已知数列 a=2,Qn=1

4、 3 n(2 2).则/0 2 2=_ _ _ _ _ _ _ _.1答 案 一1解析 3 1=2,3 2=1 a=l2 =1,3 1=1 +1 =2,所以数列 aj 满足 a0=a m,所以检0 2 2=2 3=-1.4 .已知数列 a 的通项公式为&=2 4 +1,若 a,是递增数列，则 实 数A的取值范围是.答 案(一 8,3)解析 由题意得 a+i a”即(+1)A (z?+1)+l z?化简得，A 2/?+L C N”,J.A 0,-772+9 n+100,得一1010,又 n w N,所 以 1 W 水10.又 a i o=O,所以n=9或 10.题 型 一 由a“与$的关系求通项

5、公式1.已知数列 4 的前项和$=/+2 ，则 a”=.答 案 2/7+1解析 当=1 时，a =S =3.当时，an S S-i n+2 n (n-1)2+2 (n 1)=27?+1.由于 a i =3 适合上式，.a“=2+l.2.已知数列 a 中，是其前项和，且 S=2 a+1,则数列的通项公式为=.答 案 一 2-解 析 当 =1 时，团=S=2 团+1,当2 时，S=2 a”+1,S-i=2a,L i +l.一，Sn-&-|=2sn23n-1 (即 3n=2an2a”-,即 a“=2a,i(2),a“是首项a =-1,q=2 的等比数列./I C 一】&=3 *Q 2.3.设数列 4

6、 满 足 d+3a 2H-F(2-1)a=2 ,则&=.2,/?=1,答案2/7-1,庐 2解 析 当 =1 时，a i =2I=2.；8+3a 2+(2 1).=2 ,.国+3麴+,+(2-3).-i=2f (22),由一得，(2-1)&=2-2I=2 T,2二1a尸 2n (22).2 Z7=l,显然=1 时不满足上式，1=(、衿，心 2.4.设 S,是数列&的前项和，且 a =-1,品+】=S S+i,则下列结论正确的是&=7 n_ 1n n 11,Z7=LS三 一1数列 是等差数列答 案 解析 Va+i=S,SH-I=S,+I S,两边同除以S+i ,得=-1.是以一1 为首项，d=-

7、1 的等差数列，即=-1+(77-1)X(1)=n,/.Sf,=Sn n当 时，Q ii=Sn-S/-1=+=I 9n n 1 n n 1-1,77=1,又 a =-1 不适合上式，产,1、，n 2 2.n n S,77=1,思 维 升 华(1)已 知 S 求为的常用方法是利用a=转化为关于4 的关系SnSn-lt 与 2式，再求通项公式.(2)S 与&关系问题的求解思路方 向 1：利用a=2-$一(2 2)转化为只含2,S-的关系式，再求解.方向2：利用S,-ST=a(2 2)转化为只含a”a 1 的关系式，再求解.题型二由数列的递推关系式求通项公式命题点1累加法例 1 在数歹Uaj 中，a

8、i=2,a+i=a +ln fn-则 a“等于（）A.2+ln nB.2+(/?1)In nC.2+/?ln n D.l+/?+ln n答 案 A解析 因为4&=ln f=l n(+l)In n,n所以改一a =ln 2 In 1,a-%=ln 3In 2,国-53=In 4-In 3,a 一 a-i=ln 一 In(-1)(2 2),把以上各式分别相加得&-a =ln/?In 1,则 a=2+ln (N 2),且 51=2 也适合，因此a=2+ln (N*).命题点2累乘法已知数列 2 的前项和为S”其首项囱=1,且满足3 s=(+2)a“则 a,=+123 5=(4+2)区,35?-i=(

9、+1)&-i(2 2),由一得,3 a=(+2)H-(+1)&一1,即&=当3/7-1/?13n dn l d 一 2.an=-3n 1 3n 2 cln 2例 2答案解析32 5 1 =an+n n1 3 n n+1XXX-X7X1=-T-n+1n n+1【引申探究】本例 2 中,若 a 满足 2(77+1)成 +(+2)an aft+-n 原+1 =0,且 a 0，&=1,则 3n答 案 2 T解析 由 2(+1)，+(+2)an 4+i +1=0 得n(2an+an d+i 或+i)+2 a(&+4+)=0,/7(a+&+i)(2&-a+)+2&(&+4+I)=0,(a+&+1)(2劣一

10、如 1)+2 品=0,又 a 0,2/7,a“+2&-&+i=0,.+i 2 +1 tati n又 a =l,当 时，&：=，一&一1&L2a 82一 一 ac?2 32/7 2 n 1-1.X n 2 一 2 一 3X X2X3 2 X2X2X X21=2、n.又=1 时，a =1 适合上式，2“T.思 维 升 华(1)根据形如am=a+f(/7)(f()是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时,常用累加法求出a,一 团与的关系式，进而得到&的通项公式.(2)根据形如a,+i=a“/()(/()是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出2 与n的关系式，进而得到&的通项公式

11、.a跟踪训练1(1)在数列 a 中，4=3,&+i=a+-77；一，则通项公式为=.n 十1 答 案 4n11 1解析:4+i-a=-77；-二7，n 十1 n 十1当 22 时，为一为-1=-一1 n113，n I 3n 2 c 1，n 2 n I功 _&=一,*,以上各式相加得，at a=yn.alt=4 f 句=3 适合上式，.4=4一士n n 己 知 句=2,丛+1 =2&,则数列&的通项公式3n=n2-n+2答 案 2七 解析 V=2,.当时，=2 ,=2-2,3n 3n-dn2竺=以 生=2&L aQn S it 1 an=-,-H-1 a?-2&L e Sia=2 2n2.22

12、2 2_ 21+2+3+(-D .2(一1)n2 n+22=2 又51=2满足上式,n2-n+2alt=2 2题型三数列的性质命题点1数列的单调性例3已知数列 a 的通项公式为a若数列 a 为递减数列，则实数的取值范围为()A.(3,+8)C.(1,+8)答 案DB.(2,+8)D.(0,+0)Qn-LQ-J-k?n-4-k 2-2/7k解 析(单 调 性)因 为a.+ia尸 手亭一唱P=,由数列 4 为递减数列知，对任意 W N*,an+i an3一3一4 0或a.2=-2,bi=b2-b 2-1 =-3,A=bi-bs=-1 -(-3)=2,糜=七一b、=2(1)=3,th ba-h=3-

13、2=1.4 是周期为6 的周期数列，且&=1 一23 1+2+3=0.e S 022=$3 7 X 6 =0.思维升华解决数列周期性问题根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和.命题点3数列的最值例 5 已知数列 4 满 足 a=2 8,咄 二 2=2,则 色 的 最 小 值 为()n n29 厂 48 27A.-B.4yl71 C.-D.-3V 5 4答 案 C解 析 由&+【一曲=2，可得为=/+28,设 f(x)=x+-p 可 知 f(x)在(0,酝 上单调递减，在N 阪，+8)上单调递增，t r a 48 29 1,3又，e N 且三，故

14、选C.5 5 6 3思维升华求数列的最大项与最小项的常用方法(1)函数法，利用函数求最值.f 3n 2 1，f W 3/)i，(2)利 用 彳 (2 2)确定最大项，利用 (2 2)确定最小项.8+1 a W a什 1(3)比较法：若有 为+1一&=F(+l)F()0(或当&0时，贝!1&+ia，则数列 aj是 递 增 数 列，所 以 数 列 的 最 小 项 为国 ；若 有 a一a“=f(n+1)-5)0时，登 0,：a+a :,尬 卜 已知数列自 满 足 a+2=2+1 a,5 1 =1,5 2 =2,则 4 02 1 等于()A.2 B.1 C.1 D.2答 案 A解析 由题意，数列&满足

15、4+2=a”+i a”且 4 =1 ,己 2 =2,当=1 时，可得 6时，&+显然当 n 1 时，不满足上式.2,n,故数列 4 的通项公式为多=6/7-5,2 2.8 .设数列&的前项和为S”且V eN*,3 n+Ia,请写出一个满足条件的数列 4 的通项公式a,答案一6(ehD(答案不唯一)解 析V/7 F N*,a Q a“,则数列 a 是递增的，SNW,即 W最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0,即可，所以，满足条件的数列E,的一个通项公式a“=-6(eN)(答案不唯一).9 .已知在数列&中，a a依.a“=2(/7 G N*),则a=.答 案6 4解析 Vaai.

16、a=8?=6 4,a ai.曲=9*=8 1,O 1+得3 9=10.已知数列的通项为a尸35 4,则数列&的最小项是第.项.答 案 5解析 因为a=兴 W，数列 的最小项必为&0,即4 W 0,3-16 4 a?=|1 Q n-(in-1，十1 nnrtn +1 2 n+1 3H|J _&一，a尸 (in-1,n-v 1 n n.,a”3n 1 3 Z所以an=-x-义x-X a i&一1&一2 日1n+1 3 n 33 二 义丁L X X/8又白=8 也满足此式，所以数列 a 的通项公式为5+1)3.故选D.【拓展冲刺练】15.设数列 2 的前项和为S,满足S=(1)+,则 S+S+S 等

17、于()17 5 21A.0 B.C.-D.64 64 64答 案 D解析 数列&的前项和为S”满足S=(-1)a+：当为偶数时，S=S SL I+,即有 所以 s +w+&=；+3+3=|.2 4 16 64 64故选D.16.S 是数列 a 的前项和，且为一S=1 一 热 工求数列 4 的通项公式;(2)若b尸2 册一5 a,求数列&,中最小的项.解 对任意的e N*,由&=%一 5/,得 a,+i-$+1=2(+1)一两式相减得a=n,因此数列 a j的通项公式为a=n.(2)由(1)得 4=2 5 ，则 b+t b=2，,+l5(/?+1)(2 5。)=2-5.当 W 2 时,4+16&

18、；当时，4+|一4 0,即 bn+t b n,冰,所以数列 4 的最小项为&=2：,-5 X 3=-7.6.2 等差数列及其前项和工考试要求11.理解等差数列的概念.2 .掌握等差数列的通项公式与前项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4 .了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知识梳理1 .等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第工项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母且表示，定义表达式为&a-i=d(常数)(2 2,N*)或为+】一4=(常数).等

19、差中项z j-L.人若三个数，a,A,6 成等差数列，则力叫做a 与 6 的等差中项，且 有 力=牙.2 .等差数列的有关公式(1)通项公式：a 3 1+(z?1)d.(2)前 n 项和公式：S,-nai+”厂 d 或 S=n a3.3 .等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：&,=&+公一0d(n,加 N*).(2)若&为等差数列，且 A+/=/+(h 7,/,z?N),则 a+a =&,+2.(3)若 面 是等差数列，公差为&则国，(k,勿 N*)是公差为血的等差数列.(4)数列S 出 一,良 用 一 S出，也是等差数列.(5)S-i=(2 1)&7.(6)等差数列 a 的前n项和为S,

20、1篇为等差数列.工微思1.等差数列的前项和S,是项数的二次函数吗？提示 不一定.当公差40 时，S产 na、,不是关于的二次函数.2.若数列的前项和为S,=/2+创+。储#0),则这个数列一定是等差数列吗？提 示 不 一 定.当 仁 0 时是等差数列.|J_基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“，”或“义”)(1)等差数列 a,的单调性是由公差d 决 定 的.(V)(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(X)数 列 回 为等差数列的充要条件是对任意 CN，都有2a“+尸 a”+am.(V)已知数列 a,的通项公式是a,=p+g(其 中p,

21、g 为常数)，则数列&一定是等差数列.(V)题组二教材改编2.己知在等差数列 a j 中，色=-3,匈=5,则&=.答 案 一17解析 d-a-ia-2 2,.89=a+6=-5+6 X(2)17.3.己知在等差数列 a j 中，a+=2 0,a=1 2,则 d=.答 案 2解 析.&+as=20,；.a +3/+&+7d=20,即 at+5d=1 0,2=4+6d=1 2,一得d=2.4.已知 a 是等差数列，其前c 项和为S”若 a=2,且&=3 0,则=.答 案 126品=-10,d=6.解析由已知可得国+2d=2,解2国 +5d=10,W=9ai+:2 二）=90+36X6=126.题

22、组三易错自纠5.（多选）设面 是等差数列，S 是其前项的和，且&,则下列结论正确的是（）A.水0B.a?=0C.D.&与 S 均为S,的最大值答 案 ABD解析 5t=W+a6W,则冼0,S=Si+3?=&,则 37=0f 贝 ij d=ay-d60,&=S+劣 S,a0,则揖$,由 功=0,恁 0 知关，S 是 S 中的最大值.从而ABD均正确.6.在等差数列 a 中，|=|4|,公差大0,则使数列 a 的前项和S 取最大值的正整数的值是.答 案 5 或 6解析:|a|=|曲|，I a+2|=|a+8|,可得&=5,.a=4+5/=0,且 a 0,续 0,故 S,取最大值时的值为5 或 6.

23、题型一等差数列基本量的运算L（多选）记 S,为等差数列 a 的前刀项和.已知S=0,左=5,则下列选项正确的是（）A.+&=0 B.品=2-5C.$=?（-4）D.d=-2答 案 ABC解析 S 2=0,=2%=菰=7.a H_ xa-i_ 5i5_ 2X 15_ l_ 29%=8 7=7=3 3 1 5-2=石，(2)设S,为等差数列 a 的前项和，若&=1,S z=4,则S尸.答 案9解析 在等差数列中，W,S 2&,SHS 2成等差数列，：&=1,S z=4,.1,3,S s4成公差为2的等差数列，即$8-4=5,二$8=9.课时精练过 基 础 保分练1.已知 a 是等差数列，且仇+备+

24、&+而=48,则a e+&等于()A.12 B.16 C.20 D.24答 案D解析 由等差数列的性质可得a 2+a 5+a 8+a u=2(a+a 7)=4 8,则a 6+a?=24,故选D.2.数列 8,的前项和 S,=(2 4),若 k-i=A(k,/G N*),则 等于()A.4 B.8 C.16 D.32答 案C解析 V S,z?(2n 1),数列 a,是公差为4的等差数列，:k-l=4,a*a/=4 X 4=16.故选C.3.已知数列 a“满足 a =l,a+i=r a+r(/?e N*,r R,r#0),则 r=l是 数 列 a j为等差数列”的()A.充分不必要条件 B.必要不

25、充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答 案A解析 当 r=l 时，a+i=r a“+?=a“+i=a +l,二数列 a 为公差为1的等差数列，即充分性成立;3 n-1 r3 nr,ai 1,az=2r,9.3 2r+r,若数列&为等差数列,则 r=l+2r+r,r=1 或 r=g,即必要性不成立，综上，“r=l”是“数列 a 为等差数列”的充分不必要条件，故选A.4.我国南北朝时的数学著作 张邱建算经有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所

26、得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）O OA.多万斤 B.少月斤C.多生斤 D.少3斤答 案A解 析 设 十 等 人 得 金 从 高 到 低 依 次 为 如，.，则 2 为等差数列，设公差为d,则由题意可知a i+a 2+a)=4,a+a+&0=3,4&=鼻，4=1,O即等级较高一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多尚斤.5.（多选）等差数列 a 的公差为，前项和为S,当首项a和d变化时，既+国+4是一个定值，则下列各数也为定值的有（）A.B.ds C.5 15 D.516答 案B C解析 由等差中项的性质可得a+备+期=3a为定值，则a为定值，S.5=S兽2=1 5 a为定值，但=8（二

27、+a J 不是定值.故选BC.6.（多选）已知&为等差数列，其 前 项 和 为 S,且 2 a+3 a尸$,则以下结论正确的是（）A.aio=O B.So最小C.Si=S1 2 D.$9=0答 案 ACD解析 2 a+3&=关，2&+3 a+6 d=6 a+15d,，国+9 d=0,即囱o=O,A正确;当水。时，S 没有最小值，B错误；$2-S=a+99+a。+82=5ao=O,S2=S,C 正确；a +X 19S19=2=19diO=O,D 正确.故选ACD.7.若 S,是等差数列&J的前项和，且$一$=2 0,则 S1=.答 案44解 析 iSsS=&+a+a+&+由=5念=20,.11

28、51+an 劣=4,511=2=1 a=44.8.已知等差数列 4 的前项和为S,若 a =L&=2 0 2 1,则勿=.答 案 1 011解 析 W=3a+3 d,3&+3d=4+4 ，即 d=2,a=a+（加 一1）X2=2/T1=2 021,加=1 011.9.已知数列 a 的前项和S 满 足 小 产 近 工 十1 （2 2,刀 eN*）,且 ai=l,则&=.答 案 2/7-1解析 而一小匚=1,M&为等差数列，又小尸板尸1,.ysf t=n,即 S=2,当 时，an=St Sn-=n （/?l）2=2n1,又句=1 满足上式，a=2 -L10.已知在数列 a 中，a=1 1,且a（/

29、?l）&+i=l,则 a =；&+143的最小n值为.答案 2/7-1 44解析 na,(一所以(+1)&+i-刀 a+2=1,两式相减得 a-2 a+i+2=0,所以a+石/2=2a+1,所以数列 4 为等差数列.当=1 时，由血 一（”-1）&+1=1 得 31=1,由 a=l l,得公差d=2,所以 a=l+2(-1)=2/71,所 以 如 竺=2-1 /4 3=4+超 _ 4 2n n n144477 4=44,144当且仅当4=，即=6 时等号成立.n1 1.在数列 a 中，5 1=8,4=2,且满足 a+22%+i+a=0(N*).(1)求数列&的通项公式；(2)设窘=|a|+|/

30、|H-卜|二|,求北.解(1),科+224+1+a=0,a+2 1 石 ”+1 a”数列 a 是等差数列，设其公差为4V ai=8,511=2,at t a+(1)d=10 2，设数列 a 的前项和为S,则由(1)可得，Sn=8 n+-y X(-2)=9-冷 eN”.由(1)知 a=102，令 4=0,得=5,，当力5 时,&0,则 7L=I&I +I 4|+I a/=&+/+编一(含+&+,+4)=W(S W)=2WS=2X (9X 5-25)-(9/?-/?2)=4-9 +40；当5 时，&2 0,则=|翦 卜+1 a|T-卜I=a+a2+*+an=9 n-nf9n-n,W5,n GN*,

31、9“+4 0,N 6,n N*.1 2 .己知S是等差数列 a.的前项和，S=2,$=-6.(1)求数列 a,的通项公式及前“项和S,；(2)是否存在正整数，使 ,+2+2 ，+3 成等差数列？若存在，求出后若不存在，请说明理由.解 S=2,$=6,(2at+d=2,=1,3 X23 a H d6,解得d=-6a“=4+(n 1)X(6)6/?+1 0,.*.S,=4+，1 -X(-6)=-3+7/7.(2)假设存在，使 S“S+2+2/7,S,+3 成等差数列，则 2(+2+2)=S+S+3,.2-3(+2)2+7(+2)+2/7 =-3 d+7 +7 +3)-35+3)2,解得n5.0技能

32、提升练1 3 .已知数列 a 是等差数列，若 一+3 a u 0,a w,a n 0,且数列 a j 的前项和有最大值，那么S,取得最小正值时等于()A.2 0 B.1 7 C.1 9 D.2 1答 案 C解 析 因 为 4+3 加 0,所以备+a”+2 a u =3 9+a u+a i o+a*=2 (a“+3)o)0 1所以 a i o+a n O.因为 a”,3 i i 所以由等差数列的性质和求和公式可得a.o O,a R O,又可得 S=1 9 a i o O,而 S o=1 0(a u)+a u)/m时成立，故 D 选项正确.1 6.在等差数列 a j 中，a）+a=4,a s+a

33、7=6.（1）求 a 的通项公式；（2）设 4 =&,求数列 4 的 前 1 0项和，其中x表示不超过x 的最大整数，如0.9 =0,2.6 =2.解 设数列3 的公差为4 由题意有2 2 +5 d=4,a+5 d=3,2解得4 =1,d=三,所以 a 的通项公式为a=竺艺.2+3（2）由（1）知，b n=一；-，_ 02 _|_ 3当=1,2,3 时，1 W 2,4=1；当=4,5 时，2（红 拉 3,4=2；5当=6,7,8 时，3 W 空 丑 4,4=3：当=9,1 0 时，4 绰3 5,4=4.5所 以 数 列 的 前 1 0项和为1 X 3+2 X 2 +3 X 3+4 X 2 =2

34、 4.6.3 等比数列及其前项和工考试要求H1 .理解等比数列的概念.2 .掌握等比数列的通项公式与前项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.|_知识梳理1 .等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第工项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母1 7 表示，定义的表达式为空g 为非零常数).3n(2)等比中项：如果在a与方中间插入一个数G,使 a,G,力成等比数列，那么R叫做a与6的等比中项，此时，(f=ab.2 .等比数列的有关公式(1)通项公式：国尸句尸.前项和公式：na,q=1,S=0,ai0,

35、ai0,若“八 或、则等比数列 a 递减.【思考】1.若数列 a 满 足&+1=铝,(Q/0),则 a 一定是等比数列吗？提 示 不 一 定.需 验 证 aW0.2.若数列&为等比数列,2=a”i+期,则 数 列 仇 是等比数列吗?提示 不 一 定.当 g=-1 时不是等比数列.基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)(1)等比数列 a,的公比力1,则该数列单调递增.(X)(2)三个数a,。，c,成等比数列的充要条件是62=ac.(X)(3)如果正项数列 a,为等比数列，则数列 In a,是等差数列.(V)3 1 一d(4)数列&的通项公式是a=，则其前项和

36、为S产.(X)a题组二教材改编2.已知等比数列的首项为一 1,前项和为S”若 咋 色=点，则 g 的值为()0 5 1 1A.一 B.C.2 D.2答 案 B解析 当 q=l 时，%：.q .J/S o-W 呆+直+a +麴+&0 5 1故选B3.已知数列 4 为等比数列，4=6,6 4+d 3=3 0,则 4=.答 案 54或 24a -g=6,7=3,g=2,解 析 由 I 2 ”解得 或。6 ai+51 0,091，则 a 为递减数列B.若 a0,0 0,则 S+&2WD.若 乩=工,则柩 是等比数列Qn答 案 A BD解 析A,B显然是正确的；c 中，若 a=1,则於0,所 以 况 詈

37、i=3,d+l 十为所以数列&+&+J 是公比为3 的等比数列.(2)解 由 题 意 知 a,+a“+i=(a+色)3T=2X3”T,因为 a+2=2&-1+3a，所以 a“+23a；+i =(a+i 3a),4=38,所以 dz3 al =0,所以 a+i 3a=0,故&+i=3a”所以 4&=2X3 I a=：X3T.思维升华等比数列的三种常用判定方法定义法：若 二=。(0 为非零常数，或 三=q(。为非零常数且后2,GN*),则 aj3n 3tt-是等比数列.(2)等比中项法：若数列 a 中，&W0且 a 3 =a a.+2(e N*),贝!Ha.是等比数列.(3)前项和公式法：若数列

38、a 的前项和S,=a /一衣(衣为常数且A#0,g#0,1),则&是等比数列.跟踪训练1 已知数列 4 ,以 满足以=2a.+i+a”.若数列面 是等比数列，试判断数列 以 是否为等比数列，并说明理由.解 设等比数列 4 的公比为g,则 c 2a+t+a2aq+a(2g+l)a”，当 q=一夕时，c.=0,数列 c j 不是等比数列；当 qW*时，因为c,WO,所 以,2 q+1 a“+12g+l an所以数列 以 是等比数列.题型三等比数列性质的应用例 2(1)已知数列 a 是等比数列，S 为其前项和，若 外+/+左=4,丛+%+a=8,则S2等于()A.40 B.60 C.32 D.50答

39、 案 B解 析 数 列 S,4 S,S W,S2一$是等比数列，即 4,8,S2W是等比数列，.512=4+8+16+32=60.(2)已知S 是等比数列 2 的前项和，S,5),S 成等差数列，a+公=4,则徐=答 案 2解析 由已知得，2S=S+W,/.1,则有劭 1 ，a 1 一成 十 1-q解 得/又&+次=&(1+/)=4,.,.az=8,a=a2 /=8X=2.思 维 升 华（1）等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形,三是前0 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.（2）巧用性质，减少运算量，在解题中非常重

40、要.跟踪训练2（1）已知数列 a.为等比数列，且色ae+23=“，则 tan（a as）等于（）A.小 B.一小 C.一手 D.7 3o答 案 A解析 由已知得高+2 扇=，W=g又 央,as=a=,；tan（主 会）=.O（2）设 a 是等比数列，且 句+4+a=1,己 2 +23+a=2,则 色+e+a 等于（）A.12 B.24 C.30 D.32答 案 D解析 设等比数列 4 的公比为q,2则所以a+2 +企=（a +4+a）q=1 X25=32.拓展视野构造新数列对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习过的方法以外，根据数列递推公式的特点,还有以下几种构造方法.构造法1 一阶线性递推

41、（形如a+i=d+o，其中句=a 型）若夕=1,数列 a 为等差数列；若 4=0,数列 4 为等比数列；（3）若夕#1 且 g#0,数列&为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设 a+i+4=夕（a+4）,得 an+i=pa“+（p 1）,又品+i=&,+an+i+3 2(a+3),又 4+3=4,，数列 a“+3 是首项为4,公比g=2 的等比数列，.+3=4 -2=2n+,：.a=2n+l-3.变式 若例1 中“a“+i=2a+3”变 成“a+i=2a+3”，其他条件不变，求 a 的通项公式.解 方 法 一 V a+i2a+3,Z.a+I+4-3+i=2(a+A

42、 3),即 a“+i=2a“一，3,4=-1,即&+i-3/i=2(a.-3),又 为-3=2,.a-3 是首项为-2,公比g=2 的等比数列，an3 =-2 2 =-2,；.an=3-2.方 法 二 a,+i=2a“+3 ,等式两边同除以3小，令 则 b+x-b-,2 9 14+1+/I=鼻(6+4),得4+1=鼻儿一不久，得 4=1,O o 02 m2AA/z+i-1=-(&-1),又，i 1=豆一1 =一 鼻，O *J O2 241是首项为一个 公比4=鼻的等比数列,J 1),ii 时,an=(anan-i)+(an-an-2)H-F (4 一a)+a=2 -+2+112”1-2显然=1

43、 时满足上式，a=2 1 L(2)已知在数列 4 中,ai=5,&=2,4=2 a 一 1 +3aL2(2 3),求这个数列的通项公式.解:区=2 加 1+3 a-2,a+3n-1 =3(Su-14-3/r-2),又 a +a=7,&+a-J 形成首项为7,公比为3 的等比数列，则 a+a-=7 X 3 T,又 3an-=(an-i-3an-2),4-3 a=-1 3,a-3&-形成首项为-1 3,公比为一 1 的等比数列，则 a 3&一 1=(-13)(1)X 3+得,4&=7 X 3”T+1 3(一1尸,7 1R X 3 T+宁(I)一构造法3倒数为特殊数列(形如a+1=-*型)Irat,

44、-v s)1 si r 1两边同时取倒数转化为-+-的形式，化归为型，求出一的表达式，再3n+1 P P 3n求 a,.2a例 3(1)已知数列 a 中，a =l,a“+i=U ,求数列 a“的通项公式.解 an+1 =,?+2,功=1,BP:-1一2+-1-备.卜 4 是 以 1 为首项，J 为公差的等差数列.I an Z1 1 .、1 7 7 ,1(n-l)X-=-+?2.&=(卧*)（2）已知在数列 a 中，ai=2,a+i=3n4+3(N*),求 为.111解 V=34+i当.+*3 什+,K=l,a+1 2 1a”2,a2.平+4是 以 1 为首项，3 为公比的等比数列,I an 4

45、W+k，1an_12,2*,a“2 x 3”T_ 1右 N),课时精练用 基 础 保分练1.在正项等比数列&中，&=2,既 a=6 4,则至善的值是（）a 十功A.4 B.8 C.16 D.64答 案 C解析 设正项等比数列 4 的公比为S.&=2,&a=64,ai2=2,aq=64,解 得/=4,则 处 要=4?=16.以十全2.设正项等比数列 4 的前项和为S,若 S=S+2 ,且刈=3,则疑等于（）A.3 B.12 C.24 D.48答 案 C解析 设等比数列 a,的公比为Q,/W=S+2 S,&=3,a=2 4 +愚,aq=2a+aQ,.,.1=也=3 ag=3.解得Q=_ 139（舍

46、 底q=2,3,3 .a5=a1=-X2,=24.3.已知数歹i j a”-旦，是首项为1,公比为2的等比数列，则log血等于（&a-1）n .、n n 1A.Z 7（z?+1）B.-C.n+12nD.-7 7 12答 案D解 析 由 题 设 有W=l X 2 i=2 i（后2）,而 a=aX-az X as X X-a-n-a a dn-i=lX2+2+T（T）=2 （心2）,当=1时，a =l也满足该式，故区=2 2仁 八1 1 n-1所 以o g 2&=Q.4.在 数 列 中,&=1,.=3,且W=2+（5为数列。的前项和,则$00等于（）答 案C解 析 由 题 意 管=2+（当为偶数时

47、，可得三=3；鼻当为奇数时，可 得 松=1,an即数列的偶数项成公比为3的等比数列，奇数项都为1,Q O5 0 1 O O5 0 1由求和公式可得5。=-+5 0=+50.3 1 25.（多选）已知等比数列&的公比为q,前4项的和为国+14,且a”&+1,a,成等差数列，则。的值可能为()3D.2C.11氏1_ 2人答 案 A C解 析 因 为 痣，a+1,&成等差数列，所 以 氏+&=2(&+1),因此 8+含+念+&=a +3a 3+2=a +14,故 全=4.又 a 是公比为g 的等比数列，所以由我+必=2(a+1),得 (9+0=2(3 5+1),即 0)，aq=,则 彳 7 c 得

48、d=2,Q=yj 2fa1 Q=2,所 以 会=小.9.已知公比不为1 的等比数列，且氐=a,&；+2 a=3 而则数列的通项公式为=答 案 2 5解析 设等比数列 4 的公比为q,则q#1,由圣=a?,a+2=3全，2 2 _ 6ax q =a、q,q +2aq=?aq ,得a解 得&=4,q=2,，数列 4 的通项公式a=a4-=4 X 2小=2 小.10.已知数列&与1 5 均为等差数列(GN*),且团=2,则 a=,鼻+仔)+(部答案 2n 2,+1-2解析设 4=2+(广 1)“所以4=必一d d z f+4d 2d +nd-2 2由于1 3 为等差数列所以其通项是一个关于 的一次函

49、数或常数函数,所以（d-2）2=0,，d=2,a 2/?所以 a=2+2(-1)=2/7,/.-=2,n n所以a+图+给+自 9 12=2,+22+-+2n-=2”|2.1 211.已知数列 a 满足a =1,&+1=2(刀+1)&.设 4=生n 求 6i,&,A；(2)判断数列 4 是否为等比数列，并说明理由；求 8 的通项公式.解(1)由条件可得a.+,=2-力+1&,n将=1 代入得，色=4 4，而 8=1,所以色=4.将=2 代入得，&=3&,所以自=12.从而 6i=L bz=2,&=4.(2)乩 是首项为1,公比为2 的等比数列.理由如下：由 条 件 可 得 筌=9,即 4+产

50、24,Z7+1 n又 A=l,所以仿 是首项为1,公比为2 的等比数列.由 可 得 =2 T 所 以 a=212.已知数列 a 的前项和为S,且满足2s,=a,+(N*).求 证：数 歹 为 等 比 数 列；(2)求数列&-1 的前项和T .(1)证明 2S=&+，当22 时，2sLi=-3 i +一1,两式相减，得 2&=a+&_】+1,即 a=；a-i+1.O O1.数列卜“一三为等比数列.解 由 2s=一 4+1,得囱=O由 知，数 歹 小 局 是 以 一3首 项,3公比的等比数列立 技 能 提升练13.（多选）如图，已知点是。?!及力的边四的中点，,（G N*）为边理上的一列点，连 接